板块模型分类导析

板块模型分类导析
例
2.
一颗子弹
m以速度
v0打入静止在光滑地面的木块中，设最后达到的共同速度为X1，
木块的位移为X2，子弹打入的深度为 d，下列关系正确是（ ABC ）
A. X1>X2
B. X1=x2+d
C. X2<d
V1 ----- >
情景1.m g1v2地面光滑。

M
Jfx X XX-T-T-T X X r-TJ-J-y x >■ J" J-J-J-J-J-j-
只要木板足够长，最后一定以共同速度运动：
这类冋题的难点在于： 1.能否共速；2.共速之后如何运动。

1•共速的方式有多种:
2.共速之后的情况有两种：一是一共同的加速度一起减速，二是木板一较大的加速度减速，木块一较小的加速度减速。

不可能出现的情况是：（1）木板以较小的加速度减速，木块以较大的加速度减速。

否则木块受到向前的摩擦力，将加速。

（2）木板和木块有一个加速。

否则加速的物体受到的摩擦力向前，加速度物体必须比减速的物体快，这说明没有达到共速。

t 1 t 1
例1. 一颗子弹m以速度v o打入静止在光滑地面的木块中，设最后达到的共同速度为X1，
木块的位移为X2，
1 2
TX1mv
2
B. f(X i X2) 此过程中子弹对木块的作用力大小为
1 2
mv0
2
1 2 mv
2 1 2
mv0 2
C. f X2 -Mv2
2
D. f (X i X2)
E. f (X i X2)
F. f (X i X
2)
G. f (X i X2)
1 2
Mv
2
1 2
Mv
2
1 (m
2
1
0 -
2
M )v2 1 2
2 mV0
2
mv o （以木块为参考系）
v,子弹的位移为f，所发热量为Q下列方程正确的
是（ACF）
v,子弹的位移为
t
情景
F 1mg 1mg 2(m M )g
m先以加速度a i 加速，M先以加速度a2 ——M——减速。

共速后的情况讨论:
(1)m的速度反超M,有以下三种可能:
“mg严卡F
m)g F
“g
；
(2)m与M相对静止，一起减速到零。

i mg 2
(M
f—
m)g
"mg
jm)g M
\/
f
j(M+m)g M
2(M m)g
(3)M的速度依然大于m的速度。

"(M+m)g
情景4.
这说明二者还保持原先的加速度，二者又造成
F
m - .+F V2
受力分析图:
"i mg m ：>F
F i mg
m: a i , M: a2
m
能否共速，以及共速之后的情况,
的大小，而不是指绝对值。

(1) a i>a2，没有共速可能。

(2) 0< a i<a2,即卩
(3) a i<0 <a2，即
(4) a i<0<a2, 即卩
(5) a i<a2<0，即
F i mg i mg F
i mg
F
m的速度大于M的速度，与假设矛盾。

这是不可能的。

p i mg
M
九"(M + m)g
2(m M )g。

M
取决于两个加速度的大小比较。

注意：以下加速度大小是指数学意义
i mg
I 2(m M )g ,
2(m M )g ,
2(m M)g F ,
M)g ,
i mg 2
(m
只要木板足够长，一定能共速。

只要木板足够长，一定能共速。

只要木板足够长，一定能共速。

只要木板足够长，可能共速，
共速之后一起做匀加速运动。

共速之后一起做匀加速运动。

共速之后一起做匀减速运动。

也可能在共速之前木板停下。

m \ V
i
V
2
V 一 .
I " V
M -
■■■ ■■■■■■■■■■
■■■
情景5.
情景6.
VI +
m——可_F> v i V2
... 打
总结：分析板块模型需要从以下几个步骤下手； (1) 比较初速度大小，确定摩擦力方； (2) 比较加速度大小，确定能否共速； (3) 共速之后进行受力分析，确定能否一起运动。

练习： 1. 质量为m=1kg 的木块以水平速度 v o =9m/s 滑上一个静止在粗糙水平面上质量为 向右运动，最后与木板相对静止，已知木板与木块的动摩擦因数为 w =0.4 , 木板与地面动摩擦因数为 匹=0.1 ,木板足够长。

达到共同速度时木块相对地 面的位移为 S 1= ___________ ；木板相对地面的位移为
S 2= _________ ；当二者
都停止运动时摩擦生热 Q= _________ 。

(9m 、2.25m 、40.5J) 2. 质量为m=1kg 的木块放在质量为 M=1kg 的木板上，相对地面静止。

某时刻木块在恒力
F=8N 的作用下开 始向右运动，并带动木板也运动，已知木块与木板间的动摩擦因数为 比=0.1，板长为l=2m ，当木块从木板上滑落时
木块相对地面的位移为 _______________________________ ，木板相对地面的位移为 。

(4m 、2m) 3. 如图所示，长L=16m ，质量M=1kg 的木板静放在光滑的水平面上，质量
m=1kg 的小物块放在木板的左端，木板和物块间的动摩擦因数 尸0.1。

取 g=10m/s 2
，求： (1) 使物块掉不下去的拉力 F (2N ) (2) 如果拉力F=10N 恒定不变，小物块所能获得的最大动能 (2J) 4. 如图所示，长L=1.6m ，质量M=3kg 的木板静放在光滑水平面上，质量 木板和物块间的动摩擦因数 尸0.1 .现对木板施加一水平向右的拉力 F,
(1) 使物块不掉下去的最大拉力 F ； (2) 如果拉力F=10N 恒定不变，小物块的所能获得的最大速度. 解：(1)求物块不掉下时的最大拉力，其存在的临界条件必是物块与木板具有共 同的最大加速度a 1 对物块，最大加速度 a 1= =卩g 1 m/s 2
m 对整体，F = (M+m)a 1= (3 + 1) >1 N = 4 N ⑵当F = 10 N 时，木板的加速度 a 2= -
m/s 2= 3 m/s 2
M
1
1
由—a 2t 2- —a 1t 2
=L ，得物块滑过木板所用时间 t=(16 s 2 2 物块离开木板的速度 V 1= a 1t= . 1.6 m/s 5. 如图所示，质量 M = 8kg 的小车放在水平光滑的平面上，在小车左端加一水平 恒力F , F = 8N ，当小车向右运动的速度达到 1.5m/s 时，在小车前端轻轻地放上 一个大小不计，质量为 m =2kg 的小物块，物块与小车间的动摩擦因数 近0.2 , M= 1kg 的木板，带动木板
W =0.4,木板与地面的动摩擦因数为 F
m 现对木块施加一水平向右的拉力 m=1kg 的小物块放在木板的右端, 取 g=10m/s 2，求： B.F
F,
A
小车足够长。

求从小物块放上小车开始，经过 t =1.5s 小物块通过的位移大小为多少？(取 g = 10m/s 2
)。

分析：当小物块放上小车后，在水平方向上受向右的摩擦力，所以小物块做匀加速直线运动，小车在水平方
向上受推力和物块的摩擦力也做匀加速直线运动. 求出两者速度相等时所经历的时间，
判断物块和小车能否
保持相对静止，一起做匀加速直线运动.判断出物块和小车的运动情况，根据运动学公式求出物块的位移. 解：开始一段时间，物块相对小车滑动，两者间相互作用的滑动摩擦力的大小为 F f =ym g=4N .物块在F f 的 作用下加速，加速度为 a m =2m/s 2
.
小车在推力F和f的作用下加速，加速度为a M Ff一 =0.5m/s2.
M
初速度为u=1.5m/s，设经过时间t i，两者达到共同速度u则有：u a m t i=u+a M t i
代入数据可得：t i=is，u=2m/s
1
在这t i时间内物块向前运动的位移为s i=2 a m t2=im .以后两者相对静止，相互作用的摩擦力变为静摩擦力将两者作为一个整体，在 F的作用下运动的加速度为a，贝U F=(M+m)a得a=0.8m/s2.
””…「、一i 2
在剩下的时间t2=t-t i=0.5s时间内，物块运动的位移为S2= u2t+-at；，得S2=i.im .
2
可见小物块在总共 i.5s时间内通过的位移大小为s=s i+s2=2.im.
答：经过t=i.5s小物块通过的位移大小为 2.im .
点评：解决本题的关键理清小车和物块在整个过程中的运动情况，然后运用运动学公式求解.
6. (20i3高考25. i8分)一长木板在水平地面上运动，在t=0时刻将一相对于地面
静止的物块轻放到木板上，以后木板运动的速度一时间图像如图所示。

己知物块与木板的质量
相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦.物块与木板间的最大静摩
擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。

取重力加速度的大小g = i0m/s求：
(1) 物块与木板间；木板与地面间的动摩擦因数：
(2) 从t = 0时刻到物块与木板均停止运动时，物块相对于木板的位移的大小解：(i)从
t=0时开始，木板与物块之间的摩擦力使物块加速，使木块减速，此过程一会持续到物块和木
板具有相同速度为止。

由图可知，在t i=0.5s时，物块和木板的速度相同。

设t=0到t= t i时间间隔内，物块和木板的加速度度大小
分别为a i和a2,则
V i t i
V o V t -
a i —t - ②
t i
式中V o 5m/s、V i im/s分别为模板在t=0、t=t i时速度大小。

设物块和木板的质量为 m，物块和木板间的动摩擦因数分别为眼国，由牛顿第二定律得
M i mg=ma i ◎
((t+2 圍mg=ma2 C5
联立。

⑷式得
p i= 0.20 C5)
俘=0.30 C
(2)在t i时刻后，地面对木板的摩擦力阻碍木板运动，物块和木板之间的摩擦力改变方向。

设物块与木板之间的摩擦力大小为 f,物块和木板的加速度大小分别为a i和a2，则由牛顿第二定律得
f ma i C
2 2mg f ma2 C
假设f i mg，则a i a2 ；由式得f 2mg i mg，与假设矛盾，故
f i m
g C
由⑦⑨式知，物块加速度的大小a i等于a i ；物块的V-t图像如图中点划线所示。

由运动学公式可推知，物块和木块相对于地面的运动距离分别为
2
s i 2亠
2a i
C J' v/fm-s-1) 2
V0 V—V i
s2 t i
2 2a i' C
\
物块相对于木板的位移大小为
1
s si s2 C
n
联立C C⑥C C C C C式得U05仙
a i
s= 1.125m ⑬
7. 如图所示，一块质量为 M长为L的均质板放在很长的光滑水平桌面上，板的左端有一质量为物块上连
接一根很长的细绳，细绳跨过位于桌面的定滑轮，某人以恒定的速率v向下拉绳，物块最多只能到达板的
中央，而此时的右端尚未到桌边定滑轮，试求
(1)
(2)
(3)
Mv
p1mgt1=Mv, t1=-----
1mg
设在此过程中物块前进位移为3,板前位移为s2,
则 S i=vt l
S2 2ti
l
S1-S2=—C4)
2
2
由①~④得物块与板间的动摩擦因数为口=型二板的位移S2=d
mgl 2
m的物块,
物块与板的动摩擦因数及物体刚到达板的中点时板的位移
若板与桌面之间有摩擦，为使物体能达到板的右端，板与桌面间的动摩擦因数范围
若板与桌面之间的动摩擦因数取(2)问中的最小值，在物体从板的左端运动到板的右端的过程中,
人拉绳的力所做的功(其它阻力不计)
解：(1)设物块在板上滑行的时间为t1,对板应用动量定理得：
1 2
(或W= A E k+Q1+Q2=尸Mv +(j mgl+ p2(M+m )gl=2Mv2)
8.质量为m = 1.0 kg、带电量Q = +2.5 X0-4C的小滑块(可视为质点)放在质量为端，
木板放在光滑水平面上，滑块与木板之间的动摩擦因数为尸0.2,木板长
静止状态，所在空间加有一个方向竖直向下强度为正= 4.0 >104N/C的匀强电
场，如图所示。

取g= l0 m/s2，试求：
(1) 用水平力F。

拉小滑块，要使小滑块与木板以相同的速度一起运动，力应满足什么
条件？
(2) 用水平恒力F拉小滑块向木板的右端运动，要使滑块在1.0 s末从木板右端
滑出，力F应为多大？(设m与M之间最大静摩擦力与它们之间的滑动摩擦力大小相
等，滑块在运动中带电量不变)
【答案】(1) 6.0N (2)9N(3)6J
M = 2.0 kg的绝缘长木板的左
L = 1.5 m,开始时两者都处于
F o
E
fail-.霍匕屿. (2)设板与桌面间的动摩擦因数为曲物块在板上滑行的时间为t2.则应用动量定理得
v 2l
vt3 一t3 臥3 —
2 v
【解析】⑴当拉力F0作用于滑块m上，木板能够产生的最
大加速度为
：a ” —(mg
―qE)
2.0 m/s 1 2
....................... 1 分
M
为使滑块与木板共同运动，滑块最大加速度 a m <a .......... 1分
对于滑块有：F 。

(mg qE) ma m (1)
分
F o
(mg qE) ma m
即为使滑块与木板之间无相对滑动，力
F o 不应超过6.0N ......... 1分
(2) 设滑块相对于水平面的加速度为 a i ，木板的加速度为 a 2,由运动学关系可知： 1丄 2
1丄 2
八
Si a i t , S 2
a ?t , s i -S 2=L (2)
分
2 2
滑动过程中木板的加速度 a 2=2.0m/s 2
，则可得滑块运动的加速度 a i =5.0m/s 2
1分
对滑块：F 。

(mg qE) ma, ............................. 2 分
(3) 在将小滑块从木板右端拉出的过程中，系统的内能增加了
：
Q=u (mg+qE )L=6.0J ................................... 3 分 9.
如图所示，质量M = 10kg 、上表面光滑的足够长的木
板的在
F = 50N 的水平拉力作用下，以初速度v °=5m/s
从放上第7块铁块至木板停止运动的过程中，设木板发生的位移为
2 X 7 mg d=V 62-0 M
4
联立解得：d= - m
7
10. ( 2015高考25题.20分)下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害。

沿水平地面向右匀速运动.现有足够多的小铁块，它们的质量均为 右端，当木板运动了 L = 1m 时，又无初速地在木板的最右端放上第 的最右端无初速放一铁块. 试问：(取 g = 10m/s 2)
(1) (2) (3) m=1kg ,将一铁块无初速地放在木板的最 2块铁块，只要木板运动了
L 就在木板
第1块铁块放上后，木板运动了 最终木板上放有多少块铁块？ 最后一块铁块与木板右端距离多远? L 时，木板的速度多大? □用
_______ _________ F
解: (1)木板最初做匀速运动，由
F=卩Mg 解得,
F
尸 Mg =0.5
由上可得：(1+2+3+ …+n) X ( mg ) L =V 03 4 5 6
-v n 2
M
木板停下时，V n =0，得n =6.6； (3)从放上第1块铁块至刚放上第 7块铁块的过程中，由(2)中表达式可得:
3
某地有一倾角为 9=37° (sin37°-)的山坡C ,上面有一质量为 m 的石板B ,其上
5
下表面与斜坡平行；B 上有一碎石堆 A (含有大量泥土)，A 和B 均处于静止状态，
6 (6 1)
2
d，则:
3
在极短时间内，A 、B
间的动摩擦因数 W 减小为3
, B 、C 间的动摩擦因数 亚减小为0.5, A 、B 开始运动，
8 此时刻为计时起点；在第 2s 末，B 的上表面突然变为光滑， 田保持不变。

已知 A 开始运动时，A 离B 下边 缘的距离l=27m ，C 足够长，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

取重力加速度大小 g=10m/s 2。

求： (1)在0~2s 时间内A 和B 加速度的大小 2)A 在B 上总的运动时间
【答案】(1)a i =3m/s 2; a 2 =1m/s 2
;( 2)4s 【解析】
(1)在0-2s 内，A 和B 的受力如图所示 有滑动摩擦力公式和力的平衡条件得： f 1 1N
1
N 1=mgcos 0 f 2 = [2N 2
N 2=N 1+mgcos 0 以沿着斜面向下为正方向，
mg sin
mg sin
f 1 ma 1 f 2 C4)
设A 和B 的加速度分别为a 1、a 2,由牛顿第二定律可得:
……3 3
3 3 ma 2… 2 a 1=3m/s … 联立以上各式可得 2
a 2=1m/s ⑵在t 1=2s ，设A 和B 的加速度分别为，则 V 1=a 1t 1=6m/s 3 V 2=a 2t 2=2m/s 3 t>t 1时，设A 和B 的加速度分别为a 1、a 2，此时AB 之间的摩擦力为零, a 1 =6m/s 2
3 a 2 =-2m/s 2 3 即B 做减速运动，设经过时间 t 2, B 的速度减为零，则有 V 2+ a 2t 2=0 3 联立30 3 3可得 t 2=1s 在t 1+t 2时间内， 1 2
s ( a 1t 1 v 1t 2 2
此后B 静止不动， 有 A 相对于B 运动的距离为 1 2 1 2 —玄1上 2 )(―玄2上1 V ?t 2 2 2
A 继续在
B 上画的，
1 2 a 2t 2) 12m 27m 2 再设经过时间 t 3, A 1 2 a 1t 2)t 3 _ a 1t 3 2 可得t 3=1s (另一解不合题意，舍去) 设A 在B 上总的运动时间t 总
t 总=t 1 + t 2+t 3=4S (利用下面的速度图象求解，正确的，参照上述答案信参考给分
) 11.如图所示，质量m=1kg 的小物块放在一质量为 M=4kg 的足够长的木板 右端，物块与木板间的摩擦因数 0.2木板与水平面间的摩擦不计。

物块 用劲度系数k=25N/m 的弹簧拴住，弹簧的另一端固定。

开始时整个装置静 同理可得 离开B,
M E u LZ"
(4)
解得：x=0.08m 止，弹簧处于原长状态。

现对木板施以 F=12N 的水平向右恒力，在弹簧第一次拉伸到最长时木板的速度为 v=0.5 m/s ,(最大静摩擦力可认为等滑动摩擦力，计算时取 n =10, g=10m/s 2) (1) 开始施力的瞬间的物块的加速度多大？物块达到最大速度时离出发点多远？
(2) 从开始运动到弹簧第一次拉伸到最长的过程中系统增加的内能是多少？
(3)对木板应用牛顿定律 F-卩mg=Mai (5)
解得 a i =2.5m/s 7 8 9 (6)
木板做初速度为 0的匀加速运动v t 2=2a i s 板 (7)
解得 S 板=0.50 m ..................................................... ( 8)
根据简谐振动的对称性 S 块=2x=0.16m (9)
由于摩擦而损失的机械能为 AE=u mg(s 板一s 块)=0.68J
12. 质量为M 的特殊平板在光滑的水平面上以速度 V 0 = 4m/s 向右 匀速运动，在平板上方存在厚度的 d = 2cm 的 相互作用区域"(如 图中虚
线部分所示)，相互作用区域”上方高h = 20cm 处有一质量 为m 的静止物
块P 。

平板的右端 A 经过物块P 的正下方时，P 同 时无初速度释放。

当物
块 P 以速度v i 进入相互作用区时，平板对 P 立即产生一个竖直向上的恒力
F ;当P 与平板接触时F 方向立
即变竖直向下而大小保持不变。

已知 M = 3m, F = kmg, k = 11,
物块与平板间的动摩擦因数
1
12，取重力加速度 g = 10m/s 2, 不计空气阻力，试求：
(1) 物块P 下落至平板刚接触时的速度 V 2多大?
(2) 物块P 释放后经多长时间t 与平板接触？
(3) 欲使物块P 不致于落到光滑的水平面上，平板 L 至少为多长?
解：(1) P 先做自由落体运动，然后进入相互作用区做匀减速运动
V 2 V 2 2ad （1 分） a
（kmg mg ） （2 分） m 由以上各式解得V 2 = 0
( 1分) (2) P 先做自由落体运动过程，有h 宁七1 (1分) 进入相互作用区做匀速运动过程，有 d 宁t 2 ( 1分)
v 、2gh 2m/s （1 分）由以上各式解得 t 1 = 0.2s t 2 = 0.02s （1 分）
所以P 释放后到与平板接触经历的时间为
t = t 1 + t 2 = 0.2s + 0.02s = 0.22s (1分) (3)从P 释放后到刚与平板接触的 t 时间
内，平板位移了 L 1 = V o t = 4 (X22m = 0.88m (1分)
P
(m + 3m) V = 3mv o (2 分)
V 为P 与平板相对静止时的共同速度。

这一过程根据系统能量守恒，有
1 2 1 2
（kmg mg ）L 2 - 3m v 0 - 4m v （2 分）
2
所以物块P 不致于落到光滑的水平面上，平板的长度至少为 L = L 1 + L 2 = 0.88m + 0.6m = 1.48m (2 分)
13. 如图所示，质量 M=4kg 的足够长圆管静止放在光滑水平面上，圆管外表面光滑内表面粗糙，有一质量
m=1kg 的小球以水平向右的初速度 u =20m/s 射入管内，小球直径略小于圆管内径，该区域除重力场之外还 存在着一个力场，该力场只对小球施加竖直向上的作用力， 作用力的大
小跟小球的速率成正比，即 F=kv , k=1Ns/m 。

该力场对圆管没有作用
力，重力加速度 g=10m/s 2,求：
8 最终小球的速度 W 和圆管的速度 V 2
9 整个过程中系统产生的热量 Q 。

解：(1)设当场力刚好与重力平衡时，小球的速度为
V 1 ；贝^ kv 1=mg , v 1 —=10m/s k
E= A E k +Q 1+Q 2=136J ；
故消耗的电能为136J . V 2 2gh （1 分） 与平板接触后，在水平方向上， P 与平板组成的系统满足动量守恒
3V Q
解得：v=4m/s<v i
说明圆管和小球还没有达到共同速度前，小球已做匀速运动，所以小球的最终速度为v i=iom/s,由动量守恒
定律：mv o=mv i+Mv2
解得：v2=2.5m/s，即圆管的最终速度为 2.5m/s
(2)整个过程中，小球和圆管组成的系统有能量守恒定律得：
1 2 1 2 1 2
Q —mv o —mv i —MV2 137.5J
2 2 2
14. 如图所示，用半径为0.4m的电动滚轮在长薄铁板上表面压轧一道浅槽•薄铁板的长为 2.8m、质量为
10kg •已知滚轮与铁板、铁板与工作台面间的动摩擦因数分别为0.3和0.1 •铁板从一端放入工作台的滚轮
下，工作时滚轮对铁板产生恒定的竖直向下的压力为100N，在滚轮的摩擦作用下铁板由静止向前运动并被
压轧出一浅槽.已知滚轮转动的角速度恒为5rad/s, g取10m/s2.
(1)通过分析计算，说明铁板将如何运动？
(2)加工一块铁板需要多少时间？
3)加工一块铁板电动机要消耗多少电能?
解：( 1)开始砂轮给铁板向前的滑动摩擦力F1= BF IN=0.3 X00N=30N ；
工作台给平板的摩擦阻力F2=爲F2N=0.1 X( 100+10氷0) N=20N v F1；
因而铁板先向右做匀加速直线运动 a ■F^F2=1m/s2；
m
加速过程铁板达到的最大速度v m= wR=5 >0.4m/s=2m/s ；
2
这一过程铁板的位移 S1=^=2m v 2.8m；
2a
因而此后砂轮对铁板的摩擦力将变为静摩擦力FJ, F1‘ 1=,铁板将以2m/s的速度做匀速运动；
故铁板先以1m/s2的加速度做匀加速直线运动，然后以2m/s的速度做匀速运动.(只要上面以求出，不说数
据也可)
(2)铁板加速时间t1= —- =2s；
2a
L s
铁板匀速时间t2= =s=0.4s -
V m ，
故总时间为t=t1 + t2=2.4s.
(3)根据功能关系和能量守恒定律可知，消耗的总电能等于系统增加的动能和内能之和；
L s 1 2
铁板动能增量为，AEk= =—mv =20J
v
m 2
铁板与滚轮间的相对路程为，A S=v m t1-s1=2 X2-2=2m ；
铁板与滚轮间因摩擦产生的热量为Q1=F1A S=30疋J=60J；
铁板与地面间因摩擦产生的热量为Q2=F2L=20 X2.8J=56J；
因而消耗的电能为如图所示。

假设某次暴雨中，A浸透雨水后总质量也为 m (可视为质量不变的滑块)
由以上各式解得L2厂匚0^( 1分)。