上海解析几何综合测试题附答案.docx

1． F 1、 F 2 是椭圆
x 2
y 2 1 的左、右焦点，点 P 在椭圆上运动，则
| PF 1 | | PF 2 | 的最大值是
．
4
2．若直线
2 2
没有公共点，则 m 、 n 满足的关系式为 ____________ ；
mx+ny － 3=0 与圆 x +y =3 以（ m ，n ）为点 P 的坐标，过点
P 的一条直线与椭圆
x 2
+ y 2 =1 的公共点有 _______个 .
7 3 3.P 是抛物线 y 2=x 上的动点， Q 是圆 (x-3) 2+y 2=1 的动点，则｜ PQ ｜的最小值为 .
4．若圆 x
2
y
2
2ax
a
2
1 0 与抛物线 y
2
1
x 有两个公共点。

则实数 a 的范围为
.
2
5 ．若曲线
y
x 2
4 与直线 y
k (x 2) +3 有两个不同的公共点，则实数
k 的取值范围
是
.
6．圆心在直线 2x － y － 7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A （ 0，－ 4）、B （ 0，－ 2），则圆 C 的方程为 ____________.
2
2
2
2
x － y － 4=0 上的圆的方程为
7．经过两圆（ x+3） +y =13 和 x+ （ y+3） =37 的交点，且圆心在直线
____________
2
2
的左焦点为 F ，点 P 为左支下半支上任意一点
（异于顶点） ，则直线 PF 的斜率的
8.双曲线 x － y ＝ 1 变化范围是 ___________.
9．已知 A （ 0， 7）、 B （ 0，－ 7）、C （ 12， 2），以 C 为一个焦点作过 A 、 B 的椭圆，椭圆的另一个
焦点 F 的轨迹方程是 ___________.
10 ．设 1（
2 ， 2 ）、 P 2（－
2 ，－ 2 ），M 是双曲线 y= 1
上位于第一象限的点，对于命题①
P
x
|MP 2|－ |MP 1|=2 2 ；②以线段 MP 1 为直径的圆与圆 x 2+y 2=2 相切；③存在常数 b ，使得 M 到直线
y=－ x+b 的距离等于 2
|MP 1|.其中所有正确命题的序号是 ____________.
2
11．到两定点 A （ 0， 0），B （ 3， 4）距离之和为 5 的点的轨迹是（ ）
A.椭圆
B.AB 所在直线
C.线段 AB
D.无轨迹
12．若点（ x ， y ）在椭圆 4x 2+y 2=4 上，则
y 的最小值为（
）
x 2
A.1
B.－ 1
2 3
D. 以上都不对
C.－
3
13 已知 F 1（－ 3， 0）、F 2（ 3， 0）是椭圆 x
2
+ y 2 ＝1 的两个焦点， P 是椭圆上的点，当∠ F 1PF 2＝
m n
2π
时，△ F 1PF 2 的面积最大，则有（
）
3
A.m=12， n=3
B.m=24， n=6
3
D. m=12， n=6
C.m=6， n=
2
14.P 为双曲线 C 上一点， F 1、F 2 是双曲线 C 的两个焦点，过双曲线 C 的一个焦点 F 1 作∠ F 1PF 2 的平分
线的垂线，设垂足为
Q ，则 Q 点的轨迹是 (
) 12.
A. 直线
B. 圆
C. 椭圆
D. 双曲线
三、解答题
15．（满分 10 分）如下图，过抛物线
y 2=2px （ p ＞ 0）上一定点 P （ x 0， y 0）
（ y 0＞ 0），作两条直 分 交抛物 于 A （ x 1， y 1）、 B （ x 2， y 2） .
（ 1）求 抛物 上 坐
p
的点到其焦点 F 的距离；
2
（ 2）当 PA 与 PB 的斜率存在且 斜角互 ，
求
y 1 y 2
的 ，并 明直 AB 的斜率是非零常数 .
y 0
16．（ 分 10 分）如下 ， O 坐 原点， 直 l 在 x 和 y 上的截距分 是
a 和
b （ a>0，b ≠ 0），
2
且交抛物 y =2px （ p>0）于 M （ x 1， y 1）， N （ x 2， y 2）两点 .
（ 1） 明：
1
+ 1 =
1
；（ 2）当 a=2p ，求∠ MON 的大小 .
y 1 y 2 b
（ 15
）
（ 16 ）
x 2
y 2
x 2 y 2
17．（ 分 10 分） 已知 C 的方程
2
+
2
=1（ a>b>0），双曲
2 －
b 2 =1 的两条 近
a b
a
l 1、l 2， C 的右焦点 F 作直 l ，使 l ⊥ l 1，又 l 与 l 2 交于 P 点， l 与 C 的两个交点由上至下依次 A 、 B.（如下 ）
（ 1）当 l 1 与 l 2 角 60°，双曲 的焦距
4 ，求
C 的方程；
（ 2）当
FA =λ
AP ，求 λ 的最大
.
y
A
y
l
B
P
l 2
A
x
O
F
x
O
B
l 1
（ 17 ）
（ 18 ）
18．（ 分 10 分）在平面直角坐 系 xOy 中，抛物 y
x 2 上异于坐 原点Ｏ的两不同 点Ａ、Ｂ
足 AO BO （如上 ）． （Ⅰ）求
AOB 得重心Ｇ（即三角形三条中 的交点）的 迹方程；
（Ⅱ）
AOB 的面 是否存在最小 ？若存在， 求出最小 ；若不存在， 明理由．
19．（ 分 12 分）抛物 y 2=4px （ p>0）的准 与
x 交于 M 点， 点
M 作直 l 交抛物 于
A 、
B 两点.
（ 1）若 段 AB 的垂直平分 交 x 于 N （ x 0， 0），求 ： x 0>3p ；
（ 2）若直 l 的斜率依次 p ， p 2， p 3，⋯， 段
AB 的垂直平分 与
x 的交点依次
N 1，
N 2， N 3，⋯，当
0<p<1 ，求
1
1
1
的 .
+
+⋯ +
|N 1N 2 | |N 2N 3 | | N 10 N 11 |
20．（ 分 12 分） A 、B 是 3x 2 y 2
上的两点，点
N （ 1，3）是 段 AB 的中点， 段
AB 的垂直平分 与 相交于
C 、
D 两点 .
（Ⅰ）确定
的取 范 ，并求直 AB 的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的
，使得 A 、 B 、 C 、 D 四点在同一个圆上？并说明理由 .
解析几何综合题
1． F 1、 F 2 是椭圆
x 2
y 2 1 的左、右焦点，点 P 在椭圆上运动，则 | PF 1 | | PF 2 | 的最大值是
．
4
1答案：4
简解： | PF 1 | | PF 2 |≤ (| PF 1 |
| PF 2 |)2 a 2
4
2
2．若直线 mx+ny － 3=0 与圆 x 2 +y 2=3 没有公共点，则 m 、n 满足的关系式为 ____________；以（ m ，
n ）为点 P 的坐标，过点 P 的一条直线与椭圆
x 2 y 2
+
=1 的公共点有 ____________个 .
2
2
7
3
2 答案： 0<m +n <
3 ； 2
简解：将直线 mx+ny － 3=0 变形代入圆方程 x 2+y 2
=3，消去 x ，得
（m 2+n 2） y 2－ 6ny+9－ 3m 2=0.
令 <0 得 m 2+n 2<3.
又 m 、n 不同时为零， ∴ 0<m 2+n 2<3.
由 0<m 2+n 2<3，可知 |n|< 3 ， |m|< 3 ，
再由椭圆方程 a=
7 ， b= 3 可知公共点有 2 个 .
3.P 是抛物线 y 2=x 上的动点， Q 是圆 (x-3)
2
+y 2=1 的动点，则｜ PQ ｜的最小值
为.
3．答案：
11
-1
2
简解：将问题转化为圆心到抛物线一上的动点的最小值
4．若圆 x 2
y 2 2ax
a 2
1 0 与抛物线 y 2
1
x 有两个公共点。

则实数 a 为
.
2
4．答案： a
17 或 1 a 1
8
简解：将圆 x
2
y
2
2ax a
2
1 0 与抛物线
y 2
1
x 联立，消去 y ，
2
得 x
2
(2a
1
)x a 2 1
0 ( x
0).
2
要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。

2a 1
0 或
解之
2
2 1 0.
a 2
a 1 0.
5 ．若曲线 y
x 2 4 与直线 y
k (x
2) +3 有两个不同的公共点，则实数
k 的取值范围
是
.
5．答案：
1 k
3
4
简解： 将曲线 y
x 2 4 转化为 x 2 y 2
4 时考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点
(2,-3) 且与
渐近线 y
x 平行的直线与双曲线的位置关系。

6．圆心在直线 2x － y － 7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A （ 0，－ 4）、B （ 0，－ 2），则圆 C 的方程为 ____________.
6．答案：（ x － 2） 2 +（ y+3） 2=5 5．
简解：∵圆 C 与 y 轴交于 A （ 0，－ 4）， B （ 0，－ 2），
∴由垂径定理得圆心在 y= － 3 这条直线上 .
又已知圆心在直线 2x － y － 7=0 上，
∴联立
y= － 3， 解得 x=2，
2x － y － 7=0.
∴圆心为（ 2，－ 3），
半径 r=|AC|=
22 [ 3 ( 4)]2 =
5 .
2
2
∴所求圆 C 的方程为（ x － 2） +（ y+3） =5.
2
2
2
2
x － y － 4=0 上的圆的方程为
7．经过两圆（ x+3） +y =13 和 x +（ y+3） =37 的交点，且圆心在直线 ____________..
7．答案：（ x+ 1 ） 2 +（ y+ 7 ） 2 =
89
2
2
2
简解：因为所求的圆经过两圆（
x+3） 2+y 2=13 和 x+2（ y+3） 2=37 的交点，
所以设所求圆的方程为（ x+3） 2+y 2－ 13+λ ［ x 2+（ y+3） 2－ 37］ =0.
展开、配方、整理，得（
x+
3
） 2
3 2
4 28
9(1 2 )
+（ y+ 1
）
=
+
) 2 .
1
1
(1
圆心为（－
3
，－
3 ），代入方程 x － y － 4=0，得 λ =－ 7.
1
1
故所求圆的方程为（
x+ 1
） 2 +（ y+ 7 ） 2 = 89 .
2
2
2
8.双曲线 x2－ y2＝ 1 的左焦点为 F ，点 P 为左支下半支上任意一点（异于顶点） ，则直线 PF 的斜率
的变化范围是 ___________.
8．答案：（－∞， 0）∪（ 1， +∞）
简解：解析：数形结合法，与渐近线斜率比较.
9．已知 A （ 0， 7）、 B （ 0，－ 7）、C （ 12， 2），以 C 为一个焦点作过 A 、 B 的椭圆，椭圆的另一个
焦点 F 的轨迹方程是 ___________.
2 9．答案： .y 2
－
x
＝ 1（ y ≤－ 1）
48
简解：由题意｜ AC ｜＝ 13，｜ BC ｜＝ 15，
｜ AB ｜＝ 14，又｜ AF ｜＋｜ AC ｜＝｜ BF ｜＋｜ BC ｜，
∴｜ AF ｜－｜ BF ｜＝｜ BC ｜－｜ AC ｜＝ 2.
故 F 点的轨迹是以 A 、B 为焦点，实轴长为 2 的双曲线下支 .又 c=7， a=1，b 2＝ 48，所以轨迹方程为
2 x
2
＝ 1（ y ≤－ 1） .
y －
48
10．设 （ 2 ，
2 ）、P （－ 2 ，－ 2 ），M 是双曲线 y= 1
上位于第一象限的点，对于命题①
P 1
2
x
|MP 2|－ |MP 1|=2 2 ；②以线段 MP 1 为直径的圆与圆 x 2+y 2=2 相切；③存在常数
b ，使得 M 到直线
y=－ x+b 的距离等于
2
|MP 1|.其中所有正确命题的序号是 ____________.
2
10 答案：①②③
简解：由双曲线定义可知①正确，②画图由题意可知正确，③由距离公式及 |MP 1|可知正确 .
11．到两定点 A （ 0， 0），B （ 3， 4）距离之和为 5 的点的轨迹是（ ）
A.椭圆
B.AB 所在直线
C.线段 AB
D. 无轨迹
11．答案： C
简解：数形结合易知动点的轨迹是线段
4
AB ： y= x ，其中 0≤ x ≤ 3.
3
12．若点（ x ， y ）在椭圆 4x 2+y 2=4 上，则
y 的最小值为（ ）
x 2
A.1
B.－ 1
C.－
2
D. 以上都不对
3
3
12．答案： C
简解：
y
的几何意义是椭圆上的点与定点（ 2， 0）连线的斜率 .显然直线与椭圆相切时取得
x
2
最值，设直线 y=k （ x － 2）代入椭圆方程（ 4+k 2） x 2－ 4k 2x+4k 2
－ 4=0.
令
=0， k=±
2
3 .∴ k min =－ 2 3 .
3 3
13．.已知 F 1（－ 3，0）、 F 2（ 3，0）是椭圆 x
2
y
2
+
＝ 1 的两个焦点， P 是椭圆上的点，当∠ F 1PF 2
m
n
＝
2π
时，△ F 1PF 2 的面积最大，则有（
）
3
A.m=12， n=3
B.m=24， n=6
C.m=6， n=
3
D. m=12， n=6
2
13．答案： A
简解：由条件求出椭圆方程即得
m=12， n=3.
14.P 为双曲线 C 上一点， F 1、F 2 是双曲线 C 的两个焦点，过双曲线
C 的一个焦点
F 1 作∠ F 1PF 2 的平分
线的垂线，设垂足为
Q ，则 Q 点的轨迹是
( ) 12.
A.直线
B. 圆
C. 椭圆
D. 双曲线
14．答案： B
简解：延长 F 1Q 与 PF 2 相交点 R ，根据双曲线的定义， R 在以 F 2 为圆心的圆上，利用代入法得
15．如下图，过抛物线 y 2=2px （ p ＞ 0）上一定点 P （ x 0， y 0）（ y 0＞ 0），作两条直线分别交抛物线于A （ x 1， y 1）、 B （ x 2， y 2） .
y
P
O A
x
（ 1）求该抛物线上纵坐标为
p
的点到其焦点 F 的距离；
B
2
（ 2）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，
求
y 1y
2
的值，并证明直线 AB 的斜率是非零
y 0
常数 .
解：（ 1）当 y= p 时， x= p
.
2
8
又抛物线 y 2
=2px 的准线方程为 x=－ p
，
2
由抛物线定义得
所求距离为 p －（－ p ） =
5p
.
8
2 8
（ 2）设直线 PA 的斜率为 k PA ，直线 PB 的斜率为 k PB . 2
2
由 y 1 =2px 1， y 0 =2px 0，
相减得（ y 1－ y 0）（ y 1+y 0） =2p （ x 1－ x 0）， 故 k PA =
y 1
y
= 2 p
（ x 1≠ x 0） . x 1 x 0
y 1 y 0 2 p
（ x 2≠ x 0） .
同理可得 k PB =
y 0
y 2
由 PA 、 PB 倾斜角互补知 k PA =－k PB ， 即
2 p =－ 2 p ，所以 y 1+y 2=－2y 0， y 0 y 0 y 1 y 2 y 1 y 2 =－ 2.
故
y 0
设直线 AB 的斜率为 k AB . 由 y 22=2px 2， y 12=2px 1，
相减得（ y 2－ y 1）（ y 2+y 1） =2p （ x 2－ x 1），
y 2 y 1 =
2 p
（ x 1≠ x 2） .
所以 k AB =
x 1
y 2 x 2
y 1
将 y 1+y 2=－ 2y 0（ y 0＞ 0）代入得 k AB =
2 p =－ p
，所以 k AB 是非零常数 .
y 1 y 2 y 0
16．如图， O 为坐标原点，直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是
a 和
b （ a>0， b ≠ 0），且交抛物线
y 2=2px （ p>0）于 M （ x 1， y 1）， N （ x 2， y 2）两点 .
（ 1）证明： 1 + 1 =1
； y 1
y 2 b
（ 2）当 a=2p 时，求∠ MON 的大小 .
16 证明：（ 1）直线 l 的截距式方程为
x + y
=1.①，由①及 y 2=2px 消去 x 可得 by 2+2pay － 2pab=0.
a
b
②解： 点 M 、 N 的纵坐标 y 1、 y 2 为②的两个根，故 y 1+y 2=
2 pa
， y 1y 2=－ 2pa.
b
2 pa
所以 1
1 y 1 y
2 = b 1
+
=
y 1 y 2
= .
y 1
y 2
2 pa b
（ 2）解：设直线 OM 、ON 的斜率分别为
k 1、 k 2，
则 k 1=
y 1
， k 2= y 2
. x 1 x 2
当 a=2p 时，由（ 2）知， y 1y 2=－ 2pa=－ 4p 2，
2
2
2
2
由 y 1 =2px 1， y 2 =2px 2，相乘得（ y 1y 2） =4p x 1x 2，
x 1x 2=
( y y ) 2 ( 4 p 2 ) 2
=4p 2
，
1 2
=
4 p 2
4 p 2
因此 k 1k 2=
y 1 y 2 4p 2
=－ 1.
x 1 x 2
=
2
4 p
所以 OM ⊥ON ，即∠ MON =90° .
17．已知椭圆 C 的方程为
x 2
y 2 x 2 y 2
l 1、 l 2，过椭
a 2
+ 2 =1（ a>b>0），双曲线
2
－
b 2 =1 的两条渐近线为
b
a
圆C 的右焦点 F 作直线 l ，使 l ⊥ l 1 ，又 l 与 l 2 交于 P 点，设 l 与椭圆 C 的两个交点由上至下依次为
A 、 B.（如下图）
（ 1）当 l 1 与 l 2 夹角为 60°，双曲线的焦距为 4 时，求椭圆 C 的方程；
（ 2）当 FA =λ AP 时，求 λ 的最大值 .
b 17 解：（ 1）∵双曲线的渐近线为 y=±
x ，两渐近线夹角为 60°，
a
又 b
<1，
a
∴∠ POx=30°，即 b
=tan30 ° =
3
.
a
3
∴ a= 3 b.
又 a 2+b 2 =4， ∴ a 2=3， b 2=1.
故椭圆 C 的方程为
x 2 2
3 +y =1.
（ 2）由已知 l ： y=
a （ x － c ），与 y=
b a
2
ab ），
b x 解得 P （
，
c
a
c
c
a 2
ab
由 FA =λ AP 得 A （
c ，
c
） .
1
1
将 A 点坐标代入椭圆方程得
（c2+λ a2）2 +λ2a4=（ 1+λ）2 a2c2.
22 2 22（令 e c
∴（ e +λ） +λ =e（ 1+λ） .）
a
2e4e222
］+3≤3－2 2 .
∴λ==－［（ 2－ e ） +
2
e22e2
∴λ 的最大 2 －1.
18．在平面直角坐系xOy 中，抛物y x2上异于坐原点Ｏ的两不同点Ａ、Ｂ足 AO BO （如４所示）．
（Ⅰ）求AOB 得重心Ｇ（即三角形三条中的交点）的迹方程；
（Ⅱ）AOB 的面是否存在最小？若存在，求出最小；若不存在，明理由．
y
A
B
x
O
x x1x2
3
18 解：（ I ）△ AOB 的重心 G(x,y),A(x 1,y1),B(x 2 ,y2),⋯（ 1）
y1y2
y
3
∵OA⊥OB∴ k OA k OB 1 ,即 x1 x2y1 y21，⋯⋯(2)
又点 A， B 在抛物上，有y1x12 , y2x22，代入（ 2）化得x1x21
∴ y y1y21( x12x22 )1[( x1x2 ) 22x1 x2 ]1(3x) 223x 22 333333
所以重心 G 的迹方程y3x 22
3
（II ）S AOB1| OA ||OB |1( x12y12 )( x22y22 )1x12 x22x12 y22x22 y12y12 y22 222
S AOB1x16x26212x16x2621 2 (1) 62121由（ I）得2222
当且当 x16x26即 x1x21 ，等号成立。

所以△ AOB的面存在最小，存在求最小1；
19．抛物 y 2=4px （ p>0）的准 与
x 交于 M 点， 点 M 作直 l 交抛物 于 A 、 B 两点 . （ 1）若 段 AB 的垂直平分 交 x 于 N （ x 0， 0），求 ： x 0>3p ；
（ 2）若直 l 的斜率依次
p ， p 2， p 3，⋯， 段 AB 的垂直平分 与
x 的交点依次
N 1，
N 2， N 3，⋯，当
0<p<1 ，求
1
1
+⋯ +
1
的 .
+
| N 10 N 11 |
|N 1N 2 | |N 2N 3 |
19 明： 直
l 方程 y=k （ x+p ），代入 y 2=4px.
2
2
2
2 2
得 k x +（ 2k p － 4p ） x+k p =0. =4（ k 2p － 2p ） 2－ 4k 2·k 2p 2>0， 得 0<k 2<1.
2k 2 p 4 p
， y 1+y 2=k （ x 1+x 2+2p ） =
4 p ，
令 A （ x 1， y 1）、 B （ x 2， y 2）， x 1+x 2=－
2
k
k
AB 中点坐 （
2p
k 2 p ， 2 p ） .
k 2 k
AB 垂直平分
y －
2 p
1
（ x －
2 p k 2
p
） .
k
=－
k 2
k k 2 p 2 p
2 p .
令 y=0，得 x 0=
k 2
=p+
k
2
由上可知 0<k 2<1，∴ x 0>p+2p=3p. ∴ x 0>3p.
（ 2）解：∵l 的斜率依次 p ，p 2，p 3，⋯ ，AB 中垂 与
x 交点依次
N 1，N 2，N 3，⋯（ 0<p<1）.
∴点 N n 的坐 （ p+
2
，0）.
p 2n
1
|N n N n+1|=|（ p+
2 ）－（ p+
2
）|= 2(1 p
2 )
，
p 2n 1
p 2n
1
p 2n
1
1
p 2 n
1 ，
=
2(1
| N n N n 1 | p 2 )
1
3 4 21
p 3 (1 p 19 )
所求的
2(1 p 2
) ［ p +p +⋯ +p
］=
2(1 p) 2 (1 p)
20． A 、 B 是 3x 2 y 2
上的两点，点
N （ 1， 3）是 段 AB 的中点， 段 AB 的垂直平
分 与 相交于
C 、
D 两点 .
（Ⅰ）确定
的取 范 ，并求直 AB 的方程；
（Ⅱ） 判断是否存在 的 ，使得 A 、 B 、 C 、 D 四点在同一个 上？并 明理由 .
20 解法 1：依 意，可 直
AB 的方程 y
k ( x 1) 3, 代入 3x 2 y 2
，整理得
(k 2 3) x 2 2k (k 3) x (k 3) 2
0.
①
A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ), 则 x 1 , x 2是方程 ①的两个不同的根，
4[ (k 2 3) 3(k 3)2 ] 0
②
且 x 1 x 2
2k(k 3)
.由 N (1,3) 是线段 AB 的中点，得
k 2
3
解得 k=-1 ，代入②得， >12，即 的取值范围是（ 12， + ） .
于是，直线
AB 的方程为 y 3 (x 1),即x y 4 0.
解法 2：设 A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ), 则有
依题意， x 1 x 2 , k AB
3( x 1 x 2 )
.
y 1
y 2
（ II ）解法 1：
圆方程，整理得
CD 垂直平分 AB, 直线 CD 的方程为 y 3 x 1,即x y 2 0.代入椭
4x 2 4x 4
0.
③
又设 C ( x 3 , y 3 ), D (x 4 , y 4 ), CD 的中点为 M ( x 0 , y 0 ), 则 x 3 , x 4 是方程 ③的两根，
于是由弦长公式可得
|CD |
1 (
1
) 2 | x 3 x 4 |
2(
3).
④
k
将直线 AB 的方程 x y
4 0, 代入椭圆方程得
4x 2 8x 16
0.
⑤
同理可得
|AB|
1 k
2 | x 1 x 2 |
2( 12).
⑥
假设在在
>12，使得 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆，则 CD 必为圆的直径，点
M 为圆心.点M 到直
线 AB 的距离为
1
3
4 |
| x 0
y 0
4 |
|
3 2
2 2
⑦
d
2
2
.
2
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
故当
12 时， A 、 B 、 C 、 D 四点均在以 M 为圆心，
| CD |
为半径的圆上 .
2
（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：
A 、
B 、
C 、
D 共圆
△ ACD 为直角三角形， A 为直角
|AN |2 |CN | | DN |,即
|AB|
2
|CD |
|CD | d ). ⑧
(
)
(
2
d )(
2
2
由⑥式知，⑧式左边
=
12 .
2
由④和⑦知，⑧式右边
= (
2(
3) 3 2 )( 2( 3) 3 2 )
2
2
2 2
∴⑧式成立，即 A 、B 、 C 、 D 四点共圆
解法 2：由（ II ）解法 1 及
12.
CD 垂直平分 AB, 直线 CD 方程为 y 3 x 1, 代入椭圆方程，整理得
4x 2
4x 4
0.
③
将直线 AB 的方程 x y 4 0, 代入椭圆方程，整理得
4x 2
8x 16
0.
⑤
解③和⑤式可得
x 1 ,2
2
2
12
, x 3, 4
1
2
3 .
不妨设 1 12 ,3
1 1
3 3
3 1
3 3
3
A(1
2 12), C(
,
), D(
2
,
)
2
2
2
2
∴CA (3
12 3 , 3
3 12 )
2
2
计算可得 CA DA 0 ，∴ A 在以 CD 为直径的圆上 .
又 B 为 A 关于 CD 的对称点，∴ A 、 B 、 C 、 D 四点共圆 .
（注：也可用勾股定理证明 AC ⊥ AD ）。