清华大学材料力学复合材料杆横截面上的应力分布

复合材料杆横截面上的应力分布

考虑如图１所示的杆，两种材料的杆作为一体受拉，拉力F 作用在组合截面的形心。设两杆的横截面均为矩形，宽为b ，其它尺寸如图所示。试分析横截面上正应力分布。

图 １ 分析：

由于该杆是由不同材料组成的，因此很可能是拉伸和弯曲的组合变形。因此我们可以把该问题分解为拉伸和弯曲两种情况单独考虑，再叠加起来。

（１） 求出力F 在横截面上的作用点A ，此时两杆只有拉伸变形

建立坐标，如图1。设力F 的作用点A 的坐标为y 。由假设此时该杆的两部分都只发生拉伸变形。这种情况下，可以理解为该杆两部分分别受到作用于各自横截面形心处的拉力1F 和2F ，如图1所示。此时，两个拉力1F 和2F 与力F 是等效的，有

12F F F += (1)

121122F l F l E h b E h b

= (2) 联立(1)、(2)两式求解得：

11221211221122

, E h F E h F F F E h E h E h E h ==++ (3)

由假设此时只有拉伸变形，则力1F 和2F 对A 点的和力矩应该为0，即

12122()()22

h h F h y F y +-=- (4) 将(3)式代入(4)式，解得：

221121122112211222()

E h h E h E h y E h E h E h E h +=+++ (5) （２） 将作用在组合截面形心的力

F 向A 点平移，求出附加力偶。

由理论力学知识，可知将力F 向A 点平移，还必须附加一个力偶M 才能等效。如图2所示，我们有

1212121122()()22()

h h E E h h M F y E h E h +-=-=+ (6)

图 2

(3) 计算横截面的正应力分布

将力F 向A 点平移后，可以看作力F 和力偶M 的叠加。当只考虑作用在A 点的力F 时，将只发生拉伸变形，两部分的正应力分别为

1122121112221122, ()()t t F E F F E F bh E h E h b bh E h E h b

σσ====++ (7)

图 3 当只考虑力偶M 的作用时(谢老师已讲) ,设中性轴距z 轴的距离为h ,如图3所示,则有

212222210111122211221122d d 22()

h h h h E yb y E yb y

E h E h h E h h E h b E h b E h E h ++++==++⎰⎰ (8) 设两部分对组合截面中性轴的惯性矩分别为1I 和2I ,则

122332

1221()()d 3h h h

h h h h h h h I y b y b +--+---==⎰ (9)

2332

22()d 3h h

h h h h I y b y b ---+==⎰ (10) 所以,两部分的正应力分别为

12b 2

11221

12

()(), b M y h M y h E E I I I I E E σσ--==++ (11)

将拉伸和弯曲引起的正应力叠加就可以得到总的正应力分布: 111222, b t b t σσσσσσ=+=+ (12)