最短路径问题参赛课件·

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13.4 课题学习 最短路径问题
黄冈中学惠州学校 2015年12月20日
精品
课件说明
• 本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮 • 马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题
研 • 究,让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和
最 • 小问题,再利用轴对称将线段和最小问题转化为 • “两点之间,线段最短”(或“三角形两边之和
作法:
A
·
(1)作点B 关于直线l 的对称点
B′;
C
(2)连接AB′,与直线l 相交于
点C. 则点C 即为所求.
B
·
l
B′
精品
想一想,做一做
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?
证明:如图,在直线l 上任取一点C′(与点C 不
重合),连接AC′,BC′,B′C′.
由轴对称的性质知,
BC =B′C,BC′=B′C′. ∴ AC +BC
大 • 于第三边”)问题.
精品
课件说明
• 学习目标: • 能利用轴对称解决简单的最短路径问题,
体会图形 的变化在解决最值问题中的作用, 感悟转化思想. • 学习重点: 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点 之间,线段最短”问题.
精品
引言:
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问 题. 下面我们就“将军饮马问题”和造桥选址问题一起 来看看吧!
你能将这个问题抽象为数学问题吗?
B A
l
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想一想
这是一个实际问题,你打算首先做什么?
将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直 线.
·B A·
l
精品
想一想
你能用自己的语言说明这个问题的意思,并把它抽象 为数学问题吗?
(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,现在的问题是怎样找出使
+BC′?这里的“C′”的作用是什么?A
·
若直线l 上任意一点(与点 C 不重合)与A,B 两点的距离
·
C′ C
l
和都大于AC +BC,就说明AC +
BC 最小. B′
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试一试
如图所示,要在街道旁修建一个牛奶站,向
居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才 能使从A、B到它的距离之和最短.
居民B .
= AC +B′C = AB′, AC′+BC′
= AC′+B′C′.
A
·
C′ C
B
·
l
在△AB′C′中,
B′
AB′<AC′+B′C′,
∴ AC +BC<AC′+BC′.
即 AC +BC 最短. 精品
想一想,做一做
追问1 证明AC +BC 最短时,为什么要在直线l 上
任取一点C′(与点C 不重合),证明AC +BC <ABC′
B
MN为所建的桥。
你能证明.AM+ME最小吗?
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两地在一条河的两岸,现要在河上造一 座桥MN,桥造在何处可使从A到B的路 径AMNB最短?(假定河的两岸是平行
的直线,桥要与河垂直。)
精品
精品
小结
(1)本节课研究问题的基本过程是什么? (2)轴对称在所研究问题中起什么作用?
作业 1.教科书复习题13.
L
L于点C、D,
则A-C-D-B最短
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造桥选址问题
P86 如图,A.B两地在一条河的两岸,现要在河上建一
座桥MN,桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?
(假设河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
Βιβλιοθήκη Baidu作法:
. .A·
M
1.将点B沿垂直与河岸
的方向平移一个河宽到E,
N
E
2.连接AE交河对岸
.
与点M,则点M为建桥的位置,
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将军饮马问题
问题1 相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访 海伦,求教一个百思不得其解的问题:
从图中的A 地出发,到一条笔直的河边l 饮马,然 后到B 地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程
最短?
B A
l
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想一想
精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的 知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马 问题”.
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居民A .
街道
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试一试
如图:A为马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出 马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐 篷,请你帮他确定这一天的最短路线。
A'
作法:
M
CN
1.作点A关于直线 MN 的 对称点A ',
2. 作点B关于直线L
A
D

B'
的对称点点B ',
3.连接A ‘ B ’分别交直线MN、
两条线段长度之和为最 短的直线l上的点. (3)设C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点 C 在l 的什么位置时, AC 与CB 的和最小(如图).
B A
C
精品l
想一想,做一做
问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直
线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB
的和最小?
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