关于行列式的一般定义和计算方法
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关于 行列 式的
般定义和
计算方 法
n 阶行列式的定义
a^ a 12 a 1n
n 阶行列式
a 21 a 22
a 2n
=(1)
(jj
j 1j
2 j
n
j n )
a
1j 1 a 2j 2
a
nj n
a
n1 a
n2
a
nn
a
11 a 12 a 13
D
a
21 a
22 a
23
a
11a 22a 33
a
12a 23a 31
a
13a 21a 32
(1
a 31
a
32
a
33
已13已已已12已21已
311323332
2 N 阶行列式是N
项的代数和；
3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、 不同列N 个元素的 乘积；
特点：(1)(项数)它是3!项的代数和；
(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积
其一般项为：
(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列；
三个负项的列标构成的排列为 321,213,132,
它们都是奇排列.
§行列式的性质
，性质1:行列式和它的转置行列式的值相同。
以r i 表第i 行，C j 表第j 列。交换i , j 两行记为r i r j ,交换i,j 两列记作
性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值
等于零。
"性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数
k 的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。（第i 行乘以k ，记作 r i k ）
推论1： 一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行
列式符号的前面。
推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行
列式值等于零。
推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列
式值等于零。
性质5：如果行列式D 的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行列
式 D 等 于 两 个 行 列 式 D 和
D 2 的 和
a i1 a
i2
a ij
b i a
in
a i1 a
i2
a ij
a
i n
a ii a i2
b i ai n a 2i a 22
a
2j
b 2
a 2n
=
a 2i a 22
a
2j
a 2n +
a 2i a 22
b 2 a 2n
a n1 a n2
a nj
b n
a
nn
a ni a
n2
a nj
a
nn
a ni a
n2 b n
a
nn
"性质6：把行列式的某一行（或某一列）的元素乘同一个数后，加到另一行（或 另一
列）的对应元素上，行列式值不变。
推论如果行列式的某一行（列）的每个元素都是 m 个数之和（m>2），则此行列 式等于m 个行列式之和。
a i1 a i2
a in
a i1 a
21
a
n1
即
a
21 a
22
a
2n
=
a i2 a
22
a
n2
a
n1 a n2
a
nn
a
i n a 2n
a
nn
行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2 互换行列式的两行（列） ，行列式的值变号.
如:D=
=ad-bc ,
=bc-ad= -D
C i
C j 。
一个n阶行列式，如果它的元素满足：a ij a ji i, j 1,2 n ；试证：当n
为奇数时，此行列式为零。
每一行（或列）提出一个（-1），再转置得D=（-1）n D
性质7行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。
按仃：a i i A j 1 a i2 A j 2 a in A jn 0 i j
按列：a1i A1j a2i A2 j a ni A nj 0 i j
将性质7与Laplace定理合并为下列结论：
n
a ik A jk k 1 D
i j
i j
(1)
和n a
ki A kj
k 1 D
0 i i j j
(2)
行列式的计算
1 •利用行列式定义直接计算
例1计算行列式
解B中不为零的项用一般形式表示为
a1n 1 a2n 2L a n 11 a nn n!・
该项列标排列的逆序数t （n-1 n—2…1 n
（n 1）（n 2）
2
2 •利用行列式的性质计算
例2 一个n阶行列式D n a j的元素满足
则称D为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零•
证明：由a ij a ji知a ii a ii，即
故行列式D可表示为
由行列式的性质A A
当n为奇数时，得D =—D,因而得D = 0.
3.化为三角形行列式
若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。