证券价格按几何布朗运动变化的微观解释

本文的目的是希望证明 , 在理性投资者要求来自证券的期望收益率与证券价格无关这 一假设下, 在交易连续不断进行这一理想市场前提下, 经过相应的条件改进 , 对于有漂移率 的几何布朗运动 , 仍然能够得到证券价格按有漂移率的几何布朗运动变化的类似结论. 我 们将对此作出一个严格的证明, 以下的讨论将在交易连续不断进行的前提下展开 . 先看一个例子 . 观察下面两种情况 : 情形 1 B 股票价格本来为每股 10 元 , 投资者投资后变为每股 12 元;
1 t 项与 2
2
t
exp{ (
wenku.baidu.com
-
2
/ 2) t +
2
t Z} = 1 + t Z } = S t+ St t +
t+ S t t+
t Z + o ( t) t S tZ + o( t ) ( 3) t S t 的正态分布型随机变量 , 简
所以, S t+ t = S t ・ ex p{ ( S t+
参考文献 :
[ 1] 陈舜 . 期权定价理论及其应用 [ M ] . 北京: 中国金融出版社 , 1998. 12— 13. [ 2] 约翰・赫尔 . 期权、 期货和衍生证券 [ M ] . ( 张陶伟译 ) , 北京 : 华夏出版社 , 1997. [ 3] Ros s S M . S t ochast ic Process es [ M ] . J oh n Wiley & Sons , 1983. [ 4] Ru nggal dier W . M at hemat ical Finance[ M ] . Sprin ger V erl ag , 1997. [ 5] 孙荣恒 . 应用概率论 [ M ] . 北京 : 科学出版社 , 1998. 323— 324.
第 33 卷第 3 期 2003 年 3 月
数学的实践与认识 M AT HEM A T ICS IN PRACT ICE A ND T HEORY
V ol. 33 N o. 3 M arch, 2003
证券价格按几何布朗运动变化的微观解释
杨智元
( 广发证券博士后工作站 , 广东 广州 510075; 西南财经大学金融研究中心 , 四川 成都 610074)
( 1) 式的设定是合理的 . 注意, 在时间段 [ t, t + t] 内, 几何布朗运动是随机过程, 不是一个随机变量 . 不过 , 我 们将考察 t →0 时的情形 , 这相当于[ t , t+ t ] 缩小为一个时间点 t , 随机过程在时间点 t 上 是一个随机变量. 现在我们把 ( 2′ ) 式改为: 对于任一 t ≠0, 在时间段 [ t , t + t] 末 , ln S t + 我们从( 2″ ) 式推导( 1) 式: 由 ( 2″ ) ,得 l n( S t + t / S t ) = ( S t+
A Microeconomic Explanation f or the Security Price Follows Geometric Brown Movement
YAN G Zhi-yuan
( GF Secur ities Co . , L td . Po st do ct or al R &D Base, G ua ng zho u 510075, China; So uthW est Finance & Econo mics U niver sity , Chengdu 610074, China ) Abstract: Geo metr ic Bro w n M o vement is fr equently emplo yed to describe the secur ity pr ice chang e w itho ut further ex planatio n. T his paper assume that the r eturn r ate investor r equir ing has no t relationship w it h securit y price , under the ideal market hy po thesis , w e g iv e a strict pro of that security pr ice will follow Geo metr ic Br ow n M ov ement . Keywords: secur ity pr ice chang e; g eom et ric br ow n mov ement ; micr oeco no mic ex planation
收稿日期 : 2002-01-25 基金项目 : 本文是国家自然科学基金项目 ( 79870039) 及中加教育合作课题 ( C CU IPP) 1999 的成果之一
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情形 2 B 股票价格本来为每股 20 元 , 投资者投资后变为每股 24 元. 在同样的投资周期内, 在不考虑高价股的价格风险( 如庄家已经把价格拉升到了准备出 货的阶段) 的情形下, 对于投资者来说 , 这两种情形应该是无差别的 . 从这个例子我们归纳出可交易证券价格的一个特性: 投资者要求来自证券的期望收益 率与证券价格无关 . 从这一特性我们先做这么一个假设 : 投资者在证券价格为 S 1 时的期望 收益与在证券价格为 S 2 时的期望收益率完全相同 . 在这里, 有必要先明确地给收益率一个严格的定义. 假设现在为时刻 t , 对于某一 t ≠ 0, 考察证券价格在时间 [ t, t + t ] 内的变化, 对于某 一个固定的 n, 我们把时间段 [ t, t+ t ] 分为 n 个短的时间段( 不一定间隔相等 , 另外 t n= t+ t)
n
t)
X 1・ X 2 ・…・X n = ( S 1/ S 0) ・( S 2/ S 1) ・…・ ( S n / S n- 1 ) = S n/ S 0
ln S t +
t
- l nS t =
∑ln X
i= 1
i
( 2)
由于 X i 是独立同分布的, 如果所考察的时间段无限细分( n → + ∞ ) ( 相当于交易连续 进行) , 则, 按照中心极限定理, lnS t + t - ln S t 趋近于一个正态分布的随机变量 . 这里应该指 出的是 , 前面我们说给定一个固定的 n, 这里又要 n →+ ∞, 这表示什么意思呢? 事实上这类 似于求极限时的 — 法 , 给定一个 , 当 越来越小时, 数列趋近于某一个极限. 这里是给 定一个 n, 当 n 越来越大时, 随机变量 ∑l nX i 趋近于正态分布 . 换句话说 , S t + t 是对数正态 分布. 另外, 有一点应该注意的是 : 当时间段无限细分时 , 随机变量 r i 的期望值和标准差都趋 于 0, 这样 , 在某些情况下 , ln X i 的期望值和标准差也都趋于 0. 假设对每一个 ln X i , ln X i 的 期望值为 定理,
/ 2) t +
2
t Z} t Z} + 1 tZ + 2 1 {( 2
2
/ 2) t +
2
2
2
/ 2) t +
t Z} 2 + …
1 t- 2
t+
t
Z + o ( t)
这里 o ( t ) 为 t 的高阶无穷小量 .
2 1 当 t→ 0 时, 按随机过程理论 , t・Z 变为非随机项且等于 dt , 故 - 2 2 ・Z 项相抵消, 即 2
/ 2) t +
t
- St =
t S tZ + o( t )
( 3) 式的左边为 S , 右边是期望值为 S t t, 标准差为 记为:
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dS = 即为( 1) 式.
S dt +
S dW
注 [ 1] 参见陈舜《 期权定价理论及其应用》 第 13 页 . [ 2] 参见 Ross , S . M . St ochast ic P rocesses . 第 192 至 194 页.
摘要 : 金融市场研究中经常不加解释地假设证券价格按几何布朗运动变 化 . 本文通过假定 投资者要求来
自证券的期望收益率与证券价格无关 , 在理想市场的前提条件下 , 对证券价格运动将遵循有漂 移率的几何布 朗运动给予严格的证明 .
关键词 : 几何布朗运动 ; 期望收益 ; 微观解释
金融市场研究中( 特别是在期权定价理论中 ) , 经常设定证券价格 S 的运动过程为几何 布朗运动: dS = 其中, 和 标准 W iener 过程. 上述设定表示的是瞬时价格运动过程 , 其隐含的条件为交易是连续进行的 . 一般地, 在 现实世界中, 我们讲的是经过某一个短时间 t 后证券价格变化: 在时刻 t 证券价格为 S t , 经 过某一个短时间 t 后证券价格变化为 St = 这里, W t ～N 0, 可把( 1 ′ ) 式写为 t , N 0, S t+ St t + St W t ( 1′ ) t 的正态分布 . 或者, 我们 ( 1″ ) t 是期望值为 0, 标准差为 - St = St t + t S tZ Sdt + S dW ( 1) 为所给随机过程的参数( 均为常数 , 称为变量 S 的期望漂移率和波动率 ) , W 是
x t t
- lnS t = (
-
2
/ 2) t +
tZ
( 2″ )
这里 Z 为标准正态分布随机变量( 期望值为 0, 标准差为 1) , 即 l nS t+ t - lnS t 服从正态分布 .
2
2
/ 2) t +
2
tZ tZ
= S t exp (
x
/ 2) t +
3
对于 e , 在点 x = 0 附近, 按 T aylo r 公式, 有 e = 1 + x + x / 2+ x /6 + … 考虑 t →0 时的情形 , 我们有 exp{ ( = 1 + {( = 1+ 2
为了记号简单起见, 时刻 t 简记为时刻 0, 证券价格为 S 0 ( S 0 = S t ) ; 时刻 t 1 简记为时刻 1, 证券价格记为 S 1 ; 依此类推. 假设 S i 是证券在时刻 i 的价格 . S i- S i- 1 i S i - 1 , 我们把收益率定义为 r . 注意时刻 0 之后的证券价格都是未知的 , 只是 一个随机变量 , 因此收益率 r i 也是随机变量. 记 ri = 如果在各个时刻预期收益完全相同 , 则我们可合理假设 : 对于一个给定的 n, 存在一种 分割时间段的方法 ( 可看作投资者在分割的时点上进行交易 ) , 使得收益率 r i 是独立同分布 的随机变量. 由于 ( S i / S i - 1 ) = 1+ r i , 故 ( S i / S i - 1 ) 也是独立同分布的随机变量. 记 X i = ( S i / S i - 1 ) , 即 X i = 1+ r i , 则, 到了时刻 n( n = t + 所以( 取对数 )
t
这里 Z 为标准正态分布随机变量( 期望值为 0, 标准差为 1) . 按照陈舜 ( 1998) 的看法 , 设定证券价格按几何布朗运动变化只是一种直观判断, 没有更 多的道理能够加以解释 , 只是该模型较好地描述了一些资产的价格变化而已 [ 1] .
[ 2] Ro ss ( 1983) 曾对证券价格按无漂移率的几何布朗运动变化加以解释 , 他认为 , 可以从 投资者要求来自证券的期望百分比收益( 收益率 ) 与证券价格无关这一特性解释其合理性.
n
=
( -
2
/ 2) t
n
,
n
=
t n
这里 n 和 n 为 lnX i 的期望值和标准差 ( 对每一个 i 都一样 ) . 则 ( 2) 式变为 ln S t +
t
- lnS t ～ N (
-
2
/ 2) t,
t
( 2′ )
2 这里, N ( - 2 / 2) t, t 的正态分布. t 是期望值为( - / 2) t, 标准差为 现在 , 我们需要证明的是: 当 t →0 时, 可以从式 ( 2′ ) 推出式 ( 1) . 这样一来, 即说明了
n
, 标准差为
i
n
( 每一个都一样) . 当 n → + ∞时, n
n
n
→0 且
n
→ 0. 但根据中心极限
∑l nX
的期望值为 n n, 标准差为
, 都不会趋于 0.
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数 学 的 实 践 与 认 识
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( 2) 式是正态分布的随机变量. 现在我们对前面的假设再附加一点条件 , 我们对 r i 的分 布附加如下限制 , 使得对于给定的 n , 存在一种分割时间段的方法( 可看作投资者在分割的 时点上进行交易) , 使得