二次函数与一元二次方程不等式的关系课件

x
探究
探究2:抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元
二次方程的知识来说明呢？
Y b2-4ac＜0
b2-4ac=0
b2-4ac>0
O
X
结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
y=ax2+bx+c的图 方程ax2+bx+c=0的
象和x轴交点
x 2 x 3 0 的 根 的 情 况 。
y=x2 6x9
y=x2 x3
答案: 方程x2 6x90的解是x1 x2 3. 方程x2 x30无实数根.
二、基础训练 1.已知抛物线y=2x2+bx+8的顶点在x轴上，
则b= ±8 。
2.若二次函数y=（m-8）x2+2x+m2-64的图象
过原点，则m= -8 。
6
o2 x
方法与规律： 一次函数y＝kx＋b的图象与
x轴的交点的横坐标就是一元一次方程
kx＋b＝0的根
探究
探究1：求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交 点A、B的坐标.
y 解：∵A、B在轴上，
∴它们的纵坐标为0， ∴令y=0，则x2-3x+2=0
x1 OA
x2 B
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0） 你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系？
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x23x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物 线与一元二次方程是有密切联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=wenku.baidu.com的两个根是
x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交
点坐标分别是A（ y
x1，0），
B（x2，0）
x1 x2 OA B
例如，二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝ x＋2有交点吗？有几个？
分析：两个函数的交点是这两个函数的公共 解，先列出方程组，消去y后，再利用判别 式判断即可.
根据 yx2 2x3 图象回答下列问题．
• 当 x 取何值时，y＜0？
y
• 当 x 取何值时，y＞0？
• 能否用含有x的不等式来 描述两个问题？
x y＝x2－2x－3
例题精讲
3.已知二次函数y=-x2+3x+4的图象如图；
(1)方程-x2+3x+4=0的解
y
是_x_=-1,x_=_4_
4
(2)不等式-x2+3x+4>0的解集 3 2
二、基础训练
4.已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，
则a
；若抛物线与x轴有两个交点，
则a
；若抛物线与坐标轴有两个公
共点，则a
；
5.已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴至少有一
个交点，则a的范围是
。
6.已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点 为（-2，0），（3，0），则p=___，q=__
y
⊿＜ y0
X1 0 X2 x
O X1= X2 x O
x x
ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
x1 ＝ x2
x1 =x2 没有实数根 ＝－b/2a
ax2+bx+c>0 （a>0）解集
x<x1或x>x2
x≠ x1的一切 实数
所有实数
ax2+bx+c<0 （a>0）解集
x1<x<x2
无解
无解
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式: y
(1)抛物线 y=ax2+bx+c 全部在x轴上方的 条件：a_＞_0,b2-4ac_＜_0 ；
(2)全部在x轴下方的条件：
a_＜_0,b2-4ac＜__0
能力提升
.已知二次函数 ykx26x7的图像与X轴有
两个不同的交点. （1） 求k的取值范围 （2） 当k为何值时，这两个交点横坐标的平方和等 于50.
根
b2-4ac
函数的图象
有两个交点 方程有两个不相等 b2-4ac > 0
的实数根
y .o . x
y
只有一个交点 方程有两个相等 b2-4ac = 0
的实数根
o
x
y
没有交点 方程没有实数根 b2-4ac < 0
o
x
简单运用
观 察 下 列 图 象 ， 分 别 说 出 一 元 二 次 方 程 x 2 6 x 9 0 ,
四、小结
1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、 x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐 标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ）
2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次函数 y=ax2+bx+c之间的互相转化的关系。体现了数 形结合的思想。
探究三：你的图象与x轴的交点坐标是什么？
可由一元二次方程的根的判别式来判定二次函数图象与x 轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题。
在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函 数图象解方程。
三、课后习题
已知二次函数y=x2-kx+k-2.
(1)求证:不论k取何值时，这个二次函数
y=x2-kx+k-2与x轴有两个不同的交点。 (2)如果二次函数y=x2-kx+k-2与轴两个交点为 A、B，设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6 时,求S△ABC .
<1>①-x2+x+2=0; ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0.
-1
0
2
X
y= -x2+x+2
<2>①x2-4x+4=0; ②x2-4x+4>0; ③x2-4x+4<0.
<3>①-x2+x-2=0; ②-x2+x-2>0; ③-x2+x-2<0.
y
y
O2
x
0
X
拓广：
• 函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么
三、拓展应用
练习1. 已知二次函数y=（k﹣3）x2+2x+1 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 （D ）
A、k＜4
B、k≤4
C、k＜4且k≠3 D、k≤4且k≠3
练习2.关于x的二次函数 y=(k-1)x2-3x-1 的图像全部位于x轴的下方，则k的取值范围 是k＜-5/4 ； 知识小结：
是__-1<x<4__
1
-2
(3)不等式-x2+3x+4<0的解集
-1
o -1
-2
1
2 34
5
x
-3
是_ X<-1或x>_4_
-4
-5
九、如何求当x为何值时，y>0,y=0,y<0
y
x1
x2 x
0
y
O
x1
x2 x
当x=x1或x=x2时,y=0 当x<x1或x>x2时,y<0 当x1<x<x2时,y>0
当x=x1或x=x2时,y=0 当x1<x<x2时,y<0 当x<x1或x>x2时,y>0
1、如图求当x为何值时，y>0,y=0,y<0
y
O
-2
1x
2、、若x为任意实数，则二次函数 y=x2+2x+3的函数值y的取值范围
是 y≥2。
⊿=b2-4ac
y=ax2+bx+c （a>0）图像
⊿>0
y
⊿＝0
1）方程ax2+bx+c=2的根是 __________;
2）X不1=等-2式;aXx22+=b4x+c>2的解集是_________; 3）不等式ax2+bx+c<2的解集是_________;
X<-2;X>4
y
-2<X<4
(-2,2)
2
-1 O
(4,2)
3
x
联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判 别式解决，那么二次函数与一次函数的交 点个数又该怎么解决呢？
解：△= 3628k
∵ 3628k＞0
∴k的取值为 kf 9 7
解：
x 1 2 x 2 2 (x 1 x 2 )2 2 x 1 x 2 5 0 ,
(6)2 2(7)50,
k
k
解之得：k1 1
k的取值为 k
f
9 7
k2
18 25
∴
k1 1
k2
18 25
要点小结
一般地，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值为0时自变量x的值， 也就是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标。
3.根据下列表格的对应值：
x
3.23 3.24
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02
3.25 0.03
3.26 0.09
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a、b、c为常数）一个
解的范围是 （ C ）
Ａ、3＜x＜3.23
Ｂ、3.23＜x＜3.24
Ｃ、3.24＜x＜3.25
Ｄ、3.25＜x＜3.26
§26.1.7 二次函数与一元 二次方程、不等式的关系
用数学视觉观察世界 用数学思维思考世界
温故知新
？
（1）一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点 为（2，0）；与 y 轴的交点为 （0，6） 。
（2）一元一次方程－3x＋6＝0的根为___X_=_2___
y
你能说说 （1）与 （2）之间 的联系吗？