运筹学第11章等候线模型解析

（3）相继顾客到达间隔时间的分布，这 是输入过程最主要的特征。常见的两种分布 有定长分布和负指数分布。如在自动装配线 上装配的各部件就必须按确定的时间间隔到 达装配点，定期运行的班车、班轮、班机的 到达间隔时间也都是定长分布。但一般到商 店购物的顾客、到医院诊病的病人、通过路 口的车辆等，它们到达间隔时间一般都服从 负指数分布。 （4）顾客的到达一般是相互独立的，就 是说，以前的到达情况对以后顾客的到来没 有影响，否则就是有关联的。本章主要讨论 相互独立的情形。
先到先服务（FCFS），即按到达次序接 受服务，这是最通常的情形，也是本章要讨 论的情形。 后到先服务（LCFS），如仓库中存放 的厚钢板就是后入先出的，在情报系统中， 最后到达的信息往往是最有价值的，因而常 被首先分析或采用。 随机服务（SIRO），指服务台从等待的 顾客中随机地选取一个进行服务，而不管到 达的先后。如电话交换台接通呼唤的电话就 是这种服务方式。
第11章 等候线模型
回想一下上一次称不得不等候的情形 ：在超市的收银台等候，在银行等候出纳 员，或者是在快餐店等候服务员。在类似 上述需要排队的情况下，把时间用于等待 是令人非常不快的。然而增加更多的收银 员、银行出纳员或服务生并不总是改变服 务水平的最经济的策略。因此，各行各业 需要采取相应的措施，把等待时间控制在 顾客所能容忍的限度内。
本章主要利用负指数分布的服务时间： 负指数分布具有如下的概率密度函数和分布 函数：
假设服务台对顾客的服务时间t服从负指数 分布，即 F(t)=μe-μt；则对于每一顾客的平均服务时间 为1/μ ，而μ自然代表服务率。
，
11.1.1排队系统的符号表示 上述排队系统的特征可以有许许多多的组合， 从而形成不同的排队模型，这就需要有一个排队模 型的符号表示方法，简明地表示出主要特征，在 1971年关于排队论符号标准化会议上决定,现在国际 通用的形式是: X／Y／Z／A／B／C 式中 X——相继顾客到达间隔时间的概率分布； Y——服务时间的概率分布； Z——服务台数目； A——排队系统容量，即可容纳的最大顾客数； B——顾客源中顾客总体的数目； C——服务规则。
有优先权的服务（PR），如医院对于病 情严重的患者将给予优先治疗，加急电报或 特快专递优先发出。 3.服务机构 服务机构的特征主要包括以下几方面： 服务台数目；在多个服务台时，是串联还是 并联；服务时间的概率分布。如自动冲洗汽 车的装置对每辆汽车冲洗(服务)的时间就是 确定的，服从定长分布，但大多数情形的服 务时间是随机的。常见的服务时间分布有： （1）定长分布(D)；（2）指数分布(M)；（3 ）k阶爱尔朗分布(Ek)；（4）一般分布(G)。
伯格.度姆快餐店担心，它目前所用的顾客 服务方式正导致过长的等候时间。管理层已经 提出要求，需要对等候线进行研究，以开发一 个能够减少等待时间、提高服务质量的最佳服 务方式。 一般的排队过程可以这样描述：顾客为了 获得某种服务而到达服务台；若因服务台在忙 ，不能立即获得服务而又被允许排队等待，则 加入等待队列，获得服务之后离开系统。但实 际的排队系统千差万别，为了对排队系统进行 研究，有必要按照排队系统的几个主要特征加 以分类。这几个主要特征就是：输入过程；服 务机构；排队规则。
人们已经设计建立了一些模型来帮助管 理者理解等候线的运作，并帮助他们做出更 好的决策。等候线用管理科学的术语来讲也 称队列，与等候线相关的知识体系称为排队 论。 20世纪初，丹麦的一个电话工程师 A.K. 阿朗开始对打电话时发生的阻塞和等待时间 进行研究。之后，排队论的发展已经日趋复 杂，并广泛的运用到等候线情形中。
1. 输入过程 输入过程即顾客达到的规律，顾客的到达或者 独立于其他任何因素，或者和某个因素(例如 系统中的队列长度，系统的运行时间)有关； 刻画输入过程需要了解以下几方面的内容： （1）顾客或为单个达到，或为成批到达。例 如到医院就诊大部分为单个到来的顾客，但也 不排除成批病人的情况，有时成批的可看作单 个的情形来处理。 （2）顾客或来自有限的总体，或来自无限的 总体。前者为顾客源有限的情况，如工厂内停 机待修的机器；后者为顾客源无限的情况，如 就诊病人可视为总体是无限的。
等候线模型包括一些数学公式以及可用于确定等 候线运行参数（绩效指标）的关系式。相关的一些运 行参数如下： (1)系统中没有任何个体的概率； (2)等候线中等待个体的平均数； (3)系统中个体的平均数（等候线中个体的平均数加上 接收服务的个体的数目）； (4)一个个体在等候线中所花费的平均时间； (5)一个个体在系统中花费的平均时间（等候时间加上 服务时间）； (6)一个个体到达以后不得不等待以接受服务的概率； 管理者具备了以上的信息，才能更好的做出使期 望服务水平与所花费的成本相平衡的决策。
来自百度文库
11.1等候线系统的结构
为了说明等候线系统的基本特征，我们以 伯格.度姆快餐店的等候线为例。伯格.度姆快 餐店出售火腿汉堡、奶酪汉堡、法式油炸食品 、软包装饮料和搅拌牛奶，同时还有一些特色 食品和甜点可供选择。虽然伯格.度姆快餐店 希望能为每位顾客提供即时的服务，但是很多 时候，到达的顾客远远多于伯格.度姆快餐店 的服务人员所能接待的人数。因此，顾客们不 得不排队，以等候所点快餐并取走所点的食品 。
2.排队规则 排队规则首先指的是顾客是否可以排队，若 可以排队，服务台按什么次序为顾客服务。 就顾客是否可以排队，又可分为两种情况： （1）损失制，顾客到达时，如所有服务台 都正被占用，在这种情形下顾客随即离去， 这种情形称为即时制或称损失制。如打电话 时，发现对方占线，即挂断，即为损失制；
（2）等待制，顾客到达时，如所有服务 台都正被占用，顾客则排队等候的称为等待 制。如到理发店理发，机器发生故障待修都 是等待制。等待制又可分为队长（或等待时 间）有限制的与无限制的两种情况。如理发 店若只能容8个顾客排队等候，则为队长有限 制的情况；火车站的售票厅可以容纳很多人 排队买票，则视为队长无限制的情况。若超 过一定等待时间，顾客即离去，为等待时间 有限制的情形；若坚持接受服务后再离去， 则为无限制的情形。，这是最通常的情形， 也是本章要讨论的情形。