gggg数列极限—2教学教案
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练习（不交）
P62习题2.3 复习题：2. 5.
作业（要交）
P62习题2.3 1. 3. 4. 5(1)(2)
复习：P57—60,Байду номын сангаас4—69,93—97
预2020/9习/14 ：P48—56,57—62
1
数列极限的定义 ( N)
A
nN
A
A
a2
a n1
an a3
数列极限的性质
复习
x a1
性质1: 数列收敛，极限是唯一的.
a0
n2
lim 0
2 n n
17
思考题
1. ln i m n an k? (a1, k0) cn
2. lim ? (c0) nn!
2020/9/14
18
[例2] 证 明 数 (1列 n1)n有 极.限 [证明] 只须证明什麽？ (1)数列 (1n1)n有界(2)数列 (1n1)n单调
利用牛顿二项式定理, 有 (1n 1)n1nn 121!n(n n 2 1)31!n(n1n)3(n2)
性质2: 数列收敛，必有界.
性质3:（极限的保号性、保序性） 性质4:（子列的敛散性）
2020/9/1性4 质5:（线性性）（尚未讲）
2
第三讲 数列极限（续）
一、数列极限的性质（续）
二、数列极限的存在性
三、数列极限举例
2020/9/14
3
二、数列极限的存在性 （一）夹逼收敛准则：
如 果 N0,使nN0,有 an cn bn
如 此 无 限 地 作 ,得下 一去 串 子 数 列
{a n 1},{a n 2}, ,{a n k},
m k1ank M k1
在每一个子数列中任意选一个数，记为
2020/9/14
an 1,an 2, ,an k, 12
(b)证明选出的子{a数 nk }收 列敛 m 1 m 2 m k M 1
an1 a1
{ann N ,n1 }{an 1} b1supan{1} a n 2: a n 2 {a n 1}使 , 0b 1 a n 21 2 {a nn N ,nn 2}{a n 2}b2suap n2}{b1 a n 3: a n 3 {a n 2}使 , 0b 2 a n 31 3 {a nn N ,nn 3}{a n 3}b3suap n3} {b2
2020/9/14
即cn A
证毕 8
2. 证明单调有界定理：
设数列 an单调非减有上界
（1）猜极限
由假设数列单调增, 根据确界公理, 知
数列 an必有上 ,记 确 su界 p anA
2020/9/14
l n i a m n su a nn p N A
9
（2）[证明] 根据确界定义, 知
如此无限地作下去 , 得
2020/9/14
14
a n k: a n k {a n k 1}使 , 0 b k 1 a n k k 1 {a nn N ,nn k}{a n k} bksuan p k} {bk1
(b) 证明选出的子数列收敛
由 (1 ) lk i (m b k 1 a n k)0
且ln im an ln im bn A,则ln im cn A.
（二）单调有界定理：
单调增（减）有上（下）界数列，
必有极限.
2020/9/14
5
（三）子数列收敛准则： 任何有界数列，必有收敛的子列.
（四）柯西收敛准则：
数列收敛的充分必要条件是该数列 是柯西数列.
什麽是柯西数列？
0,N (自 然 )使 , n 数 N , m N ,
（1）证法一：利用两分法选子序列 （a)选子序列
{ a n }有 界 m 1 ,M 1 , n N ,有
m1anM1
m1
m1 M1
M1
2
把{an}分成两,分 部别 分满 : 足
m1
2020/9/14
an
m1M1 2
m1M1 2
an
M1
11
至少有一组含有 无数 穷列 多,的 记 项为 {an1} m2an1 M2
[例1]
n2 ln i m2n
?
n2 an 2n
an1 12(nn1)2an
N (自)然 ,nN 数 ,有 1(n 1 )21 2n
{an}单 调 , 又 a 减 n0,有 下 {a界 n}收 敛
记ln im an a
2020/9/14
a 1a 2
ln i m an11 2ln i m (nn 1)2an
M 1 M 2 M k m 1
{mk},{Mk}都收敛 又因 lk i (m M k为 m k) lk i M m 2 1k 1 m 1 0 lk i m M klk i m kA 聚点
2020/9/14
lk im ank A
证毕
13
(2) 利用确界概念选一子数列
(a)选子序列
0,N(自然 ),使 数
aN A 再 a n 由 单 调 ,知 n 非 N ,有 减
anaNA
另一方面, 显然有 anAA
从 而 0 , N (自)然 使 , n 数 N ,有
AanA
2020/9/14
即
an A 证毕
10
3. 证明子数列收敛准则：
思路：先选一子序列，再证明该子序列收敛。
[证] 因ln 为 i m anln i m bnA
即0
N 1 ( 自 )使 然 , n N 1 ,数 有 A a n
N 2 ( 自 )使 然 , n N 2 ,数 有 b n A
于 N 是 m N a 0 ,N x 1 ,N 2 ,使 n N ,有
A a n c n b n A
恒 有 anam
2020/9/14
6
1. 证明夹逼收敛准则： 能否做如下证明？
an cn bn
A l n ia n m l n ic n m l n ib n m A
ln im cn A 应用定理一定要注意条件！
保序性是以极限存在性为条件的！
2020/9/14
7
证法: 找 N ,使 n N ,有 cnA
{bk}单调减有 下 {bk}界 收敛
{a }收敛 证毕 2020/9/14
nk
15
4. 证明柯西收敛准则：
必要性易证 充分性证明思想
(1) 证明 {an}有界
{an}有收敛的{a子 nk }列
lk i mank A 2020/9(/12 4 )证明 ln im anA
3 16
三、数列极限举例
n1!n nn!
11111
2! 3!
n!
2 2 (1 11 ) 1(1 1 ) 1 ( 11)
122232 3 (n1)n n1 n
P62习题2.3 复习题：2. 5.
作业（要交）
P62习题2.3 1. 3. 4. 5(1)(2)
复习：P57—60,Байду номын сангаас4—69,93—97
预2020/9习/14 ：P48—56,57—62
1
数列极限的定义 ( N)
A
nN
A
A
a2
a n1
an a3
数列极限的性质
复习
x a1
性质1: 数列收敛，极限是唯一的.
a0
n2
lim 0
2 n n
17
思考题
1. ln i m n an k? (a1, k0) cn
2. lim ? (c0) nn!
2020/9/14
18
[例2] 证 明 数 (1列 n1)n有 极.限 [证明] 只须证明什麽？ (1)数列 (1n1)n有界(2)数列 (1n1)n单调
利用牛顿二项式定理, 有 (1n 1)n1nn 121!n(n n 2 1)31!n(n1n)3(n2)
性质2: 数列收敛，必有界.
性质3:（极限的保号性、保序性） 性质4:（子列的敛散性）
2020/9/1性4 质5:（线性性）（尚未讲）
2
第三讲 数列极限（续）
一、数列极限的性质（续）
二、数列极限的存在性
三、数列极限举例
2020/9/14
3
二、数列极限的存在性 （一）夹逼收敛准则：
如 果 N0,使nN0,有 an cn bn
如 此 无 限 地 作 ,得下 一去 串 子 数 列
{a n 1},{a n 2}, ,{a n k},
m k1ank M k1
在每一个子数列中任意选一个数，记为
2020/9/14
an 1,an 2, ,an k, 12
(b)证明选出的子{a数 nk }收 列敛 m 1 m 2 m k M 1
an1 a1
{ann N ,n1 }{an 1} b1supan{1} a n 2: a n 2 {a n 1}使 , 0b 1 a n 21 2 {a nn N ,nn 2}{a n 2}b2suap n2}{b1 a n 3: a n 3 {a n 2}使 , 0b 2 a n 31 3 {a nn N ,nn 3}{a n 3}b3suap n3} {b2
2020/9/14
即cn A
证毕 8
2. 证明单调有界定理：
设数列 an单调非减有上界
（1）猜极限
由假设数列单调增, 根据确界公理, 知
数列 an必有上 ,记 确 su界 p anA
2020/9/14
l n i a m n su a nn p N A
9
（2）[证明] 根据确界定义, 知
如此无限地作下去 , 得
2020/9/14
14
a n k: a n k {a n k 1}使 , 0 b k 1 a n k k 1 {a nn N ,nn k}{a n k} bksuan p k} {bk1
(b) 证明选出的子数列收敛
由 (1 ) lk i (m b k 1 a n k)0
且ln im an ln im bn A,则ln im cn A.
（二）单调有界定理：
单调增（减）有上（下）界数列，
必有极限.
2020/9/14
5
（三）子数列收敛准则： 任何有界数列，必有收敛的子列.
（四）柯西收敛准则：
数列收敛的充分必要条件是该数列 是柯西数列.
什麽是柯西数列？
0,N (自 然 )使 , n 数 N , m N ,
（1）证法一：利用两分法选子序列 （a)选子序列
{ a n }有 界 m 1 ,M 1 , n N ,有
m1anM1
m1
m1 M1
M1
2
把{an}分成两,分 部别 分满 : 足
m1
2020/9/14
an
m1M1 2
m1M1 2
an
M1
11
至少有一组含有 无数 穷列 多,的 记 项为 {an1} m2an1 M2
[例1]
n2 ln i m2n
?
n2 an 2n
an1 12(nn1)2an
N (自)然 ,nN 数 ,有 1(n 1 )21 2n
{an}单 调 , 又 a 减 n0,有 下 {a界 n}收 敛
记ln im an a
2020/9/14
a 1a 2
ln i m an11 2ln i m (nn 1)2an
M 1 M 2 M k m 1
{mk},{Mk}都收敛 又因 lk i (m M k为 m k) lk i M m 2 1k 1 m 1 0 lk i m M klk i m kA 聚点
2020/9/14
lk im ank A
证毕
13
(2) 利用确界概念选一子数列
(a)选子序列
0,N(自然 ),使 数
aN A 再 a n 由 单 调 ,知 n 非 N ,有 减
anaNA
另一方面, 显然有 anAA
从 而 0 , N (自)然 使 , n 数 N ,有
AanA
2020/9/14
即
an A 证毕
10
3. 证明子数列收敛准则：
思路：先选一子序列，再证明该子序列收敛。
[证] 因ln 为 i m anln i m bnA
即0
N 1 ( 自 )使 然 , n N 1 ,数 有 A a n
N 2 ( 自 )使 然 , n N 2 ,数 有 b n A
于 N 是 m N a 0 ,N x 1 ,N 2 ,使 n N ,有
A a n c n b n A
恒 有 anam
2020/9/14
6
1. 证明夹逼收敛准则： 能否做如下证明？
an cn bn
A l n ia n m l n ic n m l n ib n m A
ln im cn A 应用定理一定要注意条件！
保序性是以极限存在性为条件的！
2020/9/14
7
证法: 找 N ,使 n N ,有 cnA
{bk}单调减有 下 {bk}界 收敛
{a }收敛 证毕 2020/9/14
nk
15
4. 证明柯西收敛准则：
必要性易证 充分性证明思想
(1) 证明 {an}有界
{an}有收敛的{a子 nk }列
lk i mank A 2020/9(/12 4 )证明 ln im anA
3 16
三、数列极限举例
n1!n nn!
11111
2! 3!
n!
2 2 (1 11 ) 1(1 1 ) 1 ( 11)
122232 3 (n1)n n1 n