高中数学奥赛辅导 第六讲 集合与映射

数学奥赛辅导 第六讲 集合与映射

知识、方法、技能

这一讲主要介绍有限集的阶，有限集上的映射及其性质，这些在与计数有关的数学竞赛问题中应用极广，是参赛者必不可少的知识

Ⅰ.有限集元素的数目 1．有限集的阶

有限集A 的元素数目叫做这个集合的阶，记作|A|[或n(A)]. 2．集族的阶

若M 为由一些给定的集合构成的集合，则称集合M 为集族.

设A 为有限集，由A 的若干个子集构成的集合称为集合A 的一个子集族，求满足一定条件的集族的阶是一类常见的问题.

显然，若|A|=n ，则由A 的所有子集构成的子集族的阶为2n . Ⅱ.映射，映射法

定义1 设X 和Y 是两个集合（二者可以相同）.如果对于每个X x ∈，都有惟一确定的Y y ∈与之对应，则称这个对应关系为X 到Y 的映射.记为.Y y X x Y X ∈→∈→或这时,Y x f y ∈=)(称为X x ∈的象,而x 称为y 的原象,特别当X 和Y 都是数集时，映射f 称为函数.

定义2 设f 为从X 到Y 的一个映射.

(1)如果对于任何x 1、.),()(,,21212为单射则称都有f x f x f x x X x ≠≠∈ （2）如果对于任何Y y ∈，都有X x ∈，使得f (x )=y ，则称f 为满射; （3）如果映射f 既为单射又为满射，则称f 为双射；

（4）如果f 为满射且对任何Y y ∈，恰有X 中的m 个元素x 1、x 2、…x m ，使得

.)(,,,2,1,)(倍数映射的倍数为为则称m f m i y x f i ==

定理1 设X 和Y 都是有限集，f 为从X 到Y 的一个映射, （1）如果f 为单射，则|X|≤|Y| （2）如果f 为满射，则|X|≥|Y| （3）如果f 为双射，则|X|=|Y|

（4）如果f 为倍数为m 的倍数映射，则|X|=m|Y|. 这个定理的结果是显然的.

定理2 设有限集f a a a A n },,,,{21 =是A 到A 上的映射，),()(1x f x f =

),,)](([)(1*+∈∈=N r A x x f f x f r r 则f 是一一映射（即双射）的充要条件是：对任意

).11,()(,)(1,,-≤≤∈≠=≤≤∈∈**i i i s i i m i i i m s N s a a f a a f n m N m A a i 而使得存在

证明：必要性.若f 是双射，则i i a a f ==)(1（此时m i =1）,或者.)(11i i i a a a f ≠=在后一种情形

下，不可能有.)()(1112i i i a a f a f ==否则，a i 1在A 中有两个原象a i 和a i 1，与f 是双射不合，而只可能有2222)(,,)(),2()(12i i i i i i i i i a a f a a a a f m a a f =≠===如果或者此时，则依同样的道理，不可能有或者此时而只可能有),3()(,,)()(33212====i i i i i i i m a a f a a a f a f

213,,)(3i i i i i a a a a a f ≠=.如此等等.

因为A 是有限集，所以经过有限次（设经过m 次）后，有i s i i m a ai f a a f i ≠=)(,)(而

).11,(-≤≤∈*i m s N s

这表明当f 是双射时，对任一A a i ∈都存在着映射圈:

i im i i i a a a a a i →→→→-121

在这个映射圈中，诸元素互异，且),1(1i i i a m n m 只有一个元素=≤≤

充分性.如果对任意i i s i i m i i i i a a f a a f n m N m A a ≠=≤≤∈∈*)(,)(,1,,而使存在

)1,(1-*≤≤∈i m s N s ，这说明从A 中任一元素a i 出发，都可以得到一个包含m i 个互异元素

的映射圈，显然f 是双射.

定理3 在命题1的条件下，若对i i m i i i a a f N m A a =∈∈*)(,,使存在，则对任意

.)(,i i tm a a f N t i =∈*有

这是明显的事实，证明从略.

赛题精讲

例1：设集合,30001|{},,14,20001|{≤≤=∈+=≤≤=y y B Z k k x x x A 集合

||},,13B A Z k k y ⋂∈-=求.

【解】形如4k +1的数的数可分三类：

)(912,512,112Z l l l l ∈+++，其中只有形如12l +5的数是形如3k -1的数.

.

167||},1997,,17,5{,1660),

(20005121=⋂=⋂≤≤∈≤+≤B A B A l Z l l 所以所以得令

例2：有1987个集合，每个集合有45个元素，任意两个集合的并集有89个元素，问此1987个集合的并集有多少个元素.

【解】显然，可以由题设找到这样的1987个集合，它们都含有一个公共元素a ，而且每两个集合

不含a 以外的公共元素.但是，是否仅这一种可能性呢？

由任意两个集合的并集有89个元素可知，1987个集合中的任意两个集合有且仅有一个公共元素，则容易证明这1987个集合中必有一个集合中的元素a 出现在A 以外的45个集合中，设为A 1，A 2，…，A 45，其余的设为A 46，A 47，…，A 1996.

设B 为A 46，…，A 1996中的任一个集合，且B a ∉，由题设B 和A ，A 1，A 2，…，A 45都有一个公共元素，且此46个元素各不相同，故B 中有46个元素，与题设矛盾，所以这1987个集合中均含有a .

故所求结果为1987×44+1=87429.即这1987个集合的并集有87429个元素. 例3：集合n B B B A ,,,},9,2,1,0{21 =为A 的非空子集族，并且当,2||≤⋂≠j i B B j i 时 求n 的最大值.

【解】首先考虑至多含三个元素的A 的非空子集族，它们共有1753

10210110=++C C C 个，这说明

.175max ≥n

下证，.175max ≤n 事实上，设D 为满足题设的子集族，若,,4||,B b B D B ∈≥∈设且 则B 与B-{b}不能同时含于D ，以B-{b}代B ，则D 中元素数目不变.仿此对D 中所有元素数目多于4的集合B 作相应替代后，集族D 中的每个集合都是元素数目不多于3的非空集合，故

.175max ≤n .

所以，.175max =n

在许多问题中，计数对象的特征不明显或混乱复杂难以直接计数，这时可以通过适当的映射将问题划归为容易计数的对象，然后再解决，从而取得化难为易的效果.

例4：设},,,2,1{n S =A 为至少含有两项的公差为正的等差数列，其项都在S 中且当将S 的其他元素置于A 中之后，均不能构成与A 有相同公差的等差数列.求这种A 的个数（只有两项的数列也视为等差数列） 【解】当k n 2=为偶数时，满足题中要求的每个数列A 中必有连续两项，使其前一项在集{1,2,…,k}和{k +1,k +2,…,2k }中各任取一数，并以二数之差作为公差可以作出一个满足要求的数列A.容易看

出，这个对应是双射.故知A 的个数为.4

2

2

n k = 当n =2k +1为奇数时，情况完全类似.惟一的不同在于这时第二个集合},2,1{n k k ++ 有k +1个元素.故A 的个数为.4/)1()1(2

-=+n k k

例5：设a n 为下述自然数N 的个数：N 的各位数字之和为n 且每位数字都只能取1、3或4.求证对每个自然数n ，a 2n 都是完全平方数.

【证明】记各位数字之和为n 且每位数字都是1或2的所有自然数的集合为S n ，并记

,3,2,1,||2121--+=≥===n n n n n f f f n f f f S 时有且当则这意味着{f n }恰为菲波那契数列.