高等数学第七章第六部分
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六节 旋转曲面和二次曲面
一、旋转曲面 二、二次曲面
研究空间曲面有两个基本问题：
（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
一、旋转曲面
定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋 转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴．
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
与平面 z z1 (z1 0)的交线为椭圆.
x2
2
pz
1
y2 2qz1
1
z z1
当 z 1 变动时，这种椭 圆的中心都在 z轴上.
z
与平面 z z1 (z1 0)不相交.
（2）用坐标面 xo(yz0)与曲面相截
截得抛物线
x2
2 pz
z
z
o y
x
p0, q0
xo
y
p0, q0
特殊地：当 pq时，方程变为
x2 y2 z (p0) 旋转抛物面 2p 2p （由 xo面z 上的抛物线 x2 2pz绕它的轴
旋转而成的）
与平面 z z1 (z1 0)的交线为圆.
x2
y2
2pz1
z z1
当 z 1 变动时，这种圆 的中心都在 z轴上.
z
x a
2 2
z c
2 2
1 ,
y
0
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
o x
y
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆
a2 c2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
z12
)
1
z z1
| z1|c
同理与平面 xx1和 y y1的交线也是椭圆.
讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
（一）椭球面
x2 y2 z2
a2 b2 c2 1
椭球面与
三个坐标面 的交线：
x
2
a
2
y2 b2
1,
z 0
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
(1) ab,
x2 a2
ay22
cz22
1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2
z2 c2
1绕
z轴旋转而成．
方程可写为
x2 y2 z2 a2 c2 1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1 (|z1|c)的交线为圆.
截面上圆的方程
x2
y2
a2 c2
(c2
z12).
z z1
(2 ) abc,
x2 y2 z2 a2 a2 a2 1
球面
方程可写为 x2y2z2a2.
（二）抛物面
x2 y2 z （ p与 qq0
（1）用坐标面 xo(zy0)与曲面相截 截得一点，即坐标原点 O(0,0,0)
定义 以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲 面的轴．
定义 以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲 面的轴．
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f(y,z)0
zx2y2co t
o
y
或 z2x2a2y2atan
x
例2. 求坐标面 xoz 上的双曲线
分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
解:绕 x 轴旋转所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
cz22
1
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
z
若点 M 1 (0 ,y 1 ,z1 ) C ,则有
f(y1,z1)0 当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M(x,y,z)
C
M1(0,y1,z1)
M(x,y,z),则有
(1) zz1
o y
（2）点 M 到z轴的距离
x
dx2y2 |y1|
将 z z 1 , y 1 x 2 y 2代入 f(y1,z1)0
得方程 fx 2 y 2 ,z 0 ,
yoz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕 z轴
旋转一周的旋转曲面方程.
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C:f(y,z)0
o y
x
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0
绕 y轴旋转一周的旋转曲面方程为 fy , x 2 z 2 0 .
例 1 直线L绕另一条与 L相交的直线旋转一周，所
得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶
点，两直线的夹角
0
2
叫圆锥面的半顶
角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，半顶角
为 的圆锥面方程．
z
o
y
x
解 y面 o 上 直 z 线 方 程 为
z
zyco t
圆锥面方程
1) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 a2
cz22
1yb122
y y1
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
2) y1b时, 截痕为相交直线: x z 0 ac yb(或 b)
y 0
xo
y
与平面 y y1的交线为抛物线.
x
2
2
p
z
y12 2q
y y1
它的轴平行于 z轴
顶点
0,
y1 ,
y12 2q
（3）用坐标面 yo(x z0)， xx1与曲面相截
均可得抛物线.
同理当 p0,q0时可类似讨论.
椭圆抛物面的图形如下：
双叶
x
y
z
单叶
二、二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称 二次曲面
A 2 x B 2 y C 2 z D E xy y Fx (z 二次x 项系数不全为 0 ) G H x I y z J 0
其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面
适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .
x2 y2 z（ p与 q同号） 2p 2q 双曲抛物面（马鞍面）
用截痕法讨论：
设 p0,q0
z
图形如下：
o y
x
(三) 双曲面
z
(1)单叶双曲面
a x2 2by2 2cz2 21(a,b,c为正 ) 数 平面 zz1上的截椭痕 圆.为 x
y
平面 y y1上的截痕情况:
一、旋转曲面 二、二次曲面
研究空间曲面有两个基本问题：
（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
一、旋转曲面
定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋 转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴．
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
与平面 z z1 (z1 0)的交线为椭圆.
x2
2
pz
1
y2 2qz1
1
z z1
当 z 1 变动时，这种椭 圆的中心都在 z轴上.
z
与平面 z z1 (z1 0)不相交.
（2）用坐标面 xo(yz0)与曲面相截
截得抛物线
x2
2 pz
z
z
o y
x
p0, q0
xo
y
p0, q0
特殊地：当 pq时，方程变为
x2 y2 z (p0) 旋转抛物面 2p 2p （由 xo面z 上的抛物线 x2 2pz绕它的轴
旋转而成的）
与平面 z z1 (z1 0)的交线为圆.
x2
y2
2pz1
z z1
当 z 1 变动时，这种圆 的中心都在 z轴上.
z
x a
2 2
z c
2 2
1 ,
y
0
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
o x
y
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆
a2 c2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
z12
)
1
z z1
| z1|c
同理与平面 xx1和 y y1的交线也是椭圆.
讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
（一）椭球面
x2 y2 z2
a2 b2 c2 1
椭球面与
三个坐标面 的交线：
x
2
a
2
y2 b2
1,
z 0
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
(1) ab,
x2 a2
ay22
cz22
1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2
z2 c2
1绕
z轴旋转而成．
方程可写为
x2 y2 z2 a2 c2 1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1 (|z1|c)的交线为圆.
截面上圆的方程
x2
y2
a2 c2
(c2
z12).
z z1
(2 ) abc,
x2 y2 z2 a2 a2 a2 1
球面
方程可写为 x2y2z2a2.
（二）抛物面
x2 y2 z （ p与 qq0
（1）用坐标面 xo(zy0)与曲面相截 截得一点，即坐标原点 O(0,0,0)
定义 以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲 面的轴．
定义 以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲 面的轴．
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f(y,z)0
zx2y2co t
o
y
或 z2x2a2y2atan
x
例2. 求坐标面 xoz 上的双曲线
分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
解:绕 x 轴旋转所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
cz22
1
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
z
若点 M 1 (0 ,y 1 ,z1 ) C ,则有
f(y1,z1)0 当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M(x,y,z)
C
M1(0,y1,z1)
M(x,y,z),则有
(1) zz1
o y
（2）点 M 到z轴的距离
x
dx2y2 |y1|
将 z z 1 , y 1 x 2 y 2代入 f(y1,z1)0
得方程 fx 2 y 2 ,z 0 ,
yoz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕 z轴
旋转一周的旋转曲面方程.
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C:f(y,z)0
o y
x
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0
绕 y轴旋转一周的旋转曲面方程为 fy , x 2 z 2 0 .
例 1 直线L绕另一条与 L相交的直线旋转一周，所
得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶
点，两直线的夹角
0
2
叫圆锥面的半顶
角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，半顶角
为 的圆锥面方程．
z
o
y
x
解 y面 o 上 直 z 线 方 程 为
z
zyco t
圆锥面方程
1) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 a2
cz22
1yb122
y y1
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
2) y1b时, 截痕为相交直线: x z 0 ac yb(或 b)
y 0
xo
y
与平面 y y1的交线为抛物线.
x
2
2
p
z
y12 2q
y y1
它的轴平行于 z轴
顶点
0,
y1 ,
y12 2q
（3）用坐标面 yo(x z0)， xx1与曲面相截
均可得抛物线.
同理当 p0,q0时可类似讨论.
椭圆抛物面的图形如下：
双叶
x
y
z
单叶
二、二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称 二次曲面
A 2 x B 2 y C 2 z D E xy y Fx (z 二次x 项系数不全为 0 ) G H x I y z J 0
其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面
适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .
x2 y2 z（ p与 q同号） 2p 2q 双曲抛物面（马鞍面）
用截痕法讨论：
设 p0,q0
z
图形如下：
o y
x
(三) 双曲面
z
(1)单叶双曲面
a x2 2by2 2cz2 21(a,b,c为正 ) 数 平面 zz1上的截椭痕 圆.为 x
y
平面 y y1上的截痕情况: