机器人技术第七章机器人的轨迹规划
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• 在关节轨迹的典型约束条件之下，我们所要研究的是选择 一种 n 次(或小于 n 次)的多项式函数，使得在各结点(初始点， 提升点，下放点和终止点)上满足对位置、速度和加速度的要 求，并使关节位置、速度和加速度在整个时间间隔 [ t0, tf ] 中 保持连续。
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机器人技术第七章机器人的轨迹规划
•路径约束
间形态序列构成的空 •路径设定
间曲线称为路径。这
•轨迹规划 器
些形态序列即是曲线
上的“点”。
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•动力学约 束
机器人技术第七章机器人的轨迹规划
• 规划操作机的轨迹有两种常用的方法：
➢ 第一种方法：要求使用者在沿轨迹选定的位置点上(称为结 节或插值点)显式地给定广义坐标位置、速度和加速度的一组 约束(例如，连续性和光滑程度等)。然后，轨迹规划器从插值 和满足插值点约束的函数中选定参数化轨迹。显然，在这种 方法中，约束的给定和操作机轨迹规划是在关节坐标系中进 行的。
•由约束条件数所对应的多项式系数的个数确定多项式的次数
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机器人技术第七章机器人的轨迹规划
• 为了控制操作机，在规划运动轨迹之前，需要给定机器人 在初始点和终止点的手臂形态。在规划机器人关节插值运动 轨迹时，需要注意下述几点：
•1、抓住一个物体时，手的运动方向应该指向离开物体支承 表面的方向。否则，手可能与支承面相碰。
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机器人技术第七章机器人的轨迹规划
7.3 关节插值轨迹
•一般说来，生成关节轨迹设定点的基本算法是很简单的：
•循环：等待下一个控制间隔；
•
•
时刻操作机关节所处的位置；
•
若
，则退出循环；
•
转向循环。
• 从上述算法可以看出，要计算的是在每个控制间隔中必须 更新的轨迹函数(或轨迹规划器)h(t)。因此，对规划的轨迹要提 出四个限制。第一，必须便于用迭代方式计算轨迹设定点；第
➢ 4—3—4 轨迹
每个关节有下面三段轨迹：第一段由初始点到提升点的 轨迹用四次多项式表示。第二段(或中间段）由提升点到下 放点的轨迹用三次多项式表示。最后一段由下放点到终止点 的轨迹由四次多项式表示。
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机器人技术第七章机器人的轨迹规划
➢ 3—5—3 轨迹 • 与4—3—4轨迹相同，但每段所用多项式次数与前种不同。 第一段用三次多项式，第二段用五次多项式，最后一段用三 次多项式。
➢ 规划关节插值轨迹的约束条件：
•
•初始位置 • • • • • •
•中间位置 • • • • •
•终止位置 • •
1. 位置(给定)
2．速度(给定，通常为零) 3. 加速度(给定，通常为零) 4. 提升点位置(给定) 5．提升点位置（与前一段轨迹连续） 6. 速度（与前一段轨迹连续） 7．加速度（与前一段轨迹连续） 8. 下放点位置(给定) 9．下放点位置（与前一段轨迹连续） 10. 速度（与前一段轨迹连续） 11. 加速度（与前一段轨迹连续） 12. 位置(给定) 13. 速度(给定，通常为零) 14. 加速度(给定，通常为零)
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机器人技术第七章机器人的轨迹规划
• 在关节变量空间的规划有三个优点：
(1) 直接用运动时的受控变量规划轨迹； (2) 轨迹规划可接近实时地进行； (3) 关节轨迹易于规划。
• 伴随的缺点是难于确定运动中各杆件和手的位置，但是， 为
•• 了由避于开面轨向迹笛上卡的尔障空碍间．的常方常法又有要前求述知钟道种一缺些点杆，件使和得手面位向置关。 节空间的方法被广泛采用。它把笛卡尔结点变换为相应的关节 坐标，并用低次多项式内插这些关节结点。这种方法的优点是 计算较快，而且易于处理操作机的动力学约束。但当取样点落 在拟合的光滑多项式曲线上时，面向关节空间的方法沿笛卡尔 路径的准确性会有损失。
•4、对手臂的每一次运动，都设定上述四个点：初始点，提 升点，下放点和终止点。
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机器人技术第七章机器人的轨迹规划
•5、位置约束 • (a) 初始点：给定速度和加速度(一般为零)； • (b) 提升点：中间点运动的连续； • (c) 下放点：同提升点； • (d) 终止点：给定速度和加速度(一般为零)。
• 机器人规划是机器人学的一个重要研究领域，也是人工智 能与机器人学一个令人感兴趣的结合点。
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机器人技术第七章机器人的轨迹规划
7.1.2 机器人任务规划的作 用
机器人的规划程序只需要给定任务初始状态和最终状态的 描述。这些规划系统一般都不说明为实现一个算符所需的详细
的机器人运动。任务规划程序则把任务级的说明变换成操作机
•2、若沿支承面的法线方向从初始点向外给定一个离开位置 (提升点)，并要求手(即手部坐标系的原点)经过此位置，这种 离开运动就是允许的。如果还给定由初始点运动到离开位置 的时间，我们就可以控制提起物体运动的速度。
•3、对于手臂运动提升点的要求同样也适用于终止位置运动 的下放点(即必须先运动到支承表面外法线方向上的某点，再 慢慢下移至终止点)。这样，可获得和控制正确的接近方向。
• 把某些比较复杂的问题分解为一些比较小的问题的想法 使我们应用规划方法求解问题在实际上成为可能。
• 有两条能够实现这种分解的重要途径：第一条是当从一 个问题状态移动到下一个状态时，无需计算整个新的状态， 而只要考虑状态中可能变化了的那些部分。第二条是把单一 的困难问题分割为几个有希望的、较为容易解决的子问题， 这种分解能够使困难问题的求解变得容易些。
❖ 轨迹规划既可在关节变量空间中进行，也可在笛卡尔空间进 行。对于关节变量空间的规划，要规划关节变量的时间函数及 其前二阶时间导数，以便描述操作机的预定运动。在笛卡尔空 间规划中，要规划操作机手部位置、速度和加速度的时间函数， 而相应的关节位置、速度和加速度可根据手部信息导出。
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机器人技术第七章机器人的轨迹规划
•6、除上述约束外，所有关节轨迹的极值不能超出每个关节 变量的物理和几何极限。
•7、时间的考虑
• (a) 轨迹的初始段和终止段：时间由手接近和离开支承表 面的速率决定；也是由关节电机特性决定的某个常数。
• (b) 轨迹的中间点或中间段：时间由各关节的最大速度和 加速度决定，将使用这些时间中的一个最长时间(即用最低 速关节确定的最长时间来归一化)。
二，必须求出并明确给定中间位置；第三，必须保证关节变量
及其前二阶时间导数的连续性，使得规划的关节轨迹是光滑的；
最后，必须减少额外的运动 (例如，“游移” )。
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机器人技术第七章机器人的轨迹规划
•p +1个点
• 若某关节(例如关节 i )的关节轨迹使用 p 个多项式，则要满 足初始和终止条件(关节位置、速度和加速度)，并保证这些变 量在多项式衔接处的连续性，因而需要确定 3( p十1)个系数。
➢ (3—3—3—3—3) 轨迹 • 对五段轨迹都使用三次多项式样条函数。 • 注意，上述讨论对每个关节轨迹都是有效的，即每个关节 轨迹可分割成三段或五段。
7.3.1 4—3—4 关节轨迹的计算
• 对于N个关节, 在每段轨迹规划中就要确定 N 条关节轨迹，
引用归一化时间变量
• 我们在阐述机器人自动规划问题时，机器人一般配备有 传感器和一组能在某个易于理解的现场中完成的基本动作。 这些动作可把该现场从一种状态或布局变换为另一种状态或 布局。例如， “积木世界” 。
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机器人技术第七章机器人的轨迹规划
•目标状态
• 机器人能得到的一个解答是由下面的算符序列组成的：
级的说明。为了进行这种变换，任务规划程序必须包含被操作
物体、任务环境、机器人执行的任务、环境的初始状态和所要
求的最终(目标)状态等描述。任务规划程序的输出就是一个机
器人程序，在指定的初始状态下执行该程序后，就能达到所要
求的最终状态。
任务规划有三个阶段：建立模型、任务说明和操作机程序 综合。任务的世界模型应含有如下的信息:(1)任务环境中的所
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机器人技术第七章机器人的轨迹规划
• 机器人规划分为高层规划和低层规划。自动规划在机器 人规划中称为高层规划。在无特别说明时，机器人规划都是 指自动规划。自动规划是一种重要的问题求解技术，它从某 个特定的问题状态出发，寻求一系列行为动作，并建立一个 操作序列，直到求得目标状态为止。与一般问题求解相比， 自动规划更注重于问题的求解过程，而不是求解结果。
工智能问题，而是在机械手运动学和动力学的基础上，讨论
机器人运动的规划及其方法。所谓轨迹，就是指机器人在运
动过程中的位移、速度和加速度。
• 轨迹规划问题通常是将轨迹规划器看成“黑箱”，接受表 示路径约束的输入变量，输出为起点和终点之间按时间排列的
操作机中间形态（位姿, 速度和加速度）序列。
•由初始点运动到终 止点，所经过的由中
• 若给定附加的中间条件(例如位置)，则对每个中间条件需 要增加一系数。通常，可以给定两个中间位置，一个靠近初始 位置；另一个靠近终止位置。这样做，除了可以较好地控制运 动外，还能保证操作机末端以适当的方向离开起点和接近终点。
• 因此，对于连接初始位置和终止位置的每个关节变量，一 个七次多项式就足够了，或者用两段四次轨迹加一段三次轨迹 （4—3—4），也可以用两段三次轨迹加一段五次轨迹（3— 5—3），或五段三次轨迹（3—3—3—3—3）。
➢ 第二种方法：使用者以解析函数显式地给定操作机必经之 路径，例如，笛卡尔坐标中的直线路径。然后，轨迹规划器 在关节坐标或笛卡几坐标中确定一条与给定路径近似的轨迹。 在这种方法中，路径约束是在笛卡尔坐标中给定的。
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机器人技术第七章机器人的轨迹规划
• 在第一种方法中，约束的给定和操作机轨迹规划在关节坐标 系中进行。由于对操作机手部没有约束，使用者难于跟踪操作 机手部运行的路径。因此，操作机手部可能在没有事先警告的 情况下与障碍物相碰。 • 在第二种方法中，路径约束在笛卡尔坐标中给定，而关节驱 动器是在关节坐标中受控制的。因此，为了求得一条逼近给定 路径的轨迹，必须用函数近似把笛卡尔坐标中的路径约束变换 为关节坐标中的路径约束，再确定满足关节坐标路径约束的参 数化轨迹。
•在笛卡尔空间进行轨迹规划的特点：
➢ 面向笛卡尔空间方法的优点是概念直观，而且沿预定直线路 径可达到相当的准确性。可是由于现代还没有可用笛卡尔坐标 测量操作机手部位置的传感器，所有可用的控制算法都是建立 在关节坐标基础上的。因此，笛卡尔空间路径规划就需要在笛 卡尔坐标和关节之间进行实时变换，这是一个计算量很大的任 务，常常导致较长的控制间隔。 ➢ 由笛卡尔坐标向关节坐标的变换是病态的，因而它不是一一 对应的映射。 ➢ 如果在轨迹规划阶段要考虑操作机的动力学特性，就要以笛 卡尔坐标给定路径约束，同时以关节坐标给定物理约束(例如， 每个关节电机的力和力矩、速度和加速度权限)。这就会使最 后的优化问题具有在两个不同坐标系中的混合约束。
机器人技术第七章机器 人的轨迹规划
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2020/11/18
机器人技术第七章机器人的轨迹规划
• 许多规划所包的步骤是含糊的，而且需要进一步说明 （子规划）。大多数规划具有很大的子规划结构，规划中的 每个目标可以由达到此目标的比较详细的子规划所代替。因 此，最终得到的规划是某个问题求解算符的线性或分部排序， 但是由算符来实现的目标常常具有分层结构。
有物体和机器人的几何描述；(2)所有物体的物理描述；(3)所
有连接件的运动学描述，(4) 机器人和传感器特性的描述。在
世界模型中，任务状态模型还必包括全部物体和连接件的布局
。
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机器人技术第七章机器人的轨迹规划
7.2 机器人轨迹规划的一般性问题
•
机器人轨迹规划属于机器人低层规划，基本上不涉及人
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机器人技术第七章机器人的轨迹规划
•一种方法是为每个关节规定一个七次多项式函数
•式中，未知系数 aj 可由已知的位置和连续条件确定。但用这 种高次多项式内插给定的结点也许不能令人满意，因为它的极 值难求，而且容易产生额外的运动。
• 另一种办法是将整个关节空间轨迹分割成几段，在每段轨 迹中用不同的低次多项式来插值。有几种分割轨迹的方法，每 种方法的特性各不相同。
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•路径约束
间形态序列构成的空 •路径设定
间曲线称为路径。这
•轨迹规划 器
些形态序列即是曲线
上的“点”。
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•动力学约 束
机器人技术第七章机器人的轨迹规划
• 规划操作机的轨迹有两种常用的方法：
➢ 第一种方法：要求使用者在沿轨迹选定的位置点上(称为结 节或插值点)显式地给定广义坐标位置、速度和加速度的一组 约束(例如，连续性和光滑程度等)。然后，轨迹规划器从插值 和满足插值点约束的函数中选定参数化轨迹。显然，在这种 方法中，约束的给定和操作机轨迹规划是在关节坐标系中进 行的。
•由约束条件数所对应的多项式系数的个数确定多项式的次数
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• 为了控制操作机，在规划运动轨迹之前，需要给定机器人 在初始点和终止点的手臂形态。在规划机器人关节插值运动 轨迹时，需要注意下述几点：
•1、抓住一个物体时，手的运动方向应该指向离开物体支承 表面的方向。否则，手可能与支承面相碰。
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机器人技术第七章机器人的轨迹规划
7.3 关节插值轨迹
•一般说来，生成关节轨迹设定点的基本算法是很简单的：
•循环：等待下一个控制间隔；
•
•
时刻操作机关节所处的位置；
•
若
，则退出循环；
•
转向循环。
• 从上述算法可以看出，要计算的是在每个控制间隔中必须 更新的轨迹函数(或轨迹规划器)h(t)。因此，对规划的轨迹要提 出四个限制。第一，必须便于用迭代方式计算轨迹设定点；第
➢ 4—3—4 轨迹
每个关节有下面三段轨迹：第一段由初始点到提升点的 轨迹用四次多项式表示。第二段(或中间段）由提升点到下 放点的轨迹用三次多项式表示。最后一段由下放点到终止点 的轨迹由四次多项式表示。
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➢ 3—5—3 轨迹 • 与4—3—4轨迹相同，但每段所用多项式次数与前种不同。 第一段用三次多项式，第二段用五次多项式，最后一段用三 次多项式。
➢ 规划关节插值轨迹的约束条件：
•
•初始位置 • • • • • •
•中间位置 • • • • •
•终止位置 • •
1. 位置(给定)
2．速度(给定，通常为零) 3. 加速度(给定，通常为零) 4. 提升点位置(给定) 5．提升点位置（与前一段轨迹连续） 6. 速度（与前一段轨迹连续） 7．加速度（与前一段轨迹连续） 8. 下放点位置(给定) 9．下放点位置（与前一段轨迹连续） 10. 速度（与前一段轨迹连续） 11. 加速度（与前一段轨迹连续） 12. 位置(给定) 13. 速度(给定，通常为零) 14. 加速度(给定，通常为零)
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• 在关节变量空间的规划有三个优点：
(1) 直接用运动时的受控变量规划轨迹； (2) 轨迹规划可接近实时地进行； (3) 关节轨迹易于规划。
• 伴随的缺点是难于确定运动中各杆件和手的位置，但是， 为
•• 了由避于开面轨向迹笛上卡的尔障空碍间．的常方常法又有要前求述知钟道种一缺些点杆，件使和得手面位向置关。 节空间的方法被广泛采用。它把笛卡尔结点变换为相应的关节 坐标，并用低次多项式内插这些关节结点。这种方法的优点是 计算较快，而且易于处理操作机的动力学约束。但当取样点落 在拟合的光滑多项式曲线上时，面向关节空间的方法沿笛卡尔 路径的准确性会有损失。
•4、对手臂的每一次运动，都设定上述四个点：初始点，提 升点，下放点和终止点。
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•5、位置约束 • (a) 初始点：给定速度和加速度(一般为零)； • (b) 提升点：中间点运动的连续； • (c) 下放点：同提升点； • (d) 终止点：给定速度和加速度(一般为零)。
• 机器人规划是机器人学的一个重要研究领域，也是人工智 能与机器人学一个令人感兴趣的结合点。
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7.1.2 机器人任务规划的作 用
机器人的规划程序只需要给定任务初始状态和最终状态的 描述。这些规划系统一般都不说明为实现一个算符所需的详细
的机器人运动。任务规划程序则把任务级的说明变换成操作机
•2、若沿支承面的法线方向从初始点向外给定一个离开位置 (提升点)，并要求手(即手部坐标系的原点)经过此位置，这种 离开运动就是允许的。如果还给定由初始点运动到离开位置 的时间，我们就可以控制提起物体运动的速度。
•3、对于手臂运动提升点的要求同样也适用于终止位置运动 的下放点(即必须先运动到支承表面外法线方向上的某点，再 慢慢下移至终止点)。这样，可获得和控制正确的接近方向。
• 把某些比较复杂的问题分解为一些比较小的问题的想法 使我们应用规划方法求解问题在实际上成为可能。
• 有两条能够实现这种分解的重要途径：第一条是当从一 个问题状态移动到下一个状态时，无需计算整个新的状态， 而只要考虑状态中可能变化了的那些部分。第二条是把单一 的困难问题分割为几个有希望的、较为容易解决的子问题， 这种分解能够使困难问题的求解变得容易些。
❖ 轨迹规划既可在关节变量空间中进行，也可在笛卡尔空间进 行。对于关节变量空间的规划，要规划关节变量的时间函数及 其前二阶时间导数，以便描述操作机的预定运动。在笛卡尔空 间规划中，要规划操作机手部位置、速度和加速度的时间函数， 而相应的关节位置、速度和加速度可根据手部信息导出。
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•6、除上述约束外，所有关节轨迹的极值不能超出每个关节 变量的物理和几何极限。
•7、时间的考虑
• (a) 轨迹的初始段和终止段：时间由手接近和离开支承表 面的速率决定；也是由关节电机特性决定的某个常数。
• (b) 轨迹的中间点或中间段：时间由各关节的最大速度和 加速度决定，将使用这些时间中的一个最长时间(即用最低 速关节确定的最长时间来归一化)。
二，必须求出并明确给定中间位置；第三，必须保证关节变量
及其前二阶时间导数的连续性，使得规划的关节轨迹是光滑的；
最后，必须减少额外的运动 (例如，“游移” )。
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•p +1个点
• 若某关节(例如关节 i )的关节轨迹使用 p 个多项式，则要满 足初始和终止条件(关节位置、速度和加速度)，并保证这些变 量在多项式衔接处的连续性，因而需要确定 3( p十1)个系数。
➢ (3—3—3—3—3) 轨迹 • 对五段轨迹都使用三次多项式样条函数。 • 注意，上述讨论对每个关节轨迹都是有效的，即每个关节 轨迹可分割成三段或五段。
7.3.1 4—3—4 关节轨迹的计算
• 对于N个关节, 在每段轨迹规划中就要确定 N 条关节轨迹，
引用归一化时间变量
• 我们在阐述机器人自动规划问题时，机器人一般配备有 传感器和一组能在某个易于理解的现场中完成的基本动作。 这些动作可把该现场从一种状态或布局变换为另一种状态或 布局。例如， “积木世界” 。
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•目标状态
• 机器人能得到的一个解答是由下面的算符序列组成的：
级的说明。为了进行这种变换，任务规划程序必须包含被操作
物体、任务环境、机器人执行的任务、环境的初始状态和所要
求的最终(目标)状态等描述。任务规划程序的输出就是一个机
器人程序，在指定的初始状态下执行该程序后，就能达到所要
求的最终状态。
任务规划有三个阶段：建立模型、任务说明和操作机程序 综合。任务的世界模型应含有如下的信息:(1)任务环境中的所
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机器人技术第七章机器人的轨迹规划
• 机器人规划分为高层规划和低层规划。自动规划在机器 人规划中称为高层规划。在无特别说明时，机器人规划都是 指自动规划。自动规划是一种重要的问题求解技术，它从某 个特定的问题状态出发，寻求一系列行为动作，并建立一个 操作序列，直到求得目标状态为止。与一般问题求解相比， 自动规划更注重于问题的求解过程，而不是求解结果。
工智能问题，而是在机械手运动学和动力学的基础上，讨论
机器人运动的规划及其方法。所谓轨迹，就是指机器人在运
动过程中的位移、速度和加速度。
• 轨迹规划问题通常是将轨迹规划器看成“黑箱”，接受表 示路径约束的输入变量，输出为起点和终点之间按时间排列的
操作机中间形态（位姿, 速度和加速度）序列。
•由初始点运动到终 止点，所经过的由中
• 若给定附加的中间条件(例如位置)，则对每个中间条件需 要增加一系数。通常，可以给定两个中间位置，一个靠近初始 位置；另一个靠近终止位置。这样做，除了可以较好地控制运 动外，还能保证操作机末端以适当的方向离开起点和接近终点。
• 因此，对于连接初始位置和终止位置的每个关节变量，一 个七次多项式就足够了，或者用两段四次轨迹加一段三次轨迹 （4—3—4），也可以用两段三次轨迹加一段五次轨迹（3— 5—3），或五段三次轨迹（3—3—3—3—3）。
➢ 第二种方法：使用者以解析函数显式地给定操作机必经之 路径，例如，笛卡尔坐标中的直线路径。然后，轨迹规划器 在关节坐标或笛卡几坐标中确定一条与给定路径近似的轨迹。 在这种方法中，路径约束是在笛卡尔坐标中给定的。
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• 在第一种方法中，约束的给定和操作机轨迹规划在关节坐标 系中进行。由于对操作机手部没有约束，使用者难于跟踪操作 机手部运行的路径。因此，操作机手部可能在没有事先警告的 情况下与障碍物相碰。 • 在第二种方法中，路径约束在笛卡尔坐标中给定，而关节驱 动器是在关节坐标中受控制的。因此，为了求得一条逼近给定 路径的轨迹，必须用函数近似把笛卡尔坐标中的路径约束变换 为关节坐标中的路径约束，再确定满足关节坐标路径约束的参 数化轨迹。
•在笛卡尔空间进行轨迹规划的特点：
➢ 面向笛卡尔空间方法的优点是概念直观，而且沿预定直线路 径可达到相当的准确性。可是由于现代还没有可用笛卡尔坐标 测量操作机手部位置的传感器，所有可用的控制算法都是建立 在关节坐标基础上的。因此，笛卡尔空间路径规划就需要在笛 卡尔坐标和关节之间进行实时变换，这是一个计算量很大的任 务，常常导致较长的控制间隔。 ➢ 由笛卡尔坐标向关节坐标的变换是病态的，因而它不是一一 对应的映射。 ➢ 如果在轨迹规划阶段要考虑操作机的动力学特性，就要以笛 卡尔坐标给定路径约束，同时以关节坐标给定物理约束(例如， 每个关节电机的力和力矩、速度和加速度权限)。这就会使最 后的优化问题具有在两个不同坐标系中的混合约束。
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• 许多规划所包的步骤是含糊的，而且需要进一步说明 （子规划）。大多数规划具有很大的子规划结构，规划中的 每个目标可以由达到此目标的比较详细的子规划所代替。因 此，最终得到的规划是某个问题求解算符的线性或分部排序， 但是由算符来实现的目标常常具有分层结构。
有物体和机器人的几何描述；(2)所有物体的物理描述；(3)所
有连接件的运动学描述，(4) 机器人和传感器特性的描述。在
世界模型中，任务状态模型还必包括全部物体和连接件的布局
。
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7.2 机器人轨迹规划的一般性问题
•
机器人轨迹规划属于机器人低层规划，基本上不涉及人
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•一种方法是为每个关节规定一个七次多项式函数
•式中，未知系数 aj 可由已知的位置和连续条件确定。但用这 种高次多项式内插给定的结点也许不能令人满意，因为它的极 值难求，而且容易产生额外的运动。
• 另一种办法是将整个关节空间轨迹分割成几段，在每段轨 迹中用不同的低次多项式来插值。有几种分割轨迹的方法，每 种方法的特性各不相同。