人教版初三数学二次函数专题练习(含答案)

二次函数
1．如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是（）
A．π B ．1
2π C．
1
3π D．条件不足，无法求
2．抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（）A．y=（x+2）2+3 B．y=（x-2）2+3 C．y=（x-2）2-3 D．y=（x+2）2-3 3．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）
4．函数y=k
x与y=-kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）
5．已知二次函数y=x2-4x+a，下列说法错误的是（）
A．当x＜1时，y随x的增大而减小
B．若图象与x轴有交点，则a≤4
C．当a=3时，不等式x2-4x+a＞0的解集是1＜x＜3
D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，-2），则a=-3 6．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：
①a＞0 ②2a+b=0③a+b+c＞0 ④当-1＜x＜3时，y＞0
其中正确的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=1
2（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴
的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；
②a=1；
③当x=0时，y2-y1=4；
④2AB=3AC；
其中正确结论是（）
A．①② B ．②③ C．③④ D．①④
8．一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：h=-5（t-1）2+6，则小球距离地面的最大高度是（）
A．1米 B．5米 C．6米 D．7米
9．在同一平面直角坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+5x+b的图象可能是（）
10．如图1，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，其中∠C=∠EDF=90°，点A与点D 重合，点E在AB上，AB=4，DE=2．如图2，△ABC保持不动，△DEF沿着线段AB从点A 向点B移动，当点D与点B重合时停止移动．设AD=x，△DEF与△ABC重叠部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）
11．已知函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，-1
3＜x＜
1
2．则函数y=cx2- bx+a的图象可能
是图中的（）
12．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（-1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c ＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞-1时，y＞0，其中正确结论的个数是（）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
13．将抛物线y=-
2
1
2
x
向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的解
析式为．
14．将二次函数2x
y 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是．
15．若二次函数y=2x2的图象向左平移2个单位长度后，得到函数y=2（x+h）2的图象，则h=________
16．当x 时，多项式x 2+4x+6的最小值是 ．
17．设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象经过点(3，0)，(7，– 8)，当3≤x ≤7
时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是 ．
18．若函数y=mx 2﹣2x+1的图象与x 轴只有一个交点，则m= ．
19．将抛物线2y 3x 6x 4=-+先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到新的抛物线的顶点坐标为 .
20．如果抛物线y=ax 2+bx+c 过定点M(1，1)，则称次抛物线为定点抛物线。

(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式。

小
敏写出了一个答案：y=2x 2+3x-4，请你写出一个不同于小敏的答案；
(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y=-x 2+2bx+c+1，求该抛
物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答。

21．如图，抛物线y=ax 2+bx 经过点A （-4，0）、B （-2，2），连接OB 、AB ，
（1）求该抛物线的解析式．
（2）求证：△OAB 是等腰直角三角形．
（3）将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′，写出A′B′的中点P 的坐标，试判断点P 是否在此抛物线上．
（4）在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形ABOM 成直角梯形？若存在，请求出点M 坐标及该直角梯形的面积；若不存在，请说明理由．
22．如图所示，已知抛物线y=x 2-1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．
（1）求A 、B 、C 三点的坐标；
（2）过点A 作AP∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积；
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
23．如图，在直角坐标系中，已知直线y=-1
2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，C
点的坐标为（-2，0）．
（1）求证：直线AB⊥AC；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线l的解析式和对称轴；
（3）在直线AB上方的抛物线l上，是否存在一点P，使直线AB平分∠PBC？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=-1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P 的坐标．
25．如图，抛物线 y=ax2+bx+3经过A（1，0）、B（4，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上存在点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？求点M的坐标．
26．如图，Rt△ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =
++经过B 点，且顶点在直线52
x =上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标． 27．如图，已知抛物线经过点A （2，0），B （3，3）及原点O ，顶点为C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以A ，O ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；
（3）P 是抛物线上第二象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P 使得以点P ，M ，A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
28．如图，抛物线y=-x 2+bx+c 与直线y=1
2x+2交于C 、D 两点，其中点C 在y 轴上，点
D 的坐标为（3，7
2）．点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE⊥x 轴于点E ，交CD 于点F ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．
29．如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上，并过点B（0，1），直线n：y=﹣x+与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，过B点的直线BE 与直线n相交于点E（﹣7，7）．
（1）求抛物线m的解析式；
（2）P是l上的一个动点，若以B，E，P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标；（3）抛物线m上是否存在一动点Q，使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
30．如图，抛物线y=ax2+bx-4a的对称轴为直线x=3
2
，与x轴交于A，B两点，与y轴
交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式，结合图象直接写出当0≤x≤4时y的取值范围；
（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，点D关于直线BC的对称点为点E，
求点E 的坐标．
31．如图1，菱形ABCD 中，CH ⊥AB ，垂足为H ，交对角线AC 于M ，连接BM ，且AH=3．
（1）求DM 的长；
（2）如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当点P 在边AB 上运动时，是否存在这样的t 的值，使∠MPB 与∠BCD 互为余角？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
32．某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：
①该产品90天内日销售量（m 件）与时间（第x 天）满足一次函数关系，部分数据如下表：
时间（第x 天） 1 3 6 10 …
日销售量（m 件） 198 194 188 180 …
②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x 天）的关系如下表：
时间（第x 天） 1≤x＜50 50≤x≤90
销售价格（元/件） x+60 100
（1）求m 关于x 的一次函数表达式；
（2）设销售该产品每天利润为y 元，请写出y 关于x 的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？【提示：每天销售利润=日销售量×（每件销售价格-每件成本）】
（3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．
33．“佳佳商场”在销售某种进货价为20元/件的商品时，以30元/件售出，每天能售出100件．调查表明：这种商品的售价每上涨1元/件，其销售量就将减少2件．
（1）为了实现每天1600元的销售利润，“佳佳商场”应将这种商品的售价定为多少？
（2）物价局规定该商品的售价不能超过40元/件，“佳佳商场”为了获得最大的利润，应将该商品售价定为多少？最大利润是多少？
34．某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店．该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元/件．销售结束后，得知日销售量P （件）与销售时间x （天）之间有如下关系：P=﹣2x+80（1≤x≤30，且x 为整数）；又知前20天的销售价格Q 1（元/件）与销售时间x （天）之间有如下关系：Q 1=302
1 x （1≤x≤20，且x 为整数），后10天的销售价格Q 2（元/件）与销售时间x （天）之间有如下关系：Q 2=45（21≤x≤30，且x 为整数）．
（1）试写出该商店前20天的日销售利润R 1（元）和后10天的日销售利润R 2（元）分别与销售时间x （天）之间的函数关系式；
（2）请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润． 注：销售利润=销售收入﹣购进成本．
参考答案1．B.
【解析】
试题解析：由分析知图中阴影面积等于半圆的面积，则s=
2
22
r
ππ
=
．
故选B．
考点：二次函数综合题．
2．B．
【解析】
试题解析：函数y=x2向右平移2个单位，得：y=（x-2）2；
再向上平移3个单位，得：y=（x-2）2+3；
故选B．
考点：二次函数图象与几何变换．
3．C.
【解析】
试题解析：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选C．
考点：1.二次函数的图象；2.一次函数的图象．
4．B．
【解析】
试题解析：由解析式y=-kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则-k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．
故选B．
考点：1.二次函数的图象；2.反比例函数的图象．
5．C．
【解析】
试题解析：∵y=x2-4x+a，
∴对称轴x=2，
此二次函数的草图如图：
A、当x＜1时，y随x的增大而减小，此说法正确；
B、当△=b2-4ac=16-4a≥0，即a≤4时，二次函数和x轴有交点，此说法正确；
C、当a=3时，不等式x2-4x+a＞0的解集是x＜1或x＞3，此说法错误；
D、y=x2-4x+a配方后是y=（x-2）2+a-4，向上平移1个单位，再向左平移3个单位后，函数解析式是y=（x+1）2+a-3，把（1，-2）代入函数解析式，易求a=-3，此说法正确．
故选C．
考点：二次函数的性质．
6．C.
【解析】
试题解析：①图象开口向下，能得到a＜0；
②对称轴在y轴右侧，x=
13
2
-+
=1，则有-2
b
a=1，即2a+b=0；
③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0；
④由图可知，当-1＜x＜3时，y＞0．故选C．
考点：二次函数图象与系数的关系．7．D.
【解析】
试题解析：①∵抛物线y2=1
2（x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何
值，y2的值总是正数，故本小题正确；
②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2-3得，3=a（1+2）2-3，解得a=2
3，故本小题错
误；
③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2-3解析式为y1=2
3（x+2）2-3，当x=0时，y
1=
2
3
（0+2）2-3=-1
3，y
2=
1
2（0-3）2+1=
11
2，故y
2-y1=
11
2+
1
3=
35
6，故本小题错误；
④∵物线y1=a（x+2）2-3与y2=1
2（x-3）2+1交于点A（1，3），
∴y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本小题正确．
故选D．
考点：二次函数的性质．
8．C.
【解析】
试题解析：∵高度h和飞行时间t 满足函数关系式：h=-5（t-1）2+6，
∴当t=1时，小球距离地面高度最大，
∴h=-5×（1-1）2+6=6米，
故选C．
考点：二次函数的应用．
9．C．
【解析】
试题解析：A、由抛物线可知，a＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，且交y轴同一点，故本选项正确；
D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0故本选项错误．
故选C．
考点：1.二次函数的图象；2.一次函数的图象．
10．B.
【解析】
试题解析：由题意知：在△DEF移动的过程中，阴影部分总为等腰直角三角形．
当0＜x≤2时，此时重合部分的斜边长为x，则y=1
2
×2(x+2
）×2（x+2）
-1
2x2=-
1
4x2+x+1．
当2＜x≤4时，此时重合部分的斜边长为2，则y=1
2（x-4）2；
当4＜x≤6时，此时重合部分的斜边长为2-（x-4）=6-x，则y=（6-x）×6
2
x
×
1
2=
1
4x2-3x+9；
由以上分析可知，这个分段函数的图象左边为抛物线的一部分，中间为直线的一部分，右边为抛物线的一部分．
故选B．
考点：动点问题的函数图象．
11．D.
【解析】
试题解析：∵函数y=ax 2
+bx+c ，当y ＞0时，-13＜x ＜1
2．
∴a＜0，c ＞0，函数y=ax 2
+bx+c 与x 轴的交点为（-13，0）和（1
2，0）， ∴-b a =12-13=16，c a =12×（-13）=-16，
∴a=- 6b ，a=- 6c ， ∴b=c，不妨设c=1
∴函数y=cx 2- bx+a 为函数y=x 2
- x- 6 即y=（x+2）（x- 3）
∴与x 轴的交点坐标是（- 2，0），（3，0）． 故选D ．
考点：二次函数的图象． 12．B ． 【解析】
试题解析：∵二次函数y=ax 2
+bx+c （a≠0）过点（0，1）和（-1，0）， ∴c=1，a-b+c=0．
①∵抛物线的对称轴在y 轴右侧，∴x=-2b
a ＞0，
∴a 与b 异号，∴ab＜0，正确；
②∵抛物线与x 轴有两个不同的交点，∴b 2
-4ac ＞0，
∵c=1，∴b 2-4a ＞0，b 2
＞4a ，正确； ④∵抛物线开口向下，∴a＜0， ∵ab＜0，∴b＞0．
∵a -b+c=0，c=1，∴a=b -1， ∵a＜0，∴b -1＜0，b ＜1， ∴0＜b ＜1，正确；
③∵a -b+c=0，∴a+c=b， ∴a+b+c=2b＞0． ∵b＜1，c=1，a ＜0，
∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2， ∴0＜a+b+c ＜2，正确；
⑤抛物线y=ax 2
+bx+c 与x 轴的一个交点为（-1，0），设另一个交点为（x 0，0），则x 0＞0， 由图可知，当x 0＞x ＞-1时，y ＞0，错误； 综上所述，正确的结论有①②③④． 故选B ．
考点：二次函数图象与系数的关系．
13．y=-1
2（x-1）2
+2．
试题解析：函数y=-212x 向上平移2个单位，得：y=-212x +2； 再向右平移1个单位，得：y=-1
2（x-1）2
+2．
考点：二次函数图象与几何变换．
14．y=（x-1)2
+2. 【解析】
试题解析：二次函数y=x 2的图象向右平移1个单位，得解析式为：y=（x-1)2
; 再向上平移
2个单位后，所得图象的函数表达式是y=（x-1)2
+2. 考点：二次函数图象与几何变换. 15．-2. 【解析】
试题解析：二次函数y=2x 2的图象向左平移2个单位长度后得：y=2（x+2）2
故h=-2.
考点：二次函数图象与几何变换. 16．=-2，2 【解析】
试题解析：设y=x 2
+4x+6；
则y=（x+2）2
+2；
∴当x=-2时，y 最小值=2． 考点：二次函数的最值． 17．－
12≤a ＜0或0＜a ≤12
【解析】
试题分析：首先将两点代入，将b 和c 都用含a 的代数式来表示，然后将二次函数分开口向上和开口向下两种情况分别进行计算. 考点：二次函数的性质. 18．0或1． 【解析】
试题分析：若此函数图象是抛物线，图象与x 轴只有一个交点，则Δ=b 2-4ac=0,即（-2）2
-4m=0，解得：m=1,若此函数是一次函数，也满足与x 轴只有一个交点，此时m=0,综上所述，m=0或1．
考点：函数图象与方程的关系. 19．（4，3）． 【解析】
试题解析：∵y=3x 2-6x+4=3（x-1）2
+1，
∴抛物线y=3x 2
-6x+4的顶点坐标为（1，1），
∴把点（1，1）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点的坐标为（4，3）， 即新抛物线的顶点坐标为（4，3）． 考点：二次函数图象与几何变换．
20．(1)、答案不唯一；(2)、221y x x =-+-
试题分析：(1)、答案不唯一，只需要满足a+b+c=1即可；(2)、根据定点抛物线得出c=1-2b ，然后代入函数的顶点纵坐标中得出最小值为0，从而得出b 和c 的值，得出抛物线解析式.
试题解析：(1)、不唯一，如y=x 2+x-1、y=x 2
-2x+2，只要a 、b 、c 满足a+b+c=1即可； (2)、∵22y x bx c =-++是定点抛物线， ∴-1+2b+c=0． ∴c=1-2b ①
22
2)1(4)2()1(444b c b c a b ac +=-⨯-⨯-⨯=-② ①代入②得：
0)1(2144222
≥-=+-=-b b b a
b a
c ∵当抛物线2
2y x bx c =-++的顶点最低时，有2
44ac b a -最小，
又∵2
)1(-b 最小是0，即2
44ac b a -最小是0，这时b=1，c=1-2b=-1，
∴此抛物线为：221y x x =-+-．
答：该抛物线的顶点最低时的解析式是221y x x =-+-． 考点：二次函数的性质
21．（1）该函数解析式为：y=-12x 2
-2x ．（2）证明见解析；（3）P
），
点P 不在此抛物线上；（4）存在. （-6，-6）和（2，-6）；16. 【解析】
试题分析：（1）将A （-4，0）、B （-2，2）代入抛物线解析式y=ax 2
+bx ，列方程组求a 、b 的值即可；
（2）根据所求抛物线解析式求抛物线的顶点坐标，判断三角形的形状；
（3）根据△OAB 的形状，旋转方向，旋转角，画出图形，可求A′、B′的坐标，根据中点坐标公式求P 的坐标，代入抛物线解析式进行判断；
（4）存在．过点O ，作OM∥AB 交抛物线于点M ，根据△OAB 为等腰直角三角形，可求直线OM 的解析式，与抛物线解析式联立，可求M 点坐标，同理，过点A ，作AM′∥OB 交抛物线于点M′，联立方程组可求M′的坐标，由图形的特殊性可知，两种情况下，梯形面积相等，根据梯形面积公式求解．
试题解析：（1）由A （-4，0）、B （-2，2）在抛物线y=ax 2
+bx 图象上，
得：2
2(4)(4)b 0(2)a (2)b 0a ⎧-+-=⎪⎨
-+-=⎪⎩
解之得：a=-1
2，b=-2，
∴该函数解析式为：y=-12x 2
-2x ．
（2）证明：过点B作BC垂直于X轴，垂足是点C．
∵y=-1
2x2-2x=-
1
2（x+2）2+2，
∴线段CO、CA、CB的长度均为2，
∴△ABC和△OBC为全等的等腰直角三角形，
∴AB=OB
且∠ABO=∠ABC+∠OBC=90°
∴△OAB是等腰直角三角形
（3）如图，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′其中点B′正好落在y轴上且B′A′∥x轴．
又∵OB′和A′B′的长度为2，
A′B′中点P2，2，显然不满足抛物线方程，
∴点P不在此抛物线上
（4）存在
过点O，作OM∥AB交抛物线于点M
易求出直线OM的解析式为：y=x
联立抛物线解析式得：
2
1
2
2
y x
y x x
=
⎧
⎪
⎨
=--⎪⎩
解之得点M（-6，-6），
显然，点M（-6，-6）关于对称轴x=-2的对称点M′（2，-6）也满足要求，故满足条件的点M共有两个，坐标分别为（-6，-6）和（2，-6）
∴s ABOM=S△ABO+s△AOM=1
2×4×2+
1
2×4×6=16．
考点：二次函数综合题．
22．（1）A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；（2）4；（3）M点的坐标为（-2，3），
（4
3，
7
9），（4，15）．
【解析】
试题分析：（1）抛物线与x轴的交点，即当y=0，C点坐标即当x=0，分别令y以及x为0求出A，B，C坐标的值；
（2）四边形ACBP的面积=△ABC+△ABP，由A，B，C三点的坐标，可知△AB C是直角三角形，且AC=BC，则可求出△ABC的面积，根据已知可求出P点坐标，可知点P到直线AB的距离，从而求出△ABP的面积，则就求出四边形ACBP的面积；
（3）假设存在这样的点M，两个三角形相似，根据题意以及上两题可知，∠PAC和∠MGA是
直角，只需证明AG MG
PA CA
=
或
AG MG
CA PA
=
即可．设M点坐标，根据题中所给条件可求出线
段AG，CA，MG，CA的长度，然后列等式，分情况讨论，求解．试题解析：（1）令y=0，
得x2-1=0
解得x=±1，
令x=0，得y=-1
∴A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；
（2）∵OA=OB=OC=1，
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=∠CBO=45°．
∵AP∥CB，
∴∠PAB=∠CBO=45°．
过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形，
令OE=a，则PE=a+1，
∴P（a，a+1）．
∵点P在抛物线y=x2-1上，
∴a+1=a2-1．
解得a1=2，a2=-1（不合题意，舍去）．
∴PE=3．
∴四边形ACBP的面积S=1
2AB•OC+
1
2AB•PE=
1
2×2×1+
1
2×2×3=4；
（3）假设存在
∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PA⊥AC
∵MG⊥x轴于点G，
∴∠MGA=∠PAC=90°
在Rt△AOC中，OA=OC=1，
∴AC=2
在Rt△PAE中，AE=PE=3，
∴AP=32
设M点的横坐标为m，则M（m，m2-1）①点M在y轴左侧时，则m＜-1．
（ⅰ）当△AMG∽△PCA时，有AG MG PA CA
=
．
∵AG=-m-1，MG=m2-1．
即
2
11 322 m m
---
=
解得m1=-1（舍去）m2=2
3（舍去）．
（ⅱ）当△MAG∽△PCA时有AG MG CA PA
=
，
即
2
11
232
m m
---
=
．
解得：m=-1（舍去）m2=-2．∴M（-2，3）．
②点M在y轴右侧时，则m＞1
（ⅰ）当△AMG∽△PCA时有AG MG PA CA
=
∵AG=m+1，MG=m2-1
∴
2
11 322 m m
+-
=
解得m1=-1（舍去）m2=4 3．
∴M（4
3，
7
9）．
（ⅱ）当△MAG∽△PCA时有AG MG CA PA
=
，
即
2
11 232
m m
+-
=
．
解得：m1=-1（舍去）m2=4，
∴M（4，15）．
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似
M点的坐标为（-2，3），（4
3，
7
9），（4，15）．
考点：二次函数综合题．
23．（1）证明见解析；（2）y=-1
4x2+
3
2x+4，对称轴是x=3；（）点P坐标为（
10
3，
56
9）时，
使直线AB平分∠PBC．
【解析】
试题分析：（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，根据勾股定理，可得AB、AC的长，根据勾股定理的逆定理，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式；根据配方法，可得对称轴；
（3）根据菱形的对角线平分一组对角，可得ADBE是菱形，根据平行间的一次项的系数相等，可得BE的解析式，根据解方程组，可得答案．
试题解析：（1）当y=0时，x=8，即B（8，0），当x=0时，y=4，即A（0，4）．
∵△AOB、△AOC 是直角三角形，
∴AC 2=OC 2+AO 2=20，AB 2=OB 2+AO 2
=80，
∵AC 2+AB 2=20+80=100，BC 2=[8-（-2）]2
，
∴AC 2+AB 2=BC 2
， ∴AC⊥AB；
（2）设抛物线的解析式为y=ax 2
+bx+c ， 将A 、B 、C 点坐标代入，得
44206480c a b c a b c =⎧⎪
-+=⎨⎪++=⎩，解得：14324a b c ⎧=-⎪⎪
⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，
抛物线的解析式为y=-14x 2
+3
2x+4， y=-14x 2+32x+4=-14（x-3）2
+94，
抛物线的对称轴是x=3；
（3）在直线AB 上方的抛物线l 上，存在一点P ，使直线AB 平分∠PBC，理由如下： 如图ADBE 是菱形，设D （x ，0），BD=8-x ，
由勾股定理，得 x 2+42=（8-x ）2
， 解得x=3，
AD 的解析式为y=-4
3x+4，
BE 的解析式为y=-43x+b ，将B 点坐标代入，解得b=32
3， BE 的解析式为y=-43x+32
3，
联立BE 与抛物线，得
24323313442y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨
⎪=-++⎪⎩，
消元化简，得 3x 2
-34x+80=0，
△=342
-4×3×80=169，
∴x 1=8（舍弃），x 2=10
3， x=103时，y=569
∴当点P 坐标为（103，56
9）时，使直线AB 平分∠PBC．
考点：二次函数综合题．
24．（1）y=x+3；y=-x 2-2x+3；（2）（-1，2）；（3）（-1，-2）或（-1，4）或（-1
，） 或（-1
，32）．
【解析】
试题分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式； （2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，则此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；
（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2
，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2
-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．
试题解析：（1）依题意得：1203b
a a
b
c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解之得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，
∴抛物线解析式为y=-x 2
-2x+3
∵对称轴为x=-1，且抛物线经过A （1，0）， ∴把B （-3，0）、C （0，3）分别代入直线y=mx+n ，
得
30
3
m n
n
-+=
⎧
⎨
=
⎩，
解之得：
1
3
m
n
=
⎧
⎨
=⎩，
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；
（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x=-1代入直线y=x+3得，y=2，
∴M（-1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（-1，2）；（3）设P（-1，t），
又∵B（-3，0），C（0，3），
∴BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2-6t+10解之得：t=-2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2-6t+10=4+t2解之得：t=4，
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2-6t+10=18解之得：t1=317
2
+
，t2=
317
2
-
；
综上所述P的坐标为（-1，-2）或（-1，4）或（-1，317
2
+
）或（-1，
317
2）．
考点：二次函数综合题．
25．（1） y=3
4x2-
15
4x+3．（2）最小值为9．（3）（
3
2，
15
8）或（
12
7，
12
7）．
【解析】
试题解分析：（1）把点A（1，0）、B（4，0）两点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；
（2）A、B关于对称轴对称，连接BC，则BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC；根据勾股定理求得BC，即可求得；
试题解析：
（3）分两种情况分别讨论，即可求得．
试题解析：（1）由已知得
30 16430 a b
a b
++=
⎧
⎨
++=⎩，
解得
3
4
15
4
a
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
．
所以，抛物线的解析式为y=3
4x2-
15
4x+3．
（2）∵A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，
∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，
∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），
∴OA=1，OC=3，
22
OB OC
+，
∴OC+OA+BC=1+3+5=9；
∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9．
（3）∵B（4，0）、C（0，3），
∴直线BC的解析式为y=-3
4x+3，
①当∠BQM=90°时，如图2，设M（a，b），
∵∠CMQ＞90°，∴只能CM=MQ=b，∵MQ∥y轴，
∴△MQB∽△COB，
∴BM MQ
BC OC
=
，即
5
53
b b
-
=
，解得b=
15
8，代入y=-
3
4x+3得
15
8=-
3
4a+3，解得a=
3
2，
∴M（3
2，
15
8）；
②当∠QMB=90°时，如图3，
∵∠CMQ=90°，
∴只能CM=MQ，
设CM=MQ=m，
∴BM=5- m，
∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC，∴△BMQ∽△BOC，
∴
5
34
m m
-
=
，解得m=
15
7，
作MN∥OB，
∴MN CN CM
OB OC BC
==
，即
15
7
435
MN CN
==
，
∴MN=12
7，CN=
9
7，
∴ON=OC- CN=3-9
7=
12
7，
∴M（12
7，
12
7）．
综上，在线段BC上存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，点M的
坐标为（3
2，
15
8）或（
12
7，
12
7）．
考点：二次函数综合题．
26．（1）y=2
3
x2-
10
3
x+4；（2）点C和点D在所求抛物线上；（3）点M的坐标为（
7
2
，
1
2
）．
【解析】
试题分析：（1）已知了抛物线上A、B点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）首先求出AB的长，将A、B的坐标向右平移AB个单位，即可得出C、D的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可．
（3）根据C、D的坐标，易求得直线CD的解析式；那么线段MN的长实际是直线BC与抛物线的函数值的差，可将x=t代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为l的表达式，由此可求出l、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出l取最大值时，点M的坐标．
试题解析：（1）∵抛物线y=2
3
x2+bx+c的顶点在直线x=
5
2
上，
∴可设所求抛物线对应的函数关系式为y=2
3
（x-
5
2
）2+m
∵点B（0，4）在此抛物线上，
∴4=2
3
×（-
5
2
）2+m
∴m=-1 6
∴所求函数关系式为：y=2
3
（x-
5
2
）2-
1
6
=
2
3
x2-
10
3
x+4
（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴
=5
∵四边形ABCD是菱形
∴BC=CD=DA=AB=5
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）；
当x=5时，y=2
3
×52-
10
3
×5+4=4
当x=2时，y=2
3
×22-
10
3
×2+4=0
∴点C和点D在所求抛物线上；
（3）设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b′，
则
54 20 k b
k b
+'=
+'=
⎧
⎨
⎩
；
解得：
4
3
8
3 k
b
⎧
⎪=
'=-
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
；
∴y=4
3
x-
8
3
∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，∴N点的横坐标也为t；
则y M=2
3
t2-
10
3
t+4，y N=
4
3
t-
8
3
，
∴l=y N-y M=4
3
t-
8
3
-（
2
3
t2-
10
3
t+4）=-
2
3
t2+
14
3
t-
20
3
=-
2
3
（t-
7
2
）2+
3
2
∵-2
3
＜0，
∴当t=7
2
时，l最大=
3
2
，y M=
2
3
t2-
10
3
t+4=
1
2
．
此时点M的坐标为（7
2
，
1
2
）．
考点：二次函数综合题．
27．（1）y=x2-2x；（2）点P的坐标为(-1
3
，
7
9
)或（-3，15）．
【解析】
试题分析：（1）根据抛物线过A（2，0）及原点可设y=a（x-2）x，然后根据抛物线y=a（x-2）x过B（3，3），求出a的值即可；
（2）首先由A的坐标可求出OA的长，再根据四边形AODE是平行四边形，D在对称轴直线x=-1右侧，进而可求出D横坐标为：-1+2=1，代入抛物线解析式即可求出其横坐标；
（3）分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，从而表示出点P的坐标，代入求得的抛物线的解析式即可求得t的值，从而确定点P的坐标．
试题解析：（1）根据抛物线过A（2，0）及原点，可设y=a（x-2）（x-0），
又∵抛物线y=a（x-2）x过B（3，3），
∴3（3-2）a=3，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-2）x=x2-2x；
（2）①若OA为对角线，则D点与C点重合，点D的坐标应为D（1，-1）；
②若OA为平行四边形的一边，则DE=OA，∵点E在抛物线的对称轴上，
∴点E横坐标为1，
∴点D的横坐标为3或-1，代入y=x2-2x得D（3，3）和D（-1，3），综上点D坐标为（1，-1），（3，3），（-1，3）．
（3）∵点B（3，3）C（1，-1），
∴△BOC为直角三角形，∠COB=90°，且OC：OB=1：3，
①如图1，
若△PMA∽△COB，设PM=t，则AM=3t，
∴点P（2-3t，t），
代入y=x2-2x得（2-3t）2-2（2-3t）=t，
解得t1=0（舍），t2=7
9
，
∴P(-1
3
，
7
9
)；
②如图2，
若△PMA∽△BOC，
设PM=3t，则AM=t，点P（2-t，3t），代入y=x2-2x得（2-t）2-2（2-t）=3t，解得t1=0（舍），t2=5，
∴P（-3，15）
综上所述，点P的坐标为(-1
3
，
7
9
)或（-3，15）．
考点：二次函数综合题．
28．（1）y=-x2+7
2x+2．（2）1，2或
317
;（3）（
1
2，
7
2）或（
23
6，
13
18）．
【解析】
试题分析：（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）本问采用数形结合的数学思想求解．将直线y=1
2x+2沿y轴向上或向下平移2个单位
之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．联立解析式解方程组，即可求出m的值；
（3）本问符合条件的点P有2个，如答图2所示，注意不要漏解．在求点P坐标的时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点P的坐标．
试题解析：（1）在直线解析式y=1
2x+2中，令x=0，得y=2，
∴C（0，2）．
∵点C（0，2）、D（3，7
2）在抛物线y=-x2+bx+c上，
∴
2
7 93
2
c
b c
=
⎧
⎪
⎨
-++=
⎪⎩
，
解得b=7
2，c=2，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+7
2x+2．
（2）∵PF∥OC，且以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，∴PF=OC=2，
∴将直线y=1
2x+2沿y轴向上、下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交
点，即为所求之交点．
由图1可以直观地看出，这样的交点有3个．
将直线y=1
2x+2沿y轴向上平移2个单位，得到直线y=
1
2x+4，
联立
2
1
4
2
7
2
2
y x
y x x
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=-++
⎪⎩
，
解得x1=1，x2=2，∴m1=1，m2=2；
将直线y=1
2x+2沿y轴向下平移2个单位，得到直线y=
1
2x，
联立
2
1
2
7
2
2
y x
y x x
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-++
⎪⎩
，
解得x3=317
2
+
，x4=
317
2
-
（在y轴左侧，不合题意，舍去），
∴m3=317
2
+
．
∴当m为值为1，2或317
2
+
时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形．
（3）存在．
理由：设点P的横坐标为m，则P（m，-m2+7
2m+2），F（m，
1
2m+2）．
如图2所示，过点C作CM⊥PE于点M，则CM=m，EM=2，
∴FM=y F-EM=1
2m，
∴tan∠CFM=2．
在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF=
5
2m．
过点P作PN⊥CD于点N，
则PN=FN•tan∠PFN=FN•tan∠CFM=2FN．∵∠PCF=45°，
∴PN=CN，
而PN=2FN，
∴FN=CF=
5
2m，PN=2FN=5m，
在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF=
22
5
2 FN PN
+=
m．
∵PF=y P-y F=（-m2+7
2m+2）-（
1
2m+2）=-m2+3m，
∴-m2+3m=5
2m，
整理得：m2-1
2m=0，
解得m=0（舍去）或m=1 2，
∴P（1
2，
7
2）；
同理求得，另一点为P（23
6，
13
18）．
∴符合条件的点P的坐标为（1
2，
7
2）或（
23
6，
13
18）．
考点：二次函数综合题．
29．（1）y=x2﹣x+1；（2）点P坐标为（3，）；（3）点Q坐标为（9，4）或（15，16）．
【解析】
试题分析：（1）抛物线顶点在x轴上则可得出顶点纵坐标为0，将解析式进行配方就可以求。