沪科版九年级数学上册 相似三角形 知识点大总结

沪科版九年级数学上册 相似三角形 知识点大总结

知识点1 有关相似形的概念

(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多

边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．

知识点2 比例线段的相关概念

（1）如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为，那么就说这两条线段的比是

，或写b a ,n m ,n

m

b a =成．注：在求线段比时，线段单位要统一。

n m b a ::=（2）在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，d c b a ,,,b a 和d c 和d c b a ,,,简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：

a d c

b ,,．②a 、d 叫比例外项，b 、

c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，

a d c

b =()a

c a b c

d b d

==在比例式：：中，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有

a b b d =：：。

2b ad =（3）黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即

AB )(,BC AC BC AC >AC BC AB 和，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中

2AC AB BC =⋅AB C AB ≈0.618．即

简记为：AB AC 215

-=AB AC BC AB AC ==长短＝＝

全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形

知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）

（1） 基本性质：

①；②．

bc ad d c b a =⇔=::2

::a b b c b a c =⇔=⋅注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除bc ad =了可化为，还可化为，

d c b a ::=d b c a ::=，，，，，．

b a d

c ::=c a

d b ::=c d a b ::=b d a c ::=a b c d ::=a c b d ::=（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：

()()

()a b

c d a c d c

b d

b a d b

c a ⎧=⎪⎪

⎪=⇔=⎨⎪

⎪=⎪⎩，交换内项

，交换外项．同时交换内外项

（3）反比性质(把比的前项、后项交换)：

．

a c

b d b d

a c

=⇔=（4）合、分比性质：

．a c a b c d b d b d

±±=⇔=注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

发生同样和差变化比例仍成立．如：等等．

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a c

c

d a a b d c b a

（5）等比性质：如果

，那么．)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a b

a n f d

b m e

c a =++++++++ 注：

①此性质的证明运用了“设法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例k 计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．

③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：

；其中．b

a

f d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322032≠+-f d b 知识点4 比例线段的有关定理

1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应

线段成比例.

由DE∥BC 可得：

AC

AE

AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：

①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.

②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.

此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.

③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.

2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.

已知AD∥BE∥CF,

可得

等. AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC

BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF

=====

或或或或注：平行线分线段成比例定理的推论：

平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。

知识点5 相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(

或相似系数)

．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：

①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．

③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．