指数函数,对数函数应用举例

2.解决拟合函数模型的应用题的四个环节 (1)作图：根据已知数据，画出散点图. (2)选择函数模型：一般是根据散点图的特征，联想哪些函数 具有类似的图象特征，找几个比较接近的函数模型尝试. (3)求出函数模型：求出(2)中找到的几个函数模型的解析式. (4)检验：将(3)中求出的几个函数模型进行比较、验证，得 出最适合的函数模型.
B.400只 D.700只
2.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家 发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v=5log2 q (m/s)，其
10
中q表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为______.当 一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时，其速度是______.
【解题探究】1.对于题1中的参数a应利用哪些数值来确定？ 2.借助已知对数值求解实际问题的关键是什么？ 探究提示： 1.可由该动物在引入一年后的数量为100只，即x=1，此时 y=100，代入y=alog2(x+1)中，可解得a. 2.借助已知对数值求解实际问题的关键是充分借助对数的运 算性质，把求解数值用已知对数值表示.
【变式训练】某研究小组在一项实验中获得一组数据，将其 整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y与 t之间关系的是( A.y=2t ) B.y=t3
C.y=log2t
D.y=2t2
【解析】选C.由曲线的缓慢增长趋势知，应为对数函数型，
故选C.
图表型应用问题
【典型例题】
1.某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多
(3)求解：通过数学运算将数学模型中的未知量求出. (4)反馈：根据题意检验所求结果是否符合实际情况,并正确 作答.
【变式训练】某钢铁厂的年产量由2004年的40万吨，增加到 2014年的60万吨，如果按此增长率计算，预计该钢铁厂2024 年的年产量为______. 【解析】设年增长率为r，则有40(1+r)10=60， 所以(1+r)10=
y=a(1+p)x.
【解析】1.选A.2个细胞分裂一次成4个，分裂两次成8个，分 裂3次成16个，所以分裂x次后得到的细胞个数为y=2x+1.
2.(1)1年后该城市人口总数为 y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)， 2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2， 3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)3， „„ x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x(x∈N).
答案：y=8［ln(m+x)-ln( 2m)］+4ln2
类型 三
拟合模型
【典型例题】
1.(2013·厦门高一检测)今有一组数据如下：
t v 1.99 1.5 3.0 4.04 4.0 7.5 5.1 12 6.12 18.01 )
在以下四个模拟函数中，最适合这组数据的函数是( A.v=log2t
t2 1 C.v= 2
【拓展提升】数据拟合问题的三种求解策略 (1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或 题中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据, 问题即可获解. (2)列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题,则可根据 表格中的数据先列式,然后进行比较.
(3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数 学模型,则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点,作出 散点图,然后观察这些点的位置变化情况,确定所需要用的数 学模型,问题即可顺利解决.
了，中午时体温基本正常(大约37℃),但是下午他的体温又开
始上升，直到半夜才感觉不发烧了，下面能反映小鹏这一天
ห้องสมุดไป่ตู้
体温变化情况的图象大致是(
)
2.某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组 成有序数对(t,P)，点(t,P)落在如图中的两条线段上.
该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据 如下表： 第t天 Q(万股) 4 36 10 30 16 24 22 18
对数函 数模型
思考：解决实际应用问题的关键是什么? 提示:解决实际应用问题的关键是选择和建立恰当的函数模型.
【知识点拨】
1.建立函数模型应把握的三个关口
(1)事理关:通过阅读、理解,明白问题讲什么,熟悉实际背景,
为解题打开突破口.
(2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用 数学式子表达数学关系. (3)数理关:在构建数学模型的过程中,利用已有的数学知识进 行检验,从而认定或构建相应的数学问题.
(2)10年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7(万人). (3)设x年后人口将达到120 万人， 即可得到100×(1+1.2%)x=120，
x log1.012 120 lg1.2 log1.0121.2 15.28. 100 lg1.012
2.(1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过点 (0,2),(20,6)，容易求得其方程为P= t+2；从20天到30天满 足递减的直线方程，且过点(20,6),(30,5)，求得方程为
1 P= t +8，所以每股的交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函 10
1 5
数关系为
1 5 t 2,0 t 20, t N, P 1 t 8, 20＜t 30, t N. 10
【解题指南】先由燃料质量为( e -1)m时，则该火箭的最大速
度为4km/s，代入y=k［ln(m+x)-ln( 2m)］+4ln2中，确定出k
的值.
【解析】由题意，x=( e-1)m时,y=4km/s，即
4=k{ln［m+( e-1)m］-ln( 2m)}+4ln2,所以k=8,故
y=8［ln(m+x)-ln( 2m)］+4ln2.
【变式训练】2012年6月16日，“神舟九号”载人飞船经“长 征二号F”运载火箭发射升空.火箭起飞质量是箭体的质量m和 燃料质量x的和，在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最 大速度y关于x的函数关系为y=k［ln(m+x)-ln( 2m)］+4ln2(其 中k≠0)，当燃料质量为( e-1)m吨时，该火箭的最大速度为 4km/s，则y关于x的函数解析式为______.
【解析】1.选A.将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)
得,100=alog2(1+1)，解得a=100，所以x=7时，
y=100log2(7+1)=300. 2.由题意，燕子静止时v=0，即5log2 q=80时，v=5log2 答案：10
80 =15(m/s). 10 q =0，解得q=10；当 10
【解题探究】1.对于细胞分裂问题，一个细胞经过x次分裂后 得到的细胞个数一般怎样表示？若是n个细胞呢？ 2.解决连续增长问题应建立何种数学模型？ 探究提示： 1.由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个„„，分 裂x次后得到的细胞个数为2x个，若是n个细胞，则细胞个数
为n·2x个.
2.对于连续增长的问题一般情况下可建立指数型函数模型
(2)当P=Q时，得 2
1 6t x 5 2
2
1 (11 x ) 2
,
„„„„„„

6分
解得 t 1 1 22 x 2 ］ 1［ 17 ［
1 2］ „„„„ 8分 . 2 6 12 x 5 x 5 2 x 5 ② 1 1 令m ∵x≥9,∴m∈(0, ］③,在t= 1 (17m2-m-2)中，对 , 4 12 x 5 称轴为直线 m 1 , 1 (0, 1 ］， 且图象开口向下. „„ 10分 34 34 4 1 19 ∴m= 时，t取得最小值 此时，x=9. „„„„„„ 12分 ， 4 192
类型 一
指数函数模型
【典型例题】 1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分 裂成8个„„，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个 数y为( A.y=2x+1 C.y=2x ) B.y=2x-1 D.y=2x
2.某海滨城市现有人口100万人，如果年平均自然增长率为 1.2%.解答下面的问题： (1)写出该城市人口数y(万人)与年份x(年)的函数关系. (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人). (3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年).
(2)设日交易量Q(万股)与时间t(天)所满足的一次函数关系为
Q=kt+b，过点(4,36),(10,30)，解得k=-1,b=40，所以
Q=-t+40,0≤t≤30,t∈N.
【拓展提升】图表型应用问题的解决思路
(1)结合图象特征，观察坐标轴所代表的含义.
(2)紧扣题目的语言叙述，将其转化为数学特征(单调性，
3 , 2
所以2024年的年产量为60(1+r)10 =60×
3 =90(万吨). 2
答案：90万吨
类型 二
对数函数模型
【典型例题】 1.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫 为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间 x(年)的关系为y=alog2(x+1)，若该动物在引入一年后的数量 为100只，则第7年它们发展到( A.300只 C.600只 )
15m/s
【互动探究】题1中，若引入的此种特殊动物繁殖到500只以
上时，也将对生态环境造成危害，那么多少年时，必须采取
措施进行预防？
【解析】500=100log2(x+1)，解得x=31.所以31年时，必须采
取措施进行预防.
【拓展提升】对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数解析 式，然后根据实际问题再求解. (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数, 或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据 数值回答其实际意义.
(1)根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P(元)与
时间t(天)所满足的函数关系.
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)所满足的
一次函数关系.
【解析】1.选C.观察图象A，体温逐渐降低，不符合题意；图
象B不能反映他下午体温又开始上升；图象D不能反映他下午
体温又开始上升与直到半夜才感觉不发烧了.
所以大约16年后该城市人口总数达到120万人.
【拓展提升】解应用问题的四步骤 读题⇒建模⇒求解⇒反馈 (1)读题：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数 据之间的关系，数据的单位等，弄清已知什么,求解什么,需 要什么. (2)建模：正确选择自变量，将问题表示为这个变量的函数， 通过设元,将实际问题转化为数学关系式或建立数学模型，不 要忘记考察函数的定义域.
【解题探究】1.对于表格给出的数据，如何选择合适的模拟 函数？ 2.指数函数的增长具有什么特点？ 探究提示： 1.可用直接法，将表中的数据直接代入所给出的模拟函数中， 验证哪个最适合即可. 2.指数函数的变化呈爆炸方式增长，随着变量的增大，与其
他函数类型相比，其函数值将增长得最快.
【解析】1.选C.可将自变量的值取整数，代入备选答案，易 知C成立． 2.选D.因为指数函数的变化呈爆炸方式增长，所以一直跑下 去，最终在最前面的人具有的函数关系是f4(x)=2x，应选D.
B.v= log 1 t
2
D.v=2t-2
2.四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是
f1(x)=x2，f2(x)=4x，f3(x)=log2x，f4(x)=2x，他们一直跑
下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是(
A.f1(x)=x2 B.f2(x)=4x
)
C.f3(x)=log2x
D.f4(x)=2x
第2课时 指数型、对数型函数模型 的应用举例
指数函数模型、对数函数模型 函数模 型名称 指数函 数模型 表达形式 f(x)=abx+c __________ f(x)=mlogax+n _____________ 限制条件 a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1 m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1
最值，奇偶性).
【规范解答】指数函数模型在实际中的应用
【典例】
【条件分析】
(1)根据图象求k,b的值. (2)若市场需求量为Q，它近似满足 Q x 2
1 (11 x) 2
.
当P=Q时的市场价格称为均衡价格，为使均衡价格控制在不低 于9元的范围内，求税率t的最小值.
(1 k )5b 2 1 ， 2 8 1 ① 【规范解答】(1)由图可知 t 时，有 k 2 8 2(1 8 ) 7b 2， k 6， 解得 „„„„„„„„„„ 4分 b 5.