电磁场与微波技术+课件PPT(黄玉兰)
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第1章 矢量分析
1.1
矢量代数
1.2
矢量场的散度
1.3
矢量场的旋度
1.4
标量场的梯度
1.5
亥姆霍兹定理
1.6
常用坐标系
如果在空间的一个区域中，每一点都 有一个物理量的确定值与之对应， 则在这 个区域中就构成了该物理量的场。场的一 个重要属性是它占有一个空间，它把物理
量用空间和时间的数学函数来描述。 标量 场在数学上只用一个代数变量描述，只有 大小，没有方向。 矢量场不仅需要定出大
1.2 矢量场的散度
1.2.1 矢量场的矢量线
矢量场A可以用画图的方式描述，称为 矢量场的矢量线（也叫做力线、流线、通 量线等）图。矢量线图上每一点处的切线 应当是该点矢量场的方向，如图1.4（a） 所示。
图1.4 矢量场的矢量线图
1.2.2 矢量场的通量
面元矢量dS定义为 dS = en dS
(1.24)
旋度有一个重要的性质，就是它的散
度恒等于0。
A 0
(1.25)
1.3.3斯托克斯定理
在矢量分析中，除散度定理外，另一 个重要的定理是斯托克斯定理，即
S A dS C A dl
式中积分区域面S的外围线为C。
(1.26)
例1.4 已知 A x, y e x x2 e y x y2 。现有
er
r
e
r
e z
z
（1.50）
u
er
u r
e
u
r
e z
u z
（1.51）
A 1 r r
1,0,1
ex
1 2
e
z
1 2
l 方向的单位矢量为
e l
l l
e
x
2 e y1e z 2
22 12 22
1 3
e
x
2
e
y1e
z
2
故沿 l 方向的方向导数为
u
l
1,0,1
u e l
1,0,1
e x
1 2
e
z
1 1 2 3
e x 2 e y1e z 2
22 3
梯度有一个重要的性质，就是它的旋度恒
x y z
(1.19)
例１.２ 已知矢量场
Ar r e x x e y y e z z
求：（1） A
（2）计算通量 A dS 。积分区域为闭
合面Ｓ，Ｓ为一S 个球心在原点、半径为
a 的球面。
解 （1）
A A x A y A z x y z 3
x y z x y z
矢量场的散度对应标量源，称为发散 源；矢量场的旋度对应矢量源，称为旋涡 源。
对于一个无旋场，可以表示为一个标 量场的梯度，这一原则将标量场与矢量场 联系了起来。
1.6 常用坐标系
1.6.1直角坐标系
dl e x d x e y d y e z d z
（1.35）
dS e x d S x e y d S y e z d S z e xd y d z e yd z d x e zd x d y（1.36）
上述线积分称为该矢量场A的环流。
dl 称为线元矢量，线元矢量既有大小， 也有方向。
dl e xd x e yd y e zd z
A dl C
C
e x A x e y Ay e z A z
e xd x e yd y e zd z
C A xd x Ayd y A zd z
（2）r 的方向与 dS 的方向相同，所以有：
S A dS S r dS S adS a S dS 4 a3
1.2.4散度定理
散度定理也称高斯散度定理，表示为
S A dS A d (1.20)
式中积分区域 为闭合面S所包围的体 积，并假设A及其一阶导数连续。
例1.3 已知 Ax, y, z e x x2 e y x y e z y z
z
（2） A从单位立方体内穿出的通量为
S A dS 分三对面分别计算。
1 1 0dx dz 1 1 x dx dz 0 1 1
00
00
22
1 1dy dz 1 1 0dy dz 1 0 1
00
00
1 1 y dx dy 1 1 0dx dy 1 0 1
A · B = AB cos θ
(1 .7a)
A·B=AxBx+AyBy+AzBz
(1.7b)
图1.2 点积的图示
1.1.4 矢量的叉积
矢量 A 矢量 B 的叉积，写成 A×B ，
它的结果是一个矢量，其大小等于两个矢
量的大小与它们夹角θ正弦的乘积，其方
向垂直于矢量 A 与矢量 B 组成的平面(符
称为标量场 u 的梯度，也可用grad u表示。
梯度是与等值面垂直的一个矢量，是沿等
值面法向 u 的变化率。
1.4.3标量场的方向导数
u l
为u 沿 dl 方向的变化率，称为标量场
u 沿 l 方向的方向导数。
u l
u l
u e l
(1.29)
例1.5 已知标量场 u x, y , z x2 y2 z2 。 1/ 2
等值面就是标量函数 ux, y, z 相等的
点构成的曲面，如图1.10（a）所示。等值 面画在二维平面上就成为等值线，例如在 地图上的等高线就是等值线，如图1.10（b） 所示。
图1.10标量场图
1.4.2标量场的梯度
du u dl
(1.27)
而矢量u为
u
e
x
u x
e
y
u y
e z
u z
(1.28)
现有一个边长为1的单位立方体，它的一
个顶点在原点，如图1.7所示。
图1.7 例1.3图
求： （1）矢量场的散度；
（2）计算通量 SA dS ，积分区域为如
图所示的单位立方体； （3）验证高斯散度定理。
解 （1）
A Ax Ay Az x2 x y y z 3x y
x y z x y
Δτ
(1.16)
于是得到A的散度在直角坐标系中的计 算公式为
n的取向有两种情形：一种是面元dS 为开表面，这个开表面由一条闭合曲线C 围成，选择C的环行方向后，按右手螺旋 法则，螺旋前进的方向为en的方向；另一 种是面元dS为闭合面上的一个面元，则en 取闭合面的外法线方向。
通量=∫S |A|cosθdS=∫SA·dS 在直角坐标系中，
(1.5)
图1.1 矢量加减法
1.1.2 标量与矢量相乘
标量k与矢量A相乘，结果是A的方向未 变，大小改变了k倍，
kA=eAkA=exkAx+eykAy+ezkAz (1.6)
1.1.3 矢量的点积
wenku.baidu.com
矢量A与矢量B的点积，写成A · B ， 它的结果是一个标量，其大小等于两个矢 量的大小与它们夹角θ余弦的乘积，如图 1.2所示，表示为
1.3.2矢量场的旋度
A的旋度，记为rotA 或curlA 。
A dl
lim C S0 S
rotn A
(1.22)
式中 rotn A 为矢量 rotA 在面元矢量上
的投影，如图1.8所示。
图1.8 rotA在面元上的投影
ex ey ez rotA A
x y z A x Ay A z
A
x
y
z
ez y2
x2 x y2 0
（2）
A dl e x x2 e y x y2 e xdx e ydy x2dx x y2dy
A dl C
2
x
2
dx
0
2 2 y 2 dy
0
0 2
x
2
x
x 2
dx
x3 2 2y3
2
x3
0
x5/2
0
3
3
3
5
0
0
2
2
8 2 15
解（1）
A ·B = AxBx+AyBy+AzBz = 3×2+4+4+2×7 = 36
(2)
cosθ=
A ·B =
AB
36 ≈0.80
32+42+22 22+42+72
(3)
A×B =
ex ey ez Ax Ay Az Bx By Az
= ex(4×7－2×4) + ey(2×2 － 3×7) + ez(3×4 － 4×2) = ex20 － ey17 + ez4
求空间一点A（1,0,1）的梯度和沿方向
l e x 2 e y1 e z 2 的方向导数。
解 由梯度公式(1.28)有
u
1,0,1
ex
u x
e
y
u y
e z
u z
1,0,1
e x
x2
x y2 z2
1/ 2
e y
x2
y y2
z2
1/ 2
e z
z x2 y2 z2 1/2
等于0。
u 0
(1.30)
在直角坐标系中
2u 2u 2u 2u x2 y2 z2
(1.31)
1.5 亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理 在空间有限区域内有 一矢量场F，若已知它的散度、旋度和边界 条件，则该矢量场就唯一确定了。换言之， 一个矢量场所具有的特性完全由它的散度 和旋度确定。
如果一个矢量场的旋度为0，则称为无 旋场；如果一个矢量场的散度为0，则称为 无散场。
(1.12)
图1.5 矢量的通量图
1.2.3 矢量场的散度
散度的定义 设有矢量场A，在场中任 一点P处做一个包含该点的闭合面S，设闭 合面S所包围的体积为Δτ。当体积Δτ以 任意方式缩向点P时，每单位体积由闭合面 S向外穿出的净通量为矢量场A在该点的散 度，即
divA= lim Δτ 0
∮ SA ·dS
小，而且需要定出方向。
1.1 矢 量 代 数
矢量既有大小，又有方向。矢量 A 可以表示为 A =e AA， 其中 A 表示 矢量 A 的大小， eA表示矢量 A 的方 向。
A = exAx + eyAy + ezAz
(1.1)
由式(1.1)可以看出，一个矢量场对应 三个标量场。
1.1.1 矢量的加法和减法
两个矢量相加，等于两个矢量相应的 分量分别相加，它们的和还是一个矢量。 如图1.1(b)所示。 A+B =ex(Ax+Bx)+ey(Ay+By)+ez(Az+Bz) (1.4)
两个矢量相减，等于两个矢量相应的 分量分别相减，它们的差依旧是一个矢量。 如图1.1(c)所示。
A-B=A+(-B)=ex(Ax-Bx)+ey(Ay-By)+ez(Az-Bz)
d d x d y d z
（1.37）
ex
x
e
y
y
e z
z
（1.38）
1.6.2 圆柱坐标系
图1.15 圆柱坐标系
dl e r d r e r d e z d z
（1.47）
dS e r r d d z e d z d r e z r d r d（1.48）
d h r h h z d r d d z r d r d d z（1.49）
(1.13)
∫S ·dS =∫S(exAx+eyAy+ezAz)·(exdSx+eydSy+ezdSz)
=∫S(AxdSx+AydSy+AzdSz)
1.2.3 矢量场的散度
散度的定义：设有矢量场A，在场中任一 点P处作一个包含该点的闭合面S，设 闭合面S所包围的体积为 。当体积 以任意方式缩向点P时，每单位体积由 闭合面S向外穿出的净通量为矢量场A 在该点的散度，即
合右手螺旋法则)，如图1.3所示，表示为
A×B = enAB sinθ
(1.8a)
图1.3 叉积的图示及右手螺旋
A×B =
ex ey ez Ax Ay Az Bx By Az
(1.8c)
例1.1 已知 A=ex3+ey4+ez2,B=ex2+ey4+ez7,求:
（1）A · B; (2)A与B的夹角; (3)A×B。
divA lim S A dS
0
(1.16)
于是得到A的散度在直角坐标系中的 计算公式为
divA A x A y A z
x y z
(1.17)
为了方便，我们引入一个矢量微分算
子，称为哈密顿算子，它在直角坐标系表 示为
e x
x
e
y
y
e z
z
(1.18)
A divA A x A y A z
一个在 x y 面内的闭合路径C，此闭合路
径由 0,0 和2, 2 之间的一段抛物线
y 2 x 和两段平行于坐标轴的直线组成，
如图1.9所示。
图1.9 例1.4图
求： （1）矢量场的A旋度；
如图（所2）示计的算闭环合流路径CCA； dl 。积分区域为
（3）验证斯托克斯定理。
解 （1）
ex ey ez
00
00
2
2
S
A dS
1 2
1
1 2
2
（3）
A d
111
0 0 0
3x
ydx
dy dz
2
因此， A d A dS 2 ，
S
高斯散度定理成立。
1.3 矢量场的旋度
1.3.1 矢量场的环流
设某矢量场A绕着场中某闭合路径C的 线积分为
C A dl C Acos dl (1.21)
（3）
A dS
2 2 dx y 2dy
2 2 y 2 y 2dy 2 y3
2 y5
2
8
2
S
0
y2
0
3
5
15
0
0
斯托克斯定理成立。
1.4 标量场的梯度
标量场是仅用大小就能完全表征的场。 为了研究标量场的空间分布和变化规律， 引入等值面、梯度和方向导数的概念。
1.4.1标量场的等值面
1.1
矢量代数
1.2
矢量场的散度
1.3
矢量场的旋度
1.4
标量场的梯度
1.5
亥姆霍兹定理
1.6
常用坐标系
如果在空间的一个区域中，每一点都 有一个物理量的确定值与之对应， 则在这 个区域中就构成了该物理量的场。场的一 个重要属性是它占有一个空间，它把物理
量用空间和时间的数学函数来描述。 标量 场在数学上只用一个代数变量描述，只有 大小，没有方向。 矢量场不仅需要定出大
1.2 矢量场的散度
1.2.1 矢量场的矢量线
矢量场A可以用画图的方式描述，称为 矢量场的矢量线（也叫做力线、流线、通 量线等）图。矢量线图上每一点处的切线 应当是该点矢量场的方向，如图1.4（a） 所示。
图1.4 矢量场的矢量线图
1.2.2 矢量场的通量
面元矢量dS定义为 dS = en dS
(1.24)
旋度有一个重要的性质，就是它的散
度恒等于0。
A 0
(1.25)
1.3.3斯托克斯定理
在矢量分析中，除散度定理外，另一 个重要的定理是斯托克斯定理，即
S A dS C A dl
式中积分区域面S的外围线为C。
(1.26)
例1.4 已知 A x, y e x x2 e y x y2 。现有
er
r
e
r
e z
z
（1.50）
u
er
u r
e
u
r
e z
u z
（1.51）
A 1 r r
1,0,1
ex
1 2
e
z
1 2
l 方向的单位矢量为
e l
l l
e
x
2 e y1e z 2
22 12 22
1 3
e
x
2
e
y1e
z
2
故沿 l 方向的方向导数为
u
l
1,0,1
u e l
1,0,1
e x
1 2
e
z
1 1 2 3
e x 2 e y1e z 2
22 3
梯度有一个重要的性质，就是它的旋度恒
x y z
(1.19)
例１.２ 已知矢量场
Ar r e x x e y y e z z
求：（1） A
（2）计算通量 A dS 。积分区域为闭
合面Ｓ，Ｓ为一S 个球心在原点、半径为
a 的球面。
解 （1）
A A x A y A z x y z 3
x y z x y z
矢量场的散度对应标量源，称为发散 源；矢量场的旋度对应矢量源，称为旋涡 源。
对于一个无旋场，可以表示为一个标 量场的梯度，这一原则将标量场与矢量场 联系了起来。
1.6 常用坐标系
1.6.1直角坐标系
dl e x d x e y d y e z d z
（1.35）
dS e x d S x e y d S y e z d S z e xd y d z e yd z d x e zd x d y（1.36）
上述线积分称为该矢量场A的环流。
dl 称为线元矢量，线元矢量既有大小， 也有方向。
dl e xd x e yd y e zd z
A dl C
C
e x A x e y Ay e z A z
e xd x e yd y e zd z
C A xd x Ayd y A zd z
（2）r 的方向与 dS 的方向相同，所以有：
S A dS S r dS S adS a S dS 4 a3
1.2.4散度定理
散度定理也称高斯散度定理，表示为
S A dS A d (1.20)
式中积分区域 为闭合面S所包围的体 积，并假设A及其一阶导数连续。
例1.3 已知 Ax, y, z e x x2 e y x y e z y z
z
（2） A从单位立方体内穿出的通量为
S A dS 分三对面分别计算。
1 1 0dx dz 1 1 x dx dz 0 1 1
00
00
22
1 1dy dz 1 1 0dy dz 1 0 1
00
00
1 1 y dx dy 1 1 0dx dy 1 0 1
A · B = AB cos θ
(1 .7a)
A·B=AxBx+AyBy+AzBz
(1.7b)
图1.2 点积的图示
1.1.4 矢量的叉积
矢量 A 矢量 B 的叉积，写成 A×B ，
它的结果是一个矢量，其大小等于两个矢
量的大小与它们夹角θ正弦的乘积，其方
向垂直于矢量 A 与矢量 B 组成的平面(符
称为标量场 u 的梯度，也可用grad u表示。
梯度是与等值面垂直的一个矢量，是沿等
值面法向 u 的变化率。
1.4.3标量场的方向导数
u l
为u 沿 dl 方向的变化率，称为标量场
u 沿 l 方向的方向导数。
u l
u l
u e l
(1.29)
例1.5 已知标量场 u x, y , z x2 y2 z2 。 1/ 2
等值面就是标量函数 ux, y, z 相等的
点构成的曲面，如图1.10（a）所示。等值 面画在二维平面上就成为等值线，例如在 地图上的等高线就是等值线，如图1.10（b） 所示。
图1.10标量场图
1.4.2标量场的梯度
du u dl
(1.27)
而矢量u为
u
e
x
u x
e
y
u y
e z
u z
(1.28)
现有一个边长为1的单位立方体，它的一
个顶点在原点，如图1.7所示。
图1.7 例1.3图
求： （1）矢量场的散度；
（2）计算通量 SA dS ，积分区域为如
图所示的单位立方体； （3）验证高斯散度定理。
解 （1）
A Ax Ay Az x2 x y y z 3x y
x y z x y
Δτ
(1.16)
于是得到A的散度在直角坐标系中的计 算公式为
n的取向有两种情形：一种是面元dS 为开表面，这个开表面由一条闭合曲线C 围成，选择C的环行方向后，按右手螺旋 法则，螺旋前进的方向为en的方向；另一 种是面元dS为闭合面上的一个面元，则en 取闭合面的外法线方向。
通量=∫S |A|cosθdS=∫SA·dS 在直角坐标系中，
(1.5)
图1.1 矢量加减法
1.1.2 标量与矢量相乘
标量k与矢量A相乘，结果是A的方向未 变，大小改变了k倍，
kA=eAkA=exkAx+eykAy+ezkAz (1.6)
1.1.3 矢量的点积
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矢量A与矢量B的点积，写成A · B ， 它的结果是一个标量，其大小等于两个矢 量的大小与它们夹角θ余弦的乘积，如图 1.2所示，表示为
1.3.2矢量场的旋度
A的旋度，记为rotA 或curlA 。
A dl
lim C S0 S
rotn A
(1.22)
式中 rotn A 为矢量 rotA 在面元矢量上
的投影，如图1.8所示。
图1.8 rotA在面元上的投影
ex ey ez rotA A
x y z A x Ay A z
A
x
y
z
ez y2
x2 x y2 0
（2）
A dl e x x2 e y x y2 e xdx e ydy x2dx x y2dy
A dl C
2
x
2
dx
0
2 2 y 2 dy
0
0 2
x
2
x
x 2
dx
x3 2 2y3
2
x3
0
x5/2
0
3
3
3
5
0
0
2
2
8 2 15
解（1）
A ·B = AxBx+AyBy+AzBz = 3×2+4+4+2×7 = 36
(2)
cosθ=
A ·B =
AB
36 ≈0.80
32+42+22 22+42+72
(3)
A×B =
ex ey ez Ax Ay Az Bx By Az
= ex(4×7－2×4) + ey(2×2 － 3×7) + ez(3×4 － 4×2) = ex20 － ey17 + ez4
求空间一点A（1,0,1）的梯度和沿方向
l e x 2 e y1 e z 2 的方向导数。
解 由梯度公式(1.28)有
u
1,0,1
ex
u x
e
y
u y
e z
u z
1,0,1
e x
x2
x y2 z2
1/ 2
e y
x2
y y2
z2
1/ 2
e z
z x2 y2 z2 1/2
等于0。
u 0
(1.30)
在直角坐标系中
2u 2u 2u 2u x2 y2 z2
(1.31)
1.5 亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理 在空间有限区域内有 一矢量场F，若已知它的散度、旋度和边界 条件，则该矢量场就唯一确定了。换言之， 一个矢量场所具有的特性完全由它的散度 和旋度确定。
如果一个矢量场的旋度为0，则称为无 旋场；如果一个矢量场的散度为0，则称为 无散场。
(1.12)
图1.5 矢量的通量图
1.2.3 矢量场的散度
散度的定义 设有矢量场A，在场中任 一点P处做一个包含该点的闭合面S，设闭 合面S所包围的体积为Δτ。当体积Δτ以 任意方式缩向点P时，每单位体积由闭合面 S向外穿出的净通量为矢量场A在该点的散 度，即
divA= lim Δτ 0
∮ SA ·dS
小，而且需要定出方向。
1.1 矢 量 代 数
矢量既有大小，又有方向。矢量 A 可以表示为 A =e AA， 其中 A 表示 矢量 A 的大小， eA表示矢量 A 的方 向。
A = exAx + eyAy + ezAz
(1.1)
由式(1.1)可以看出，一个矢量场对应 三个标量场。
1.1.1 矢量的加法和减法
两个矢量相加，等于两个矢量相应的 分量分别相加，它们的和还是一个矢量。 如图1.1(b)所示。 A+B =ex(Ax+Bx)+ey(Ay+By)+ez(Az+Bz) (1.4)
两个矢量相减，等于两个矢量相应的 分量分别相减，它们的差依旧是一个矢量。 如图1.1(c)所示。
A-B=A+(-B)=ex(Ax-Bx)+ey(Ay-By)+ez(Az-Bz)
d d x d y d z
（1.37）
ex
x
e
y
y
e z
z
（1.38）
1.6.2 圆柱坐标系
图1.15 圆柱坐标系
dl e r d r e r d e z d z
（1.47）
dS e r r d d z e d z d r e z r d r d（1.48）
d h r h h z d r d d z r d r d d z（1.49）
(1.13)
∫S ·dS =∫S(exAx+eyAy+ezAz)·(exdSx+eydSy+ezdSz)
=∫S(AxdSx+AydSy+AzdSz)
1.2.3 矢量场的散度
散度的定义：设有矢量场A，在场中任一 点P处作一个包含该点的闭合面S，设 闭合面S所包围的体积为 。当体积 以任意方式缩向点P时，每单位体积由 闭合面S向外穿出的净通量为矢量场A 在该点的散度，即
合右手螺旋法则)，如图1.3所示，表示为
A×B = enAB sinθ
(1.8a)
图1.3 叉积的图示及右手螺旋
A×B =
ex ey ez Ax Ay Az Bx By Az
(1.8c)
例1.1 已知 A=ex3+ey4+ez2,B=ex2+ey4+ez7,求:
（1）A · B; (2)A与B的夹角; (3)A×B。
divA lim S A dS
0
(1.16)
于是得到A的散度在直角坐标系中的 计算公式为
divA A x A y A z
x y z
(1.17)
为了方便，我们引入一个矢量微分算
子，称为哈密顿算子，它在直角坐标系表 示为
e x
x
e
y
y
e z
z
(1.18)
A divA A x A y A z
一个在 x y 面内的闭合路径C，此闭合路
径由 0,0 和2, 2 之间的一段抛物线
y 2 x 和两段平行于坐标轴的直线组成，
如图1.9所示。
图1.9 例1.4图
求： （1）矢量场的A旋度；
如图（所2）示计的算闭环合流路径CCA； dl 。积分区域为
（3）验证斯托克斯定理。
解 （1）
ex ey ez
00
00
2
2
S
A dS
1 2
1
1 2
2
（3）
A d
111
0 0 0
3x
ydx
dy dz
2
因此， A d A dS 2 ，
S
高斯散度定理成立。
1.3 矢量场的旋度
1.3.1 矢量场的环流
设某矢量场A绕着场中某闭合路径C的 线积分为
C A dl C Acos dl (1.21)
（3）
A dS
2 2 dx y 2dy
2 2 y 2 y 2dy 2 y3
2 y5
2
8
2
S
0
y2
0
3
5
15
0
0
斯托克斯定理成立。
1.4 标量场的梯度
标量场是仅用大小就能完全表征的场。 为了研究标量场的空间分布和变化规律， 引入等值面、梯度和方向导数的概念。
1.4.1标量场的等值面