原子物理学第4章 原子的精细结构：电子的自旋
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反向，写成矢量式则为：
e
e 称为旋磁比 2me
L
磁矩在外磁场 B 中将受到力矩的作用，力矩将使得磁矩 绕外磁场 B 的方向旋进。我们将这种旋进称为拉莫尔进动。相应
的频率称为拉莫尔频率 L，下面我们来计算这个频率。 由电磁学知在均匀外磁场中受到的力矩为
2、 L 有2l+1个取向，则 S 也应该有2s+1个取向
S s ( s 1)
其中s称为自旋量子数
S z ms , ms s, s 1,,s
实验表明：对于电子来说
s
ms
1 1 , 2 2
即 S 有两个空间取向
1 2
3、与自旋角动量 S 对应的自旋磁矩用 s 表示。由 L 式知，轨道磁矩与轨道角动量之间的对应关系是
二、量子表示式
量子的磁矩表示式与经典表示式有同样的形式，即：
但根据量子力学的计算，角动量 L 是量子化的，这包括它的 大小和空间取向都是量子化的。量子力学的结论为：
L
L l (l 1), Lz ml
式中l为角量子数，ll 0,1,2,, n 1; ml为轨道磁量子数，m l 0,1,2,,l
式中 是精细结构常数（1/137），a1为第一玻尔半径。 ea1 是原子的 电偶极矩的量度，而 B 则是原子的磁性偶极矩的量度，后者是前者的 1 倍，这说明：磁相互作用至少比电相互作用小两个数量级。
2
§4.2 史特恩—盖拉赫实验
上一节的讨论表明：不仅原子中电子轨道的 大小、形状和电子运动的角动量、原子内部的能
§4.1 原子中电子轨道运动磁矩
一、经典表示式
在电磁学中,我们曾经定义闭合回路的磁矩为:
iSn
因此，原子中电子绕核旋转也必定与一个磁矩相对应，式中是i 回路电流，S是回路面积，为 n 磁矩方向的单位矢量。设电子绕核 运动的频率为 ，则周期 1
图中电子绕核旋转dt时间对应的扇形面积为：
说明我们的原子模型还很粗糙。本章我们将引进电子自旋假设，对磁矩的合成
以及磁场对磁矩的作用进行讨论，去考察原子的精细结构，并且我们要介绍史 特恩-盖拉赫，塞曼效应，碱金属双线三个重要实验，它们证明了电子自旋假 设的正确性。电子自旋假设的引入，正确解释了氦原子的光谱和塞曼效应.可 是“自旋是一种结构呢？还是存在着几类电子呢？”并且到现在为止，我们的 研究还只限于原子的外层价电子，其内层电子的总角动量被设为零，下一章我 们将要着手讨论原子的壳层结构。 本节介绍了原子中电子轨道运动引起的磁矩，从电磁学定义出发，我们将 得到它的经典表达式，利用量子力学的计算结果，我们可以得到电子轨道磁矩 的量子表达式。对原子中电子轨道磁矩的讨论使我们发现，电子运动轨道的大 小，运动的角动量以及原子内部的能量都是量子化的。不仅如此，我们还将看 到，在磁场中或电场中，原子内电子的轨道只能取一定的方向，一般地说,在电 场或磁场中，原子的角动量也是量子化的，人们把这种情况称作空间量子化。
史特恩—盖拉赫实验对氢原子的结果
§4.3 电子的自旋
史特恩-盖拉赫实验中出现偶数分裂的事实启示人们，电子 的轨道运动似乎不是全部的运动。换句话说，轨道磁矩应该 只是原子总磁矩的一部分，那另一部分的运动是什么呢？相
应的磁矩又是什么呢？
1925年，两位荷兰学生乌仑贝克（G.E.Uhlenbeck）与古兹 米特（S.Goudsmi）根据史特恩-盖拉赫实验、碱金属光谱的精
Bz Bz 0 x y
则具有磁矩的原子受 到沿z方向的力为：
式中：
f z
z 原子磁矩在磁场方向上的分量；
磁矩与磁场方向的夹角
Bz B z COS z z
Bz z沿磁场方向的磁感应强度变化的梯度
B z >0，当 z
讨论：（1）如果
90 0 时，则 f 0
力的方向沿磁场方向。
Bz 0 0 ，当 90 时，则 （2）如果 z
f 0
力的方向和磁场方向相反。 由于原子在磁场中运动时受到磁场的作用力垂直于原子的进行 方向，原子的路径就发生偏转。原子在磁场作用下在垂直于运动方 向获得的加速度为： a f m—原子的质量 m
假设原子束沿水平方向(x方向)运 动的速度为v，在z方向上受到力f作用， 则原子束在磁场区内将作抛物线运动， 运动方程为：
中存在大量原子，Z 几乎连续分布，在屏幕上应出现相对于中央对称 分布的带状分布。 （3）实验结果是屏幕上得到二条分立的条纹，而且是对称分布在准 直位置的上下两边。所以 z只能取大小相等符号相反的二个值。 z 取 值的量子化表明原子磁矩在磁场中的取向或者与磁场平行，或者与磁 场相反，没有中间 的取向。这就充分证明了原子磁矩的空间取向是量 子化的。
x vt 1 f 2 z1 2m
原子束通过磁场区（长度为d）到达出口时，已偏离x轴z1 距离，此时与x轴的偏角为：
dz 1 ft 1 fd tg tg tg 2 dx d mv d mv
即完整的微观模型是：对给定的n，有l个不同的形状的轨道(l)；确
定的轨道有2l+1个不同的取向( ml )；当都给定后，就给出了一个确定 的状态。所以我们经常说：（n，l， l ）描述了一个确定的状态。 m
轨道角动量及其分量的示意图
把式 L l (l 1) 代入式 L 得 的数值表示为
（4）由于原子的磁矩的大小与原子的核外电子运动的轨道角动量 的大小成正比，方向一致，所以原子磁矩的空间取向的量子化是电子 轨道运动角动量的量子化，也是原子核外电子运动取向的空间量子化。 （5）相片的两条黑斑是略有宽度的，不是很细的线条。说明原 子具有一个速度分布。
（6）由电子轨道运动空间取向量子化理论预言，原子在磁场中磁 矩的取向的可能值为 2l 1 ，l 为整数， l 1 就一定是奇数。在实验 2 中确定观察到了奇数取向的例子，但对氢、锂、钠、钾、铜、银、金 等原子都只观察到两个取向。所以目前为止我们对原子的描述仍是不 完全的。
e l L, 其量值关系: l l (l 1) B , l , z ml B 2me 与此类比， S 与相应的 s 之间也有相对应的关系，由实 e ，其量值关系为 验结果给出这个对应关系是 s S me
e s me
M B dL 由理论力学得 : M B dt 将 L代入得
令 B
d B dt d dt
d 的物理意义 : 与B同向， 则 沿“轨道”切向， 如图所示 dt
1
然后它沿直线运动，一直落到屏幕P上，那时偏离x轴的距离z2为：
Bz dD Bz dD z2 Dtga 2 cos z z mv z 3kT
2 （原子在容器内被加热成蒸汽，处于热平衡时， mv 3kT ）
讨论： (1) 如果原子磁矩=0, 则z2=0， 原子射线穿过磁场时不受力的 作用，准直地落在屏幕的中央处，形成一条中央条纹。 实验表明：z20，则原子具有磁矩。 (2) 如果原子磁矩仅仅大小是量子化的（ l l (l 1) B ），而 Z 方向不受限制，则原子的磁矩和磁场方向可以有任意的夹角，则 就不是量子化的，实验测得的z2值也不应该是量子化的，由于射线束
1 1 2 1 2 dS rd r r d r dt 2 2 2
1 2 1 则 : S dS r dt 0 0 2 2me
由此可得到磁矩的大小为：
L 0 (me r )dt 2me
2
0
dt
2me
L
考虑到 与 L
e iS L L L 2me 2me
量都是量子化的，而且在外场中角动量的取向也 是量子化的。史特恩—盖拉赫在1921年进行的实 验就是对原子在外磁场中取向量子化的首次直接 观察。
一、实验描述
被测样品（如H原子）放在电炉O内被蒸发，通过狭缝S1和S2 后，形成细束。经过一个不均匀的磁场区域，在磁场的垂直方向 上进行。最后撞在屏幕P上。原子通过的区域是抽成真空的。
d 的标量形式为 dt d sin ( sin ) dt
d
设在dt时间内旋进角度d， 则 d d sin d代入上式得 dt
可见， 是 随时间的变化率
即
是角频率，拉莫尔频率为
e L B B 2 2 4me
1 1 ( 1) 3 B 2 2
s,z
e ms B me
电子自旋假设得到了各种实验的支持，而且与电子自旋概念一起可 由Dirac的相对论量子力学严格导出。
乌仑贝克（G.E.Uhlenbeck）与古兹米特（S.Goudsmi） 这二位不 到25岁的荷兰学生根据一系列的实验事实提出电子不是点电荷，它除了 轨道角动量外，还有自旋运动。提出电子像一个陀螺，能够绕自身轴旋 转，似乎无创造性可言；不过提出任何电子都有相同的自旋角动量，而 且在Z轴方向的分量只取二个数值，这对于经典物理是无法接受的。更 迷惑人们的还在于，如果把电子看作一个带有电荷-e的小球，半径为1014cm，它像陀螺一样绕自身旋转，那么可以证明，自旋角动量为1/2的 电子，在表面上的切向线速度将大大超过光速。
x
二、实验结果
对于氢、锂、钠、钾、铜、银、金等原子经过不均匀的磁场 作用后分成两束，屏幕上看见两条黑斑；但对于锌、汞、镉、 锡等原子经过不均匀的磁场作用只观察到一束；对于基态的氧 原子经过不均匀的磁场作用却观察到五束。
三、实验结果解释
原子具有磁矩，在磁场中的行为象一个磁偶极子。如果磁场 为匀强磁场，则原子只能受力偶矩作用 B 使磁偶极子转向 M 沿磁场方向。 如果把原子放入不均匀的磁场中，则原子除受力矩作用而转动 外，还受到沿磁场方向合力的作用而平动。 由于在实验中磁场是由一块能在很小线度内产生不均匀的磁 场的磁铁产生的，所以
第四章：原子的精细结构：电子的自旋
内容：
1、原子中电子轨道运动磁矩 2、史特恩—盖拉赫实验 3、电子自旋的假设 4、碱金属双线 5、塞曼效应
重点： 电子自旋假设、三个重要实验（史特恩—盖
拉赫实验、碱金属双线、塞曼效应）
前面我们详细讨论了氢原子和碱金属原子的能级与光谱，理论与实验符合 的很好，可是后来用高分辨率光谱仪观测时发现，上述光谱还有精细结构，这
又由式
Lz ml 可得， 在 z方向的投影表达式为 e z Lz ml 2me e ，称为玻尔磁子。也可改写为 通常令 B 2me 4 0 2 1 e2 1 B e (ea1 ) 2 2 4 0 c me e 2
e L l (l 1) 2me
细结构等许多实验事实，发展了原子的行星模型，提出电子
不仅有轨道运动，还有自旋运动，它具有固有的自旋角动量S。 引入了自旋假设以后，人们成功地解释了碱金属的精细结构，
塞曼效应以及史特恩-盖拉赫实验等。
一、电子的自旋
1925年，年龄不到25岁的两位荷兰学生乌仑贝克（G.E.Uhlenbeck） 与古兹米特（S.Goudsmi）根据大量的实验事实，提出一个极大胆的假 设，电子不仅有轨道运动，还有自旋运动，它具有固有的自旋角动量S， 具体内容是： 1、与轨道角动量进行类比知，自旋角动量的大小为
正因为这些概念上的困难，乌仑贝克与古兹米特的假设一开始就遭 到很多人的反对，包括当时已闻名的泡利，以致使乌仑贝克与古兹米特 想把自己写好的文章收回。但是他们的导师埃伦菲斯特（P.Ehrenfest） 已把稿子寄出发表，并说“你们还年青，有些荒唐，没关系”。 • 现在我们知道电子的自旋，如同电子的质量、电荷一样，是电子本 身的内禀属性。
e
e 称为旋磁比 2me
L
磁矩在外磁场 B 中将受到力矩的作用，力矩将使得磁矩 绕外磁场 B 的方向旋进。我们将这种旋进称为拉莫尔进动。相应
的频率称为拉莫尔频率 L，下面我们来计算这个频率。 由电磁学知在均匀外磁场中受到的力矩为
2、 L 有2l+1个取向，则 S 也应该有2s+1个取向
S s ( s 1)
其中s称为自旋量子数
S z ms , ms s, s 1,,s
实验表明：对于电子来说
s
ms
1 1 , 2 2
即 S 有两个空间取向
1 2
3、与自旋角动量 S 对应的自旋磁矩用 s 表示。由 L 式知，轨道磁矩与轨道角动量之间的对应关系是
二、量子表示式
量子的磁矩表示式与经典表示式有同样的形式，即：
但根据量子力学的计算，角动量 L 是量子化的，这包括它的 大小和空间取向都是量子化的。量子力学的结论为：
L
L l (l 1), Lz ml
式中l为角量子数，ll 0,1,2,, n 1; ml为轨道磁量子数，m l 0,1,2,,l
式中 是精细结构常数（1/137），a1为第一玻尔半径。 ea1 是原子的 电偶极矩的量度，而 B 则是原子的磁性偶极矩的量度，后者是前者的 1 倍，这说明：磁相互作用至少比电相互作用小两个数量级。
2
§4.2 史特恩—盖拉赫实验
上一节的讨论表明：不仅原子中电子轨道的 大小、形状和电子运动的角动量、原子内部的能
§4.1 原子中电子轨道运动磁矩
一、经典表示式
在电磁学中,我们曾经定义闭合回路的磁矩为:
iSn
因此，原子中电子绕核旋转也必定与一个磁矩相对应，式中是i 回路电流，S是回路面积，为 n 磁矩方向的单位矢量。设电子绕核 运动的频率为 ，则周期 1
图中电子绕核旋转dt时间对应的扇形面积为：
说明我们的原子模型还很粗糙。本章我们将引进电子自旋假设，对磁矩的合成
以及磁场对磁矩的作用进行讨论，去考察原子的精细结构，并且我们要介绍史 特恩-盖拉赫，塞曼效应，碱金属双线三个重要实验，它们证明了电子自旋假 设的正确性。电子自旋假设的引入，正确解释了氦原子的光谱和塞曼效应.可 是“自旋是一种结构呢？还是存在着几类电子呢？”并且到现在为止，我们的 研究还只限于原子的外层价电子，其内层电子的总角动量被设为零，下一章我 们将要着手讨论原子的壳层结构。 本节介绍了原子中电子轨道运动引起的磁矩，从电磁学定义出发，我们将 得到它的经典表达式，利用量子力学的计算结果，我们可以得到电子轨道磁矩 的量子表达式。对原子中电子轨道磁矩的讨论使我们发现，电子运动轨道的大 小，运动的角动量以及原子内部的能量都是量子化的。不仅如此，我们还将看 到，在磁场中或电场中，原子内电子的轨道只能取一定的方向，一般地说,在电 场或磁场中，原子的角动量也是量子化的，人们把这种情况称作空间量子化。
史特恩—盖拉赫实验对氢原子的结果
§4.3 电子的自旋
史特恩-盖拉赫实验中出现偶数分裂的事实启示人们，电子 的轨道运动似乎不是全部的运动。换句话说，轨道磁矩应该 只是原子总磁矩的一部分，那另一部分的运动是什么呢？相
应的磁矩又是什么呢？
1925年，两位荷兰学生乌仑贝克（G.E.Uhlenbeck）与古兹 米特（S.Goudsmi）根据史特恩-盖拉赫实验、碱金属光谱的精
Bz Bz 0 x y
则具有磁矩的原子受 到沿z方向的力为：
式中：
f z
z 原子磁矩在磁场方向上的分量；
磁矩与磁场方向的夹角
Bz B z COS z z
Bz z沿磁场方向的磁感应强度变化的梯度
B z >0，当 z
讨论：（1）如果
90 0 时，则 f 0
力的方向沿磁场方向。
Bz 0 0 ，当 90 时，则 （2）如果 z
f 0
力的方向和磁场方向相反。 由于原子在磁场中运动时受到磁场的作用力垂直于原子的进行 方向，原子的路径就发生偏转。原子在磁场作用下在垂直于运动方 向获得的加速度为： a f m—原子的质量 m
假设原子束沿水平方向(x方向)运 动的速度为v，在z方向上受到力f作用， 则原子束在磁场区内将作抛物线运动， 运动方程为：
中存在大量原子，Z 几乎连续分布，在屏幕上应出现相对于中央对称 分布的带状分布。 （3）实验结果是屏幕上得到二条分立的条纹，而且是对称分布在准 直位置的上下两边。所以 z只能取大小相等符号相反的二个值。 z 取 值的量子化表明原子磁矩在磁场中的取向或者与磁场平行，或者与磁 场相反，没有中间 的取向。这就充分证明了原子磁矩的空间取向是量 子化的。
x vt 1 f 2 z1 2m
原子束通过磁场区（长度为d）到达出口时，已偏离x轴z1 距离，此时与x轴的偏角为：
dz 1 ft 1 fd tg tg tg 2 dx d mv d mv
即完整的微观模型是：对给定的n，有l个不同的形状的轨道(l)；确
定的轨道有2l+1个不同的取向( ml )；当都给定后，就给出了一个确定 的状态。所以我们经常说：（n，l， l ）描述了一个确定的状态。 m
轨道角动量及其分量的示意图
把式 L l (l 1) 代入式 L 得 的数值表示为
（4）由于原子的磁矩的大小与原子的核外电子运动的轨道角动量 的大小成正比，方向一致，所以原子磁矩的空间取向的量子化是电子 轨道运动角动量的量子化，也是原子核外电子运动取向的空间量子化。 （5）相片的两条黑斑是略有宽度的，不是很细的线条。说明原 子具有一个速度分布。
（6）由电子轨道运动空间取向量子化理论预言，原子在磁场中磁 矩的取向的可能值为 2l 1 ，l 为整数， l 1 就一定是奇数。在实验 2 中确定观察到了奇数取向的例子，但对氢、锂、钠、钾、铜、银、金 等原子都只观察到两个取向。所以目前为止我们对原子的描述仍是不 完全的。
e l L, 其量值关系: l l (l 1) B , l , z ml B 2me 与此类比， S 与相应的 s 之间也有相对应的关系，由实 e ，其量值关系为 验结果给出这个对应关系是 s S me
e s me
M B dL 由理论力学得 : M B dt 将 L代入得
令 B
d B dt d dt
d 的物理意义 : 与B同向， 则 沿“轨道”切向， 如图所示 dt
1
然后它沿直线运动，一直落到屏幕P上，那时偏离x轴的距离z2为：
Bz dD Bz dD z2 Dtga 2 cos z z mv z 3kT
2 （原子在容器内被加热成蒸汽，处于热平衡时， mv 3kT ）
讨论： (1) 如果原子磁矩=0, 则z2=0， 原子射线穿过磁场时不受力的 作用，准直地落在屏幕的中央处，形成一条中央条纹。 实验表明：z20，则原子具有磁矩。 (2) 如果原子磁矩仅仅大小是量子化的（ l l (l 1) B ），而 Z 方向不受限制，则原子的磁矩和磁场方向可以有任意的夹角，则 就不是量子化的，实验测得的z2值也不应该是量子化的，由于射线束
1 1 2 1 2 dS rd r r d r dt 2 2 2
1 2 1 则 : S dS r dt 0 0 2 2me
由此可得到磁矩的大小为：
L 0 (me r )dt 2me
2
0
dt
2me
L
考虑到 与 L
e iS L L L 2me 2me
量都是量子化的，而且在外场中角动量的取向也 是量子化的。史特恩—盖拉赫在1921年进行的实 验就是对原子在外磁场中取向量子化的首次直接 观察。
一、实验描述
被测样品（如H原子）放在电炉O内被蒸发，通过狭缝S1和S2 后，形成细束。经过一个不均匀的磁场区域，在磁场的垂直方向 上进行。最后撞在屏幕P上。原子通过的区域是抽成真空的。
d 的标量形式为 dt d sin ( sin ) dt
d
设在dt时间内旋进角度d， 则 d d sin d代入上式得 dt
可见， 是 随时间的变化率
即
是角频率，拉莫尔频率为
e L B B 2 2 4me
1 1 ( 1) 3 B 2 2
s,z
e ms B me
电子自旋假设得到了各种实验的支持，而且与电子自旋概念一起可 由Dirac的相对论量子力学严格导出。
乌仑贝克（G.E.Uhlenbeck）与古兹米特（S.Goudsmi） 这二位不 到25岁的荷兰学生根据一系列的实验事实提出电子不是点电荷，它除了 轨道角动量外，还有自旋运动。提出电子像一个陀螺，能够绕自身轴旋 转，似乎无创造性可言；不过提出任何电子都有相同的自旋角动量，而 且在Z轴方向的分量只取二个数值，这对于经典物理是无法接受的。更 迷惑人们的还在于，如果把电子看作一个带有电荷-e的小球，半径为1014cm，它像陀螺一样绕自身旋转，那么可以证明，自旋角动量为1/2的 电子，在表面上的切向线速度将大大超过光速。
x
二、实验结果
对于氢、锂、钠、钾、铜、银、金等原子经过不均匀的磁场 作用后分成两束，屏幕上看见两条黑斑；但对于锌、汞、镉、 锡等原子经过不均匀的磁场作用只观察到一束；对于基态的氧 原子经过不均匀的磁场作用却观察到五束。
三、实验结果解释
原子具有磁矩，在磁场中的行为象一个磁偶极子。如果磁场 为匀强磁场，则原子只能受力偶矩作用 B 使磁偶极子转向 M 沿磁场方向。 如果把原子放入不均匀的磁场中，则原子除受力矩作用而转动 外，还受到沿磁场方向合力的作用而平动。 由于在实验中磁场是由一块能在很小线度内产生不均匀的磁 场的磁铁产生的，所以
第四章：原子的精细结构：电子的自旋
内容：
1、原子中电子轨道运动磁矩 2、史特恩—盖拉赫实验 3、电子自旋的假设 4、碱金属双线 5、塞曼效应
重点： 电子自旋假设、三个重要实验（史特恩—盖
拉赫实验、碱金属双线、塞曼效应）
前面我们详细讨论了氢原子和碱金属原子的能级与光谱，理论与实验符合 的很好，可是后来用高分辨率光谱仪观测时发现，上述光谱还有精细结构，这
又由式
Lz ml 可得， 在 z方向的投影表达式为 e z Lz ml 2me e ，称为玻尔磁子。也可改写为 通常令 B 2me 4 0 2 1 e2 1 B e (ea1 ) 2 2 4 0 c me e 2
e L l (l 1) 2me
细结构等许多实验事实，发展了原子的行星模型，提出电子
不仅有轨道运动，还有自旋运动，它具有固有的自旋角动量S。 引入了自旋假设以后，人们成功地解释了碱金属的精细结构，
塞曼效应以及史特恩-盖拉赫实验等。
一、电子的自旋
1925年，年龄不到25岁的两位荷兰学生乌仑贝克（G.E.Uhlenbeck） 与古兹米特（S.Goudsmi）根据大量的实验事实，提出一个极大胆的假 设，电子不仅有轨道运动，还有自旋运动，它具有固有的自旋角动量S， 具体内容是： 1、与轨道角动量进行类比知，自旋角动量的大小为
正因为这些概念上的困难，乌仑贝克与古兹米特的假设一开始就遭 到很多人的反对，包括当时已闻名的泡利，以致使乌仑贝克与古兹米特 想把自己写好的文章收回。但是他们的导师埃伦菲斯特（P.Ehrenfest） 已把稿子寄出发表，并说“你们还年青，有些荒唐，没关系”。 • 现在我们知道电子的自旋，如同电子的质量、电荷一样，是电子本 身的内禀属性。