椭圆的算法原理

椭圆的算法原理

圆心在原点、长半轴为a 、短半轴为b 的椭圆方程的隐函数表达式为：

椭圆将平面划分成三个区域：对于椭圆上的点，F(x ，y)＝0；对于椭圆外的点，F （x ，y ）＞0；对于椭圆内的点，F （x ，y ）＜0，如下图所示。

考虑到椭圆对称性，可以用对称轴x ＝0，y ＝0，把椭圆分成4等份。只要绘制出第一象限内1/4椭圆弧，如图3-10的阴影部分Ⅰ和Ⅱ所示，根据对称性就可绘制出整个椭圆，这称为四分法绘制椭圆算法。已知第一象限内的点 0

),(222222=-+=b a y a x b y x

F

P （x ，y ），可以顺时针得到另外3个对称点：P （x,－y ），P （－x ，－y ），P （－x ，y ）。

在处理第一象限的1/4椭圆弧时，进一步以法矢量两个分量相等的点把它分为两部分，上半部分Ⅰ和下半部分Ⅱ。该椭圆上一点P （x ，y ）处的法矢量为：

式中，i 和j 是沿x 轴向和沿y 轴向的单位矢量。

在图3-11所示的部分Ⅰ的AC 椭圆弧段，法矢量的x 向分量小于y 向分量，斜率k 处处满足|k|＜1，|△x|＞|△y|，所以x 方向为主位移方向；在C 点，法矢量的x 向分量等于y 向分量，斜率k 满足k ＝－1，|△x|＝|△y|；在部分Ⅱ的CB 椭圆弧段，法矢量x 向分量大于y 向分量，斜率k 处处满足|k|＞1，|△y|＞|△x|，所以y 方向为主位移方向。

yj a xi b j y F i x F y x N 2222),(+=∂∂+∂∂=

， ）

图3-11

椭圆的中点Bresenham 算法的原理：在部分Ⅰ：每次在主位移x 方向上走一步，y 方向上退不退步取决于中点偏差判别式的值；在部分Ⅱ：每次在主位移方向y 上退一步，x 方向上走不走步取决于中点偏差判别式的值。

222/b a a +222/b a b

+

由于x方向为主位移方向，假定当前点是P（xi，yi），下一步只能在正右方的像素Pu（x i＋1，y i）和右下方的像素Pd（x i＋1，yi－1）中选取。

由于y方向为主位移方向，假定当前点是P（xi，yi），下一步只能在正下方像素Pl（x i，y i－1）和右下方的像素Pr（x i＋1，yi－1）中选取。

1、构造上半部分Ⅰ中点偏差判别式

在上半部分Ⅰ，x方向每次加1，y方向上减不减1取决于中点偏差判别式的值。从P（xi，yi）走第一步，为了选取下一像素点的，需将Pu（x i＋1，y i）和Pd（x i＋1，yi

－1）的中点M （x i ＋1，y i －0.5）代入隐函数，构造中点偏差判别式：

当d1<0时，中点M 在椭圆内，下一像素点应点亮Pu ，即y 方向不退步；当d>0时，中点M 在椭圆外，下一像素点应点亮Pd ，即y 方向退一步；当d ＝0时，中点M 在椭圆上，Pu 、Pd 和椭圆的距离相等，点亮Pu 或Pd 均可，约定取Pd ，如图3-13所示。

2、上半部分Ⅰ的递推公式

图3-13中，为了能够继续判断椭圆上的每个点，需要给出中点偏差判别式d1的递推公式和初始值。

2

222221)5.0()1()5.0,1(),(b a y a x b y x F y x F d i i i i M M --++=-+==

3、中点偏差判别式的递推公式

现在如果考虑主位移方向再走一步，应该选取哪个中点代入中点偏差判别式以决定应该点亮的像素，如图3-14所示，分两种情况讨论。

⑴当d1<0时，下一步的中点坐标为：

M（x i＋2，y i-0.5）。所以下一步中点偏差判别式为：

⑵当d1≥0时，下一步的中点坐标为：M（x i＋2，y i－

1.5）。所以下一步中点偏差判别式为：

4、中点偏差判别式d1的初值

上半部分椭圆的起点为A （0，b ），因此，第一个中点是（1，b －0.5），对应的d1的初值为：

void MidPointEllipse(int a,int b,int value)

{

int x=0;

int y=b;

double d=b*b-a*a*(b-0.25);

cout<<"首点的坐标为:("<

int n=2;

while(a*a*(y-0.5)>b*b*(x+1)) //区域1

{

if(d<0)

d=d+b*b*(2*x+3);

else

{

d=d+b*b*(2*x+3)+a*a*(-2*y+2);

y--;

} x=x++; 2222210(1,0.5)(0.5)d F b b a b a b =-=+--

cout<<"区域1第"<

}

d=b*b*(x+0.5)*(x+0.5)+a*a*(y-1)*(y-1)-a*a*b*b;

n=2;

while(y>=0) //区域2

{

if(d<0)

{

d=d+b*b*(2*x+2)+a*a*(-2*y+3);

x++;

}

else

d=d+a*a*(-2*y+3);

y--;

cout<<"区域2第"<

}

}