高三数学教案 最值问题

第十五专题 最值问题

考情动态分析：

最值问题涉及到函数、不等式、三角、解析几何、立体几何等内容，求最值的方法较多，但要求学生熟练掌握以下方法：均值定理、利用单调性（对单调性的判断除应用单调性的定义外，还要熟练地应用导数判断）、配方法、换元法、图象法等求最值.在近几年的高考中，求最值已成为热点，特别是导数知识的介入，因此在复习中，必须对求最值问题的常用方法和一般技能进行系统整理、深化训练.

第一课时 求最值的常见方法

一、考点核心整合

求最值常用的方法：均值不等式法、单调性法、判别式法、换元转化法、配方法、数形结合法.特别要注意利用导数判断单调性再求最值的方法.

二、典例精讲：

例1 当2

0π

<

x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）

A 、2

B 、32

C 、4

D 、34

例2 求函数4

32+=x x

y 的最大值和最小值.

例3 设函数86)1(32)(2

3+++-=ax x a x x f ，其中R a ∈. （Ⅰ）若)(x f 在3=x 处取得极值，求常数a 的值； （Ⅱ）若)(x f 在)0,(-∞上为增函数，求a 的取值范围.

二、提高训练：

（一）选择题： 1．已知定点、B A ，且4||=AB ，动点P 满足3||||=-PB PA ，则||PA 的最小值是（ ） A 、

2

1

B 、

2

3 C 、

2

7 D 、5

2．实数、y x 满足42

2

=+y x ，则2

2-+y x xy

的最小值是（ ）

A 、222-

B 、222+

C 、2-

D 、3

4-

3．设y x z -=，式中变量x 和y 满足条件⎩⎨⎧≥-≥-+0

20

3y x y x ，则z 的最小值为（ ）

A 、1

B 、1-

C 、3

D 、3-

4．函数)1(log )(++=x a x f a x

在]1,0[上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为（ ）

A 、41

B 、2

1 C 、

2 D 、4

5．在OAB ∆中，O 为坐标原点，]2

,0(),1,(sin )cos ,1(π

θθθ∈、B A ，则当OAB ∆的

面积达到最大时，θ等于（ ）

A、

6

π

B、

4

π

C、

3

π

D、

2

π

（二）填空题：

6．P是抛物线2x

y=上任意一点，则当点P和直线0

2=

+

+y

x上的点的距离最小时，P与该抛物线准线的距离是___________.

7．设实数、y

x满足

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤

-

≥

-

+

≤

-

-

3

2

4

2

2

y

y

x

y

x

，则

x

y

的最大值是_______________.

（三）解答题：

8．如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、

邻边互相垂直的十字形，其中0

>

>x

y.

（Ⅰ）将十字形的面积表示为θ的函数；

（Ⅱ）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

9．过点)1,2(P作直线l，分别交x轴和y轴的正半轴于、B

A两点.

（Ⅰ）当|

||

|PB

PA⋅取最小值时，求l的方程；

（Ⅱ）当|

|

|

|OB

OA+的面积取最小值时，求l的方程；

（Ⅲ）当AOB

∆的面积取最小值时，求l的方程.

10．已知函数)

(

log

)

(

3

b

ax

x

f+

=的图象过点)1,2(A和)2,5(B.

（Ⅰ）求函数)

(x

f的解析式；

（Ⅱ）记*

∈

=N

n

a n f

n

,

3)(，是否存在正整数k，使得

)

1

1(

)

1

1

)(

1

1

)(

1

1(

3

2

1n

a

a

a

a

+

+

+

+ 1

2+

≥n

k对一切*

∈N

n均成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，请说明理由.

第二课时最值问题的综合应用

一、考点核心整合

在解题中，关键要熟悉求函数最值的几种基本方法，一般方法是什么，特殊方法是什么，在多种方法中选出最优方法，根据具体问题注意挖掘隐含条件，求最值没有通用方法和固定式，要靠自己积累经验.

二、典例精讲：

例1 已知1

2,2

2=

-

∈x

y

R

、y

x，则xy

y

x4

42

2-

+的最小值为____________.

例2 某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高80

=

BC（米），塔所在的山高220

=

OB（米），200

=

OA（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P

在直线l上，l与水平地面的夹角为α，

2

1

tan=

α.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角BPC

∠最大？（不计此人的身高）

O

C