函数、极限和连续试题及答案

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极限和连续试题(A 卷)

1.选择题(正确答案可能不止一个)。

(1)下列数列收敛的是( )。

A . n n x n n 1

)1(--= B . n x n n 1

)1(-=

C . 2sin πn x n =

D . n

n x 2=

(2)下列极限存在的有( )。

A . x x sin lim ∞→

B . x x x sin 1

lim ∞→

C . 121lim 0-→x x

D . 121

lim 2+∞→n n

(3)下列极限不正确的是( )。

A . 2)1(lim 1=+-→x x

B . 111lim 0=+→x x

C . ∞=-→2124lim x x

D . +∞=+→x

x e 2

0lim

(4)下列变量在给定的变化过程中,是无穷小量的有( )。

A . )0(12→--x x

B . )0(sin →x x x

C . )(+∞→-x e x

D . )0()1

sin 2(12→-+x x x x

(5)如果函数.

0;0;

0,1sin ,,sin 1

)(>=<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=x x x b x

x a x x x f 在0=x 处连续,则b a 、的值为(

。 A . 0,0==b a B . 1,1==b a

C . 0,1==b a

D . 1,0==b a

2.求下列极限:

(1))13(lim 231+-→x x x ; (2))523(lim 2

2-+-→x x x ;

(3))31

1(lim 0-+→x x ; (4)x x x x +-→223lim ;

(5)38

lim 23--→x x x ; (6)416

lim 24--→x x x ;

(7)121

lim 221---→x x x x ; (8)22

lim 2--→x x x ;

(9)x x x 11lim 0-+→; (10)x

x x cos lim ∞→; (11)x x x x x --+∞→33313lim ; (12)x

x x x x --+∞→44513lim ; (13)x x x x x --+∞→43133lim ; (14)1

139lim 23--+∞→x x x x ; (15)x x

x 33sin

lim 0→. 3.设2320()21013(1)1x x f x x x x x -<⎧⎪=+≤<⎨⎪+-≥⎩

,,,,求)(lim 1x f x -→,)(lim 0x f x →,)(lim 21x f x →,)(lim 3x f x →。 4.证明:)0(~sin +→+x x x x 。

5.求下列函数的连续区间:

(1)2

9)3ln(x x y -+-=; (2).1;1,1,122≥<⎩⎨⎧+-=x x x x y 6.证明2

2lim 2--→x x x 不存在. 7.设.0;0,1sin ,1sin )(+∞<<<<∞-⎪⎩

⎪⎨⎧=x x x x x x f 求)(x f 在0→x 时的左极限,并说明它在0→x 时右极限是否存在?

8.证明)12111(lim 222n n n n n ++++++∞→ 存在并求极限值。

9.若0)1

1(lim 2=--++∞→b ax x x x ,求b a 、的值。 答案

1.(1)B ; (2)BD ; (3)C ; (4) ACD ; (5)B.

2.(1)-1; (2)3; (3)32; (4)6

1-; (5)∞; (6)8; (7)32; (8)2

21; (9)21; (10)0; (11)31; (12)51;

(13)0; (14)∞; (15)9

1. 3.3)(lim 1=-→x f x , )(lim 0x f x →不存在, 23)(lim 21

=→x f x , 11)(lim 3

=→x f x . 5.(1))3,3[-; (2)),1()1,(+∞-∞ .

7.)(x f 在0→x 时的左极限为0,在0→x 时右极限不存在。

8.极限值为1.

9.11a b ==-,.

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