瑕积分的收敛判别法

瑕积分的收敛判别法

PB07210226，王丹临

我们学习过两种反常积分，即无穷积分和瑕积分。但对如何判断这两种积分的敛散，未作进一步讨论。学过无穷级数后，再来学习反常积分的收敛判别法，会发现两者在许多方面是基本一样的。下以瑕积分为例进行论述。

如何判断瑕积分的敛散性？先看，一个简单的例子。研究积分1

0⎰

y =，即得

1212y e dx dy =⎰， 这样就把判断瑕积分收敛的问题归结为判断无穷积分的收敛问题。

一般来说，如果a 是f 的瑕点，做变换1x a y =+，那么通过上面的变换，每一个瑕积分一定可以化成一个无穷积分。判断无穷积分收敛的方法都可以平行的对瑕积分建立起来。 例1 研究积分120log 1x dx x

-⎰的敛散性。 看上去似乎x=0，x=1都是瑕点，但实际上由于 21log 1lim 2

1x x x →=--， 被积函数在x=1附近是有界的，因此1不是瑕点。

考虑x=0附近的情况。对于充分小的x ，恒有2112x -≥，所以 2log 2log 1x

x x ≤-，而积分是收敛的，因此原积分收敛。

现在考虑一下反常积分主值的概念。

以往定义无穷积分()f x dx +∞-∞⎰收敛，是指两个无穷积分

()a

f x dx -∞

⎰ ()a f x dx +∞⎰都收敛。并且规定 ()f x dx +∞-∞⎰为以上两者相加。这就意味着，当A ，B 独立的趋于正

无穷时极限积分值存在。但对某些函数来说， 此极限并不存在。

但当A=B 时，lim ()A

A A f x dx -→∞⎰却是存在的。如果此极限存在，称这极限为无穷积分的柯西主值。对于瑕积分，同样可以定义柯西主值的概念。

设c 是f 在区间[a ，b]中唯一的瑕点，定义它的柯西主值为 0lim(()())c e b a c e e f x dx f x dx -+→+⎰⎰

容易知道，收敛的无穷积分或瑕积分的柯西主值一定存在，但反之不一定成立。

总之，判断收敛性是一项需要耐心的工作，我们需要在学习中不断积累经验才能很好的掌握各种判断方法。