2.1.2 不等式的基本性质(含答案)
高一 不等式知识点+例题+练习 含答案
1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b >0)．2．不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a >b ⇔b <a ⇔ 传递性 a >b ，b >c ⇒a >c ⇒ 可加性 a >b ⇔a ＋c >b ＋c ⇔可乘性⎭⎬⎫a >bc >0⇒ac >bc 注意c 的符号⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc同向可加性 ⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d ⇒同向同正可乘性⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ⇒可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)a ，b 同为正数可开方性a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0)． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a >b ⇔ac 2>bc 2.( × ) (2)1a >1b ⇔a <b (ab ≠0)．( × ) (3)a >b ，c >d ⇒ac >bd .( × ) (4)若1a <1b <0，则|a |>|b |.( × )(5)若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b.( √ )1．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >bx 这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________． 答案 ②④解析 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x >y ，a >b .∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y .因此①不恒成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by .因此③也不恒成立． 又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx.因此⑤不恒成立． 由不等式的性质可推出②④恒成立．2．(教材改编)下列四个结论，正确的是________． ①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； ②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ； ③a >b >0⇒3a >3b ； ④a >b >0⇒1a 2>1b 2.答案 ①③3．若a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是____________． ①a －b >0 ②a 3＋b 3>0 ③a 2－b 2<0 ④a ＋b <0 答案 ④解析 由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |， 当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0成立．4．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M ，N 的大小关系是________．答案 M >N解析 ∵0<a <1b ，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab(1＋a )(1＋b )>0.5．(教材改编)若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为____________________． 答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b解析 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1， ∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12. 即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)， 又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2<b ，综上，a <2ab <12<a 2＋b 2<b .题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是__________．(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系为__________．答案 (1)c ≥b >a (2)c <b <a解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)方法一 易知a ，b ，c 都是正数， b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1，所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1， 所以b >c .即c <b <a .方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x 2，易知当x >e 时，函数f (x )单调递减． 因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)， 即c <b <a .思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．(1)已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为________________________________________________________________________． (2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________________________________________________________________________． 答案 (1)m >n (2)a <b 解析 (1)m ＝(x ＋1)(x 2＋x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x －x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x2(x ＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1－12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x ＋1)，∴m －n ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)－(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝12(x 2＋x ＋1)－12x (x ＋1) ＝12>0. 则有x ∈R 时，m >n 恒成立． (2)a b ＝18161618＝(1816)161162 ＝(98)16(12)16＝(982)16， ∵982∈(0,1)，∴(982)16<1， ∵1816>0,1618>0， ∴1816<1618.即a <b .题型二 不等式的性质例2 已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列关系式中一定成立的是________． ①ab >ac ②c (b －a )<0 ③cb 2<ab 2 ④ac (a －c )>0 答案 ①解析 由c <b <a 且ac <0知c <0且a >0. 由b >c 得ab >ac 一定成立．思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋bc<0；③a －c >b －d ；④a (d－c )>b (d －c )中成立的个数是________． 答案 3解析 方法一 ∵a >0>b ，c <d <0， ∴ad <0，bc >0，∴ad <bc ，故①错误． ∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )，∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd <0，故②正确． ∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )， a －c >b －d ，故③正确．∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )， 故④正确． 方法二 取特殊值．题型三 不等式性质的应用例3 已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b . 其中一定成立的不等式为__________． 答案 ①②③解析 方法一 由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立； ∵a >b >0，∴a >b ， ∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36， a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立．方法二 令a ＝3，b ＝2， 可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立．思维升华 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．(1)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是________．①1a －b >1b②a 2<ab ③|b ||a |<|b |＋1|a |＋1④a n >b n (2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有正确结论的序号是________． 答案 (1)③ (2)①②③解析 (1)(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知①，②，④均不正确； ③中，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |， ∵a <b <0，∴|b |<|a |成立． (2)由不等式性质及a >b >1知1a <1b ，又c <0，∴c a >cb ，知①正确；构造函数y ＝x c ，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数， 又a >b >1，∴a c <b c ，知②正确； ∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，知③正确．7．不等式变形中扩大变量范围致误典例 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________． 易错分析 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a ，b 的范围，再求f (－2)＝4a －2b 的范围，导致变量范围扩大．解析 方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1) (m 、n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 即5≤f (－2)≤10.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法三 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分， 当f (－2)＝4a －2b 过点A (32，12)时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5,10]温馨提醒 (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．[方法与技巧]1．用同向不等式求差的范围．⎩⎨⎧a <x <b ，c <y <d ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <x <b ，－d <－y <－c ⇒a －d <x －y <b －c . 这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到． 2．倒数关系在不等式中的作用．⎩⎨⎧ ab >0，a >b⇒1a <1b ；⎩⎨⎧ab >0，a <b ⇒1a >1b . 3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．比差法的主要步骤：作差—变形—判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商． 4．求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法． [失误与防范]1．a >b ⇒ac >bc 或a <b ⇒ac <bc ，当c ≤0时不成立． 2．a >b ⇒1a <1b 或a <b ⇒1a >1b ，当ab ≤0时不成立．3．a >b ⇒a n >b n 对于正数a 、b 才成立． 4.ab>1⇔a >b ，对于正数a 、b 才成立． 5．注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a >b ，b >c ⇒a >c ，其中a >c 不能推出⎩⎨⎧a >b ，b >c .6．比商法比较大小时，要注意两式的符号．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．若x >y >z >1，则xyz ，xy ，yz ，zx 从大到小依次排列为______________． 答案 xyz >xy >zx >yz解析 取特殊值法，由x >y >z >1，可取x ＝4，y ＝3，z ＝2，分别代入得xyz ＝26，xy ＝23，yz ＝6，zx ＝2 2. 故xyz >xy >zx >yz .2．设a >2，A ＝a ＋1＋a ，B ＝a ＋2＋a －2，则A ，B 的大小关系是________________________________________________________________________． 答案 A >B解析 A 2＝2a ＋1＋2a 2＋a ，B 2＝2a ＋a 2－4，显然A 2>B 2，即A >B .3．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是________．①1a －b >1a②1a >1b ③|a |>|b | ④a 2>b 2答案 ①解析 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立，故①不成立，②③④都成立． 4．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的____________条件．答案 充分不必要解析 由(a －b )·a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时⇒/(a －b )·a 2<0，必要性不成立．5．设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的取值范围是____________．答案 (－π6，π) 解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π. 6．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是__________． 答案 M >N解析 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0，∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.∴M >N .7．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 z >y >x解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .8．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．9．设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．解 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )．∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0，∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．10．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？解 设路程为s ，跑步速度为v 1，步行速度为v 2，t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2， s ＝t 乙2·v 1＋t 乙2·v 2⇒t 乙＝2s v 1＋v 2， ∴t 甲t 乙＝(v 1＋v 2)24v 1v 2≥(2v 1v 2)24v 1v 2＝1. ∴t 甲≥t 乙，当且仅当v 1＝v 2时“＝”成立．由实际情况知v 1>v 2，∴t 甲>t 乙．∴乙先到教室．B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是________．①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若a c >b c，则a >b ； ③若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b； ④若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b. 答案 ③解析 当c ＝0时，可知①不正确；当c <0时，可知②不正确；对于③，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b成立，③正确； 当a <0且b <0时，可知④不正确．12．若存在实数x ＝x 0，使得不等式ax >a －1不成立，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (－∞，0)∪(0，＋∞)解析 不妨将命题否定，转化为：若对任意的x ，有ax >a －1恒成立，则a (x －1)>－1.当x >1时有a >－1x －1，则a ≥0；当x <1时有a <－1x －1，则a ≤0；当x ＝1时，则a ∈R .因此对任意的x ，a ＝0，再对a 的取值进行否定，可得实数a 的取值范围为a ≠0.13．设[x ]表示不超过x 的最大整数，x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x －3]＋5，如果x 不是整数，那么x ＋y 的取值范围是__________．答案 (93,94)解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x －3]＋5化为：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3[x ]＋13，y ＝4[x ]－12＋5，解得[x ]＝20，y ＝73.∵x 不是整数，∴20<x <21.∴93<x ＋y <94.14．已知－12<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a，则A ，B ，C ，D 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 C >A >B >D解析 －12<a <0，不妨取a ＝－14， 这时A ＝1716，B ＝1516，C ＝43，D ＝45. 由此猜测：C >A >B >D .C －A ＝11＋a－(1＋a 2) ＝－a (a 2＋a ＋1)1＋a＝－a [(a ＋12)2＋34]1＋a. ∵1＋a >0，－a >0，(a ＋12)2＋34>0，∴C >A . ∵A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0，∴A >B .B －D ＝1－a 2－11－a ＝a (a 2－a －1)1－a＝a [(a －12)2－54]1－a .∵－12<a <0，∴1－a >0. 又∵(a －12)2－54<(－12－12)2－54<0， ∴B >D .综上所述，C >A >B >D .15．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元/人，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1) ＝14x ＋34nx ， y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x (1－n 5)． 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠； 当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠； 当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．。
不等式的基本性质与解法总结
不等式的基本性质与解法总结不等式是数学中常见的一种数值关系表达形式，它描述了两个数或者数值表达式之间大小关系的不同情况。
在解决实际问题中，我们经常会遇到需要研究不等式的性质并解决不等式的问题。
本文将总结不等式的基本性质和解法，帮助读者更好地理解和运用不等式。
一、不等式的基本性质1. 加法性质：如果a<b，那么对于任意的实数c，a+c<b+c仍然成立；如果a>b，那么对于任意的实数c，a+c>b+c仍然成立。
2. 减法性质：如果a<b，那么对于任意的实数c，a-c<b-c仍然成立；如果a>b，那么对于任意的实数c，a-c>b-c仍然成立。
3. 乘法性质：如果a<b且c>0，那么ac<bc仍然成立；如果a<b且c<0，那么ac>bc仍然成立。
4. 除法性质：如果a<b且c>0，那么a/c<b/c仍然成立；如果a<b且c<0，那么a/c>b/c仍然成立。
5. 等式的性质：如果a=b且b=c，那么a=c仍然成立。
可以在不等式的两边加上或者减去相等的数值，不等式的关系仍然保持不变。
二、不等式的分类与解法不等式可以分为一元不等式和二元不等式两类。
一元不等式指只有一个变量的不等式，而二元不等式指含有两个变量的不等式。
下面将分别介绍一元不等式和二元不等式的解法。
1. 一元不等式的解法（1）图像法：将一元不等式转化为二元不等式，绘制出二元不等式的图像，通过观察图像得到一元不等式的解集。
（2）数线法：将一元不等式表示在数轴上，根据不等式的性质，确定不等式的解集。
（3）代数法：通过变形和运算等方式将不等式转化为更简单的形式，进而得到不等式的解集。
2. 二元不等式的解法（1）图像法：将二元不等式表示为平面上的区域，通过观察图像确定变量的取值范围，得到不等式的解集。
（2）代数法：利用一元不等式的解法，将一个变量表示成另一个变量的函数，通过求解一元不等式得到二元不等式的解集。
北师大版八年级数学下册第一讲 不等式的基本性质(基础讲解)(含解析)
第一讲不等式的基本性质【学习目标】1．了解不等式的意义,认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.3. 理解不等式的三条基本性质,并会简单应用.【知识总结】一、不等式的概念一般地,用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子,叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系,它们具有方向性,不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：(3)有些不等式中不含未知数,如3＜4,-1＞-2；有些不等式中含有未知数,如2x＞5中,x表示未知数,对于含有未知数的不等式,当未知数取某些值时,不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系,我们说不等式成立,否则,不等式不成立．二、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解．2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式,它的所有解组成这个不等式的解集．不等式的解是具体的未知数的值,不是一个范围不等式的解集是一个集合,是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来,在应用数轴表示不等式的解集时,要注意两个“确定”：一是确定“边界点”,二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解,则用实心圆点,若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言,x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言,x＜a或x≤a 向左画．注意：在表示a的点上画空心圆圈,表示不包括这一点．三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b,那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b,c＞0,那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b,c＜0,那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据,是学习不等式的基础,它与等式的两条性质既有联系,又有区别,注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号的方向要改变． 【典型例题】【类型】一、不等式的概念例1．给出下列表达式：①()a b c ab ac +=+；②20-<；③5x ≠；④21a b >+；⑤222x xy y -+；⑥236x ->,其中属于不等式的是______．（填序号） 【答案】②③④⑥【分析】根据不等式的定义判断即可． 解：①a （b+c ）=a b+ac 是等式；②-2＜0是用不等号连接的式子,故是不等式； ③x≠5是用不等号连接的式子,故是不等式； ④2a ＞b+1是用不等号连接的式子,故是不等式； ⑤x 2-2xy+y 2是代数式；⑥2x-3＞6是用不等号连接的式子,故是不等式, 故答案为：②③④⑥．【点拨】本题考查的是不等式的定义,即用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子,叫做不等式,用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．【训练】下列式子：①－1＞2；②3x≥－1；③x －3；④s ＝vt ；⑤3x －4＜2y ；⑥3x －5＝2x ＋2；⑦a 2＋2≥0；⑧a 2＋b 2≠c 2.其中是不等式的是___________________．(只填序号) 【答案】①②⑤⑦⑧ 【解析】【分析】根据不等式的定义即可得出结论．解：根据不等式的定义：①－1＞2,②3x ≥－1,⑤3x －4＜2y ,⑦a 2＋2≥0,⑧a 2＋b 2≠c 2是不等式；③x －3,④s =vt ,⑥3x －5=2x ＋2不是不等式． 故答案为：①②⑤⑦⑧．【点拨】本题考查了不等式的概念．掌握不等式的概念是解题的基础． 【训练】下列式子属于不等式的是_______________．① 50-< ② 2x 3= ③ 3x 12-> ④4x 2y 0-≤ ⑤ 2x 3x 20-+> ⑥ x 2y - ⑦ 57x ≠ ⑧54< ⑨ x y 0+≥【答案】①③④⑤⑦⑧⑨【解析】【分析】根据不等式的概念即可解题. 解：∵不等式要求用不等号连接 ∴排除②⑥∴不等式的有①③④⑤⑦⑧⑨【点拨】本题考查了不等式的识别,属于简单题,熟悉不等式的概念是解题关键.【类型】二、不等式的解及解集例2.（2018·安徽全国·七年级单元测试）下列数值中哪些是不等式3x-1≥5的解？哪些不是？ 100, 98, 51, 12, 2, 0, -1, -3, -5.【答案】100, 98, 51, 12, 2是不等式3x-1≥5的解；0,-1,-3,-5不是不等式3x-1≥5的解. 【解析】试题分析：把上述各数分别代入不等式315x -≥的左边计算出左边的值,看是否大于或等于5即可. 试题解析：∵在不等式315x -≥中,当100x =时,左边=312995x -=>； 当98x =时,左边=312935x -=>； 当51x =时,左边=311525x -=>； 当12x =时,左边=31355x -=>； 当2x =时,左边=315x -=；当0x =时,左边=3115x -=-<； 当1x =-时,左边=3145x -=-<； 当3x =-时,左边=31105x -=-<； 当5x =-时,左边=31165x -=-<;∴上述各数中,100,98,51,12,2是不等式315x -≥的解；0,－1,－3,－5不是不等式315x -≥的解. 例3. 把下列不等式的解集在数轴上表示出来． (1)x≥－3； (2)x ＞－1； (3)x≤3；(4)x<－32. 【答案】(1)(2) (3)(4)【解析】将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可. 试题解析：（1）将3x ≥-表示在数轴上为：（2）将1x >-表示在数轴上为：（3）将3x ≤表示在数轴上为：（4）将32x <-表示在数轴上为：点拨：将不等式的解集表示在数轴上时,需注意两点：（1）“大于（大于或等于）向右,小于（小于或等于）向左”；（2）“x a >或（x a <）时”,数轴上表示数“a ”的点用“空心圆圈”,“x a ≥（或x a ≤）时”,数轴上表示数“a ”的点用“实心圆点”. 【训练】在数轴上表示不等式﹣3≤x ＜6的解集和x 的下列值：﹣4,﹣2,0,142,7,并利用数轴说明x 的这些数值中,哪些满足不等式﹣3≤x ＜6,哪些不满足？ 【答案】﹣2,0,142满足不等式；﹣4,7不满足不等式 【分析】根据“大于向右,小于向左,包括端点用实心,不包括端点用空心”的原则将不等式的解集和x 的下列值：﹣4,﹣2,0,142,7在数轴上表示出来,这些值如果在解集范围内则表示满足不等式,否则就是不满足不等式．解：根据图可知：x 的下列值：﹣2,0,142满足不等式；x 的下列值：﹣4,7不满足不等式．【点拨】不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞,≥向右画；＜,≤向左画）,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示；“＜”,“＞”要用空心圆点表示．【类型】三、不等式的性质例4.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成x a >或x a <的形式．（1）x 15-<． （2）4x 13-≥． （3）1x 142-+≥． （4）4x 10-<-． 【答案】（1）x 6<；（2）x 1≥；（3）x 6≤-；（4）5x 2>．【分析】（1）利用不等式的性质将两边加上1即可求解；（2）利用不等式的性质先将两边加上1,再两边同除以4即可求解； （3）利用不等式的性质先将两边减去1,再两边同除以12-即可求解； （3）利用不等式的性质将两边同除以-4即可求解； 解：（1）x 15-<,两边加上1得：x 1151-+<+, 解得：x 6<； （2）4x 13-≥,两边加上1得：4x 1131-+≥+,即4x 4≥, 两边除以4得：x 1≥； （3）1x 142-+≥, 两边减去1得：1x 11412-+-≥-,即1x 32-≥, 两边除以12-得：x 6≤-； （4）4x 10-<-, 两边除以4-得：5x 2>． 【点拨】本题考查不等式的性质,解题的关键是熟练掌握不等式的性质．【训练】根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：（1）5x>4x+8 （2）x+2<-1 （3）-23x>-1（4）10-x>0 （5）-15x<-2 （6）3x+5<0【答案】（1）x>8；（2）x<-3；（3）x<32；（4）x<10；（5）x>10；（6）x<-53．【分析】根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子）,不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数,不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数,不等号的方向改变；依次分析各小题即可．解：（1）根据不等式性质1,不等式两边都减4x,不等号的方向不变,得5x-4x>4x+8-4x,即x>8；（2）根据不等式性质1,不等式两边都减去2,不等号的方向不变,得x+2-2<-1-2即x<-3；（3）根据不等式性质3,不等式两边同除以-23,不等号的方向改变,得-23x÷（-23）<-1÷（-23）即x<32；（4）根据不等式性质1,不等式两边同减10,不等号的方向不变,得10-x-10>0-10即-x>-10,再根据不等式性质3,不等式两边同除以-1,不等号的方向改变,得x<10；（5）根据不等式性质3,不等式两边同乘以-5,不等号的方向改变,得-15x·（-5）>-2×（-5）即x>10；（6）根据不等式性质1,不等式两边都减去5,不等号的方向不变得3x+5-5<0-5即3x<-5,再根据不等式性质2,不等式两边同除以3,不等号的方向不变,得3x÷3<-5÷3即x<-53．【点拨】本题主要考查了不等式的基本性质,本题重在考查不等式的三条基本性质,特别是性质3,两边同乘以（•或除以）同一个负数时,一定要改变不等号的方向!•这条性质是初学者最易出错也经常出错的地方．。
2.1.2不等式的基本性质
2．1.2不等式的基本性质与相等关系一样，不等关系也是现实世界普遍存在的一类关系．在现实生活中，人们经常遇到长与短、多与少、高与矮、轻与重、远与近、强与弱、亮与暗、快与慢等各种现象，实际上，这些都属于数学中要研究的客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，描述相等关系用等式，描述不等关系则用不等式．与相等关系一样，不等关系也是数学研究的重要内容．研究不等关系和不等式，都是我们认识世界的重要途径．下面先看一个实际问题。
自来水管的横截面一般总制成圆形，而不是正方形，这在数学上怎样说明道理呢？实际上，当周长相等的时候，圆的面积比正方形的面积大，所以用同样的一块材料制成截面是圆形的水管，水流量大，也就是说，制成横截面是圆形的水管比较节省材料。
我们知道，周长为C 的正方形的每边的长是4C ，它的面积为()24C ；周长为C 的圆的半径是2C π，圆的面积是()22C ππ ,要说明圆形截面水管的水流量大，就是要说明以下的不等式成立： ()22C ππ＞()24.C从以上实际问题看到，在现实世界中，与不等式有关的问题是非常普遍的。
应该怎样去论证以上的不等关系呢？为了利用不等式研究不等关系，需要对不等式的性质有必要的了解.研究不等式的出发点是实数的大小关系。
我们知道，数轴上的点与实数一一对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小关系。
设a ，b 是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A ，B ．那么，当点A 在点B 的左边时，a ＜b ；当点A 在点B 的右边时，a ＞b （图x ）．图x关于实数a ，b 大小的比较，有以下的基本事实：如果a －b 是正数，那么a ＞b ；如果a －b 等于零，那么a=b ；如果a －b 是负数，那么a ＜b ．反过来也对．这个基本事实可以表示为：a －b ＞0 ⟺ a ＞b;a －b = 0⟺a =b ;a －b ＜0⟺a ＜b .以上基本事实是证明不等式的最基本的依据。
不等式的基本性质及答案
不等式的基本性质知识导引不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型，在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式． 本讲的主要知识点：1、不等号有“≠”，“＞”，“＜”，“≥”，“≤”。
“≥”表示大于或等于；“≤”表示小于或等于．2、一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，即不等式的解集．3、不等式性质1：不等式两边同时加上或减去一个相同的数，不等号方向不变；不等式性质2：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式性质3：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；4、在数轴上表示解集，必须注意空心圈与实心点表示的不同含义．5、不等式解集口诀：大大取大，小小取小，小大大小连起写，大大小小题无解．6、解决与不等式相关的问题，常用到分类讨论、数形结合等相关概念和方法．典例精析例1：下列四个命题中，正确的有（ ）①若a ＞b ，则a ＋1＞b ＋1；②若a ＞b ，则a －1＞b －1；③若a ＞b ，则－2a ＜－2b ；④若a ＞b ，则2a ＜2b ．A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个例1—1：已知a ，b ，c 是有理数，且a ＞b ＞c ，则下列式子中正确的是（ ）A 、ab ＞bcB 、a ＋b ＞b ＋cC 、a －b ＞b －cD 、c b c a > 例2：若实数a ＞1，则实数a M =，32+=a N ，312+=a P 的大小关系为（ ） A 、P ＞N ＞M B 、M ＞N ＞P C 、N ＞P ＞M D 、M ＞P ＞N例3：解不等式5456110312-≥+--x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来．例3—1：请你写出一个满足不等式2x －1＜6的正整数x 的值： ．例3—2：若关于x 的不等式3m －2x ＜5的解集是x ＞2，则实数m 的值为 ．例4：某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%，为了提高工人的劳动积极性，按时完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革，改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元．（1）为了保证所有工人每月的工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元？（精确到分）（2）根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元，工人小张争取六月份工资不少于1200元，则小张在六月份至少应加工多少套童装？探究活动例：三边均不相等的△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．学力训练A 组 务实基础1、若a ＞b ，c 为有理数，则下列各式一定成立的是（ ）A 、ac ＞bcB 、ac ＜bcC 、22bc ac >D 、22bc ac ≥2、不等式121>-x 的解集是（ ） A 、21->x B 、2->x C 、2-<x D 、21-<x3、四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P 、Q 、R 、S ，如图所示，则他们体重的大小关系是（ ）A 、P ＞R ＞S ＞QB 、Q ＞S ＞P ＞RC 、S ＞P ＞Q ＞RD 、S ＞P ＞R ＞Q4、如果不等式（a －1）x ＞a －1的解为x ＜1，则a 必须满足（ ）A 、a ＜1B 、a ＞1C 、a ＞0D 、a ＜05、已知三角形的两边分别是2，6，第三边长也是偶数，则三角形的周长是 ．6、关于x 的方程2（x ＋a ）＝a ＋x －2的解是非负数，在a 的取值范围是 ．7、如果x ≥－5的最小值是a ，x ≤5的最大值是b ，则a ＋b ＝ ．8、规定一种新运算：a △b ＝ab －a －b ＋1，如3△4＝12－3－4＋1，请比较：（－3）△4 4△（－3）（填“＞”、“＜”或“＝”）．9、已知关于x 的方程3（x －2a ）＋2＝x －1的解适合不等式2（x －5）≥8a ，求a 的取值范围．10、关于x 的不等式64141a x x ->-+的解都是不等式2214x x -<-的解，求a 的取值范围．B 组 瞄准中考1、（邵阳中考）如图，数轴上表示的关于x 的一元一次不等式的解集为（ ）A 、x ≤1 B、x ≥1 C、x ＜1 D 、x ＞12、（烟台中考）不等式4－3x≥2x－6的非负整数解有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个3、（深圳中考）已知a 、b 、c 均为实数，若a ＞b ，c ≠0，下列结论不一定正确的是（ ）A 、a ＋c ＞b ＋cB 、c －a ＜c －bC 、22cb c a > D 、22b ab a >> 4、（凉山中考）下列不等式变形正确的是（ ）A 、由a ＞b ，得ac ＞bcB 、由a ＞b ，得－2a ＜－2bC 、由a ＞b ，得－a ＞－bD 、由a ＞b ，得a －2＜b －25、（乐山中考）下列不等式变形正确的是（ ）A 、由a ＞b ，得a －2＜b －2B 、由a ＞b ，得－2a ＜－2bC 、由a ＞b ，得b a >D 、由a ＞b ，得22b a > 6、解不等式x x 329721-≤-，得其解的范围为（ ） A 、61≥x B 、61≤x C 、23≥x D 、23≤x 7、（永州中考）某市打市电话的收费标准是：每次3分钟以内（含3分钟）收费0.2元，以后每分钟收费0.1元（不足1分钟按1分钟计）．某天小芳给同学打了一个6分钟的市话，所用电话费为0.5元；小刚现准备给同学打市电话6分钟，他经过思考以后，决定先打3分钟，挂断后再打3分钟，这样只需电话费0.4元．如果你想给某同学打市话，准备通话10分钟，则你所需的电话费至少为（ ）A 、0.6元B 、0.7元C 、0.8元D 、0.9元8、（临沂中考）有3人携带会议材料乘坐电梯，这三人的体重共210kg ，每捆材料重20kg ，电梯的最大负荷为1050kg ，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载 捆材料．9、（重庆中考）解不等式3132+<-x x ，并把解集在数轴上表示出来．10、（苏州中考）解不等式：1)1(23<--x ．11、（广州中考）某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案．方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．一直小敏5月1日前不是该商店的会员．（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？（2）请帮小敏算一算：所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？C 组 冲击金牌1、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x ，其中1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是常数，且1a ＞2a ＞3a ＞4a ＞5a ，则1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的大小顺序是（ ）A 、1x ＞2x ＞3x ＞4x ＞5xB 、4x ＞2x ＞1x ＞3x ＞5xC 、3x ＞1x ＞4x ＞2x ＞5xD 、5x ＞3x ＞1x ＞4x ＞2x2、不等式100<+y x 有 组整数解．3、已知121219991998++=M ，121220001999++=N ，那么M ，N 的大小关系是 ． 4、已知x ＜0，－1＜y ＜0，将x ，xy ，2xy 按从小到大的顺序排列．5、实数a ，b 满足不等式b a a b a a +-<+-)(，试判定a ，b 的符号．6、解不等式：1325<+--x x ．7、已知：正有理数1a 是3的一个近似值，设12112++=a a ，求证：3介于1a 和2a 之间．8、某地区举办初中数学联赛，有A、B、C、D四所中学参加．选手中，A，B两校共16名，B，C脸两校共20名，C，D两校共34名，并且各校选手人数的多少是按A、B、C、D中学的顺序选派的，试求各中学的选手人数．不等式的基本性质参考答案典例精析1、C 1—1、B2、D3、x ≤2，数轴上表示略 3—1、1或2或33—2、3 4、（1）设企业每套奖励x 元，由题意得：200＋60%×150x ≥450，解得x ≥2.78，因此，该企业每套至少应奖励2.78元．（2）设小张在六月份加工y 套，由题意得：200＋5y ≥1200，解得y ≥200．因此，小张在六月份至少应加工200套童装．探究活动解：设长度为4和12的高所对的边为a 、b ，又设第三边及其边上的高为c 、h ，则4a ＝12b ＝ch ．a ：b ＝3：1＝3h ：h ，b ：c ＝h ：12，∴a ：b ：c ＝3h ：h ：12，可设三边长为3hk ，hk ，12k （k 为正整数），∵3hk ＞hk ，∴3hk ＋hk ＞12k ，hk ＋12k ＞3hk ，即3＜h ＜6，又∵h 是整数，∴h ＝4（舍去），5，∴h ＝5．学力训练A 组1、D2、C3、D4、A5、146、a ≤－27、08、＝9、a ≤－6.5 10、a ≤14.5B 组1、D2、C3、D4、B5、B6、A7、B8、429、解集为x ＜2，数轴上表示略． 10、x ＞2 11、（1）120×0.95＝114（元），所以实际应支付114元．（2）设购买商品的价格为x 元，由题意得：0.8x ＋168＜0.95x ，解得x ＞1120，所以当购买商品的价格超过1120元时，采用方案一更合算．C 组1、C2、197023、m ＞n4、∵x －xy ＝x （1－y ），且x ＜0，－1＜y ＜0，所以x（1－y ）＜0，即x ＜xy ，∵0)1(2<-=-y xy xy xy ，∴xy xy <2，因为)1)(1(2y y x xy x =+=-＜0，∴2xy x <，综上所述，x ＜2xy ＜xy ．5、a 为负，b 为正6、x ＜－7或31>x 7、略 8、A 校7人，B 校9人，C 校11人，D 校23人．。
不等式讲义
不等式精品讲义一、不等式的基本性质 （1）对称性：a >b ⇔b <a ； （2）传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； （3）可加性：a >b ，c ∈R ⇔a +c >b +c ； （4）加法法则：a >b ，c >d ⇒a +c >b +d ；（5）可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ； （6）乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；（7）乘方法则：a >b >0⇒a n >b n （n ∈N ∗，且n >1）； （8）开方法则：a >b >0⇒√a n>√b n（n ∈N ∗，且n >1）； （9）倒数法则：110a b a b>>⇒<； （10）有关分数的性质：若 a >b >0，m >0，则①真分数的性质：b b m a a m +<+；b b ma a m −>−； ②假分数的性质：a a mb b m +>+；a a mb b m−<−； （11）**不等式的对称性（了解）设f(x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )是一个n 元函数. 若将x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n 中任意的两个变元互相交换位置，得到的f 与原式是恒等的，则称 f (x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )是完全对称的. 如xy +yz +zx ，a b cb c c a a b+++++等. 设f(x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )是一个n 元函数. 若作置换 x 1→x 2,x 2→x 3,⋅⋅⋅,x n−1→x n ,x n →x 1，得到的f 与原式是恒等的，则称f(x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )是轮换对称的. 如x 3y +y 3z +z 3x ，a b ca b b c c a+++++等. 显然，完全对称的一定是轮换对称的.二、重要不等式1.无理式化为有理式，分式化为整式 （12()0()0() ()0()()g x g x g x f x f x g x <≥⎧⎧>⇔⎨⎨≥>⎩⎩或2()0()()0()()g x g x f x f x g x >⎧⎪<⇔≥⎨⎪<⎩()0(0()0 ()0g x f x g x f x >⎧≥⇔=⎨≥⎩或（2）()()()00()f x f xg x g x >⇔⋅> ()()0()0()0()f x g x f x g x g x ⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩2.1. 含有绝对值的不等式（1）()()()() ()()f x g x f x g x f x g x ≥⇔≥≤−或； （2）|()|()()()()f x g x g x f x g x ≤⇔−≤≤；（3）对形如|x −a|+|x −b|≤(≥)c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解． （4）含有绝对值的不等式的性质|a|−|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|.取等条件：不等式|a|−|b|≤|a +b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab ≥0，左侧“=”成立的条件是ab ≤0，且|a|≥|b|；不等式|a|−|b|≤|a −b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab ≤0，左侧“=”成立的条件是ab ≥0，且|a|≥|b|.2.2. 一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)的解 （设 Δ=b 2−4ac ）对于a <0的情况，先移项将系数变为正然后求解. 2.3．基本不等式（1）设a,b ∈R ，则a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立．（2）若 a,b >0，则2a b+≥，当且仅当a =b 时，等号成立． （3）若 a,b >0，则2112a b a b+≤≤≤+，当且仅当a =b 时，等号成立． 其中，211a b+称为几何平均数，2a b +2.4. 柯西不等式（1）柯西不等式简单形式：,,,a b x y R ∈，()()22222()ab x y ax by ++≥+，()()22222()ax by a b x y −≥−−证：()()()2222222222222222222222()22()0ab x y ax by a x b y a y b x a x axby b ya yb x axby ay bx ++−+=+++−++=+−=−≥()()()()2222222222222222222222()22()0ax by a b x y a x axby b y a x a y b x b y a y b x axby ay bx −−−−=−+−−−+=+−=−≥ 得证. 当ay bx =时取等号.（2）柯西不等式向量形式：|α⃗⋅β⃗|≤|α⃗|⋅|β⃗|如图，设在平面直角坐标系xOy 中有向量α⃗=(a,b),β⃗=(c,d)，α⃗与β⃗之间的夹角为θ，0≤θ≤π. 根据向量数量积的定义，有α⃗⋅β⃗=|α⃗|⋅|β⃗|cosθ，因为|cosθ|≤1，所以|α⃗⋅β⃗|≤|α⃗|⋅|β⃗|. 当且仅当β⃗是零向量，或者α⃗//β⃗时取等. （3）二维形式的三角不等式：√x 12+y 12+√x 22+y 22≥√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2当且仅当P 1,P 2与原点O 在同一直线上，并且点P 1,P 2在原点O 两旁时，式中的等号成立.三、例题展示 3.1 比较法【例1】设a 、b 是非负实数，求证：)3322.a b a b +≥+【证明】3322)a b a b a b ++=+55]=−当a b ≥≥，从而55≥，得55]0−≥；当a b <<，从而55<，得55]0−<；所以)3322.a b a b +≥+【例2】已知,a b R +∈，证明：a bb aa b a b ≥.【证明】,a b R +∈，0b aa b ∴>，a ba b a b b a a b a b a a a b b b −−−⎛⎫== ⎪⎝⎭∴当a b ≥时，1a b ≥，0a b −≥，于是1a ba b −⎛⎫⎪⎝⎭≥；当a b <时，1a bb aa b b a −−⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎝⎭=>⎭.所以a bb aa b a b ≥.【例3】设1111333b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则( )A ．abaa ab << B ．aab a b a<<C ．b a a a a b <<D ．b a aa b a <<【答案】C【解析】∵1111333b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0 1.1a a a b b b a a a b a b a −∴<<<∴>=>，b aa a ∴<|,01,0,1aaa a a a a a ab b b b ⎛⎫⎛⎫=<<>∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，a a b a a a b a a b ∴<∴<<，. 故答案为：C3.2 分析法1. 凑项【例4】设a >1，则2213M a a =+−的最小值是 ▲ ． 【答案】5【解析】22133335M a a −+=−+≥= 当且仅当22133a a −=− ，即2a =时取等号. 【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型. 【练习】设x,y 为正实数，且43112x y+=++，则xy 的最小值为 ▲ ． 【答案】27 【解析】因为43112x y +=++，所以3(3)1y x y +=−，,0x y >，1y ∴>因此3(3)43(1)5352711y y xy y y y ⎡⎤⎡⎤+==+−+≥=⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦当且仅当y −1=2,y =3时取等号，即xy 的最小值为27. 未知定值（没有形如“a +b =1”这样的定值式） 【例5】设x,y 为正实数，则433x yM x y x=++的最小值为 【答案】3【解析一】配凑434311333x y x x y x y x x y x ++=+−≥=++， 当且仅当433x x yx y x+=+时，即x =3y 取等号.【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法，其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件，对于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题，要灵活依据条件或待求式合理构造定值式． 【解析二】比值换元 令y =kx ，k >0则443(31)1131313M k k k k =+=++−≥=++. 当且仅当41313k k =++时，即13k =时取等号. 【点评】由于分子，分母皆为x,y 的一次方式子，通过减量换元的方法可将两个未知量x,y 减少为一个未知量k ，再通过一元函数求值域的方法或者基本不等式求出最值. 【例6】已知,0x y >，2811x y+=，则x y +的最小值为. 22818122x x k k x y k y k k k xy x y ⎛⎫+++−=++++−≥= ⎪⎝⎭取等条件：22822424811x x k x x k y y y k xy ⎧==⎪⎪=⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪+=⎪⎩所求最小值为6k =28186x x y x y y xy x y ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭取等条件：482x x y y x y =⎧==⇒⎨=⎩2. 凑系数【例7】 当0<x <4时， y =x(8−2x)的最大值为 ▲ ． 【答案】8【分析】由0<x <4知8−2x >0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x +(8−2x)=8为定值，故只需将y =x(8−2x)凑上一个系数即可．【解析】[]211282(82)2(82)8222x x y x x x x −−⎛⎫=−=⋅−≤= ⎪⎝⎭，当2x =8−2x ，即x =2时取等号，∴当x =2时，y =x(8−2x)的最大值为8．【评注】本题也可通过二次函数求最值的方法求解，当无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．【练习】已知实数x ，y 满足x >y >0，且x +y =2，则3122M x y x y=++−的最小值是 ▲ ．【分析】将x y +凑出λ(x +3y)+μ(x −y)的形式（本质是换元法），即可使用均值不等式或者柯西不等式求出最小值：[]231(2)(2)2x y x y x y x y λμ⎛⎫+++−≥ ⎪+−⎝⎭【解析】31(2)(2)(2)(2),55x y x y x y x y λμλμλμλμ++−=++−=+⇒== 即31(2)(2)55x y x y x y +=++−， 313113119138(2)(2)2222225525555M x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤⎛⎫∴=+=+⋅++−≥++⨯= ⎪ ⎪⎢⎥+−+−⎣⎦⎝⎭⎝⎭ 取等条件：3222212x x y x y x y y ⎧=⎪−=+⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩ 或者直接换元：令x +2y =m ，2x −y =n ，可得1221,5555x m n y m n =+=−，即 122132155551010m nx y m n m n +=++−=⇒+=313139133811010101010105m n m n M m n m n n m ⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 3. 凑完全平方式凑完全平方式用于条件与问题皆为一次、二次式的情况. 【例8】已知4x 2+y 2+xy =5，求M =2x +y 的最大值. 解：取参数k ∈R ，M 2=(2x +y )2+k (4x 2+y 2+xy −5) =(4+4k)x 2+(4+k)xy +(1+k)y 2−5k当(4+4k)x 2+(4+k)xy +(1+k)y 2为完全平方式时， (4+k 2)2=(4+4k )(1+k )时，即k =−85时，有M 2=−35(2x −y)2+8≤8.于是{2x −y =04x 2+y 2+xy =5，{x =√22y =√2时，2x +y 有最大值2√2.【例9】若22425x xy y −+=，则223M x y =+的取值范围是 . 取参数k R ∈，有()()()222222342534125M x y k x xy y k x kxy k y k =++−+−=+−++−当()()22341k x kxy k y +−++为完全平方式时，有最值.于是令()()226341,235k k k x ⎛⎫++=⇒=−− ⎪⎝⎭当23x =−时，()22212125125253333333M x xy y x y =+++=++≥ 取等条件：0x y +=.即6666x x y y ⎧⎧==−⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪=−=⎪⎪⎩⎩或 当65x =−时，()222961130330305555M x xy y x y =−+−+=−−+≤取等条件：30x y −=，即x y ==于是所求的取值范围是25303⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【评析】将问题中223x y +变为()212533x y ++的形式，可得最小值；变为()213305x y −−+的形式可得最大值. 变形过程需要利用已知条件凑成完全平方，于是设出参数，列方程求解即可. 4. 分离对于2ax bx cx d +++形式的分式函数，将分子降次，化为1m m+的形式运用不等式.【例10】 求2710(1)1x x y x x ++=>−+的值域．【分析】本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有x +1的项，再将其分离．【解析】22710(1)5(1)44(1)5111x x x x y x x x x ++++++===++++++，当x >−1，即x +1>0时，59y ≥=（当且仅当x =1时取“＝”号）． 【练习】已知a ，b 都是负实数，则2a ba b a b+++的最小值是 . 【答案】2(√2−1)【解析】2()(2)(2)()2()222222a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b+−++−++++=+=+−≥++++++.【例11】已知,,0a b R ab ∈>，求4441a b M ab++=的最小值.【解析】442241141144a b a b M ab ab ab ab ab++++=≥==+≥.取等条件：44142144a a b ab b ab ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎪⎪⎩⎩【例12】已知0,0x y >>，且25x y +=的最小值为【解析】===≥取等条件：62531x yxy+=⎧=⎧⎪⇒⎨=⎪⎩=⎨⎩【练习】变形：已知0,0x y>>的最小值为.【解析】拆开运用基本不等式：≥=≥或用柯西不等式：)2(1)(21)1x y++≥，21+≥=≥取等条件：12112x y xy=⎧=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩⎩=.3.3 代换对于一些结构比较复杂，变元较多而变化关系不太清楚的不等式，可适当引进一些新的变量或等式进行代换，以简化其结构.主要目的：非标准问题标准化；复杂问题简单化；降次；化分式为整式；化无理式为有理式；化超越式为代数式.1. 消元【例13】已知实数,0x y>，且811x y+=，求2x y+的取值范围.【解析】由已知条件得8xyx=−，08y x>⇒>，22(8)161628101018888x xx y x x xx x x−++=+=+=−++≥=−−−，取等条件168128x x x −=⇒=−，38xy x ==−. 2. 整体代换（“1”的代换）多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错． 【例14】已知x >0,y >0，且1x +9y =1，求x +y 的最小值．【错解】 x >0,y >0，且1x +9y =1， x +y =(1x +9y )(x +y)≥2√9xy 2√xy =12，故(x +y)min =12．【错因】解法中两次连用基本不等式，在x +y ≥2√xy 等号成立条件是x =y ，在1x +9y ≥2√9xy 等号成立条件是1x =9y ，即y =9x ，取等号的条件的不一致，产生错误．因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法． 【正解】x >0,y >0,1x +9y =1∴x +y =(x +y)(1x +9y )=yx +9x y+10≥6+10=16 ，当且仅当y x =9x y时，上式等号成立，又1x +9y =1，可得x =4,y =12时，(x +y)min =16．【练习】已知正实数x,y 满足111x y +=，则3411x yx y +−−的最小值为________． 【答案】7+4√3【解析】正实数x ，y 满足1x +1y =1，则：x +y =xy ， 则：3473443111x y xy x yx y x y xy x y −−+==+−−−−+，1143(43)4377x y x y x y y x ⎛⎫∴++=+++≥+=+ ⎪⎝⎭故3411x yx y +−−的最小值为7+4√3． 【例15】已知a ，b 为正实数，2b +ab +a ＝30，求y =1ab 的最小值．【分析】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行． 【解法一】由已知得a =30−2b b+1,ab =30−2b b+1⋅b =−2b 2+30b b+1．∵a ＞0，∴0＜b ＜15．∴令t ＝b +1，则1<t <16， ∴ab =−2t 2+34t−31t=−2(t +16t)+34．∵t +16t≥2√t ⋅16t=8，∴ab ≤18,∴y ≥118，当且仅当t ＝4，即a ＝6，b ＝3时，等号成立．【解法二】由已知得：30−ab =a +2b ．∵a +2b ≥2√2ab ，∴30−ab ≥2√2ab ． 令u =√ab ，则u 2+2√2u −30≤0，−5√2≤u ≤3√2，∴√ab ≤3√2，ab ≤18，∴y ≥118． 【点评】①本题考查不等式a+b 2≥√ab(a >0,b >0)的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式ab =a +2b +30 (a >0,b >0)出发求得ab 的范围，关键是寻找到a +b 与ab 之间的关系，由此想到不等式0,0)2a ba b +≥>>，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围． 【例16】已知,0x y >且2312x y +=，求xy 的最大值.【解析】将24(06)3y x x =−<<代入得， 2224433x x x y x x ⎛⎫−=−+ ⎪⎝⎭=即可将二元变量问题转化为一元函数求值域问题，()()224,0,63f x x x x =−+∈ ()()36f x f ≤=即3,2x y ==时，xy 有最大值6. 部分使用“1的代换”若形如“已知1ma nb +=，求1(,,,,0am n a b k a kb+都是大于）的最小值”，只需部分使用“1的代换”，即1a ma nb a a kb a kb++=+ 【例17】设正实数b a , 满足ba ab a 81,2+=+则的最小值为 ．【答案】1 【解析】0,0a b >>，111111828228222a ab a b a a b a b a b +∴+=+=++≥+=+=．当且仅当28b a a b =即42,33a b ==时取得等号． 【例18】设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值. 【答案】2−【解析】因为2a b +=，所以12a b+=所以1||||||||12||4||4||4||4|||4||a ab a a b a a a aa b a b a a b a b a ++=+=++≥+=+ 当且仅当||4||b a a b+，即2||b a =时取等号， 当0a >时，1||15112||4||44a a a b a +≥+=+=； 当0a <时，1||13112||4||44a a ab a +≥+=−+=； 所以1||2||a a b +的最小值为34，此时2b a =− 又2a b +=，所以(2)2a a +−=，即2a =− 【例19】已知且，则的最小值是 . 【答案】32 【解析】222222222141414(2)(44)a b a ab b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222241684b a b a a b ab ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭44b a a b +≥=，当且仅当4b a a b =，即2b a =时取等号； 2222168b a a b +≥=，当且仅当222216b a a b+，即2b a =时取等号； 所以2214844832a b +≥+⨯+=，当且仅当2b a =时取等号； 所以2214a b +的最小值为32 【点评】在使用“1的代换”时，注意保持两和式是同次的.；在使用两次基本不等式时，注意两次等号成立,a b R +∈21a b +=2214a b+的条件是否一致.3. 判别式法（万能K 法）判别式法（万能K 法）并不万能，很容易出错，因此求出最值后，必须验证取等条件！！如果二次项系数不为0，此方程为关于x 的一元二次方程。
§2.1.1-2 不等式的基本性质1备课笔记
2.1不等式的基本性质教学目的1、理解实数的三趾性，会作差比较法比较两个数或代数式的大小2、初步理解不等式的基本性质，会运用性质判断或证明简单的不等式教学重点1、会用作差法比较大小2、不等式的基本性质教学难点1、运用作差比较法教学过程2.1.1、实数的三趾性对于任何两个数a ，b 来说：他们之间的大小关系可能如下三种：a>b ⇔a-b>0a=b ⇔a-b=0a<b ⇔a-b<0上述三个式子，必有一个成立。
我们将实数的这个性质称为实数的三趾性。
我们比较两个实数的大小，可通过观察他们的差a-b 来得到。
这种方法通常称为作差法 例1、比较下列实数或代数式的大小1）76，87 解：056156********<-=-=- ∴8776< 2）x 2+2x+3，4x解：x 2+2x+3-4x= x 2-2x+3=（x-1）2+2>0∴x 2+2x+3>4x练习：1）53，74 2）()221x -，x 21- 作业：书P34 练习2.1.1 1（1）2（1）2.1.2 不等式的基本性质1、传递性：若a>b ，b>c 则a>c分析：要证a>c ，只要证a-c>0，使用作差法证明：a-c=(a-b)+(b-c)∵a>b,b>c∴a-b>0,b-c>0∴(a-b)+(b-c)>0∴a-c>0∴a>c2、若a>b ，则a+b>b+c学生练习证明推论：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d3、若a>b 且c>0，则ac>bc ；若a>b 且c<0，则ac<bc 证明：ac-bc=c(a-b)∵a>b∴a-b>0若c>0，则 c(a-b)>0 ∴ac-bc>0 ∴ac>bc 若c<0，则 c(a-b)<0 ∴ac-bc<0 ∴ac<bc推论1：若a>b>0且c>d>0，则ac>bd2：若n 为大于1的正整数，如果a>b>0，则a n >b n3：若n 为大于1的正整数，如果a>b>0，则n n b a > 例1、求证，如果c b a >+，则c b a ->证明：∵c b a >+∴)()(b c b b a -+>-++∴c b a ->此为移项法则练习 书P35 练习2.1.2。
不等式的基本性质(答案)
励志长廊：打开失败旁边的窗户，也许你就看到了希望。
寒假作业之六 不等式的基本性质（答案）学习目标及导航预习课本P 7—10内容，弄懂例1、例2的解题思路和步骤。
等式基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个整式，等式仍旧成立。
等式基本性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，等式仍旧成立。
不等式基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
不等式基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
题型归类：不等式的基本性质的简单应用：1. 将下列不等式化成“x a >”或“x a <”的形式． （1）51x -<；（2）34x x >-； （3）132x >-；（4）52x -<-．答案：解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得15x <+，即6x <． （2）根据不等式的基本性质1，两边都减去x ，得34x x ->-，即24x >-． 根据不等式的基本性质3，两边都除以2，得2x >-． （3）根据不等式的基本性质2，两边都乘以2，得6x >-． （4）根据不等式的基本性质3，两边都除以5-，得25x >．不等式的基本性质的综合应用： 2．（1）若a ＜b ，则－3a +1________－3b +1. （2）若－35x ＞5，则x ________－3.答案：（1）＞；（2）＜；必做题目：1. 如果b a <，则下面不等式错误的是（ B ）A.b a 66<B.34+<+b aC.33-<-b aD.22b a ->-2．已知x >y 且xy <0,a 为任意实数，下列式子正确的是（ C ）A.－x >yB.a 2x >a 2y C.a －x <a －y D.x >－y 3．若a +3＞b +3，则下列不等式中错误的是( B ) A.－55b a -< B.－2a ＞－2b C.a －2＜b －2 D.－(－a )＞－(－b )4．若a ＞b ，c ＜0，则下列不等式成立的是( B )A.ac ＞bcB.cb c a < C.a －c ＜b －c D.a +c ＜b +c5．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x a >或x a <的形式． （1）100x ->； （2）162x x >-； （3）350x +<；（4）125x -<-．答案：（1）10x <（2）12x >- （3）53x <-（4）10x >6．如果3415x -<，那么3154x <+，其根据是 ，如果33a b ->-ππ，则a b <，其根据是 ．答案：不等式的基本性质1，不等式的基本性质3． 7．用“<”或“>”号填空. ①已知a <b<0，则－a ______－b ；a1______b1；②若a >b ，则a －6______b －6；③若a <b ，c ≠0，则－ac 2______－bc 2. 答案：①＞ ＞ ②＞ ③＞；8．若0a b >>，则b a - 0，22a b - 0答案：<>>，， 9．若2x >时，化简|2|x -＝ ．解：由2x >，得2x <．20x ∴-<．|2|(2)2x x x ∴-=--=-．选做题目：1．方程组3133x y k x y +=+⎧⎨+=⎩，的解为x y ，，且24k <<，则x y -的取值范围是（ ）A ．102x y <-< B ．01x y <-< C ．31x y -<-<- D ．11x y -<-<解：方程组中两个方程相减得222x y k -=-．22k x y -∴-=．24k << ， 022k ∴<-<，2012k -<<．01x y ∴<-<．应选B ．2．已知x y x x y y ->+<，，则下列不等式中正确的是（ ） A ．0xy < B ．x y > C ．0x y +> D ．0x y -<解：由x y x x y y ->+<，，得00y x -><，． 00y x ∴<<，．000xxy x y y ∴>>+<，，． 000xxy x y y∴>>+<，，．x y< 不一定成立．0x y ∴-<也不一定成立．综上，0x y >．应选B ．3．若实数1a >，比较实数M a =，23a N +=，213a P +=的大小关系，并说明原因。
2.1不等式的基本性质(习题)
+≥−
移项,得
− ≥ − −
合并同类项,得
−≥ −
系数化为1,得
≤
∴ 不等式的解集为{| ≤ }
（）−< ( − ).
解：去括号,得
−< −
移项,得
−−< − −
合并同类项,得
− < −
系数化为1,得
≥
∴ 不等式的解集为{| ≥ }
பைடு நூலகம்
4.若代数式 − 与代数式5 −之和不大于2,求的取值范围.
解：由题意得
（ − ） − (−) ≤
∴ − − + ≤
∴ − − ≤
∴ − ≤
∴≥−
∴ 的取值范围为{| ≥ −}
B能力提升
1.设, 是两个不相等的实数,比较 − 与的大小.
正确
(4)若 > 且 < ,那么−> −;
正确
2.用符号“>”或“<”填空.
<
(1)
,
>
(2)如果 > ,那么, −
+ >
>−, +
+ , − +
+>,
<− +.
3.解下列不等式.
+
（）
≥ − ;
解：去分母,得
第二章 不等式
2 . 1 不 等 式 的 基 本 性 质 （ 习 题 ）
A知识巩固
习题2.1
1.判断下列结论是否正确,并说明理由.
(1)如果 > , c>0
2.1(2)不等式的基本性质Ⅱ
n 1
n 1
iff = b时 号 立 a 等 成
ax>b
例4
ax<b
( 解:移项整理得: m 1) x < m ( )当m 1 = 0 即m = 1时, 0 x < 1 x ∈ φ Ⅰ
解关于 x的不等式 (1) m ( x + 2) < x + m
m (Ⅱ )当m 1 > 0 即m > 1时, x < 1 m m (Ⅲ )当m 1 < 0即m < 1时, x > 1 m 综上: m =1 , 等 解 为 当 时 不 式 集 φ
3,预习2.2节
�
b (2)a > 0 x > a b (3)a < 0 x < a
小结 1,掌握比较两个实数大小的基本方法——作差法. 2,会利用不等式的基本性质比较两实数的大小或 证明简单的不等式. 3,解带有参数的不等式(或方程),要对系数进行 分类讨论. 作业
1,习题2.1 A组ex6 ex8,B组(做在习题册上) 2,《一课一练》 1(2) 2.
性质7. 性质 . a > b > 0, 那么(0 < ) 1 < 1 如果 a b
证明: 证明:
1 1 ba = a b ab
∵ b a < 0, ab > 0 1 1 ∴ <0 a b
1 1 ∴ 0< < a b
1 1 如果a < b < 0, 那么 ____ (< 0) a b
(同号倒数性质 同号倒数性质) 同号倒数性质
性质1.如果 性质 如果 性质2.如果 性质 如果
1 性质3. 性质 . 2
(传递性 传递性) 传递性 (加法性质 加法性质) 加法性质 (乘法性质 乘法性质) 乘法性质 (同向相加 同向相加) 同向相加 (正数同向相乘) (正数同向相乘) 正数同向相乘 1) (乘方性质 乘方性质) 乘方性质 2) (开方性质 开方性质) 开方性质
2.1.2等式性质与不等式的性质
主题 2.1.2等式性质与不等式性质教学内容课堂笔记学习目标：1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．重点：利用不等式的性质比较大小，利用不等式的性质求范围难点：利用不等式的性质比较大小，利用不等式的性质求范围阅读教材40—42页，完成书后42页练习1 2。
一不等式的基本性质性质1 如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.———————————————————————性质2 如果a>b，b>c，那么a____c..（________）证明：性质3：如果a>b，则a+c_____b+c性质4：如果a>b，c>0，则ac______bc；如果a>b，c<0，则ac_____bc.性质5：如果a>b，c>d，则a+c____b+d.性质6：如果a>b>0，c>d>0，则ac____bd.性质7：______________________________________性质8：______________________________________二利用不等式性质比较大小例1(1)给出下列命题：①若ab>0，a>b，则1a<1 b；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③对于正数a，b，m，若a<b，则ab<a＋mb＋m.其中真命题的序号是________．例2 已知 a > b >0, c <0, 求证:三、利用不等式的性质求范围例3已知12<a<60,15<b<36.求a－b和ab的取值范围．运用今日所学，试一试吧！1．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是() A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>bC．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b2．已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是()acbc>>A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B.a c >bc ⇒a >bC.⎭⎪⎬⎪⎫a >bab <0⇒1a >1bD.⎭⎪⎬⎪⎫ab >0a >b ⇒1a >1b3．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a d >b c B.a d <b c C.a c >b dD.a c <b d4．若a >b >c ，则下列不等式成立的是( ) A.1a －c >1b －c B.1a －c <1b －c C ．ac >bc D ．ac <bc本节课有什么收获，自己写下来吧！做作业之前，先回顾一下课堂上所学的知识吧！1．如果a <0，b >0，那么下列不等式中正确的是( ) A.1a <1b B.－a <b C ．a 2<b 2D ．|a |>|b |2．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c ≥b －c B ．ac >bc C.c 2a －b>0 D ．(a －b )c 2≥03．已知a >b >c ，则1b －c ＋1c －a的值是( ) A ．正数 B ．负数 C ．非正数D ．非负数4．若x >1>y ，下列不等式不一定成立的是( ) A ．x －y >1－y B ．x －1>y －1 C ．x －1>1－yD ．1－x >y －x5．下列命题正确的是( ) A ．若ac >bc ，则a >b B ．若a 2>b 2，则a >b C ．若1a >1b ，则a <b D ．若a <b ，则a <b6．不等式a >b 和1a >1b 同时成立的条件是________．7.若α，β满足－12<α<β<12，则α－β的取值范围。
第二章 不等式含答案
第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ b a －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b<1⇔a < b (a ∈R ，b >0)．2.等式的性质性质1：如果a =b ，那么b =a ；性质2：如果a =b ，b =c ，那么b =c ； 性质3：如果a =b ，那么a ±c=b ±c ； 性质4：如果a =b ，那么a c=bc ； 性质5：如果a =b ，c 0≠那么cbc a =；3.不等式的性质性质1 a b >⇔ ________；(对称性) 性质2 a b >，b c >⇒ ________；(传递性)性质3 a b >⇒ ______________；(可加性) 推论：a b c >⇒＋___________；(移项法则) 性质4 a b >，0c >⇒ __________，(可乘性)a b >，0c ac bc <⇒<；(乘负反序性) 性质5 a b >，c d >⇒ ______________；(同向可加性) 性质6 0a b >>，0c d >>⇒ __________；(同正同向可乘性) 性质7 0a b >>⇒ __________()2n N n ∈≥，．(可乘方性)性质8 ①a >b ，ab >0⇒1a < 1b . ②a <0<b ⇒1a < 1b.（可倒性）典例例1 某矿山车队有4辆载重为10t 的甲型卡车和7辆载重为6t 的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．例2 已知a ，b +例3 若0a b <<，则下列结论正确的是( )A ．22a b <B 2ab b < C ．11a b> D ．22ac bc > 例4 已知1025m <<，3015n -<<-，求m+n ，m n -与mn 的取值范围．例5 已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．课时作业1.设a ,b ∈R ,若a -|b|>0,则下列不等式中正确的是( ) A.b -a>0 B.a 3+b 3<0 C.a 2-b 2<0 D.b+a>02、当1x ≤时，比较大小：33x 231x x -+．3、设1≤a －b ≤2, 2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围．4、已知a ∈R ,且a ≠1,比较a+2与31-a的大小.2.2 基本不等式1. 重要的不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．2．基本不等式：ab ≤a ＋b2:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数．（a+b ≥2ab ）注意：(1)此结论运用前提：一正、二定、三相等典例例1．（1）函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞）C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞) （2）．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81D ．243（3）.已知x ＜0，则y ＝2＋4x＋x 的最大值为_______例2、当x ＞0时，则y ＝2xx 2＋1的最大值为________．例3、若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．例4、已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求1a ＋2b的最小值．例5、函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2例6 如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)要使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？课时作业一、选择题1、已知x ＞0，函数y=x+的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．82、当x ∈R 时，x+的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣4]B ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C ．[4，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）3、已知x ＞0，y ＞0，且2x+y=1，则xy 的最大值是( ) A ．B ．C ．4D ．84、的最小值为）（函数)0(2>+=ab abb a y A ．B．12C ．4D ．65、函数15(1)1y x x x =++>-的最小值为A ．5B ．6C 7 D.86、已知正数x,y 满足431x y +=，则x+3y 的最小值为A ．5B ．12C ．13D ．25 7、设，，若，则的最小值为 A ． B ．6 C ． D ．8、已知y=，其中x≥0，则y 的最小值为（ ）A ．1B ．C ．D ．9.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ,公园由形状为长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|=x (x>1),求公园ABCD所占面积S 关于x 的函数解析式;(2)要使公园所占面积最小,休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计?1a >0b >2a b +=121a b+-3+2.3 二次函数与一元二次方程、不等式一、形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式． 二、“三个二次”之间的对应关系设()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为1x ，2，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆ 0=∆0<∆c bx ax y ++=2cbx ax y ++=2cbx ax y ++=2三、一元二次不等式的解法： （1）化二次项系数为正；（2）令左边=右边，求出两根x 1 , x 2; （当0<∆时，需另作考虑） （3）大于取两根之外，小于取两根之间。
2.1.2等式性质与不等式性质-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件 (共28张PPT)
ba
改变方向
由c < 0,得 c > c .
ab
还可以利用作差法证明吗？ 证明:
已知b克糖水中含有a克糖 （b＞a＞０），再添加m克 糖 （m＞０）（假设全部溶 解），糖水变甜了．
请将这一事实表示为一个不 等式，并证明这个不等式成 立．
(1)当0≤a<8时0≤ a <4；
b
(2)当－6<a<0时－3< a <0.
21.0．已知三个不等式：①ab>0；②ac>db；③bc>ad.若以其中两 个作为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并 写出推理过程．
解：答案不唯一． 命题一：若 ab>0，且ac>db，则 bc>ad. 证明：因为ac>db，且 ab>0， 所以ac·ab>db·ab，即 bc>ad. 命题二：若 ab>0，且 bc>ad，则ac>db. 证明：因为 ab>0，所以a1b>0，又 bc>ad， 所以 bc·a1b>ad·a1b，即ac>db.
反例：不一定，如3>1，－1>－10， 则3－(－1)>1－(－10)不成立．
2．两个不同向不等式的两边可以分别相除吗？
不可以．两个不同向不等式的两 边不能分别相除，在需要商时，可利 用不等式性质转化为同向不等式相 乘．
练习
用不等号 “＞”或 “＜”填空：
（１）如果a＞b，c＜d，那么a－c
b－d；
d＝－2.
则
a c
＝－1，
b d
＝－1，排除选项
A B.
又
a d
＝－
3 2
等式性质与不等式性质(基础知识+基本题型)(含解析)
2.1 等式性质与不等式性质（基础知识+基本题型）知识点一不等式的有关概念1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号，，≥，≤，连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．同向不等式和异向不等式对于两个不等式，如果每一个不等式的左边都大于（或大于等于）右边或每一个不等式的左边都小于（或小于等于）右边，那么这两个不等式叫做同向不等式．例如，f x g x 与S x T x是同向不等式，()()f x g x ≤与()()S x T x ≤也是同向不等式．对于两个不等式，如果一个不等式的左边都大于（或大于等于）右边，而另一个不等式的左边小于（或小于等于）右边，那么这两个不等式叫做异向不等式．例如，f x g x 与S x T x是异向不等式，()()f x g x ≤与()()S x T x ≥也是异向不等式．提示文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过符号语言≥≤知识点二比较实数大小的依据与方法1．比较实数大小的依据在数轴上，不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示（如图 3.11所示），可以看出a，b之间具有以下性质：如果a b-等于零，那么>；如果a b-是正数，那么a ba b；如果a b<．反之也成立．它是本章内容的理论基础，是不等式性质的证明、证-是负数，那么a b明不等式和解不等式的主要依据．2．比较两个实数大小的方法⑴作差法：对于两个实数a，b，通过比较a b-与0的大小关系，从而得到实数a，b的大小关系，具体方法如下：a b a b-=⇔=；0-<⇔<．a b a b->⇔>；0a b a b⑵作商法：对于任意两个正数a ，b ，通过比较a b与1的大小关系，从而得到正数a ，b 的大小关系，具体方法如下：当0a ，0b 时，1a a bb >⇔>；1aa b b=⇔=；1aa b b<⇔<．知识点三 等式的性质等式有下面的基本性质：性质1 如果a b =，那么b a =；性质2 如果a b =，b c =，那么a c =；性质3 如果a b =，那么a c b c ±=±；性质4 如果a b =，那么ac bc =；性质5 如果a b =，0c ≠，那么a b c c=． 知识点四 不等式的性质性质 具体名称 性质内容注意 1 对称性 a b b a >⇔< ⇔ 2 传递性 a b ，b c a c >⇒> ⇒ 3 可加性a b a c b c >⇔+>+ ⇔4 可乘性 0a b ac bc c >⎫⇒>⎬>⎭c 的符号0a b ac bc c >⎫⇒<⎬<⎭5 同向可加性 a b a c b d c d >⎫⇒+>+⎬>⎭⇒ 6 同向同正可乘性 00a b ac bd c d >>⎫⇒>⎬>>⎭⇒7 可乘方性 0n n a b a b >>⇒>（n N ∈，1n ≥） 同正8可开方性0n n a b a b >>⇒>（n N ∈，2n ≥）9 取倒数11a bab a b>⎫⇒<⎬>⎭a，b同号考点一：用不等式表示不等关系180m，拟分割成大、例1.某人有楼房一幢，室内面积共218m，小两类房间作为旅游客房，大房间面积为215m 可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为2，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系。
不等式的基本性质-【帮课堂】2022-2023学年七年级数学下册同步精品讲义(苏科版)
不等式的基本性质知识点一、不等式的基本性质1不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；即如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c 或a －c ＞b －c ；如果a ＜b ，那么a ＋c ＜b ＋c 或a －c ＜b －c .1. 如果a ＞b ，那么2a -_______2b -（填“=”、“＞”或“＜”）．知识点二、不等式的性质2不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a ＞b 且c ＞0，那么ac ＞bc 或a b c c >，如果a ＞b且c ＜0，那么ac ＜bc 或a b c c <．2. 已知x ＜y ，则23x --_____23y --（填“＞”、“＜”或“＝”）一．选择题（共10小题）3. 若x y >，则下列式子中错误的是（ ）A. 22x y > B. 22x y ->- C. 22x y ->- D. 33x y +>+4. 若不等式21x -<，两边同时除以2-，结果正确的是（ ）A. 12x >- B. 12x < C. 2x >- D. 2x <5. 下列各式中正确的是（ ）A. 若a b >，则22a b -<- B. 若a b >，则22a b >C. 若a b >，且0c ≠，则22ac bc > D. 若a b c c>，则a b >6. 已知a b <，若c 是任意有理数，则下列不等式中总成立的是（ ）A. a c b c +<+B. a c b c ->-C. ac bc >D. 22ac bc >7. 已知a b <，则下列各式成立的是（ ）A. 22ac bc <B. 1313a b -<-C. 23a b -<-D. 33a b +<+8. 已知实数a b c ≤≤，则（ ）A. 2a c b +≤B. 3a b c +≤C. 2a b c+≥ D. b a c≤+的9. 如图所示，A ，B ，C ，D 四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（ ）A. D B A C <<<B. B D C A <<<C. B A D C <<<D. B C D A <<<10. 已知非负实数a ，b ，c 满足123234a b c ---==，设S a b c =++，则S 的最大值为（ ）A. 112 B. 152 C. 274 D.31411. 已知三个实数a ，b ，c 满足0ab >，a b c +<，0a b c ++=，则下列结论一定成立的是（ ）A. 0a <，0b <，0c > B. 0a >，0b >，0c <C. 0a >，0b <，0c > D. 0a >，0b <，0c <12. 若2a b +=-，且2a b ≥，则（ ）.A. b a 有最小值12 B. b a 有最大值1C. a b 有最大值2 D. a b 有最小值89-二．填空题（共10小题）13. 若x y >，且(3)(3)a x a y +<+，求a 的取值范围______．14. 若a<0，则a -_____0．（用＜，＝，＞填空）15. 选择适当的不等号填空：若a b <，则2a -______2b -．16. 已知m n >，则 3.51m -+______ 3.51n -+．（填>、=或<）17. 若a b <，则21a -+__________21b -+．(用“＞”，“＜”，或“＝”填空)18. 如果x ＞y ，且（a-1）x ＜（a-1）y ，那么a 的取值范围是______．19. 已知x ，y 满足132x y +=，若13x -≤<，则y 的范围是__________．20. 用不等号填空，并说明根据的是不等式的哪一条基本性质：(1)若x ＋2＞5，则x ________3，根据不等式的基本性质________；(2)若－34x ＜－1，则x ________43，根据不等式的基本性质________．21. 已知 2ab =．①若31b -≤≤-，则a 的取值范围是________；②若0b >，且225a b +=，则a b +=____．22. 某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现，取某个实数范围内的x 作为输入值，则永远不会有输出值，这个数学兴趣小组所发现的实数x 的取值范围是_____．三．解答题（共8小题）23. 已知关于x ，y 的方程组325x y a x y a -=+⎧⎨+=⎩．（1）若x ，y 为非负数，求a 的取值范围；（2）若x y >，且20x y +<，求a 的取值范围．24. 根据不等式的性质：若0x y -＞，则x y ＞；若0x y -＜，则x y ＜．利用上述方法证明：若0n ＜，则121n n n n -->-．25. 已知：x ，y 满足3x-4y=5．（1）用含x 的代数式表示y ，结果为______；（2）若y 满足-1＜y≤2，求x 的取值范围；（3）若x ，y 满足x+2y=a ，且x ＞2y ，求a 的取值范围．26. 已知实数x 、y 满足231x y +=．（1）用含有x 的代数式表示y ；（2）若实数y 满足y ＞1，求x 的取值范围；（3）若实数x 、y 满足1x >-，13y ≥-且23x y k -=，求k 的取值范围．27. 知识阅读：我们知道，当a ＞2时，代数式a －2＞0；当a ＜2时，代数式a －2＜0；当a ＝2时，代数式a －2＝0．（1）基本应用：当a ＞2时，用“＞，＜，＝”填空：a ＋5________0；(a ＋7)(a －2)________0；（2）理解应用：当a ＞1时，求代数式2a ＋2a －15的值的大小；（3）灵活应用：当a ＞2时，比较代数式a ＋2与2a ＋5a －19的大小关系．28. 用等号或不等号填空：（1）比较4m 与24m +的大小当3m =时，4m24m +当2m =时，4m24m +当3m =-时，4m 24m +（2）无论取什么值，4m 与24m +总有这样的大小关系吗？试说明理由．（3）比较22x +与2246x x ++的大小关系，并说明理由．（4）比较23x +与37--x 的大小关系．29. 阅读下列材料：问题：已知2x y -=，且1x >，0y <，试确定x y +的取值范围解：2x y -= ，2x y ∴=+，又1x > ，21y ∴+>，1y ∴>-，又0y < ，10y ∴-<<①，12202y ∴-+<+<+，即12x <<②，①+②得：1102x y -+<+<+，x y ∴+的取值范围是02x y <+<．请按照上述方法，完成下列问题：（1）已知5x y -=，且2x >-，0y <，①试确定y 的取值范围；②试确定x y +的取值范围；（2）已知1x y a -=+，且x b <-，2y b >，若根据上述做法得到35x y -的取值范围是103526x y -<-<，请直接写出a 、b 的值．30. 题目：已知关于x 、y 的方程组2324x y a x y a +=-+⎧⎨+=⎩①②，求：（1）若3x ＋3y ＝18，求a 值；（2）若－5x －y ＝16，求a 值.问题解决：（1）王磊解决的思路：观察方程组中x 、y 的系数发现，将①＋②可得3x ＋3y ＝3a ＋3，又因为3x ＋3y ＝18，则a 值为________；（2）王磊解决的思路：观察方程组中x 、y 的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减，已经不能解决问题，经过思考，王磊将①×m ，②×n ，得2324mx my ma m nx ny na +=-+⎧⎨+=⎩③④，再将③＋④得：（m +2n ）x +（2m +n ）y =（-m +4n ）a +3m ，又因为-5x -y =16，……，请根据王磊的思路，求出m 、n 及a 的值；问题拓展：（3）已知关于x 、y 的不等式组2324x y a x y a +-+⎧⎨+⎩＞＜，若x ＋5y ＝2，求a 的取值范围．不等式的基本性质知识点一、不等式的基本性质1不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；即如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c 或a －c ＞b －c ；如果a ＜b ，那么a ＋c ＜b ＋c 或a －c ＜b －c .【1题答案】【答案】<【解析】【分析】根据不等式的性质进行变形即可．【详解】解：∵a >b ，∴-a <-b ，∴2-a <2-b ，故答案为：<．【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．知识点二、不等式的性质2不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a ＞b 且c ＞0，那么ac ＞bc 或a b c c >，如果a ＞b 且c ＜0，那么ac ＜bc 或a b c c<．【2题答案】【答案】＞【解析】【分析】根据不等式的基本性质进行解答即可．【详解】解：∵x ＜y ，∴22x y ->-，∴2323x y -->--．故答案为：＞．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，注意不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向发生改变．一．选择题（共10小题）的【3题答案】【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质可进行求解．【详解】解：由x y >可知：A 、22x y >，正确，故不符合题意；B 、22x y -<-，原不等式错误，故符合题意；C 、22x y ->-，正确，故不符合题意；D 、33x y +>+，正确，故不符合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．【4题答案】【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质即可求出答案．【详解】不等式21x -<，两边同时除以2-，可得12x >-，故选：A ．【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是正确理解不等式的性质，本题属于基础题型．【5题答案】【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. 若a b >，则22a b ->-，故该选项不正确，不符合题意；B. 若0a b >>，则22a b >，故该选项不正确，不符合题意；C. 若a b >，且0c >，则22ac bc >，故该选项不正确，不符合题意；D. 若a b c c>，则a b >，故该选项正确，符合题意；【点睛】本题考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【6题答案】【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质逐一判断即可：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：A 、由a b <根据不等式的性质1，可得a c b c +<+，故此选项正确，符合题意；B 、由a b <根据不等式的性质1，可得a c b c -<-，不能得到a c b c ->-，故此选项错误，不符合题意；C 、根据不等式的性质，如果0c <则可得ac bc >，如果0c >，则ac bc <，故此选项错误，不符合题意；D 、当0c 时，22ac bc =，故此选项错误，不符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键．【7题答案】【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质逐一判断即可解题．【详解】解：A.a b ＜，当0c ≠时，22ac bc <，故A 不成立；B.a b ＜，1313a b ->-，故B 不成立；C.a b ＜，22a b -<-，故C 不成立；D.33a b a b ++＜，＜，故D 成立；【点睛】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘或除以一个负数，不等号的方向改变．【8题答案】【答案】B【解析】【分析】根据实数a b c ≤≤，逐项给出a b c 、、的值举例，看能否举出反例，即可得到答案．【详解】解：当12a =-，0b =，1c =时，2a c b +>，故A 选项错误；当12a =-，0b =，1c =时，2a b c +<，故C 选项错误；当2a =-，0b =，1c =时，a c b +<，故D 选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查不等式的性质，可以通过举反例来得到结论．【9题答案】【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：D A >①，A C B D +>+②，B C A D +=+③，由③得：C A D B =+-④，把④代入②得：A A D B B D ++->+，22A B >，A B ∴>，0A B ∴->，由③得：A B C D -=-，0D A -> ，0C D ∴->，C D ∴>，C D A B ∴>>>，即B A D C <<<．故本题选：C ．【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．【10题答案】【答案】C【解析】【分析】设123234a b c k ---===，则21a k =+，32b k =+，34c k =-，可得6S k =+；利用a ，b ，c 为非负实数可得k 的取值范围，从而求得最大值．【详解】解：设123234a b c k ---===，则21a k =+，32b k =+，34c k =-，()()()2132346S a b c k k k k ∴=++=++++-=+．a ，b ，c 为非负实数，210320340k k k +≥⎧⎪∴+≥⎨⎪-≥⎩，解得：1324k -≤≤．∴当12k =-时，S 取最小值，当34k =时，S 取最大值．116522S ∴=-+=最小值，327644S =+=最大值．故选：C ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，非负数的应用，设123234a b c k ---=== 是解题的关键．【11题答案】【答案】A【解析】【分析】根据0ab >，可得a 和b 同号，再根据a b c +<和0a b c ++=，即可判断a ，b ，c 的符号．【详解】解：∵0ab >，∴a 和b 同号，又∵a b c +<和0a b c ++=，∴0a <，0b <，0c >．故选：A ．【点睛】本题主要考查了有理数的运算法则，解题的关键是掌握两数相乘，同号得正，异号得负；同号两数相加，取它们相同的符号；异号两数相加，取绝对值较大数的符号．【12题答案】【答案】C【解析】【详解】由已知条件，根据不等式的性质求得b≤23-＜0和a≥43-；然后根据不等式的基本性质求得a b ≤2 和当a ＞0时，b a ＜0；当43-≤a ＜0时，b a ≥12；所以A 、当a ＞0时，b a ＜0，即b a 的最小值不是12，故本选项错误；B 、当43-≤a ＜0时，b a ≥12，b a 有最小值是12，无最大值；故本选项错误；C 、a b有最大值2；故本选项正确；D 、a b 无最小值；故本选项错误．故选C ．考点：不等式的性质．二．填空题（共10小题）【13题答案】【答案】3a <-【解析】【分析】根据题意，在不等式x y >的两边同时乘以(3)a +后不等号改变方向，根据不等式的性质3，得出30a +<，解此不等式即可求解．【详解】解：∵x y >，且(3)(3)a x a y +<+，∴30a +<，则3a <-．故答案为：3a <-．【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【答案】＞【解析】【分析】根据不等式的性质可进行求解．【详解】∵a<0，∴0a ->，故答案为：＞．【点睛】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．【15题答案】【答案】>【解析】【分析】根据不等式的性质，即可解答．【详解】解：∵a b <，∴22a b ->-，故答案为：>．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【16题答案】【答案】<【解析】【分析】先根据不等式的性质3得 3.5m -< 3.5n -，再根据不等式的性质1即可得到结论．【详解】解：m n >，根据不等式的性质3，得 3.5m -< 3.5n -，根据不等式的性质1，得 3.51m -+< 3.51n -+，故答案为：<．【点睛】本题考查不等式的基本性质，解题关键是熟练掌握不等式的三个基本性质，特别是性质3，不等式的两边同乘以或同除以同一个负数不等号的方向改变．【17题答案】【解析】【分析】根据不等式的性质即可求解．【详解】解：∵a b <，∴22a b->-2121a b ∴-+>-+故答案为：>【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【18题答案】【答案】a ＜1【解析】【分析】根据不等式的性质3，可得答案．【详解】解：由题意，得a-1＜0，解得a ＜1，故答案为a ＜1．【点睛】本题考查不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键．【19题答案】【答案】-1.5<y ≤3.5【解析】【分析】先变形为x =6-2y ，根据13x -≤<列得-1≤6-2y <3，求解即可．【详解】解：∵132x y +=，∴x =6-2y ，∵13x -≤<，∴-1≤6-2y <3，解得-1.5<y ≤3.5，故答案为：-1.5<y ≤3.5．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，正确理解题意将方程变形得到不等式组是解题的关键．【20题答案】【答案】①. （1）＞ ②. 1 ③. （2）＞ ④. 2【解析】【分析】根据不等式的性质，即可解答．【详解】（1）若x+2＞5，则x ＞3，根据不等式的性质1；（2）若−34x ＜-1，则x ＞43，根据不等式的性质3；故答案为（1）＞，1；（2）＞，3．【点睛】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是熟记不等式的性质．【21题答案】【答案】①. 223a -≤≤- ②. 3【解析】【分析】①由2ab =，可得2b a =，代入31b -≤≤-，即可求解，②由0b >，2ab =，可得0a >，即0a b +>，再利用完全平方公式即可作答．【详解】∵2ab =，即2b a=，①若31b -≤≤-，即231a-≤≤-，即有a<0，解得：223a -≤≤-；②若0b >，2ab =，∴0a >，即0a b +>，∵225a b +=，∴()22225229a b a b ab +=++=+⨯=，∴3a b +=．故答案为：①223a -≤≤-；②3．【点睛】本题考查了求解不等式的解，运用完全平方公式进行计算等知识，根据已知条件确定a 的符号是解答本题的关键．【22题答案】【答案】12x ≤【解析】【分析】通过找到临界值解决问题．【详解】由题意知，令3x-1=x ，x=12，此时无输出值当x ＞12时，数值越来越大，会有输出值；当x ＜12时，数值越来越小，不可能大于10，永远不会有输出值故x≤12，故答案为x≤12．【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是理解题意，学会找到临界值解决问题．三．解答题（共8小题）【23题答案】【答案】（1）2a ≥（2）30a -<<【解析】【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组，再由题意可得21020a a +≥⎧⎨-≥⎩，求出a 的范围即可；（2）由题意可得212a a +>-，50a <，求出a 的范围即可．【小问1详解】解：325x y a x y a -=+⎧⎨+=⎩①②，①+②得21x a =+，将21x a =+代入①得，2y a =-，x ，y 为非负数，∴21020a a +≥⎧⎨-≥⎩，解得2a ≥；【小问2详解】解：x y > ，212a a ∴+>-，3a ∴>-，20x y +< ，50a ∴<，<0a ∴，30a ∴-<<．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，一元一次不等式组的解，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组、并准确求解一元一次不等式组的解集是解题的关键．【24题答案】【答案】见解析【解析】【分析】先求出1211(1)n n n n n n ---=--，根据0n ＜，得出10n -＜，从而得出()10n n -＞，即10(1)n n -＞，从而证明结论．【详解】证明：121n n n n ----2(1)(2)(1)n n n n n ---=-1(1)n n =-∵0n＜，∴10n-＜，∴()10 n n-＞，∴121n nn n-->-．【点睛】本题主要考查了分式加减运算的应用，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．【25题答案】【答案】（1）354x-；（2）13＜x≤133；（3）a＜10．【解析】【分析】（1）解关于y的方程即可；（2）利用y满足-1＜y≤2得到关于x的不等式，然后解不等式即可；（3）先解方程组，由x＞2y得不等式，解不等式即可．【详解】（1）y=354x-；故答案为：y=354x-；（2）根据题意得：-1＜354x-≤2，解得：13＜x≤133；（3）解方程组345,2, x yx y a-=⎧⎨+=⎩得：2553510axay+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，，∵x＞2y，∴255a+＞2×3510a-，解得：a＜10．【点睛】本题考查了解不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．【26题答案】【答案】（1）123x y -=；（2）1x <-；（3）53k -<≤【解析】【分析】（1）移项得出3y ＝1−2x ，方程两边都除以3即可；（2）根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可；（3）解方程组求出x 、y ，得出不等式组，求出不等式组的解集即可．【详解】解：（1）2x ＋3y ＝1，3y ＝1−2x ，123x y -=；（2）123x y -=＞1，解得：x ＜−1，即若实数y 满足y ＞1，x 的取值范围是x ＜−1；（3）联立2x ＋3y ＝1和2x −3y ＝k 得：23123x y x y k +=⎧⎨-=⎩，解方程组得：1416k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由题意得：1141163k x k y +⎧=>-⎪⎪⎨-⎪=≥-⎪⎩，解得：−5＜k ≤3．【点睛】本题考查了解二元一次方程和解二元一次方程组、解一元一次不等式组等知识点，能正确解方程组或不等式组是解此题的关键．【27题答案】【答案】（1）＞，＞ （2）a 2＋2a －15＞－12（3）当a ≥3时，a 2＋5a －19≥a ＋2；当2＜a ＜3时，a 2＋5a －19＜a ＋2【解析】【分析】（1）当a ＞2时，a +5＞2+5=7＞0；a +7＞2+7=9＞0；a -2＞2-2＞0；根据同号得正判断即可．（2）运用完全平方公式，变形后，运用（1）的性质计算即可．（3）先对代数式作差后，分差值大于等于零和小于零，讨论计算即可．【小问1详解】∵a ＞2，∴a ＋5＞0；∵a ＞2，∴a －2＞0，a ＋7＞0，（a ＋7）（a －2）＞0，故答案为：＞，＞．【小问2详解】因为2a ＋2a －15＝2(1)a +－16，当a ＝1时，2a ＋2a －15＝－12，所以当a ＞1时，2a ＋2a －15＞－12．【小问3详解】先对代数式作差，（2a ＋5a －19）－（a ＋2）＝2a ＋4a －21＝2(2)a +－25，当2(2)a +－25＞0时，a ＜－7或a ＞3．因此，当a ≥3时，2a ＋5a －19≥a ＋2；当2＜a ＜3时，2a ＋5a －19＜a ＋2．【点睛】本题考查了不等式的性质及其应用，熟练掌握性质，灵活运用完全平方公式作差计算是解题的关键．【28题答案】【答案】（1）<=<，， （2）无论取什么值，总有244m m ≤+；理由见解析（3）222246x x x +≤++，理由见解析（4）当2x >-时，2337x x +>--；当2x =-时，2337x x +=--；当<2x -时，2337x x +<--．【解析】【分析】（1）当3m =时，当2m =时，当3m =-时，分别代入计算，再进行比较即可；（2）根据()()224420m m m +-=-≥，即可得出答案；（3）根据 ()()()222246220x x x x ++-+=+≥ ，即可得出答案；（4）先求出()()2337510x x x +---=+，再分当2x >-时，当2x =-时，当<2x -时分别进行讨论即可．【小问1详解】当3m =时，2412413m m =+=，，则244m m <+，当2m =时，24848m m =+=，，则244m m =+，当3m =-时，2412413m m =-+=，，则244m m <+，故答案为；<=<，，；【小问2详解】∵()()224420m m m +-=-≥，∴无论取什么值，总有244m m ≤+；【小问3详解】∵()()()222224624420x x x x x x ++-+=+=+≥+∴222246x x x +≤++；【小问4详解】∵()()2337510x x x +---=+，∴当2x >-时，51002337x x x +>+>--，，当2x =-时，51002337x x x +=+=--，，当<2x -时，51002337x x x +<+<--，．【点睛】本题考查了不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，整式的加减，实数大小的比较等知识点，关键是根据两个式子的差比较出数的大小．【29题答案】【答案】（1）①70y -<<；②95x y -<+<（2）122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩【解析】【分析】（1）①结合题干给出的思路，根据5x y -=，可得5x y =+，结合2x >-，可得7y >-，即有70y -<<；②由①得：70y -<<，同理可得25x -<<②，问题随之得解；（2）结合题干给出的思路，可得555510a b y b ++<-<-①、63333b a x b ++<<-②，即有11883513b a x y b ++<-<-，结合103526x y -<-<，可得1188101326b a b ++=-⎧⎨-=⎩，解方程即可求解．【小问1详解】①5x y -= ，5x y ∴=+，2x >- ，52y ∴+>-，7y ∴>-，0y < ，70y ∴-<<，②由①得：70y -<<，255y ∴-<+<，即25x -<<②，7205y x ∴--<+<+，x y ∴+的取值范围是95x y -<+<；【小问2详解】1x y a -=+ ，1x y a ∴=++，x b <- ，1y a b ∴++<-，1y a b ∴<---，1y a b ∴->++，2y b > ，2y b ∴-<-，12a b y b ∴++<-<-，即()21b y a b <<-++，即555510a b y b ++<-<-①，105555b y a b ∴<<---，()21b y a b <<-++ 211b a y a b ∴++<++<-，21b a x b ∴++<<-，63333b a x b ∴++<<-②，∴①+②得：11883513b a x y b ++<-<-，35x y - 的取值范围是103526x y -<-<，1188101326b a b ++=-⎧∴⎨-=⎩，解得：122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的运用、一元一次不等式的解法，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的解法，并能进行推理论证．【30题答案】【答案】（1）5；（2）m=1，n=-3，a=-1；（3）a的取值范围为1a>．【解析】【分析】（1）将方程组中的两个方程直接相加，整体代换求值；（2）通过对比得到关于m，n，a的方程组求值；（3）利用不等式的性质得到关于a的不等式，求出a的范围．【小问1详解】解：2324x y ax y a+=-+⎧⎨+=⎩①②，①+②得：3x+3y=3a+3，∵3x+3y=18，∴3a+3=18，∴a=5．故答案为：5；【小问2详解】解：∵（m+2n）x+（2m+n）y=（-m+4n）a+3m，又因为-5x-y=16，∴2521 (4)316m nm nm n a m+=-⎧⎪+=-⎨⎪-++=⎩，∴m=1，n=-3，a=-1；【小问3详解】解：已知关于x，y的不等式组2324x y ax y a+>-+⎧⎨+<⎩①②，①×3得：3x+6y＞-3a+9④，②×（-1）得：-2x-y＞-4a⑤，④+⑤得：x+5y＞-7a+9，∵x+5y=2，∴2＞-7a+9．∴a＞1．【点睛】本题考查二元一次方程组，不等式，根据题意建立适当的方程和不等式是求解本题的关键．。
2.1.2 等式性质与不等式性质 学案(含答案)
2.1.2 等式性质与不等式性质学案（含答案）第第22课时课时等式性质与不等式性质等式性质与不等式性质学习目标1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题知识点一等式的基本性质1如果ab，那么ba.2如果ab，bc，那么ac.3如果ab，那么acbc.4如果ab，那么acbc.5如果ab，c0，那么acbc.知识点二不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性abbb，bcac不可逆3可加性abacbc可逆4可乘性abc0acbcc的符号abc0acbcdacbd同向6同向同正可乘性ab0cd0acbd同向7可乘方性ab0anbnnN，n2同正1若ab，则acbc.2.ab1ab.3abacbc.4.ab，cdacbd.一.利用不等式的性质判断或证明例11给出下列命题若ab0，ab，则1ab，cd，则acbd；对于正数a，b，m，若ab，则ab0，则1ab0，又ab，所以aabbab，所以1a1b，所以正确；对于，若a7，b6，c0，d10，则70610，错误；对于，对于正数a，b，m，若ab，则ambm，所以amabbmab，所以0abm0，所以abb0，cd0.求证3ad3bc.证明因为cdd0.所以01cb0，所以adbc0.所以3ad3bc，即3ad3bc，两边同乘1，得3ad3bc.反思感悟1首先要注意不等式成立的条件，在解决选择题时，可利用特值法进行排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算2应用不等式的性质证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导跟踪训练1若1a1b|b|，ab，abb3.则不正确的不等式的个数是A0B1C2D3答案C解析由1a1b0可得ba0，从而|a||b|，均不正确；ab0，则abb3，正确故不正确的不等式的个数为2.二.利用性质比较大小例2若Pa6a7，Qa5a8a5，则P，Q的大小关系为APQD不能确定答案C解析P22a132a6a7，Q22a132a5a8，因为a6a7a5a8a213a42a213a4020，所以a6a7a5a8，所以P2Q2，所以PQ.反思感悟比较大小的两种方法作商比较法乘方比较法依据a0，b0，且ab1ab；a0，b0，且ab1ab2且a0，b0ab应用范围同号两数比较大小或指数式之间比较大小要比较的两数式中有根号步骤作商变形判断商值与1的大小下结论乘方用作差比较法或作商比较法跟踪训练2下列命题中一定正确的是A若ab，且1a1b，则a0，bb，b0，则ab1C若ab，且acbd，则cdD若ab，且acbd，则cd答案A解析对于A，1a1b，baab0，又ab，ba0，ab0，b0，b0时，有ab23，但123，但13，故D错三.利用不等式的性质求范围例3已知12a60,15b36.求ab和ab的取值范围解15b36，36b15，1236ab6015，即24ab45.又1361b115，1236ab6015，即13ab4.故24ab45，13ab4.延伸探究已知1ab2且2ab4，求4a2b的取值范围解令ab，ab，则24,12.由ab，ab，解得a2，b2，4a2b4222223.而24,336，则5310，54a2b10.反思感悟同向不等式是有可加性与可乘性需同正，但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性跟踪训练3已知0ab2，1ba1，则2ab的取值范围是____________答案322ab52解析因为0ab2，1ab1，且2ab12ab32ab，结合不等式的性质可得，322ab0，bbbaBababCabbaDabab答案C解析由ab0知，ab，ab0.又b0，abba.2已知a，b，cR，则下列命题正确的是Aabac2bc2B.acbcabC.abab1bD.ab0ab1a1b答案C解析当c0时，A不成立；当c0时，B不成立；当abbaab1b，C成立同理可证D不成立3若ab0，cdbcB.adbdD.acbd答案B解析因为cdd0，即1d1c0.又ab0，所以adbc，从而有adbc，则下列不等式成立的是A.1ac1bcB.1acbcDacbc，acbc0，1ac1bc，故选B.5若，满足1212，则的取值范围是________答案10解析1212，1212，11.又，0，10.1知识清单1等式的性质2不等式的性质及其应用2方法归纳作商比较法，乘方比较法3常见误区注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性。
2025年湖南省中考数学一轮复习 第二单元 第七讲 不等式(组)的概念及解法(含答案)
2025年湖南省中考数学一轮复习第七讲 不等式(组)的概念及解法 学生版知识要点对点练习1.不等式的基本性质(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个,不等号方向.(2)不等式的两边都乘(或除以)同一个,不等号方向不变.(3)不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号方向.1.(教材再开发·湘教八上P137练习T1改编)下列判断不正确的是( )A .若a >b ,则a +2>b +2B .若a >b ,则-a <-bC .若a >b ,则2a >2bD .若a >b ,则ac 2>bc 22.一元一次不等式及其解法一元一次不等式只含有一个未知数,且未知数的次数是1的不等式一元一次不等式的解集使一元一次不等式成立的所有解的集合一元一次不等式的解(1)去分母:在不等式两边同乘所有分母的最小公倍数.(2)去括号:先去小括号,再去2.(1)如图,数轴上表示不等式的解集是()A .x >4B .x ≥4C .x <4D .x ≤4(2)在0,-4,3,-3,15,-5,4,-10中,是不等式x +4<0的解的有()A.1个B.2个C.3个D.4个(3)(教材再开发·湘教八上P152T5改编)在解不等式2x -13-1>1-3x 4的过程中:①去分母得4(2x -1)-1>3(1-3x );②去括法中括号,最后去大括号.(3)移项:把含有未知数的项移到不等式的一边,其他项移到另一边.(4)合并同类项:把不等式化为ax>b(a≠0)或ax<b(a≠0).(5)系数化为1:不等式两边都除以未知数的系数.号得8x -4-1>3-9x ;③移项、合并同类项得17x >8;④系数化为1得x >817.其中发生错误的一步是 .(填序号)3.一元一次不等式组及其解集一元一次不等式组几个 合在一起,就组成了一个一元一次不等式组一元一次不等式组的解集几个一元一次不等式的解集的一元一次不等式组的解法(1)分别求出不等式组中各个的解集;(2)利用 找出各个不等式的解集的 部分.3.(1)将不等式组{x >-1x ≤2的解集表示在数轴上正确的是()(2)不等式组{3x <2x +43-x 3≥2的解集是 .考点1 不等式的基本性质【例1】(2024·广州中考)若a<b,则( )A.a+3>b+3B.a-2>b-2C.-a<-bD.2a<2b【方法技巧】根据性质辨析不等式变形正误的技巧1.看不等式两边是否进行了同样的运算(涉及数据相同).2.看不等号的方向是否需要改变.【变式训练】1.(2023·常德武陵区一模)若m>n,则下列不等式中一定成立的是( )A.m+2<n+3B.2m<3nC.a-m<a-nD.ma2>na2,则a的取值范2.(2023·衡阳衡南县期中)若关于x的不等式(1-a)x>2可化为x<21-a围是.考点2 解一元一次不等式(组)的解集在数轴上表示为( )【例2】(2024·浙江中考)不等式组{2x-1≥13(2-x)>-6【方法技巧】解一元一次不等式(组)的两个关键1.解一元一次不等式,关键是两边同时乘(或除以)同一个负数时,要注意改变不等号的方向.2.解一元一次不等式组,关键是确定不等式解集的公共部分,可运用口诀“大大取较大,小小取较小,大小小大中间找,大大小小找不到”,也可借助数轴.提醒:在数轴上表示不等式的解集,不包含等号用空心圆圈,包含等号用实心圆点.【变式训练】1.(2024·赤峰中考)解不等式组{3x-2<2x①,不等式①和不等式②的解集在2(x+1)≥x-1②数轴上表示正确的是( )2.(2024·临夏州中考)解不等式组:{2x+1≥x+2①2x-1<1(x+4)②.23.(2024·扬州中考)解不等式组{2x-6≤0,并求出它的所有整数解的和.x<4x-12考点3 根据不等式(组)的解集(整数解)确定字母取值无解,则a的取值范围是. 【例3】(2023·永州冷水滩区模拟)若{x+2>3x<a【思路点拨】解第一个不等式得出其解集,再根据大大小小找不到即可确定a的范围.【方法技巧】根据解集(整数解)求字母的取值一般思路1.把题目中除未知数外的字母当作常数,解不等式(组).2.根据题目中对结果的限制条件得到有关字母的不等式.3.解不等式即可得到答案.【变式训练】1.(2023·邵阳一模)如果关于x的不等式(k+2)x>k+2的解集为x<1,则k的值可以是( )A.1B.0C.-2D.-3的解集为x<3,则m的取值范围2.(2024·南充中考)若关于x的不等式组{2x-1<5x<m+1是( )A.m>2B.m≥2C.m<2D.m≤23.(2024·龙东中考)关于x 的不等式组{4-2x ≥012x -a >0恰有3个整数解,则a 的取值范围是12.1.(2023·邵阳中考)不等式组{x -1<0-2x ≤4的解集在数轴上可表示为()2.(2023·常德中考)不等式组{x -3<23x +1≥2x 的解集是( )A.x <5B.1≤x <5C.-1≤x <5D.x ≤-13.(2022·邵阳中考)关于x 的不等式组{-13x >23-x ,12x -1<12(a -2)有且只有三个整数解,则a的最大值是( )A.3B.4C.5D.64.(2021·邵阳中考)下列数值不是不等式组{5x -1>3x -4-13x ≤23-x 的整数解的是()A.-2B.-1C.0D.15.(2023·岳阳中考)解不等式组:{2x +1>x +3①2x -4<x ②.2025年湖南省中考数学一轮复习第七讲 不等式(组)的概念及解法 教师版知识要点对点练习1.不等式的基本性质(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个 数或整式 ,不等号方向 不变 .(2)不等式的两边都乘(或除以)同一个 正数 ,不等号方向不变.(3)不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号方向 改变 . 1.(教材再开发·湘教八上P137练习T1改编)下列判断不正确的是(D)A .若a >b ,则a +2>b +2B .若a >b ,则-a <-bC .若a >b ,则2a >2bD .若a >b ,则ac 2>bc 22.一元一次不等式及其解法一元一次不等式只含有一个未知数,且未知数的次数是1的不等式一元一次不等式的解集使一元一次不等式成立的所有解的集合一元一次不等式的解(1)去分母:在不等式两边同乘所有分母的最小公倍数.(2)去括号:先去小括号,再去2.(1)如图,数轴上表示不等式的解集是(D)A .x >4B .x ≥4C .x <4D .x ≤4(2)在0,-4,3,-3,15,-5,4,-10中,是不等式x +4<0的解的有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个(3)(教材再开发·湘教八上P152T5改编)在解不等式2x -13-1>1-3x 4的过程中:①去分母得4(2x -1)-1>3(1-3x );②去括法中括号,最后去大括号.(3)移项:把含有未知数的项移到不等式的一边,其他项移到另一边.(4)合并同类项:把不等式化为ax>b(a≠0)或ax<b(a≠0).(5)系数化为1:不等式两边都除以未知数的系数.号得8x -4-1>3-9x ;③移项、合并同类项得17x >8;④系数化为1得x >817.其中发生错误的一步是 ① .(填序号)3.一元一次不等式组及其解集一元一次不等式组几个 一元一次不等式 合在一起,就组成了一个一元一次不等式组一元一次不等式组的解集几个一元一次不等式的解集的 公共部分 一元一次不等式组的解法(1)分别求出不等式组中各个 不等式 的解集; (2)利用 数轴 找出各个不等式的解集的 公共 部分.3.(1)将不等式组{x >-1x ≤2的解集表示在数轴上正确的是(C)(2)不等式组{3x <2x +43-x 3≥2的解集是 x ≤-3 .考点1 不等式的基本性质【例1】(2024·广州中考)若a<b,则(D)A.a+3>b+3B.a-2>b-2C.-a<-bD.2a<2b【方法技巧】根据性质辨析不等式变形正误的技巧1.看不等式两边是否进行了同样的运算(涉及数据相同).2.看不等号的方向是否需要改变.【变式训练】1.(2023·常德武陵区一模)若m>n,则下列不等式中一定成立的是(C)A.m+2<n+3B.2m<3nC.a-m<a-nD.ma2>na2,则a的取值范2.(2023·衡阳衡南县期中)若关于x的不等式(1-a)x>2可化为x<21-a围是 a>1 .考点2 解一元一次不等式(组)的解集在数轴上表示为(A)【例2】(2024·浙江中考)不等式组{2x-1≥13(2-x)>-6【方法技巧】解一元一次不等式(组)的两个关键1.解一元一次不等式,关键是两边同时乘(或除以)同一个负数时,要注意改变不等号的方向.2.解一元一次不等式组,关键是确定不等式解集的公共部分,可运用口诀“大大取较大,小小取较小,大小小大中间找,大大小小找不到”,也可借助数轴.提醒:在数轴上表示不等式的解集,不包含等号用空心圆圈,包含等号用实心圆点.【变式训练】1.(2024·赤峰中考)解不等式组{3x-2<2x①2(x+1)≥x-1②,不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是(C)2.(2024·临夏州中考)解不等式组:{2x+1≥x+2①2x-1<12(x+4)②.【解析】解不等式①,得x≥1,解不等式②,得x<2,故原不等式组的解集为1≤x<2.3.(2024·扬州中考)解不等式组{2x-6≤0x<4x-12,并求出它的所有整数解的和.【解析】解不等式2x-6≤0,得x≤3,解不等式x<4x-12,得x>12,则不等式组的解集为12<x≤3,所以整数解为1,2,3,整数解的和为6.考点3 根据不等式(组)的解集(整数解)确定字母取值【例3】(2023·永州冷水滩区模拟)若{x+2>3x<a无解,则a的取值范围是 a≤1 .【思路点拨】解第一个不等式得出其解集,再根据大大小小找不到即可确定a 的范围.【方法技巧】根据解集(整数解)求字母的取值一般思路1.把题目中除未知数外的字母当作常数,解不等式(组).2.根据题目中对结果的限制条件得到有关字母的不等式.3.解不等式即可得到答案.【变式训练】1.(2023·邵阳一模)如果关于x 的不等式(k +2)x >k +2的解集为x <1,则k 的值可以是(D)A.1B.0C.-2D.-32.(2024·南充中考)若关于x 的不等式组{2x -1<5x <m +1的解集为x <3,则m 的取值范围是(B)A .m >2B .m ≥2C .m <2D .m ≤23.(2024·龙东中考)关于x 的不等式组{4-2x ≥012x -a >0恰有3个整数解,则a 的取值范围是 -12≤a <0 .1.(2023·邵阳中考)不等式组{x -1<0-2x ≤4的解集在数轴上可表示为(A)2.(2023·常德中考)不等式组{x -3<23x +1≥2x 的解集是(C)A.x <5 B.1≤x <5C.-1≤x <5D.x ≤-13.(2022·邵阳中考)关于x 的不等式组{-13x >23-x ,12x -1<12(a -2)有且只有三个整数解,则a 的最大值是(C)A.3B.4C.5D.64.(2021·邵阳中考)下列数值不是不等式组{5x -1>3x -4-13x ≤23-x 的整数解的是(A)A.-2 B.-1 C.0 D.15.(2023·岳阳中考)解不等式组:{2x +1>x +3①2x -4<x ②.【解析】{2x +1>x +3①2x -4<x ②,解不等式①得:x >2,解不等式②得:x <4,故不等式组的解集为2<x <4.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。