第二章 应力状态理论

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在外力作用下，我们 从物体从中取出的单 元体位于边界处，则 单元体内部应力形成 的内力和边界上的外 力平衡。 1) 如果边界面正好和坐标平面平行，则立即可得到 应力应满足的条件。 2) 如果边界面和坐标平面斜交，则应根据形成的四 面体的平衡条件得到应力应满足的条件。
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由于方程（*）的根不变，故方程总的系数一定为不变量。如 果坐标轴恰好与三个主方向重合，则应力张量简化为？
主坐标系，主向空间？
主应力的几个重要性质： （1) 不变性：从物理意义上讲，主应力是物体内部受外部 确定因素作用时客观存在的量。 （2）实数性 （3）正交性 （4）极值性：通过一点的所有微分面上的全应力中，最大和 最小的全应力分别是绝对值最大和最小的主应力。
称为克罗内克尔 代尔塔符号 (Kronecker delta)。
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记基矢的混合积 (e i × e j ） · e k = e ijk
其中
当i, j, k为偶置换
当i, j, k为奇置换 当i，j，k有两个或三个相同
称为置换符号。利用置换符号，两个 矢量的矢积可记为 a i ×b j = e ijk ai bjek
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前面得到的就是斜面应力公式，它给出了物体内一点的九个 应力分量与通过同一点的各微分面上应力之间的关系。这样 要了解各点的应力状态问题，化为求出各点的九个应力量的 问题。 由前面的斜面应力公式可知，过任意一点的法向矢量为 n的微分斜面上，其斜面应力为：
fn nj e j ni ij e j
x y z xy yz zx T
Fbx F Fby F bz
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2.4 边界条件
按照边界条件的不同，弹性力学问题可分为位 移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。 – 位移边界问题：物体在全部边界上的位移分量是 已知的。 – 应力边界问题：物体在全部边界上的应力分量是 已知的。 – 混合边界条件：物体一部分边界具有已知位移， 因而具有位移边界条件，另一部分边界具有已知 面力，因而具有应力边界条件。
yz zy zx xz xy yx
即为剪应力互等定理。根据切应力互等定理，应力分 量为对称张量。
从平衡方程中看到只有6个未知数σij。
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平面状态的平衡微分方程为：
平衡微分方程的张量形式是：
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平衡微分方程的矩阵形式是：
Lσ+ F = 0
其中L是微分算子：
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张量的概念 应力和一点的应力状态 平衡微分方程 边界条件 主应力和应力张量不变量 转轴时应力张量的变换 圣维南原理 例题
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2.1 张量的概念
一 指标符号
(1)量与数：任何一个量都是客观对象的数学 表征，通常是由若干个数字给出的，最简 单的量称为标量，由一个数字确定。矢量 有大小、方向，就不能只用一个数值表示， 由若干分量组成，引入下标记号法。
设边界上一点处 A的外力沿轴向的分量为 px, py （沿正向为正）。 在边界A这部分可视外力分量为应力分量， 直接得到应力边界条件：
σx ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ p x τyx = py
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n
设斜面ACD为边界面，其 外法线n的方向为(l1,l2,l3)，面 积为ΔS，边界外力p分量为(px， py，,pz)，则三角形ABC、 ABD 、 BCD的面积分别为ΔS 在各相应方向上的投影为l1ΔS, l2ΔS, l3ΔS。四面体的体积为
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2.5 主应力和应力不变量
主应力和应力不变量


当坐标转动时，受力物体内任一确定点的九个应 力量将随着改变。在坐标系不断转动过程中，必 然能找到一个坐标系，使得该点在该坐标系中只 有正应力分量，而剪应力分量为零。 把这样的微分面称为主微分面，简称主平面，其 法向方向称为应力主方向，而其上的应力称为主 应力。
如果仅考虑单元体的平衡，可以不考 虑单元体同一方向上相隔一定距离应 力的微小变化，前后两面的应力可认 为是大小相等、方向相反。
但是，在分析整体的平衡时，应力的 这个微小变化，各面的应力差就是造 成物体各处应力变化的原因，必须加 以考虑。
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图示单元体z轴方 向的平衡，在z面的负 面z处，正应力记为σz, z正面z+dz处应力为 z τxz z dz
第二章
应力状态理论
应力的概念是固体力学的最重要 的概念之一,应力分量具有张量的性质， 符合张量的坐标变换规律。 考虑单元体的平衡，得到平衡微 分方程，在边界上得到边界条件，边 界条件在弹性力学问题的求解中占有 重要的地位。
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2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
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–上式是ni的线性代数方程组。其非零解存在条件：
xx n xy xz yx yy n yz 0 zy zz n zx
n 3 I1 n 2 I 2 n I 3 0 I1 x y z
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二 张量的定义
在力学中常用的物理量（或几何量）可分为几 类：标量（只有大小没有方向）；矢量（既有大小 又有方向）；张量（具有多重方向性的更为复杂的 物理量） 标量与坐标轴的选取无关，但矢量分量和应力分 量和坐标轴的选取有关，这种与坐标变换有关，满足 规定坐标变换公式的物理量称为张量。 标量称为零张量，矢量为一阶张量，矩阵（方阵） 是二阶张量。
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应力张量：一点的应力状态，它具有二重方向性， 即应力分量的值既与截面法线的方向有关又与应力 分量本身的方向有关，是二阶张量，可记为 ( ij ) 。
( ij ) =
xx xy xz yy yz yx zx zy zz xx xy xz yy yz yx zx zy zz x xy xz y yz yx zx zy z
设Fbz 为物体的Z方向的体力分量。
z
总和后整理便得到z方向的静力平衡方程 ∑Z=0:
o
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x
y
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同理得到x、y方向的静力（或运动）平衡微分方程:
2u (或 2 ） t 2u (或 2 ） t 2u (或 2 ） t
其中Fbx, Fby, Fbz 为物体的体力分量。 利用前后、上下、左右面中心线轴的转距为0,可以得 到： , , ,
z x o y
dv。
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z x 0 y 由x方向的平衡得到： pxΔS = l1ΔSσx+l2ΔSτyx+l3ΔSτzx px= l1σx+l2τyx +l3τzx
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即
注意，这里边界上的外力是坐标轴方向上的分量。
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由y、z方向的平衡得到: py= l1τxy+l2σy+l3τzy
z
xz xz dx x
在x面的负面处，切应力 记为τxz； x正面x+dx处切应力为 xz xz dx x
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z
o
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x
y
在y面的负面y处，切应 力记为τyz,
τyz
yz
yz dy y
y正面y+dy处应力为
yz yz dy y
可以将坐标x, y , z 轴，记为x1, x2, x3, 通常 可简记为 xi,各轴的基矢记为 e1,e2,e3,可简记为 ei, 在此坐标系中的矢量v的分量记为v1, v2, v3, 可简记为vi。
V v1e1 v2e2 v3e3 vi ei
矢量的点积: 一个矢量和另一个矢量的点 积可以决定一个标量，用指标符号可记为: W F S f1s1 f 2 s2 f3s3 fi si
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9个应力分量可以完全确定一点的应力状态。
x xy xz ij yx y yz zy z zx
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2.3 平衡微分方程
在外力作用下，物体整体平衡的同时，任何一部 分也将保持平衡。我们从中取出一个单元体 dv=dxdydz加以分析,物体内某点的正应力为σi。
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将求导符号简记为：
( ) ( ) ,i xi
梯度可记为：
e1 e2 e3 ,i ei x1 x2 x3
则散度可记为：
v1 v2 v3 v vi ,i x1 x2 x3
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在给定的直角坐标系下，应力可沿3个坐标方向分 解，分别表示为： fvx , fvy , fvz 。则有：
fv fvx e1 fvy e2 fvz e3
e2 ，e3分别表示坐标单位矢量。 这里的 e1 ， 应力矢量又可分别沿微分面的法向和切向方向分 解，分别表示为正应力 v和切应力 v 。
w f i si
求和所得到的结果，不再含有这一指标，这 一指标换为其它的指标也不会影响其结果，这一 指标称为哑标。 不求和的指标称为自由指标。一项中有其它 符号的指标，通常有泛指的意义。
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记基矢的点积 ei· e j = δij
其中
该定义表明它有 对称性，与指标 排列顺序无关， 即：δij＝ δji
pz= l1τxz +l2τyz+l3σz
其张量形式为
Pi = σij lj
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如果四面体取自物体内 部，则(px，py，,pz)是斜面 上的应力σv（P）沿原坐标 轴方向上的分量，将其与斜 面的方向矢量点积，则得到 该面上的法向应力（正应力）
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n
切应力可按矢量方法求得：
2 2 2 I 2 x y y z z x xy yz zx
*
2 2 2 I 3 x y z 2 xy yz zx x yz y zx z xy
方程（*）称为应力状态的特征方程，它的三个特征 根即为主应力。I1、I2、I3分别称为应力张量的第一、 第二和第三不变量。
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一点的应力状态
通过物体内一点可以作无数个方位不同的微 分面，各微分面上的应力一般各不同，我们把物 体内同一点各微分面上的应力情况，称为一点的 应力状态。 在笛卡尔坐标系下，我们分别沿平行于坐标 平面的3个微分面方向进行应力分解后，可得到9 个应力分量，我们将他们整体称为应力张量，其 中的每一个量称为应力分量。应力张量表示为：
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2.2 应力和一点的应力状态
根据物体连续性的假设，可认为物体在微小 面上的ΔS力是连续分布的，内力ΔF则是这个分 F 布力的合力，于是分布集度为：S 即平均力。 当ΔS很小时，这个集度的极限就称为应力， 表示为： ΔF
F fv l i m s 0 S
ΔS
如果法向矢量n为应力主方向，则斜面应力fn应与斜面 法向矢量n同向，此时，斜面上只有正应力而无剪应力， 于是： fn n n n n j e j 可得到主平面上的法向矢量n应满足的关系式： ni ij n n j 0 引入δij进行换标，上式改写为： ni ( ij nij ) 0
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f 3 s3
(2) Einstein求和约定：最后一个等式在符号∑ 下fi si 有两个同样的指标 i 。约定凡在同一项中有一对相 同的指标（也就是一个指标出现两次时），就认 为是对这一指标从 1 到 3 全程求和，并限定在同一 项中不能有同一下标出现 3 次或 3 次以上，求和符 号略去不写，记为：