探讨三个“二次”之间的关系 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版

概念梳理
三 个 “二 次” 之间的关系：
y
y=ax2+bx+c
2
y >0 ax2+bx+c >0
1
-1 0 -1
12
y <0
3
x
ax2+bx+c <0
概念梳理
三 个 “二 次” 之间的关系：
鉴于上述关系，我们既可以用方程或不等式去研究函 数问题，也可以用函数观点去研究方程或不等式问题。
温故知新
概念梳理
三 个 “二 次” 之间的关系：
从图象上看，三者更是密不可分的： ⑴ 函数研究的某一变化过程的全过程，就是在自变量 取值范围内，变量x 与变量y 之间的对应关系； ⑵ 方程是研究图象与x 轴交点的横坐标，可以理解为 变化过程中的一瞬间(即使函数y 的值等于0的x 值）； ⑶ 不等式是研究在什么条件下，图象位于x 轴上方或 位于x 轴下方的问题。
没有交点
没有实数根
b2-4ac<0
温故知新
1、若方程 ax2+bx+c =0的根为x1 =-2和x2 =3，则二次函
数
(-2,0)和(3,0)
y2=、ax抛2+物bx线+c的y=图x2-象4x与+4x与轴x交轴点有坐标一是个交点，交点。坐标 是 (2,0。)
3、抛物线 y= x2-2x+m，若其顶点在x 轴上，则m= 1。 4、抛物线 y=x2-2mx-1与x 轴的交点个数是（ A） A、2个 B、1个 C、0个 D、不能确定
描述该二次函数的大致图象，并自取a、b、c的值，完成
下列问题：
⑶ 写出给定抛物线的对称轴和
y
4
顶点坐标；
3
y= -x2+2x+3
解：对称轴：直线x =1 顶点坐标：(1，4)
2
1
-1 0 1 2 3
x
-1
活动探究
3、已知：二次函数y=ax2+bx+c，其中a<0，b>0，c>0,试
描述该二次函数的大致图象，并自取a、b、c的值，完成
探讨三 个“二 次” 之间的关 系
概念梳理
三 个 “二 次” 是指： ⑴ 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）；
⑵ 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）； ⑶ 一元二次不等式 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0(a≠0)
概念梳理
三 个 “二 次” 之间的关系：
从直观上看，三者研究的重点是不同的： ⑴ 函数是研究某一变化过程中，变量x 与变量y 之间的 对应关系； ⑵ 方程是研究已知数与未知数之间的相等关系； ⑶ 不等式是研究已知数与未知数之间的不等关系。
它因素,水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不
至于落在池外？
y/m
解：在y=-x2+Βιβλιοθήκη Baidux+3中，当x=0时，y=3
∴ OA=3m
A
而当y=0时，解得：x1 =-1(舍去)，x2 =3
∴水池的半径至少为3m。
0
B
x/m
活动探究
3、已知：二次函数y=ax2+bx+c，其中a<0，b>0，c>0,试
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x 轴交点的坐标与一元二 次方程ax2+bx+c=0的根的关系：
二次函数 y=ax2+bx+c的 图象和x 轴的交点个数
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
根的判别式 Δ=b2-4ac
两个交点
两个不相等的实数根 b2-4ac>0
一个交点
两个相等的实数根
b2-4ac=0
温故知新
5、竖直上抛物体的高度 h(m)与运动时间 t(s)的关系：
h=-5t2+v0t+h0，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出 时的速度。一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出
起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示根据
图象，回答下列问题： ⑴ 写出h 和t 的关系式； 解：h= -5t2+40t
h
10
08
60
40
20
0 0 2468
t
温故知新
5、竖直上抛物体的高度 h(m)与运动时间 t(s)的关系：
h=-5t2+v0t+h0，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出 时的速度。一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出
起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示根据
下列问题：
y
⑷ 当x 取何值时，y 随x 的增大而
减小？
3
y= -x2+2x+3
解：当x >1时，y随 x的增大
2
而减少。
1
-1 0 1 2 3
x
-1
活动探究
3、已知：二次函数y=ax2+bx+c，其中a<0，b>0，c>0,试
描述该二次函数的大致图象，并自取a、b、c的值，完成
h
图象，回答下列问题：
10
08
⑵ 抛出后小球到达的最大高度； 60
40
解：最大高度是80m。
20
0 0 2468
t
温故知新
5、竖直上抛物体的高度 h(m)与运动时间 t(s)的关系：
h=-5t2+v0t+h0，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出 时的速度。一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出
概念梳理
三 个 “二 次” 之间的关系：
实际上，三者又是紧密联系，可以相互转化： ⑴ 由方程可以转化为函数，如方程 y-kx-b=0(k≠0) 可以转化为一次函数 y=kx+b ； ⑵ 由函数转化为方程，如一次函数 y=2x-3，可以转化 为二元一次方程 2x-y=3； 在转化过程中注意不能改变自变量的取值范围。
N
y =1
-1 0 1 2 3
x
-1
活动探究
2、如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷
水装置OA，A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿
形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系水
流喷出的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的关系式是：
y= -x2+2x+3(x﹥0)。柱子OA 的高度是多少米？若不计其
起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示根据
图象，回答下列问题： ⑶ 小球经过多少秒后落地? 解：8s
h
10
08
60
40
20
0 0 2468
t
活动探究
1、一元二次方程 x2-4x+3=1的根与二次函数y=x2-4x+3 的
图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。
y
3
2
1M
y=x2-4x+3
描述该二次函数的大致图象，并自取 a、b、c 的值，完成
下列问题： ⑴ 写出给定函数的关系式；
解：取a =-1，b =2，c =3
则关系式为：y= -x2+2x+3 ⑵ 画出给定函数的图象；
y
3 2
1
-1 0 -1
y= -x2+2x+3
123
x
活动探究
3、已知：二次函数y=ax2+bx+c，其中a<0，b>0，c>0,试