一道竞赛模拟试题引发的探究

ＡＭ Ａ Ｎ面积存在最大值 ， 当点 Ａ为长轴 端点时 ， 且
ＡＡ ＭＮ面 积不存 在 最小值 ．
当点 Ａ为短轴端点时 ， 最大值 ａｂ 力 ３。 、 ｆ
＿ 一．
Ｃ
性 质 ２ 设 为 双 曲线 ： 一 ＝１ 。＞０ ６＞ｏ 的 一 个顶 点 ， （ ， ） 点 ， Ⅳ在 双 曲线 Ｅ上 ， 满 足 直线 且
第１ １期
林 新 建 ： 道 竞 赛 模 拟 试 题 引发 的 探 究 一
・３ ・ ９
一
道 竞 赛 模 拟 试 题 引 发 的 探 究
●林新 建 （ 漳州市第一中学 福建漳州 ３３０ ） ６００
本刊 ２１ ０２年第 ６期给 出 了如下 一道 竞赛 模 拟试越 ：
， 、
原 设Ａ ， ， Ⅳ 椭 等＋ ＝上且 线 与 线Ａ 的 率 积 亏求 Ａ 面 题 （１ 点 在 圆 ｙ １ ，直 直 Ｎ 斜 之 为 ，△删 ０） ２
０
Ｉ 一０ｔ ｂ
丽
时， Ｓ
取 得 最 大值 ， 最 大 且
第 １ 期 ｌ
林 新 建 ： 道 竞 赛 模 拟 试 题 引发 的 探 究 一
１
，
值 ｓｔ 为１ａ。ｆ ２ｂ
‘
Ｈ 口 ｂ ￡ ｎ 。Ｉ
ｂ 一０ｔ ｌ
ｎ ｔ＋ｂ
运用性质 １原竞赛题的解为： ，
ｌ＋ ２
２ａ ｍ ２ ， 一— ｂ ２＋—２ ２ ｋ
ａ
１ ２ ａ —
ｍ （ ） ２一ｂ
—
’
于是
ｙ ＋ （ ＋ ）＋ ｍ－ 一２ ２ ＋ ｙ： ２ ａｋｍ ２ ２
２ｂ ｍ ２
－
，
ｍ
ＹＹ ：（ １ １２ ＋ｍ） ２ ｍ）＝． ＋ ｍ（ １ ）＋ ＝ （ ＋ ］ ２ ｋ ｘ ＋２ ｍ ｝ １
１
当 口＝ ， １ ６＝ ，
时， △
面积 的最 大值 为
ｎｂ 。Ｉ
（ ） １×ｊ ２√ × 。 ÷ ３
， ’
ｎｔ ｂ Ｉ ＋ 一
３× ＋１ ÷
ｊ
３ ‘
特 别地 ， ｔ 当 ＝一１时 ，Ｍ上Ａ 可 得 ： Ａ Ｎ， 推 论 １ 设 为 椭 圆 Ｅ： ＋ ｌ 。＞ｂ＞ ） （ ０ 的一 个顶 点 ， 点 ， Ⅳ在 椭 圆 ＥＪ ， 满 足 Ａ 上Ａ 则 ２ 且 Ⅳ，
＋
叫一ａ － ｂ ２２， － ２ －ｋ ２ｍ ｉ ａ） ２ ｍ ｂ ￣ ｋ ２（ ７ ．
＝ ＝
当点 Ａ为 长轴 的端 点 时， 不妨 设 Ａ（ ０ ， ａ，） 则
＝ ＝
筹．
因为 后肼・ Ａ Ａ ｋⅣ＝ｔ所 以 ，
］￣ ＋ ｆ２ ２
． —
—
ｍБайду номын сангаас
：
．
１ 一 ａ
】 ．
５ Ｍ过 点（ （ Ｎ定 ￣ ，于 。是 ） ， ｓ 告 Ｉ Ｉ１ ～＝ ＝・ ｙ
口 Ｉ ６
・
＝
（ － ２ ￣ ４ ２ ｍ －ａｋ ） ２ ２ ｂ （ ２ ２２ ｂｍ —
．
６ 一 ２『 口
２ ｂｋ ａ２
ｂ 一 Ⅱ ｔ
Ｘ１ Ｘ２
＝ ｔ，
＋ ｍ—ｂ （ ）・ 亦即
２ ２ｍ ａ后
６ ＋０ ｋ 。 ，
１ （ 一） ＋ｍ ６
＝ ｔ，
Ｃ （ 一 ｔ ｍ ｂ ）
６ ＋口 后 ２
化简得
从 而
ｍ ＝ ．
又 线 定 尺， 直 删过 点（ 。
）是 ， 于
ｓ ＝
积 的最大 值． 本文对此作一般性的探究 ， 给出顶点斜率积为定值的三角形面积取得最值 的几个结论 ， 兹介绍如下・
性 质１设Ａ 椭 Ｅ ２等＝（＞＞）一 顶 ， ，在 圆 上且 足 线Ａ 与 为 圆 ： ＋ １ ６０ 个 点点ＭＮ 椭 Ｅ ，满 直 Ｍ 直 Ｙ 口 的
Ｌ３
一
Ａ 的斜率 之积 为 ￡定值 ）￣ ＡＡ Ｎ （ ，］ ＭＮ面 积存 在最 大值 ， 当点 Ａ为长轴 端 点时 ， 大值 为 且 最 点 Ａ为短 轴端 点 时 ， 最大 值为 △Ａ 删 面 积不存 在最 小值・
口 ｂ ｔ ｂ一Ⅱ ｔ ２ａ ｂ ｔ ３ 。 ｂ 一ｎ ｔ
－Ｉ ・＿ Ｘ Ｉ ２１ ６ ＝
＝
・
、
＝
２ａ ｂ ｃ ３ ｂ 一０ ｔ
弋
ｂ ｋ ２＋ ａ２ ２
２ ２ ＋４ ｍ
－ － －
：＂
ｍ
当
＝
，
即２ａ２２ ｂ ２＝［ ＋ｋ
＝ ±
ｂ、 ，
２ 一 ａ
即
即
高
・
，
亦即
（ 一 —— 一。 Ｊ 。（ Ｉ — 一 ＋ 。
…
化 简得
从 而
。 （ ＋ ’ ｍ ０）
ｍ ＝
０ — ０
后，
・
４ ０・
中学教研 （ 数学 ）
２ １ 生 ０２．
因此 直 线 Ｍ 的方程为 Ｎ
ｙ后 一 ＝ ［
－ Ｉ １
＝ 口 ２ 【 ＝
／ｍ １ １２ ２ ［
＜－． — １ 业—
６ 。
因为 。 后
±
＞ｍ ， 以 ２所
取 得 最大值 ， 且最 大值 为
２ ｂ 。 １ 口 ａ Ｉ丽 ｋ ｌ ｂ
当点 Ａ为短 轴端 点 时， 不妨 设 Ａ Ｏ ｂ ， （ ，） 则
１并 整理 ， 得
； 当
证 明 设 直 线 ＭＮ 的方程 为 ＝ ＋ｍ， 入 ＋ 代
（ ＋ａｋ ） ＋ ａＩ ＋０ （ 一 ０ ６ ２ ２ 懈 ｊ ｝ ｍ ｂ ）＝ ．
由 △＞ ， ａｋ ｂ ｍ ． Ｍ（ｌＹ ）Ｎ（２Ｙ） 则 Ｏ 得 ２ ＋ ＞ 设 ｘ ，１ ， ｘ，２ ，
ｋＭ Ｙ ＾ １一ｂ ｋ ｘ１＋ｍ —ｂ ｋ ＇ Ａ 】 ｖ
，
。
一ｂ ｋ ２＋ｍ —ｂ ｘ
Ｘ２ ２
Ｙ ￣１
ｌ
因为 后Ｍ・ Ａ ， 以 ＾ ｋⅣ＝ｔ所
Ｊ １＋ｍ —ｂ ｋ ２＋ｍ —ｂ ｘ
＝ ｔ ，
１
Ｘ２
即
ｋ ｘ１ ｋ １ 一 ） １ ）＋（ ２ ２＋ （ １ ６ （ ２ ｍ一６ ７ ， ＋ ）