专题一阿基米德三角形的性质
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同理可得到P点到直线BF的距离
x I
o，因此由d1=d2,可得到/AFP=ZPFB
例2（2006全国卷H,理21题）已知抛物线x2=4y的焦点为F,A B是抛物线上的两动点，且
AF=入FB（入〉0）.过A B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.
（I）证明FM-晶为定值；
（□）设厶ABM勺面积为S,写出S=f（入）的表达式，并求S的最小值. 解：（I）由已知条件，得F（0, 1）,入〉0.
高考题中的阿基米德三角形
例1（ 2005江西卷，理22题）如图，设抛物线C:y x2的焦点为F,动点P在直线I :x・y・20
■ ■
上运动，过P作抛物线C的两条切线PA PB且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求厶APB的重心G的轨迹方程
(2
解：（1）设切点A、B坐标分别为（x,x：）和区乂）（化］x°）,
性质1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。
性质2 阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C则另一顶点Q的轨迹为。
性质3抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹。
性质4若直线I与抛物线没有公共点，以I上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定
点。
性质5底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为。
性质6若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的，且阿基米德
三角形的面积的最小值为。
性质7在阿基米德三角形中，/QFAfZQFB
性质8在抛物线上任取一点I（不与AB重合），过I作抛物线切线交QA QB于S T,则厶QST的垂心在上。
性质 9 |AF•IBF1=|QF2.
性质10QM勺中点P在抛物线上，且P处的切线与A。
性质11在性质8中，连接AI、BI，则△ABI的面积是厶QST面积的倍。
t tX1+x2111
所以FM・ AB=(2, — 2)•(X2—x1,y2—y1)=2(x22—x12)— 2(4x22—4x12)= 0
所以FM・AB为定值，其值为0.……7分
1
（n）由（I）知在△ABM中,FML AB因而S=AB|FM.
/X1+ X2R11
|FM=(2)2+ ( — 2)2=Biblioteka Baidu4X12+ 4X22+2X1X2+ 4
2
di
2
■ I X* I1 ■ X1
I1I;而直线BF的方程：y1
4 ■
■1
X,
X1
即（X：_]）X _X"-
4
1
[XT
所以
P点到直线BF的距离为：d2
”一拎
（x：- ；）2-（xj2
（X2—1）凹
（X14）2-IX1I
1■2
4
2
Xi
所以
d1=d2,即得/AFF=ZPFB
②当
x/oo时，直线AF的方程:
•••切线AP的方程为：2x0x・y・x00;
切线BP的方程为：2x/—y-x； .0;
所以△APB的重心G的坐标为
所以yp二一3yG十4x：，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为:
x一(Py +4x2)一2二0,即y二l(4x2一x "2).
3
cos /AFP—
Xo_Xi
2
121
x一（xox1—/（Xo才
2
1Xoy-1—
4 Xo
o（x-。）,即（x；
1I 1_
-卩-細廿Xo_°,
直线
2
X
BF的方程：、，一1一1
y— 一 —
4x1
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（x - 0）,即（x：-」）x - xy "1x1二0,
4
所以
P点到直线AF的距离为:
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d1
牛△）卞1
2
2
X0
-亠1
-）（xo仁）
4_
21
|Xo
2
■ X1I
阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。
阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米
德三角形面积的。
阿基米德三角形的性质：
设抛物线方程为x2=2py,称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两条
切线的交点。
1 1
抛物线方程为y=4x2，求导得y'= 2x.
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
1 1
y=2X1(x—x1)+y1,y=2X2(x—x2)+y2,
1 1 1 1
即y= 2x1x— 4x12,y= 2x2x— 4x22 .
X1+X2 X1X2 X1 + X2
解出两条切线的交点M的坐标为(2,4 ) = (2, — 1).4分
设A(x1,y1),B(x2,y2)•由AF=入FB,
即得(—x1,1—y)=入(x2,y2—1),
—x1=入x2①
1—y1=入(y2 — 1)②
1 1
将①式两边平方并把y1=4x12,y2 = 4x22代入得y1=入2y2③
丄
解②、③式得y1=入，y2=入，且有x1x2=—入x22 = —4Xy2= —4,
ifp1I卜2_（xo2_y
•••/
方法2:①当x/o
线AF的距离为:
同理有cos /BFP
_l FP II FB |
Xo-X1
J"
1
（x°Xi-
2
X1
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1
一一）XoX1
亠二
IFP|
二o时，由于X’Xo,不妨设X。二o,则y。二o,所以P点坐标为（竺，。），则P点到直
x I
o，因此由d1=d2,可得到/AFP=ZPFB
例2（2006全国卷H,理21题）已知抛物线x2=4y的焦点为F,A B是抛物线上的两动点，且
AF=入FB（入〉0）.过A B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.
（I）证明FM-晶为定值；
（□）设厶ABM勺面积为S,写出S=f（入）的表达式，并求S的最小值. 解：（I）由已知条件，得F（0, 1）,入〉0.
高考题中的阿基米德三角形
例1（ 2005江西卷，理22题）如图，设抛物线C:y x2的焦点为F,动点P在直线I :x・y・20
■ ■
上运动，过P作抛物线C的两条切线PA PB且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求厶APB的重心G的轨迹方程
(2
解：（1）设切点A、B坐标分别为（x,x：）和区乂）（化］x°）,
性质1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。
性质2 阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C则另一顶点Q的轨迹为。
性质3抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹。
性质4若直线I与抛物线没有公共点，以I上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定
点。
性质5底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为。
性质6若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的，且阿基米德
三角形的面积的最小值为。
性质7在阿基米德三角形中，/QFAfZQFB
性质8在抛物线上任取一点I（不与AB重合），过I作抛物线切线交QA QB于S T,则厶QST的垂心在上。
性质 9 |AF•IBF1=|QF2.
性质10QM勺中点P在抛物线上，且P处的切线与A。
性质11在性质8中，连接AI、BI，则△ABI的面积是厶QST面积的倍。
t tX1+x2111
所以FM・ AB=(2, — 2)•(X2—x1,y2—y1)=2(x22—x12)— 2(4x22—4x12)= 0
所以FM・AB为定值，其值为0.……7分
1
（n）由（I）知在△ABM中,FML AB因而S=AB|FM.
/X1+ X2R11
|FM=(2)2+ ( — 2)2=Biblioteka Baidu4X12+ 4X22+2X1X2+ 4
2
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2
■ I X* I1 ■ X1
I1I;而直线BF的方程：y1
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即（X：_]）X _X"-
4
1
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所以
P点到直线BF的距离为：d2
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4
2
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d1=d2,即得/AFF=ZPFB
②当
x/oo时，直线AF的方程:
•••切线AP的方程为：2x0x・y・x00;
切线BP的方程为：2x/—y-x； .0;
所以△APB的重心G的坐标为
所以yp二一3yG十4x：，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为:
x一(Py +4x2)一2二0,即y二l(4x2一x "2).
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cos /AFP—
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2
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o（x-。）,即（x；
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BF的方程：、，一1一1
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（x - 0）,即（x：-」）x - xy "1x1二0,
4
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2
■ X1I
阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。
阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米
德三角形面积的。
阿基米德三角形的性质：
设抛物线方程为x2=2py,称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两条
切线的交点。
1 1
抛物线方程为y=4x2，求导得y'= 2x.
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
1 1
y=2X1(x—x1)+y1,y=2X2(x—x2)+y2,
1 1 1 1
即y= 2x1x— 4x12,y= 2x2x— 4x22 .
X1+X2 X1X2 X1 + X2
解出两条切线的交点M的坐标为(2,4 ) = (2, — 1).4分
设A(x1,y1),B(x2,y2)•由AF=入FB,
即得(—x1,1—y)=入(x2,y2—1),
—x1=入x2①
1—y1=入(y2 — 1)②
1 1
将①式两边平方并把y1=4x12,y2 = 4x22代入得y1=入2y2③
丄
解②、③式得y1=入，y2=入，且有x1x2=—入x22 = —4Xy2= —4,
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•••/
方法2:①当x/o
线AF的距离为:
同理有cos /BFP
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1
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二o时，由于X’Xo,不妨设X。二o,则y。二o,所以P点坐标为（竺，。），则P点到直