2 第二章 理想光学系统(精通)

P’
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性质三的理解
•一个共轴理想光学系统，如果已知两对共轭面的位置和放大率， •或者一对共轭面的位置和放大率，以及轴上两对共轭点的位置， •则其它一切物点的共轭像点都可以根据这些已知的共轭面和共 •轭点来表示。
O A B
B’
O1
O2
O1’ A’
O2’
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2：理想光学系统的基点基面
第二章 理想光学系统（精通）
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理想光学系统中的基本概念
1. 理想光学系统(又称高斯光学）将近轴光学理 论推广到任意空间，理想模型，都能完善成像。 2. 共轭：高斯光学中，物像点一一对应关系，称 为共轭。 3. 共线成像：点对点、直线对直线、平面对平面 的成像变换称为共线成像。 4：光轴：沿光轴的光线不会改变方向，即使经 过透镜后也不会改变！
此公式对于理想光学系统总是成立的 另外在近轴时我们有nuy nuy J 拉赫不变量 f f 两式相除 n n 如果两边介质一样，f=-f u 近轴时fyu f y
物方焦平面
像方焦平面
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牛顿、高斯公式和单个折射球面公式的关系
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例子 三片型照相机
结构参数如下（长度单位为mm）
r 26.67
189.67 -49.66 25.47 72.11 -35.00
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d 5.20 7.95 1.6 6.7 2.8
n 1.6140
i1
l1 r1 u1 , 当光线平行入射时，l1 , u1 0 r1
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节点、节平面
应用：拍摄超大相片 由于镜头往往不够大，所 以使照相机物镜绕着节点 转动逐个拍摄，延长曝光 时间，最后将拍摄得的像 组合。
像方节点
F
物方节点
焦平面
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证明：如果一个光学系统两边介质相同，那么 主平面和节平面重合；如果两边介质不同，那 么不重合。 问题：像方焦点能否位于像方主平面的左侧？ 如果可以，那么在左侧时代表什么意思？
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第一节 共轴理想光学系统的成像性质

1、位于光轴上的物点对应的共轭像点必然在光轴上；位 于过光轴的某一截面内的物点对应的共轭像点必位于该物 面的共轭像面内；过光轴的任意截面成像性质都相同；垂 直于光轴的物平面，它的共轭像平面也必然垂直于光轴 （很有用）。 2、垂直于光轴的平面物与其共轭平面像的几何形状完全 相似，即：在垂直于光轴的同一平面内，物体的各部分具 有相同的放大率β。 3、一个共轴理想光学系统，如果已知两对共轭面的位置 和放大率，或者一对共轭面的位置和放大率，以及轴上两 对共轭点的位置，则其它一切物点的共轭像点都可以根据 这些已知的共轭面和共轭点来表示
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对第一个折射面：n1 1, n1 1.5, r1 50mm, l1 200mm n l 1.5 1 1.5 1 1 1 l1 300mm, 1 1 50 l1 200 n1l1 对第二个折射面：n2 1.5, n2 1, r2 100mm, l2 l1 d 200mm 1.5*(400) n l 1 1.5 1 1.5 2 2 l2 400mm, 2 3 200 l2 200 100 n2l2
1.6754
1.6140
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3：物像关系

几何光学目的就是求像，（对于确定的光学系 统，给定物体的位置、大小、方向，求像的位 置、大小、正倒及虚实）。
•两种方法：图解法（形象，定性），解 析法（精确，定量）。各有优缺点，一般 两种方法结合使用。
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图像法（追迹法）

已知一个光学系统的主点（主面）和焦点的位置，利用光 线通过它们后的性质，对物空间给定的点、线和面，通过 画图追踪典型光线的方法求像。
F
事实上，根据光路可逆原理，性质三和四是等价的！
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性质五的理解
光线
共轭光线
显然两条光线的透射高度一样！！
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五条性质的总结


前面四条可以归结为一条:所有过焦平面的点， 其出射光线必为一些相互平行的光线！！ 第五条很显然！
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轴上物点的图像求解方法一 两光线交点确定一个像点
-y
B
MH FH y f ABF MHF AB FA y x N H F H y x ABF N H F AB F A y f xx ff ，以焦点为原点的物象公式，称为牛顿公式! y f x 垂轴放大率 y x f 轴向放大率，角放大率与垂轴放大率的关系和以前一样！
M M’
B A F
N H
N’ H’ F’ A’
利用了两条性质: 1：过A点沿光轴做一条光线，方向不会改变。 2：所有从物方焦平面上一点发出的光线经过透镜后都成 为相互平行的光线。
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轴上物点的图像求解方法二 两光线交点确定一个像点
M N A F H
M’ B N’ H’ F’ A’
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性质一，二的理解
F’
可以用来方便的测定焦距
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性质三的理解
倾斜于光轴入射的平行光束经过系统后会交 于像方焦平面上的一点
像方焦平面
F’
事实上,性质一只是性质三的一种特殊情况， 即当平行光束沿光轴入射时，性质三就是性质一
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性质四的理解
物方焦平面
为什么不直接测焦距？？
投射高度 投射高度h H H’ F’
F
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为什么需要基点基面？



一：原则上近轴公式可以解决任意多个折射面 的成像问题，但是，需要多次逐面计算，而且 物平面位置改变后需要重新计算。 二：选择主平面和焦点，在一定程度上决定了 光学系统的成像特性，加上后面的解析公式可 以更加方便的计算。 三：选择主平面的好处：将实际光学系统中多 次折射反射等效于共轭光线的一次偏折代替。
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轴外物点的图像求解
B
A’ A
FHale Waihona Puke Baidu
F’ B’
注意：图像法只能求得像的大致位置，至 于具体位置在哪，完全不清楚！因此需要 一种可以定量求得像的位置的方法！！！
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解析法（牛顿公式以焦点为基准）
x‘
-x A F M -f H N M’ B’ y’ f' H’ F’ A’ N’
f x 牛顿公式：xx ff (注意正负), , n n xx f 2 x f x l f , x l f f f f l 1 1 1 高斯公式： 1(注意正负), , n n l l fl l l f n n n n nl 1 1 2 单个球面折射公式： , ,反射公式： l l r nl l l r 注意区别！
1。平行于光轴入射的光线，经过系统后过像方焦点； 2。过物方焦点的光线，经过系统后平行于光轴；
3。倾斜于光轴入射的平行光束经过系统后会交于像方焦平面上的一点； 4。自物方焦平面上一点发出的光束经系统后成倾斜于光轴的平行光束；
5。共轭光线在主平面上的投射高度相等。 由于光路可逆，事实上，1，2可以等同看待，3，4也可以等同看待
y f x 牛顿公式推导得到的垂轴放大率公式 y x f tan U 去掉x, x得到 fy tan U f y
-U F -f -x U f’ F ’ x
( x f ) tan(U ) ( x f ) tan U

通常将理想光学中（高斯光学）已知的共轭面和共轭点分别称为共轴系统的 “基面”和“基点”，原则上有无穷多。 一般将：一对主点，焦点，节点，主平面，焦平面，节平面称为光学系统的 基点和基面。节点是指角放大率为一的点。注意像方焦距是H’F’,从主点H’ 算起到焦点F’
投射高度h和像方孔径角U，像方焦距f 的关系 由图可知 像方焦距 f=HF=h/tanU 用此公式可以方便求的光学器件的焦距
把三维问题简化为两维问题！！
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性质一的理解（第四句话）

垂直于光轴的物平面，它的共轭像平面也必然 垂直于光轴：反证法。
A,B离光轴等距，一开始A在上，B在下，图中黑线， 物体在垂直于光轴的平面内旋转180度图中红线，A 在下，B在上。
A B’
B
A
A’ 转过180度以后，由于A。B点距离光轴相等，物体和原来一样， 所以所成像应该和原来一样，但是按照前面假定，像不垂直就出现 右图的情况！！矛盾！！！
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-l
l’
高斯公式以主点为基准
根据上页 x l f , x l f 代入牛顿公式中 f f lf l f ll 1 l l 以主点为原点的物象公式!称为高斯公式！
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两焦距的关系
f f 两个公式很像，只要把高斯公式中的f 用 高斯公式 1 －f’代替就可推出高中的公式，偶然吗？？ l l 1 1 1 高中熟知的公式 l l f
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性质一的理解（第一句话）

光轴上物点其共轭像点必在光轴上：过光轴的 光线方向不变！
轴上物点
像点
轴上物点所成像必然在光轴上！
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性质一的理解（第二，三句话）
位于过光轴的某一截面（子午面）内的物点 对应的共轭像点必位于该物面的共轭像面内， 过光轴的任意截面成像性质相同！
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B
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性质二的理解
垂直于光轴的平面物与其共轭平面像的几何形状完 全相似（注意是相似）
B A C p
PA=PB=PC
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PA=PB=PC=y
过PABC作一垂直于光轴的平面 得到下图
P’A’=P’B’=P ’C’=y’
B’ A’ C’
a
a P
D’
D A B C a a
PA PB PC y 由图可知： PD PA PB PC y PD 另外PD=ycosa, PD=ycosa 由于角度a是任意的，所以直线PB,PB上任意的共轭点都有 相同的比例！！
l r lu h lim ( 1 1 u1 ) lim ( 1 1 ) 1 l1 ,u1 0 l1 ,u1 0 r r1 r1 1 经过计算得 l 67.4907, u 0.121869, h 82.055, tan u 主点位置l f 14.5644在最后折射面 焦距为 f 左侧14.5644mm处
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轴向放大率和角放大率

关于轴向放大率和角放大率，由于理想光学系 统是近轴光学的一种理想化推广，因此很显然， 近轴区域的公式可以适用的，我们只需注意一 点，在近轴区域中我们假定tanU = sin U = U 而在理想光学系统中，这一点不能用（只能在 角度很小时用），除此之外一切照旧。比如对 照第一章的（1－25）（1－27）（1－28）和 本章的（2－19）（2－23）（2－24）就可以 发现是一致的。
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例题2

已知一个透镜把物体放大 -2倍，当透镜向物 体移近20mm时，放大倍数为 -3倍，求一开始 的物距以及透镜的焦距？
l 2 3 l f l l (l 20) 1 1 1 1 1 (2) 1 (3) l l f l 180mm, f 2 (180) 120mm, 3
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光路计算的总体原则、注意事项



1：画出光路图，典型光线 2：标出几何大小，特别注意每个字母的正负 3：选择适当的公式 4：检查物理意义是否正确 5：逐面进行计算
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例1 玻璃棒

一个长500mm，折射率为1.5的玻璃棒，两端 为球面，其半径分别为50mm，100mm，现将 一个高为1mm的箭头垂直放置于离左端球面 顶点200mm处的轴上，问像距多少？整个玻 璃棒的垂轴放大率为多少？