高二必修5不等式与一元二次不等式(非常经典题型)

第一节：不等式

一、不等式的关系： 1、比较两个实数的大小

两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b .另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；a b

＜1⇔a ＜b . 2、不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔a ＞c ；

(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞n

b (n ∈N ，n ≥2)． 针对性练习：

1、对于实数c b a ,,中，给出下列命题：

①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；

③22,0b ab a b a >><<则若； ④b

a b a 1

1,0<<<则若；

⑤b

a

a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；

⑦b c b a c a b a c ->

->>>则若,0； ⑧11

,a b a b

>>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______

2、给出下列命题：①a ＞b ⇒ac 2＞bc 2；②a ＞|b |⇒a 2＞b 2；③a ＞b ⇒a 3＞b 3；④|a |＞b ⇒a 2＞b 2.其中正确的命题是( )． A ．①② B ．②③ C ．③④

D ．①④

考点一：比较大小

例1：已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．

练习：已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是()．

A.a b ＞1 B ．a 2＞b 2C ．lg(a －b )＞0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b

方法总结： 一、作差法

1、(2011·陕西)设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )． A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2

B ．a ＜ab ＜a ＋b 2＜b

C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2

D.ab ＜a ＜

a ＋b

2

＜b

二、作商法

1、若0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，则|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小关系是（ ） A ．|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )| B ．|log a (1－x )|＜|log a (1＋x )| C ．不确定，由a 的值决定 D ．不确定，由x 的值决定 三、中间量法

1、 若a ＝20.6

，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π

5

，则( )．

A ．a ＞b ＞c

B ．b ＞a ＞c

C ．c ＞a ＞b

D ．b ＞c ＞a

考点二：不等式的性质

例2： (2012·包头模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋b c

＜0；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

练习：已知三个不等式：①ab ＞0；②bc ＞ad ；③c a ＞d b

.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点三： 不等式性质的应用

例3：已知： 求4a-2b 的范围：

1224

a b a b ≤-≤⎧⎨

≤+≤⎩

例4：已知-1

例5、设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)

的取值范围.

第二节：一元二次不等式及其解法

一、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的

如下表：

判别式

Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋

bx＋c (a＞0)的图

象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞

0)的根有两相异实根

x

1

，x2(x1＜x2)

有两相等实根

x

1

＝x2＝－

b

2a

没有实数根

ax2＋bx＋c＞0 (a ＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}

⎩⎪

⎨

⎪⎧

⎭⎪

⎬

⎪⎫

x|x≠－

b

2a

R

ax2＋bx＋c＜0 (a

＞0)的解集

{x|x1＜x＜x2}∅∅

二、简单的一元高次不等式的解法： 1、标根法：

其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202

3

2、注意：分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

()()0()

()

0()()0;0()0()

()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨

≠⎩

3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题

若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >

若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <

考点一 一元二次不等式的解法

例6：已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

x 2

＋2x ，x ≥0，

－x 2

＋2x ，x ＜0，解不等式f (x )＞3.

练习：函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域为________． 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 例7：求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．