函数、极限和连续试题及答案
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极限和连续试题(A 卷)
1.选择题(正确答案可能不止一个)。
(1)下列数列收敛的是( )。
A . n n x n n 1
)1(--= B . n x n n 1
)1(-=
C . 2sin πn x n =
D . n
n x 2=
(2)下列极限存在的有( )。
A . x x sin lim ∞→
B . x x x sin 1
lim ∞→
C . 121lim 0-→x x
D . 121
lim 2+∞→n n
(3)下列极限不正确的是( )。
A . 2)1(lim 1=+-→x x
B . 111lim 0=+→x x
C . ∞=-→2124lim x x
D . +∞=+→x
x e 2
0lim
(4)下列变量在给定的变化过程中,是无穷小量的有( )。
A . )0(12→--x x
B . )0(sin →x x x
C . )(+∞→-x e x
D . )0()1
sin 2(12→-+x x x x
(5)如果函数.
0;0;
0,1sin ,,sin 1
)(>=<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=x x x b x
x a x x x f 在0=x 处连续,则b a 、的值为(
)
。 A . 0,0==b a B . 1,1==b a
C . 0,1==b a
D . 1,0==b a
2.求下列极限:
(1))13(lim 231+-→x x x ; (2))523(lim 2
2-+-→x x x ;
(3))31
1(lim 0-+→x x ; (4)x x x x +-→223lim ;
(5)38
lim 23--→x x x ; (6)416
lim 24--→x x x ;
(7)121
lim 221---→x x x x ; (8)22
lim 2--→x x x ;
(9)x x x 11lim 0-+→; (10)x
x x cos lim ∞→; (11)x x x x x --+∞→33313lim ; (12)x
x x x x --+∞→44513lim ; (13)x x x x x --+∞→43133lim ; (14)1
139lim 23--+∞→x x x x ; (15)x x
x 33sin
lim 0→. 3.设2320()21013(1)1x x f x x x x x -<⎧⎪=+≤<⎨⎪+-≥⎩
,,,,求)(lim 1x f x -→,)(lim 0x f x →,)(lim 21x f x →,)(lim 3x f x →。 4.证明:)0(~sin +→+x x x x 。
5.求下列函数的连续区间:
(1)2
9)3ln(x x y -+-=; (2).1;1,1,122≥<⎩⎨⎧+-=x x x x y 6.证明2
2lim 2--→x x x 不存在. 7.设.0;0,1sin ,1sin )(+∞<<<<∞-⎪⎩
⎪⎨⎧=x x x x x x f 求)(x f 在0→x 时的左极限,并说明它在0→x 时右极限是否存在?
8.证明)12111(lim 222n n n n n ++++++∞→ 存在并求极限值。
9.若0)1
1(lim 2=--++∞→b ax x x x ,求b a 、的值。 答案
1.(1)B ; (2)BD ; (3)C ; (4) ACD ; (5)B.
2.(1)-1; (2)3; (3)32; (4)6
1-; (5)∞; (6)8; (7)32; (8)2
21; (9)21; (10)0; (11)31; (12)51;
(13)0; (14)∞; (15)9
1. 3.3)(lim 1=-→x f x , )(lim 0x f x →不存在, 23)(lim 21
=→x f x , 11)(lim 3
=→x f x . 5.(1))3,3[-; (2)),1()1,(+∞-∞ .
7.)(x f 在0→x 时的左极限为0,在0→x 时右极限不存在。
8.极限值为1.
9.11a b ==-,.