幂数列求和公式的推导及证明
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幂数列求和公式的推导及证明我们把诸如“k1，k2，……，k n（k为自然数）”之类的数列叫做幂数列。如1，2，……，n；21，22，……，2n；31，3
2，……，3n；41，42，……，4n等。
下面几个公式经数学归纳法证明是正确的：
1+2+……
2
n(n+1)n+n
+n==
22
，
22
1+2+……
32 2
n(n+1)(2n+1)2n+3n+n
+n==
66
，
33
1+2+……
432 32
n(n+1)n+2n+n
+n=[]=
24
，
44
1+2+……
543
4
6n+15n+10n-n
+n=
30
，
55
1+2+……
6542 5
2n+6n+5n-n
+n=
12
，
66
1+2+……
7653
6
6n+21n+21n-7n+n
+n=
42
，
77
1+2+……
87642 7
3n+12n+14n-7n+2n
+n=
24
，
88
1+2+……
98753 8
10n+45n+60n-42n+20n-3n
+n=
90
，
99
1+2+……
1098642 9
2n+10n+15n-14n+10n-3n
+n=
20
，
1010
1+2+……
11109753 10
6n+33n+55n-66n+66n-33n+5n
+n=
66
。
我们把这几个公式叫做幂数列前n项和公式，其中前三
个已出现在高中课本上。出人意料的是，这些公式并不随着幂次数的增高而变得像我们想象的那样复杂，等号右端次数虽高，但项数并不是特别的多，因为某些项被消掉了。并且各项的系数的绝对值也都还没超过1。这些公式是怎样推导出来的呢？
下面以4次幂数列为例介绍一个推导方法。
我们先看一个展开式:
432n(n+1)(n+2)(n+3)=n +6n +11n +6n, 由这个展开式可得
432n =n(n+1)(n+2)(n+3)-6n -11n -6n 。
取n=1，则41=1234-6-11-6，取n=2，则
4322=2345-62-112-62，……
这些等式两端分别相加得
441+2+……4+n =[1234+2345+……+n(n+1)(n+2)(n+3)]33-6(1+2+
……322+n )-11(1+2+……2+n )-6(1+2+……+n)
为了计算中括号里边的值，我们先举一个例子：计算 式子1234+2345+3456+……+100101102103的值。
按常规算法，这300次乘法计算和99次加法计算即使使用计算器恐怕1小时之内很难完成任务。若各项都乘5，得12345+23455+34565+……+1001011021035，这样前两项相加得23456,再加第三项得34567，依此类推，加到最后一项，得数应是100101102103104，故
1234+2345+3456+……+100101102103
1=1001011021031045
（），由此猜想1234+2345+3456+……+n(n+1)(n+2)(n+3)
1=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)5
， 所以
441+2+……4+=[1234+2345+n ……+n(n+1)(n+2)(n+3)]
33-6(1+2+……322+n )-11(1+2+……2+n )-6(1+2+……+n)， 其中方括号里边的值为1n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)5
,再把1，2，3次幂数列求和公式分别代入上式并化简，得
441+2+ (5434)
6n +15n +10n -n +n =30。 这个公式的正确性可用数学归纳法来证明，证明过程如 下:
取n=1，则6+15+10-1=130
，公式显然成立；假设n=k 时公式也成立，即441+2+……54346k +15k +10k -k +k =30，则n=k+1时有
441+2+ (4)
+(k+1)=54346k +15k +10k -k +(k+1)=30 54326k +45k +120k +15k +119k+3030，而5436(k+1)+15(k+1)+10(k+1)+(k+1)=3054326k +45k +120k +15k +119k+3030
，所以54346k +15k +10k -k +(k+1)=3054326k +45k +120k +15k +119k+3030
。这
就证明了当n=k+1时公式也成立。通过以上证明可知，n取任
何自然数公式44
1+2+……
543
4
6n+15n+10n-n
+n=
30
都成立。
用类似的方法可以分别推导出5至10次幂数列求和公式，并可仿照上面的方法证明。至于11次及11次以上的幂数列求和公式,相信你在读完本文后也一定能推导和证明的。