二次函数顶点式解析式的应用PPT讲稿
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二次函数-PPT课件
a2)>f(a)，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：分段处理，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4在[0， ＋∞)上是增函数；y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4在 (－∞，0)上是增函数，因为(x2＋4x)－(4x－x2)＝ 2x2≥0，所以f(x)在R上是增函数，由题意得2－ a2>a，解得－2<a<1.故选C.
答案：C
2．若函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1是偶函数， 则在区间[0，＋∞)上f(x)是( )
A．减函数
B．增函数
C．常函数 是常函数
D．可能是减函数，也可能
解析：∵f(x)为偶函数，∴a2－1＝0，即a＝±1，
当a＝1时，f(x)＝1为常函数．
当a＝－1时，f(x)＝－2x2＋1，在[0，＋∞)上为 减函数．
对称性
图象关于直线 x＝－2ba成轴对称图形
1．若二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 满足 f(x1)＝f(x2)，则 f(x1＋x2)
等于( )
A．－2ba
B．－ba
C．c
4ac－b2 D. 4a
解析：由已知 f(x1)＝f(x2)且 f(x)的图象关于 x＝－2ba对称，∴x1 ＋x2＝－ba，∴f(x1＋x2)＝f(－ba)＝a·ba22－b·ba＋c＝c.
答案：C
2．(2010·安徽高考)设abc>0，二次函数f(x)＝ ax2＋bx＋c的图象可能是( )
解析：若 a>0，b<0，c<0，则对称轴 x＝－2ba>0， 图象与 y 轴的交点(c,0)在负半轴上．故选 D. 答案：D
二次函数PPT教学课件
∴所求二次函数的解析式为y=-4x2+4x+7
方法二：利用二次函数顶点式．
设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)． ∵f(2)=f(-1)， ∴∴抛m=12物线.对称轴为x12= ， 又∴∵解根f得f((2x)据a)==a题--14x，.意12f即函(2ax)x8数412有x2最1282 大81=-值4x2+f，4(xx+)7.m.ax=8，
(
3) 2
=-
29 4
；
(3)当t≥- 3 时，h(t)=f(t)=t2+3t-5.
2
t
2
+5t-1,t
5 2
故h(t)
29 4
,
3 2
t
5 2
t
2
+3t-5,t
3 2
变式2-1
已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在区间[0,2]上有最小值3， 求实数a的值．
题型三 二次函数的综合应用
__b_=_0__时为偶函数，b_≠_0____时为非奇非偶
函数
b 2a
,
4ac 4a
b2
图象关于直线__x___2_ba__成轴对称图形
3. 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式 三者之间的关系如下表所示：
∆=b2-4ac
y=ax2+bx+c 的图象(a>0)
方程 ax2+bx+c=0的 解
【例3】设函数f(x)=ax2-2x+2，对于满足1<x<4 的一切x值都有f(x)>0，求实数a的取值范围．
分析： 分a>0，a<0，a=0三种情况讨论，并使每种情况下在 (1,4)上最低点函数值或最小值大于或等于零，从而求 得a的取值范围．
二次函数的应用 ppt课件
通过对所得函数关系式进行配方，指出商场 要想每天获得最大的销售利润，每件的销售 价定为多少最为合适？最大利润为多少？
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19
最值应用题——运动观点
一般地，函数y=f(x)的图象关于x轴对称 的图象的解析式是y=-f(x)
一般地，函数y=f(x)的图象关于y轴对称
的图象的解析式是y=f(-x)
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4
显而易见：顶点式
已知函数y=ax2+bx+c的图象是以点（2，3） 为顶点的抛物线，并且这个图象通过点（3， 1），求这个函数的解析式。（要求分别用一 般式和顶点式去完成，对比两种方法）
求这个二次函数的解析式。
当x为何值时，函数有最值？最值是多少？
求函数最值点和最值的若干方法：
直接代入顶点坐标公式
配方成顶点式
借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合
和x轴两个交点坐标求。
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9
二次函数的三种式
一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-m)2+n 交点式：y=a(x-x1) (x-x2)
经过这三点的二次函数解析式； 在同一坐标系内画出这三个二次函数图象； 分析这三条抛物线的对称关系，并观察它们
的表达式的区别与联p系pt课件，你发现了什么？ 3
思维小憩：
用待定系数法求二次函数的解析式，设出 一般式y=ax2+bx+c是绝对通用的办法。
因为有三个待定系数，所以要求有三个已 知点坐标。
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的 一个交点坐标是（8,0），顶点是（6,12），求这个二次函数的解析式。（分 别用三种办法来求）
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高中二次函数 课件ppt课件ppt课件ppt
翻折变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行翻转。
当函数图像关于x轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = -f(x)$；关 于y轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = f(-x)$。
在翻折变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性 不变。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行缩放。
详细描述
二次函数在代数中可以用来解决方程的根的问题，在几何 中可以用来研究图形的性质和关系，在概率统计中可以用 来描述随机变量的分布等。
THANK YOU
当函数图像在x轴方向上缩小a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(frac{1}{a}x)$； 在x轴方向上扩大a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(ax)$。
在伸缩变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性和周期性不 变。
04
二次函数的解法
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y = a(x h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线 的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示一个以 $(h, k)$ 为顶点的开口抛物线，其开 口方向同样由系数 $a$ 决定。顶点坐 标 $(h, k)$ 可以用来确定抛物线的位 置和形状。
详细描述
公式法适用于求解一般形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，可以 将二次方程的解表示为 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个实根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相同的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程没有实根。
当函数图像关于x轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = -f(x)$；关 于y轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = f(-x)$。
在翻折变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性 不变。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行缩放。
详细描述
二次函数在代数中可以用来解决方程的根的问题，在几何 中可以用来研究图形的性质和关系，在概率统计中可以用 来描述随机变量的分布等。
THANK YOU
当函数图像在x轴方向上缩小a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(frac{1}{a}x)$； 在x轴方向上扩大a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(ax)$。
在伸缩变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性和周期性不 变。
04
二次函数的解法
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y = a(x h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线 的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示一个以 $(h, k)$ 为顶点的开口抛物线，其开 口方向同样由系数 $a$ 决定。顶点坐 标 $(h, k)$ 可以用来确定抛物线的位 置和形状。
详细描述
公式法适用于求解一般形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，可以 将二次方程的解表示为 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个实根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相同的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程没有实根。
二次函数的应用ppt课件
②根据题意，得绿化区的宽为
= （x-20）（m），
∴y=100×60-4x（x-20）.又 ∵28≤100-2x≤52，∴24≤x≤36. 即 y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围为 y=-4x2+80x+6 000 （24≤x≤36）；
-7-
2.4 二次函数的应用
（2）y=-4x2+80x+6 000=-4（x-10）2+6 400. ∵a=-4＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线 x= 10. 当 24≤x≤36 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x=24 时，y 最大=5 616，即停车场的面积 y 的最大值为 5 616 m2； （3）设费用为 w. 由题意，得 w=100（-4x2+80x+6 000）+50×4x（x- 20）=-200（x-10）2 +620 000， ∴ 当 w=540 000 时，解得 x1=-10，x2=30. ∵24≤x≤36，∴30≤x≤36，且 x 为整数， ∴ 共有 7 种建造方案． 题型解法：本题是确定函数表达式及利用函数的性质设计工程方案的问题. 解题过程中应理解：（1）工程总造价是绿化区造价和停车场造价两部分的和； （2）根据投资额得出方程，结合图象的性质求出完成工程任务的所有方案.
（1）解决此类问题的关键是建立恰当的平面直角坐标系； 注意事项
（2）根据题目特点，设出最容易求解的函数表达式形式
-9-
2.4 二次函数的应用
典题精析 例 1 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系， 其函数的关系式为 y=- x2，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时，水面宽 度 AB 为 （ ） A． -20 m B． 10 m C． 20 m D． -10 m
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二次函数的开口方向
当二次函数的二次项系数大于 0时，抛物线开口向上。
02
开口向下
01
开口向上
当二次函数的二次项系数小于0时 ，抛物线开口向下。
二次函数的对称轴
对称轴公式
对称轴的方程是 $x = -frac{b}{2a}$ ，其中 $a$ 是二次项系数，$b$ 是一 次项系数。
对称轴位置
对称轴的位置取决于 $a$ 和 $b$ 的 符号。如果 $a > 0$ 且 $b = 0$，对 称轴是 $x = 0$；如果 $a < 0$ 且 $b = 0$，对称轴是 $x = infty$。
总结词
二次函数的顶点式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线的顶点坐标 。
详细描述
顶点式是二次函数的一种特殊形式，它通过 $(h, k)$ 确定了抛物线的顶点位置， 并围绕这一点展开。这种形式直观地展示了抛物线的开口方向和大小，以及顶点 的位置。
03
二次函数的图像与性质
二次函数的最值
最值公式
最值的坐标为 $left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
最值类型
当 $a > 0$ 时，函数有最小值；当 $a < 0$ 时，函数有最大值。
04
二次函数的应用
生活中的二次函数
01
抛物线型拱桥ห้องสมุดไป่ตู้
二次函数可以用来描述抛物线 型拱桥的形状和受力情况。
进阶习题
进阶习题1
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$( - infty, a)$上是减函数，求实数$a$的 取值范围。
二次函数的应用(经典) PPT
二次函数的应用
专题二： 数形结合法
简单的应用（学会画图）
已知二次函数的图象与x轴交于A（－2，0），B（3， 0）两点，且函数有最大值2。 求二次函数的解析式； 设此二次函数图象顶点为P，求△ABP的面积
在直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的 负半轴上，点C在x轴的正半轴上，AC＝5，BC＝4， cos∠ACB＝3/5。 求A、B、C三点坐标； 若二次函数图象经过A、B、C三点，求其解析式； 求二次函数的对称轴和顶点坐标
窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的 周长等于6cm，要使窗能透过最多的光 线，它的尺寸应该如何设计？
A
O
D
B
C
最值应用题——面积最大
• 用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边
做一个水槽，水槽的横断面为底角120º的
等腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它
的侧面AB应该是多长？
D
A
B
C
最值应用题——路程问题
已知二次函数的图象与x轴交于A（－2，0）， B（3，0）两点，且函数有最大值2。 求二次函数的解析式； 设此二次函数图象顶点为P，求△ABP的面积
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
思维小憩：
用待定系数法求二次函数的解析式，什么时 候使用顶点式y=a(x-x1) (x-x2)比较方便？
求函数最值点和最值的若干方法： 直接代入顶点坐标公式 配方成顶点式 借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合 和x轴两个交点坐标求。
二次函数的三种式
一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-m)2+n 交点式：y=a(x-x1) (x-x2)
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴的一个交点坐标是（8,0），顶点是 （6,-12），求这个二次函数的解析式。 （分别用三种办法来求）
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
二次函数初三ppt课件ppt 课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
二次函数的应用经典ppt课件
轴两个交点坐标求。
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
二次函数的交点式
已知二次函数的图象与x轴交于（－2，0）和 （1，0）两点，又通过点（3，－5）， 求这个二次函数的解析式。 当x为何值时，函数有最值？最值是多少？
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
专题一： 待定系数法确定二次函数
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
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最值应用题——运动观点
在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发， 沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B
的表达式的区别与联系，你发现了什么？
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
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二次函数的交点式
已知二次函数的图象与x轴交于（－2，0）和 （1，0）两点，又通过点（3，－5）， 求这个二次函数的解析式。 当x为何值时，函数有最值？最值是多少？
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
专题一： 待定系数法确定二次函数
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
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最值应用题——运动观点
在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发， 沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B
的表达式的区别与联系，你发现了什么？
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03
二次函数的图像变换
平移变换
总结词
平移变换是指二次函数的图像在平面坐标系 中沿x轴或y轴方向进行移动。
详细描述
平移变换包括沿x轴方向的左移和右移，以 及沿y轴方向的上移和下移。对于一般形式 的二次函数y=ax^2+bx+c，当b≠0时，图 像为抛物线。当b>0时，图像向右平移b/2a个单位；当b<0时，图像向左平移 |b|/2a个单位。
总结词
顶点式二次函数解析式是y=a(xh)^2+k，其中(h,k)为函数的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示的是一个 开口向上或向下的抛物线，其顶点为 (h,k)。该形式简化了函数的对称轴和 顶点，便于分析函数的性质。
交点式二次函数解析式
总结词
交点式二次函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为函数与x轴的交点。
02
二次函数的解析式
一般二次函数解析式
总结词
一般二次函数解析式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数 ，且a≠0。
详细描述
一般二次函数解析式是二次函数的基本形式，它可以表示任 意二次函数。其中a控制函数的开口方向和开口大小，b控制 函数的对称轴，c为函数与y轴的交点。
顶点式二次函数解析式
值的变化。
04
二次函数的实际应用
最大利润问题
总结词
通过建立二次函数模型，解决最大利润问题。
详细描述
在生产和经营过程中，常常需要寻求最大利润。通过将实际问题转化为数学模型，利用二次函数求导 数的方法，可以找到获得最大利润的条件和对应的最大利润值。
抛物线形拱桥问题
总结词
利用二次函数解析式表示抛物线形拱桥的形 状，进而解决相关问题。
二次函数的解析式课件
弹性力学问题
在弹性力学中，二次函数 可以用于描述物体的应力 和应变关系，以及弹性体 的变形和稳定性等问题。
04
二次函数解析式的性质
二次函数的开口方向与a的关系
总结词：a的正负决定二次函数的开口方 向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
a的符号决定了二次函数的开口方向，这 是判断二次函数增减性的关键。
几何问题
二次函数与几何图形密切相关，可以 用于研究平面几何、立体几何中的一 些问题，例如抛物线、椭圆、双曲线 的性质和图像。
在物理问题中的应用
01
02
03
运动学问题
二次函数可以用于描述物 体在重力作用下的运动规 律，例如自由落体运动、 抛体运动等。
波动问题
在波动现象中，例如声波 、光波等，二次函数可以 用于描述波的传播规律和 性质。
参数的取值还影响抛物线 的顶点位置：顶点的x坐标 为-b/2a，y坐标为(4acb^2)/4a。
03
二次函数解析式的应用
在生活中的实际应用
金融领域
二次函数可以用于描述股 票价格、债券收益率等金 融数据的变动规律，帮助 投资者进行风险评估和预
测。
建筑领域
在建筑设计中，二次函数 可以用于计算结构物的受 力分析、稳定性等，以确 保建筑的安全性和稳定性
最小值为c-b^2/4a，此时二次函数开 口向上；最大值为c-b^2/4a，此时二 次函数开口向下。
二次函数的最小值或最大值在对称轴 上取得，即x=-b/2a处。
05
二次函数解析式的求解方法
配方法求解二次函数解析式
总结词
通过配方将二次函数转化为顶点式，便于分析函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
详细描述
二次函数的解析式的三种形式 ppt课件
驶向胜利 的彼岸抛物线的解析式抛物线的解析式 驶向胜利
一般式 y=ax2+bx+c
的彼岸
： 顶点
b 2a
对称轴
b, 2a
4acb2 4a
抛物线的解析式 驶向胜利 的彼岸
顶点式 y=a(x-h)2+k
：顶点 (h,k
(h,k)
)
对称轴
h
直线:x=h
抛物线的解析式 驶向胜利 的彼岸
交点式 y=a(x-x1)(x-x2)
y＝2x2+5
对称轴 直线x=0(即y轴
：
)
(0,5)
顶点: (0,5)
与y轴的交点: (0,5)
y＝-2(x+2)(x-3)
对称轴 直线x=0.5 ： 顶点:
(0,12)
(-2, 0.5 (3,0) 0)
与y轴的交点: (0,12)
y＝2(x+1)2
对称轴 ：
顶点:
直线x=-1 (-1,0)
与y轴的交点: (0,2)
(0,2)
-1
y＝-2(x-1)(x-3)
对称轴 ：
顶点:
直线x=2 (2,2)
(1,0) 2
(3,0)
与y轴的交点: (0,-6)
(0,-6)
(3,0)
y＝-3(x-3)2
3
对称轴 直线x=3 ：
顶点: (3,0)
与y轴的交点: (0,-27) (0,-27)
y＝-(x+3)2+1 对称轴 直线x=-3 ： 顶点: (-3,1)
ya(x2)21
已知抛物线 ,
点A(-1,y1), B(1,y2),
C(2,y3)在这条抛物线上，
一般式 y=ax2+bx+c
的彼岸
： 顶点
b 2a
对称轴
b, 2a
4acb2 4a
抛物线的解析式 驶向胜利 的彼岸
顶点式 y=a(x-h)2+k
：顶点 (h,k
(h,k)
)
对称轴
h
直线:x=h
抛物线的解析式 驶向胜利 的彼岸
交点式 y=a(x-x1)(x-x2)
y＝2x2+5
对称轴 直线x=0(即y轴
：
)
(0,5)
顶点: (0,5)
与y轴的交点: (0,5)
y＝-2(x+2)(x-3)
对称轴 直线x=0.5 ： 顶点:
(0,12)
(-2, 0.5 (3,0) 0)
与y轴的交点: (0,12)
y＝2(x+1)2
对称轴 ：
顶点:
直线x=-1 (-1,0)
与y轴的交点: (0,2)
(0,2)
-1
y＝-2(x-1)(x-3)
对称轴 ：
顶点:
直线x=2 (2,2)
(1,0) 2
(3,0)
与y轴的交点: (0,-6)
(0,-6)
(3,0)
y＝-3(x-3)2
3
对称轴 直线x=3 ：
顶点: (3,0)
与y轴的交点: (0,-27) (0,-27)
y＝-(x+3)2+1 对称轴 直线x=-3 ： 顶点: (-3,1)
ya(x2)21
已知抛物线 ,
点A(-1,y1), B(1,y2),
C(2,y3)在这条抛物线上，
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米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距
离地面3米。问此球能否投中？
最高4米
篮圈中心
20 米
3米
9
4米
8米
条件：小明球出手时离地面高 20 米，
9
小明与篮圈中心的水平距离为8米，
球出手后水平距离为4米时最高4米，
篮圈中心距离地面3米。
问题：此球能否投中？
出手高度要增加 解：如图，建立平面直角坐标系，
（取2 6 5）
2E
（x1，0）
F
（x2，0）
第一段抛物线y 1 (x 6)2 +4，OC 4 3+6 12
将第一段抛物线向下平移2个单位， 再向右平移h个单位得到第二段抛物线。
设第二段抛物线的解析式为： y 1 (x 6) h2 4 2
12
此图象过点C（4 3+6, 0），代入求出h,从而 求出CD, 再求出BD
解之，得a 1
这段抛物线的顶3点为2（04，47）米， 设其对应的函数解析9式为：3
9
y 1 x 42 4 (0≤x≤8)
y a x 4 2 4 (0≤x≤8)
抛物线经过点
0，20 9
9
当x 8时，y 20 9
此球没有达到篮圈中心距离地面3
20 a0 42 4
米的高度，不能投中。
2
1.二次函数的一些性质。 2.二次函数的实践应用。
1.本节课主要的数学思想：
（1）函数思想 （2）数形结合思想 （3）方程思想 （4）平移变换思想
.主要方法:待定系数法
布置作业： 课时作业P31-32
9
条件：小明球出手时离地面高 20 米，
9
小明与篮圈中心的水平距离为8米，
球出手后水平距离为4米时最高4米，
篮圈中心距离地面3米。
问题小：明此球向能前否平投移中？1米 解法二可：投前面中解法相同，得y 1 x 42 （4 0≤x≤8）
9 设篮球高度能达到篮圈中心3米高，
令y 1 x 42 4=3，
简已析求：第C一D的次落长地即前E抛F的物线长解，析求式出为Ey、 F的1 (横x 坐6)2标+4即可
12
对已于求第C（一4 段3+抛6）物，线即ByC4 13 (x 6)2 +4，令y 2 球落地后会弹起，如果弹起后12的抛物线与原来的抛物线
解方形运状动程相员或同乙E，要F最抢= 大到x1高第度二x减2个少落 到点原Db2,来他a最应4大再ac高向度前的跑一多半少。米？
二次函数顶点式解析式的应用 课件
知识回顾 二次函数的对称轴与顶点：
二次函数 对称轴
y=a(x－h)2+k （ a≠ 0）
x=h
顶点坐标 (h , k)
y=ax2+bx+c （ a≠ 0）
x b 2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
知识回顾 各种形式的二次函数（ a≠ 0）的图象
（平移）关系
y = a( x – h )2 + k
9 解之，得x1=（1 不合题意，舍去），x2 =7
即篮球与小明的水平距离没有达到8米，此球不能投中。
y
4
3
0,
20 9
O
（4，4） 4
（8，3）
8,
20 9
8
x
y
（4，4） （5，4）
4
3
0,
20 9
A（7，3）
●
B（8，3）
O
45
8
x
用抛物线知识解决一些实际问题的一般步骤：
建立直角坐标系（有则不画） 二次函数的图象和性质 问题求解 找出实际问题的答案
左
上
右
下
平
平
移
移
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
ห้องสมุดไป่ตู้
上下平移
左右平移
y = ax2
（上加下减，左加右减）
知识回顾
用待定系数法求二次函数的解析式 常见类型
1、一般式：y 本a节x重2 点bx c
运用
2、顶点式：y a(x h)2 k
3、交点式：y a(x x1)(x x2 )
知识回顾
抛物线y ax2 bx （c a 0）与x轴交于两点A（x1，0）、 B（x2，0），用含a、b、c的式子表示的AB距离。
简析： AB= x1-x2 = （x1-x2）2 = （x1+x2）2 4x1x2
( b )2 4 c b2 4ac b2 4ac
a
a
a2
a
例题：一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高 20 9 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4
如图，点O处有一足球守门员，他在离地面1 米的点A处开出一高球飞出，球的路线是抛物线。 运动员乙距O点6米的B处发现球在自己头顶正上方 达到最高点M，距地面约4米高。 （取4 3 7）
求足球落地点C 距守门员地点O大约多远？
简析：易求抛物线解析式为y 1 (x 6)2 +4 12
令y 0，解方程得x 4 3 6 1（3 负值舍去） 即OC 13米
离地面3米。问此球能否投中？
最高4米
篮圈中心
20 米
3米
9
4米
8米
条件：小明球出手时离地面高 20 米，
9
小明与篮圈中心的水平距离为8米，
球出手后水平距离为4米时最高4米，
篮圈中心距离地面3米。
问题：此球能否投中？
出手高度要增加 解：如图，建立平面直角坐标系，
（取2 6 5）
2E
（x1，0）
F
（x2，0）
第一段抛物线y 1 (x 6)2 +4，OC 4 3+6 12
将第一段抛物线向下平移2个单位， 再向右平移h个单位得到第二段抛物线。
设第二段抛物线的解析式为： y 1 (x 6) h2 4 2
12
此图象过点C（4 3+6, 0），代入求出h,从而 求出CD, 再求出BD
解之，得a 1
这段抛物线的顶3点为2（04，47）米， 设其对应的函数解析9式为：3
9
y 1 x 42 4 (0≤x≤8)
y a x 4 2 4 (0≤x≤8)
抛物线经过点
0，20 9
9
当x 8时，y 20 9
此球没有达到篮圈中心距离地面3
20 a0 42 4
米的高度，不能投中。
2
1.二次函数的一些性质。 2.二次函数的实践应用。
1.本节课主要的数学思想：
（1）函数思想 （2）数形结合思想 （3）方程思想 （4）平移变换思想
.主要方法:待定系数法
布置作业： 课时作业P31-32
9
条件：小明球出手时离地面高 20 米，
9
小明与篮圈中心的水平距离为8米，
球出手后水平距离为4米时最高4米，
篮圈中心距离地面3米。
问题小：明此球向能前否平投移中？1米 解法二可：投前面中解法相同，得y 1 x 42 （4 0≤x≤8）
9 设篮球高度能达到篮圈中心3米高，
令y 1 x 42 4=3，
简已析求：第C一D的次落长地即前E抛F的物线长解，析求式出为Ey、 F的1 (横x 坐6)2标+4即可
12
对已于求第C（一4 段3+抛6）物，线即ByC4 13 (x 6)2 +4，令y 2 球落地后会弹起，如果弹起后12的抛物线与原来的抛物线
解方形运状动程相员或同乙E，要F最抢= 大到x1高第度二x减2个少落 到点原Db2,来他a最应4大再ac高向度前的跑一多半少。米？
二次函数顶点式解析式的应用 课件
知识回顾 二次函数的对称轴与顶点：
二次函数 对称轴
y=a(x－h)2+k （ a≠ 0）
x=h
顶点坐标 (h , k)
y=ax2+bx+c （ a≠ 0）
x b 2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
知识回顾 各种形式的二次函数（ a≠ 0）的图象
（平移）关系
y = a( x – h )2 + k
9 解之，得x1=（1 不合题意，舍去），x2 =7
即篮球与小明的水平距离没有达到8米，此球不能投中。
y
4
3
0,
20 9
O
（4，4） 4
（8，3）
8,
20 9
8
x
y
（4，4） （5，4）
4
3
0,
20 9
A（7，3）
●
B（8，3）
O
45
8
x
用抛物线知识解决一些实际问题的一般步骤：
建立直角坐标系（有则不画） 二次函数的图象和性质 问题求解 找出实际问题的答案
左
上
右
下
平
平
移
移
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
ห้องสมุดไป่ตู้
上下平移
左右平移
y = ax2
（上加下减，左加右减）
知识回顾
用待定系数法求二次函数的解析式 常见类型
1、一般式：y 本a节x重2 点bx c
运用
2、顶点式：y a(x h)2 k
3、交点式：y a(x x1)(x x2 )
知识回顾
抛物线y ax2 bx （c a 0）与x轴交于两点A（x1，0）、 B（x2，0），用含a、b、c的式子表示的AB距离。
简析： AB= x1-x2 = （x1-x2）2 = （x1+x2）2 4x1x2
( b )2 4 c b2 4ac b2 4ac
a
a
a2
a
例题：一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高 20 9 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4
如图，点O处有一足球守门员，他在离地面1 米的点A处开出一高球飞出，球的路线是抛物线。 运动员乙距O点6米的B处发现球在自己头顶正上方 达到最高点M，距地面约4米高。 （取4 3 7）
求足球落地点C 距守门员地点O大约多远？
简析：易求抛物线解析式为y 1 (x 6)2 +4 12
令y 0，解方程得x 4 3 6 1（3 负值舍去） 即OC 13米