一道竞赛模拟试题引发的探究
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积 的最大 值． 本文对此作一般性的探究 ， 给出顶点斜率积为定值的三角形面积取得最值 的几个结论 ， 兹介绍如下・
性 质１设Ａ 椭 Ｅ ２等＝（＞＞）一 顶 ， ，在 圆 上且 足 线Ａ 与 为 圆 ： ＋ １ ６０ 个 点点ＭＮ 椭 Ｅ ，满 直 Ｍ 直 Ｙ 口 的
Ｌ３
一
Ａ 的斜率 之积 为 ￡定值 ）￣ ＡＡ Ｎ （ ，］ ＭＮ面 积存 在最 大值 ， 当点 Ａ为长轴 端 点时 ， 大值 为 且 最 点 Ａ为短 轴端 点 时 ， 最大 值为 △Ａ 删 面 积不存 在最 小值・
＋
叫一ａ － ｂ ２２， － ２ －ｋ ２ｍ ｉ ａ） ２ ｍ ｂ ￣ ｋ ２（ ７ ．
＝ ＝
当点 Ａ为 长轴 的端 点 时， 不妨 设 Ａ（ ０ ， ａ，） 则
＝ ＝
筹．
因为 后肼・ Ａ Ａ ｋⅣ＝ｔ所 以 ，
］￣ ＋ ｆ２ ２
． —
—
ｍ
：
．
１ 一 ａ
－ Ｉ １
＝ 口 ２ 【 ＝
／ｍ １ １２ ２ ［
＜－． — １ 业—
６ 。
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因为 。 后
±
＞ｍ ， 以 ２所
取 得 最大值 ， 且最 大值 为
２ ｂ 。 １ 口 ａ Ｉ丽 ｋ ｌ ｂ
当点 Ａ为短 轴端 点 时， 不妨 设 Ａ Ｏ ｂ ， （ ，） 则
ｌ＋ ２
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ａ
１ ２ ａ —
ｍ （ ） ２一ｂ
—
’
于是
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，
ｍ
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，
。
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Ｙ ￣１
ｌ
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１
Ｘ２
即
ｋ ｘ１ ｋ １ 一 ） １ ）＋（ ２ ２＋ （ １ ６ （ ２ ｍ一６ ７ ， ＋ ）
１并 整理 ， 得
； 当
证 明 设 直 线 ＭＮ 的方程 为 ＝ ＋ｍ， 入 ＋ 代
（ ＋ａｋ ） ＋ ａＩ ＋０ （ 一 ０ ６ ２ ２ 懈 ｊ ｝ ｍ ｂ ）＝ ．
由 △＞ ， ａｋ ｂ ｍ ． Ｍ（ｌＹ ）Ｎ（２Ｙ） 则 Ｏ 得 ２ ＋ ＞ 设 ｘ ，１ ， ｘ，２ ，
１
当 口＝ ， １ ６＝ ，
时， △
面积 的最 大值 为
ｎｂ 。Ｉ
（ ） １×ｊ ２√ × 。 ÷ ３
， ’
ｎｔ ｂ Ｉ ＋ 一
３× ＋１ ÷
ｊ
３ ‘
特 别地 ， ｔ 当 ＝一１时 ，Ｍ上Ａ 可 得 ： Ａ Ｎ， 推 论 １ 设 为 椭 圆 Ｅ： ＋ ｌ 。＞ｂ＞ ） （ ０ 的一 个顶 点 ， 点 ， Ⅳ在 椭 圆 ＥＪ ， 满 足 Ａ 上Ａ 则 ２ 且 Ⅳ，
第１ １期
林 新 建 ： 道 竞 赛 模 拟 试 题 引发 的 探 究 一
・３ ・ ９
一
道 竞 赛 模 拟 试 题 引 发 的 探 究
●林新 建 （ 漳州市第一中学 福建漳州 ３３０ ） ６００
本刊 ２１ ０２年第 ６期给 出 了如下 一道 竞赛 模 拟试越 ：
， 、
原 设Ａ ， ， Ⅳ 椭 等＋ ＝上且 线 与 线Ａ 的 率 积 亏求 Ａ 面 题 （１ 点 在 圆 ｙ １ ，直 直 Ｎ 斜 之 为 ，△删 ０） ２
ＡＭ Ａ Ｎ面积存在最大值 ， 当点 Ａ为长轴 端点时 ， 且
ＡＡ ＭＮ面 积不存 在 最小值 ．
当点 Ａ为短轴端点时 ， 最大值 ａｂ 力 ３。 、 ｆ
＿ 一．
Ｃ
性 质 ２ 设 为 双 曲线 ： 一 ＝１ 。＞０ ６＞ｏ 的 一 个顶 点 ， （ ， ） 点 ， Ⅳ在 双 曲线 Ｅ上 ， 满 足 直线 且
０
Ｉ 一０ｔ ｂ
丽
时， Ｓ
取 得 最 大值 ， 最 大 且
第 １ 期 ｌ
林 新 建 ： 道 竞 赛 模 拟 试 题 引发 的 探 究 一
１
，
值 ｓｔ 为１ａ。ｆ ２ｂ
‘
Ｈ 口 ｂ ￡ ｎ 。Ｉ
ｂ 一０ｔ ｌ
ｎ ｔ＋ｂ
运用性质 １原竞赛题的解为： ，
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即
即
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，
亦即
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…
化 简得
从 而
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・
４ ０・
中学教研 （ 数学 ）
２ １ 生 ０２．
因此 直 线 Ｍ 的方程为 Ｎ
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＝ ｔ，
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又 线 定 尺， 直 删过 点（ 。
）是 ， 于
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一
Ａ 的斜率 之积 为 ￡定值 ）￣ ＡＡ Ｎ （ ，］ ＭＮ面 积存 在最 大值 ， 当点 Ａ为长轴 端 点时 ， 大值 为 且 最 点 Ａ为短 轴端 点 时 ， 最大 值为 △Ａ 删 面 积不存 在最 小值・
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取 得 最大值 ， 且最 大值 为
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（ ＋ａｋ ） ＋ ａＩ ＋０ （ 一 ０ ６ ２ ２ 懈 ｊ ｝ ｍ ｂ ）＝ ．
由 △＞ ， ａｋ ｂ ｍ ． Ｍ（ｌＹ ）Ｎ（２Ｙ） 则 Ｏ 得 ２ ＋ ＞ 设 ｘ ，１ ， ｘ，２ ，
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当 口＝ ， １ ６＝ ，
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特 别地 ， ｔ 当 ＝一１时 ，Ｍ上Ａ 可 得 ： Ａ Ｎ， 推 论 １ 设 为 椭 圆 Ｅ： ＋ ｌ 。＞ｂ＞ ） （ ０ 的一 个顶 点 ， 点 ， Ⅳ在 椭 圆 ＥＪ ， 满 足 Ａ 上Ａ 则 ２ 且 Ⅳ，
第１ １期
林 新 建 ： 道 竞 赛 模 拟 试 题 引发 的 探 究 一
・３ ・ ９
一
道 竞 赛 模 拟 试 题 引 发 的 探 究
●林新 建 （ 漳州市第一中学 福建漳州 ３３０ ） ６００
本刊 ２１ ０２年第 ６期给 出 了如下 一道 竞赛 模 拟试越 ：
， 、
原 设Ａ ， ， Ⅳ 椭 等＋ ＝上且 线 与 线Ａ 的 率 积 亏求 Ａ 面 题 （１ 点 在 圆 ｙ １ ，直 直 Ｎ 斜 之 为 ，△删 ０） ２
ＡＭ Ａ Ｎ面积存在最大值 ， 当点 Ａ为长轴 端点时 ， 且
ＡＡ ＭＮ面 积不存 在 最小值 ．
当点 Ａ为短轴端点时 ， 最大值 ａｂ 力 ３。 、 ｆ
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性 质 ２ 设 为 双 曲线 ： 一 ＝１ 。＞０ ６＞ｏ 的 一 个顶 点 ， （ ， ） 点 ， Ⅳ在 双 曲线 Ｅ上 ， 满 足 直线 且
０
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丽
时， Ｓ
取 得 最 大值 ， 最 大 且
第 １ 期 ｌ
林 新 建 ： 道 竞 赛 模 拟 试 题 引发 的 探 究 一
１
，
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因此 直 线 Ｍ 的方程为 Ｎ
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