圆的极坐标方程教学案例
圆的极坐标方程教学设计
课例94 圆的极坐标方程（一）教学目标1．能再极坐标系中建立简单曲线（过极点或圆心在极点的圆）的方程，初步掌握求曲线的极坐标方程的方法和步骤．2．通过教学，使学生体会类比的思想、进一步认识数形结合的数学思想．3.通过本节课的学习，体会这部分知识与高中数学其他内容的联系，感受数学的整体性。
（二）教学重点建立圆的极坐标方程（三）教学难点圆的极坐标方程（四）教学方式启发式、探究式（五）教学过程1．复习引入——创设情境引导学生回忆在直角坐标系下，曲线的方程的定义。
师：在平面直角坐标系中，曲线C可以用方程f(x,y)=0表示，曲线的方程是如何定义的？（①曲线C的点的坐标都是方程f(x,y)=0 的解；②以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点．那么这条曲线叫做方程的曲线，这个方程叫做是曲线的方程．）2．新课学习——探索发现请学生类比直角坐标系下曲线的方程的定义，大胆猜想极坐标中，曲线的极坐标方程的定义。
（学生可能猜想出：在极坐标系中，如果（1）曲线C 的点的极坐标都是方程f (ρ,θ )=0的解； （2）以方程f (ρ,θ )=0的解为坐标的点都在曲线C 上． 那么方程f (ρ,θ )=0 叫做曲线C 的极坐标方程．）再引导学生回忆直角坐标系中求曲线方程的一般步骤。
（建系→设点→列式→化简→结论）例1 已知圆O 的半径为a (a>0)，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程最简单？解：以圆心O 为极点，从O 出发的一条射线为极轴建立坐标系，设M （ρ，θ）为圆上任意一点，则ρ=a为所求圆的极坐标方程。
变式1：在极坐标系中，求半径为a ，圆心为C(a ，0)(a >0)的圆的极坐标方程．解：在Rt △AMO 中，|OM|=|OA|cos ∠MOA 即θρcos 2a =由此完善“曲线的极坐标方程“的定义：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程．变式2：在极坐标系中，求半径为a ，圆心为C )2,(πa 的圆的极坐标方程．(θρsin 2a =)师：建立直线和圆的极坐标方程的步骤与建立直线和圆的直角坐标方程的步骤一样，你能小结一下吗？(投影)分4个步骤：(1)用(ρ，θ)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件ρ的点M 的集合P=｛M|p(M)｝； (3)用坐标表示条件ρ(M)，列出方程f (ρ，θ)=0； (4)化方程f (ρ，θ)=0为最简形式．变式3：在极坐标系中，求半径为a ，圆心为C ),(πa 的圆的极坐标方程． (θρcos 2a -=)变式4：在极坐标系中，求半径为a ，圆心为C )23,(πa 的圆的极坐标方程． (θρsin 2a -=)3. 课堂练习——巩固新知练习：若点Ｃ的直角坐标为（-1，1），求以Ｃ为圆心，且经过原点Ｏ的圆的极坐标方程．解：在Rt △AMO 中，|OM|=|OA|cos ∠MOA 即)43cos(22πθρ-= 4. 课堂小结——凝炼提升（1）曲线的极坐标方程概念； （2）求曲线的极坐标方程的步骤； （3）圆的极坐标方程。
直线和圆的极坐标方程教案
直线和圆的极坐标方程教案教案：直线和圆的极坐标方程目标：通过学习，学生能够理解直线和圆在极坐标系中的表示方法，并能够根据已知条件写出直线和圆的极坐标方程。
一、引入：老师可先给出一个问题：如何在极坐标系中表示直线和圆？二、学习与讨论：1. 直线的极坐标方程：直线可以用极坐标系中的一个点和倾斜角（与极轴的夹角）来表示。
- 若直线过原点，则其方程为r = θ- 若直线不过原点，我们需要先找到直线与极轴的交点，然后确定倾斜角。
设直线与极轴的交点为（a，b），倾斜角为θ，则直线的极坐标方程可以表示为：r = a/（cos(θ - b)）2. 圆的极坐标方程：圆在极坐标系中的方程为 r = a，其中a为圆的半径。
三、例题练习：根据已知条件，写出直线和圆的极坐标方程。
1. 直线的例题：已知直线过原点，倾斜角为30°，写出直线的极坐标方程。
解答：直线的方程为r = θ2. 圆的例题：已知圆心坐标为(2，π/3)，写出圆的极坐标方程。
解答：圆的方程为 r = 2四、总结：教师和学生共同总结直线和圆的极坐标方程的表示方法。
五、拓展：老师可引导学生进行拓展，讨论其他图形在极坐标系中的表示方法，并给出相应的例题进行练习。
六、作业：布置作业，要求学生根据已知条件写出直线和圆的极坐标方程，并解答相关问题。
课堂练习：给出一个直线的极坐标方程和一个圆的极坐标方程，让学生画出相应的图形。
七、检查与讨论：检查学生的作业并进行讨论，解答学生的问题。
八、总结：教师和学生共同总结本节课的内容，强调重点和难点。
以上是关于直线和圆的极坐标方程教案的叙述，通过本节课的学习，学生应该能够掌握直线和圆在极坐标系中的表示方法，并能够根据已知条件写出直线和圆的极坐标方程。
高二数学教案：圆的极坐标方程方案
高二数学教案：圆的极坐标方程方案第05课时1.3.1圆的极坐标方程学习目的1.掌握极坐标方程的意义2. 能在极坐标中求圆的极坐标方程学习过程一、学前准备1、极坐标方程的概念一般地，在极坐标系中，假如平面曲线上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标合适方程的点都在曲线上，那么方程叫做曲线的。
2、请说说在直角坐标系下是如何求曲线方程的?，并类比考虑在极坐标系下如何求曲线的极坐标方程。
二、新课导学◆探究新知(预习教材P12～P15，找出疑惑之处)1.如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(r,q)满足的条件吗? 解：以点为极点，为极轴建立如右图所示的极坐标系，设圆与极轴的另一个交点为，那么设为圆上除点，以外的任意一点，那么在中，，即。
①可以验证，点，的坐标满足等式①。
于是，等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件。
，2.定义：一般地，假如一条曲线上任意一点都有一个极坐标合适方程的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。
◆应用例如例1.圆的半径为，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单?(教材P13例1)例2. 把以下的方程是极坐标方程的化成直角坐标系方程，是直角坐标系方程的化成极坐标方程。
(1)(2)◆反应练习1、说明以下极坐标方程表示什么曲线，并画图。
(1)(2)2、以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是( )三、总结提升◆本节小结1.本节学习了哪些内容?答：在极坐标中求圆的极坐标方程学习评价一、自我评价你完本钱节导学案的情况为( )A.很好B.较好C. 一般D.较差课后作业1、直角坐标下圆的方程对应的极坐标方程是2、在极坐标系中，求合适以下条件的直线或圆的极坐标方程：(1)圆心在，半径为1的圆;(2)圆心在，半径为的圆。
3、把以下极坐标方程化成直角坐标方程：(1)(2)。
圆的极坐标方程教案
圆的极坐标⽅程教案三简单曲线的极坐标⽅程课题: 1、圆的极坐标⽅程教学⽬标：1、掌握极坐标⽅程的意义2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标⽅程教学重点、极坐标⽅程的意义教学难点：极坐标⽅程的意义教学⽅法：启发诱导，讲练结合。
教具：多媒体、实物投影仪教学过程：⼀、复习引⼊：问题情境1、直⾓坐标系建⽴可以描述点的位置极坐标也有同样作⽤？2、直⾓坐标系的建⽴可以求曲线的⽅程极坐标系的建⽴是否可以求曲线⽅程？学⽣回顾1、直⾓坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？2、曲线的⽅程和⽅程的曲线（直⾓坐标系中）定义3、求曲线⽅程的步骤4、极坐标与直⾓坐标的互化关系式:⼆、讲解新课：1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆⼼坐标为(a ,0)(a >0)，你能⽤⼀个等式表⽰圆上任意⼀点，的极坐标(ρ,θ)满⾜的条件？解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意⼀点，连接AM ，则有：OM=OAcos θ，即：ρ＝2acos θ①，2、提问：曲线上的点的坐标都满⾜这个⽅程吗？可以验证点O(0,π/2)、A(2a ,0)满⾜①式.等式①就是圆上任意⼀点的极坐标满⾜的条件.反之，适合等式①的点都在这个圆上.3、定义：⼀般地，如果⼀条曲线上任意⼀点都有⼀个极坐标适合⽅程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个⽅程称为这条曲线的极坐标⽅程，这条曲线称为这个极坐标⽅程的曲线。
例1、已知圆O 的半径为r ，建⽴怎样的坐标系，可以使圆的极坐标⽅程更简单？①建系；②设点；M （ρ，θ）③列式；OM ＝r ，即：ρ＝r④证明或说明.变式练习：求下列圆的极坐标⽅程(１)中⼼在Ｃ(a ,0)，半径为a ；(２)中⼼在(a,π/2)，半径为a ；(３)中⼼在Ｃ(a ,θ０)，半径为a答案：(1)ρ＝2acos θ (2) ρ＝2asin θ (3)0cos()a ρθθ-＝２例2．（1）化在直⾓坐标⽅程0822=-+y y x 为极坐标⽅程，（2）化极坐标⽅程)3cos(6πθρ-= 为直⾓坐标⽅程。
高中数学 极坐标圆的极坐标方程教案 新人教B版选修41
1.4圆的极坐标方程
[教学目标]
知识与技能：1、认识曲线的极坐标方程的条件，比较与曲线与直角坐标方程的异同。
2、掌握各种圆的极坐标方程。
3、能根据圆的极坐标方程画出其对应的图形
过程与方法：通过求圆的极坐标方程，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生
进一步认识极坐标系的作用。
情感、态度、价值观：通过求圆的极坐标方程．培养学生数与形相互联系，对立统一的辩
证唯物主义观。
[教学重点]
总结怎样求极坐标方程的方法与步骤
[教学难点]
极坐标方程是涉及长度与角度的问题，列方程实质是解直角或斜三角形问题，要使用旧的三角
知识
[教学过程]
1 / 2
教学环节教学内容师生
互动
设计
意图
复习提问提问：曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(ρ,θ)=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(ρ,θ)=0；
(２)方程f(ρ,θ)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。
则曲线Ｃ的方程是f(ρ,θ)=0。
2。
直线和圆的极坐标方程教案(一)
直线和圆的极坐标方程教案(一)直线和圆的极坐标方程教案教学目标•理解直线和圆的极坐标方程的含义和基本形式•掌握直线和圆的极坐标方程的推导方法•能够根据给定条件写出直线和圆的极坐标方程教学准备•教师准备：白板、彩色粉笔、投影仪•学生准备：纸和笔教学过程1.导入（5分钟）–简要回顾直角坐标系和极坐标系的基本概念和转换方法–引导学生思考直线和圆的极坐标方程可能的形式2.直线的极坐标方程（15分钟）–解释直线的极坐标方程为r=asec(θ−α)，其中a和α为常数–介绍推导直线的极坐标方程的步骤：•将直线转换为直角坐标系下的斜截式方程y=kx+b•将直角坐标系转换为极坐标系，即x=rcosθ，y=rsinθ•代入直角坐标系下的方程，得到rsinθ=k⋅rcosθ+ b•化简得到r=bsinθ−kcosθ•进一步化简得到r=asec(θ−α)的形式–给出实例，让学生进行练习3.圆的极坐标方程（15分钟）–解释圆的极坐标方程为r=a，其中a为常数–介绍推导圆的极坐标方程的步骤：•将圆的中心坐标为(ℎ,k)的一般式方程转换为直角坐标系下的标准式方程(x−ℎ)2+(y−k)2=r2•将直角坐标系转换为极坐标系，即x=rcosθ，y=rsinθ•代入直角坐标系下的方程，得到(rcosθ−ℎ)2+(rsinθ−k)2=r2•化简得到r2−2rℎcosθ+ℎ2+r2cos2θ−2rksinθ+k2=r2•化简得到r=a的形式–给出实例，让学生进行练习4.总结归纳（5分钟）–和学生一起总结直线和圆的极坐标方程的基本形式和推导方法–强调学生在做题时要仔细观察几个参数的变化和特点，灵活运用推导方法5.练习与作业布置（10分钟）–出示多个直线和圆的图形，让学生根据给定条件写出对应的极坐标方程–布置作业：完成课后习题中的相关题目拓展活动•鼓励学生使用数学软件探索其他曲线的极坐标方程•学生可以深入研究更复杂的极坐标方程，如椭圆、双纽线等总结本节课主要介绍了直线和圆的极坐标方程的含义、基本形式和推导方法。
圆的极坐标方程教学设计
编写时间：2021 年月日第二学期总第课时编写人：马安山课题圆的极坐标方程授课班级高二( 17 )班授课时间2021 年月日学习目标1.掌握极坐标方程的意义.2.能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程.教学重点掌握圆的极坐标方程.教学难点能够运用圆极坐标方程解决问题.课型新课主要教学方法启发、诱导发现教学教学模式合作探究，归纳总结教学手段与教具多媒体教学教学过程设计各环节教学反思一、复习引入：问题情境1.直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？2.直角坐标系的建立可以求曲线的方程,那么极坐标系的建立是否可以求曲线方程？学生回顾1.直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？2.曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义3.求曲线方程的步骤4.极坐标与直角坐标的互化关系式:(1). 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;(2). 两种坐标系的单位长度相同.二、讲解新课：1. 引例：如图，在极坐标系下半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(ρ,θ)满足的条件？解：设M (ρ,θ)是圆上O、A以外的任意一点，连接AM，则有：OM=OAcosθ，即：ρ＝2acosθ①，2. 提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？可以验证点O(0,π/2)、A(2a ,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上.3. 定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。
例1. 已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？ ①建系；②设点；M （ρ，θ） ③列式；OM ＝r ， 即：ρ＝r ④证明或说明.变式练习：求下列圆的极坐标方程(１)中心在Ｃ(a ,0)，半径为a ； (２)中心在(a,2π)，半径为a ； (３)中心在Ｃ(a ,0θ)，半径为a.答案：(1)ρ＝2aco s θ (2) ρ＝2asin θ (3)0cos()a ρθθ-＝２ 例2．（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程，（2）化极坐标方程)3cos(6πθρ-= 为直角坐标方程。
圆的参数方程微课教案
圆的极坐标方程
教学标题：圆的极坐标方程
教学目标：掌握圆的极坐标方程及其应用。
教学手段：ppt 演示
教学重难点：如何根据题目特征画出示意图，根据三角函数关系写出圆的极坐标方程。
教学时长：微课9分钟
授课方式：网络授课（B 站小武数学2021.5.25发布）
教学过程：
【新知导入】：通过极坐标和三角函数的知识推导出圆的极坐标方程，为以下3道例题的求解方法做铺垫。
问题1：在极坐标系中，求：
(1)圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程；
(2)圆心为C (2，π)，半径为2的圆的极坐标方程．
【设计意图】第1问是圆的圆心在极点上，第2问是圆经过极点，考察这2种题型圆的极坐标的应用。
问题2：在极坐标系中，已知圆C 的圆心为⎝
⎛⎭⎪⎫3，π3，半径为3，Q 点在圆周上运动．
(1)求圆C 的极坐标方程；
(2)若P 是OQ 中点，求P 的轨迹．
【设计意图】第1问是加强圆经过极点这种题型的应用，第2问是考察极坐标的定义理解程度。
旨在让学生深刻理解圆的极坐标的本质，从而能灵活应用。
数学学案：课堂导学曲线的极坐标方程圆的极坐标方程
课堂导学三点剖析1求圆的极坐标方程【例1】写出圆心在（—5,0)，且过极点的圆的极坐标方程,并化为直角坐标方程。
解：由ρ=2acosθ,θ∈［2π,23π]得ρ=-10cosθ，2π≤θ≤23π.变形为ρ2=-10ρcosθ。
用坐标变换公式得：x 2+y 2=-10x ， 即(x+5）2+y 2=25. 温馨提示注意公式的应用及角的范围。
2。
极坐标方程与直角坐标方程的互化【例2】 写出圆心在（3,4），半径为5的圆的极坐标方程.解：圆的直角坐标方程为(x-3)2+（y-4)2=25,变形得x 2+y 2=6x+8y.用坐标变换公式得ρ2=6ρcosθ+8ρsinθ，即ρ=6cosθ+8sinθ.因此，圆心在（3，4），半径为5的圆的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ. 温馨提示当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时,要得到圆的极坐标方程,通常是先写出圆的直角坐标方程，然后利用坐标变换公式，求得圆的极坐标方程.3。
求动点的轨迹问题【例3】从极点作圆ρ=4sinθ的弦，求各条弦的中点的轨迹方程。
解：设动点为M （r ，φ），则⎪⎩⎪⎨⎧==ρθϕ21,r .把θ=φ和r=21ρ代入ρ=2acosθ得，2r=2acosφ，即r=acosφ，-2π≤φ≤2π.其轨迹是以（2，0)为圆心，以2为半径的圆. 温馨提示寻找一个关键三角形，使动点的极半径和极角与已知条件成为该三角形的元素，借助于三角形的边角关系建立起动点的轨迹方程，这种方法称为三角形法.若三角形为直角三角形,可利用勾股定理及其他边角关系建立动点的极坐标方程；若三角形为一般三角形,可利用正、余弦定理建立动点的极坐标方程.如变式提升3。
各个击破 类题演练1把x 2+y 2=x 化为极坐标方程.解：由公式得ρ2=ρcosθ。
即ρ=cosθ. 变式提升1从极点作圆ρ=6cosθ的弦，求弦的中点的轨迹方程。
解：设曲线上动点M 的坐标为（r,φ）,则:⎪⎩⎪⎨⎧==.21,ρθϕr把θ=φ和r=21ρ代入ρ=6cosθ,得2r=6cosφ,即r=3cosφ,2π-≤φ≤2π.即其轨迹是以（23,0）为圆心,半径为23的圆。
第三章 参数方程、极坐标教案 直线和圆的极坐标方程 教案
第三章参数方程、极坐标教案直线和圆的极坐标方程教案教学目标1．理解建立直线和圆的极坐标方程的关键是将已知条件表示成ρ与θ之间的关系式．2．初步掌握求曲线的极坐标方程的应用方法和步骤．3．了解在极坐标系内，一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线即可与多个方程对应．教学重点与难点建立直线和圆的极坐标方程．教学过程师：前面我们学习了极坐标系的有关概念，了解到极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，那么在极坐标系下可以解决点的轨迹问题吗？问题：求过定圆内一定点，且与定圆相切的圆的圆心的轨迹方程．师：探求轨迹方程的前提是在坐标系下，请你据题设先合理地建立一个坐标系．(巡视后，选定两个做示意图，(如图3-8，图3-9)，画在黑板上．)解设定圆半径为R，A(m，0)，轨迹上任一点P(x，y)(或P(ρ，θ))．(1)在直角坐标系下：|ρA|=R-|Oρ|，(两边再平方，学生都感到等式的右边太繁了．)师：在直角坐标系下，求点P的轨迹方程的化简过程很麻烦．我们看在极坐标系下会如何呢？(2)在极坐标系下：在△AOP中|AP|2=|OA|2+|OP|2-2|OA|·|OP|·cosθ，即(R-ρ)2=m2+ρ2-2mρ·cosθ．化简整理，得2mρ·cosθ-2Rρ=m2-R2，师：对比两种解法可知，有些轨迹问题在极坐标系下解起来反而简坐标方程有什么不同呢？这就是今天这节课的讨论内容．一、曲线的极坐标方程的概念师：在直角坐标系中，曲线用含有变量x和y的方程f(x，y)=0表示．那么在极坐标系中，曲线用含有变量ρ和θ的方程f(ρ，θ)=0来表示，也就是说方程f(ρ，θ)=0应称为极坐标方程，如上面问题中的：ρ=(投影)定义：一般地，在直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下的关系：1．曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2．以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．师：前面的学习知道，坐标(ρ，θ)只与一个点M对应，但反过来，点M的极坐标都不止一个．推而广之，曲线上的点的极坐标有无穷多个．这无穷多个极坐标都能适合方程f(ρ，θ)=吗？如曲线ρ=θ上有一点(π，π)，它的另一种形式(-π，0)就不适合ρ=θ方程，这就是说点(π，π)适合方程，但点(π，π)的另一种表示方法(-π，0)就不适合．而(-π，0)不适合方程，它表示的点却在曲线ρ=θ上．因而在定义曲线的极坐标方程时，会与曲线的直角坐标方程有所不同．(先让学生参照曲线的直角坐标方程的定义叙述曲线的极坐标方程的定义，再修正，最后打出投影：曲线的极坐标方程的定义)曲线的极坐标方程定义：如果极坐标系中的曲线C和方程f(ρ，0)=0之间建立了如下关系：1．曲线C上任一点的无穷多个极坐标中至少有一个适合方程f(ρ，θ)=0；2．坐标满足f(ρ，θ)=0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)=0叫做曲线C的极坐标方程．师：下面我们学习最简单的曲线：直线和圆的极坐标方程．求直线和圆的极坐标方程的方法和步骤应与求直线和圆的直角坐标方程的方法和步骤类似，关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关系式．解设M(ρ，θ)为射线上任意一点，因为∠xOM=θ，师：过极点的射线的极坐标方程的形式你能归纳一下吗？生：是．师：一条曲线可与多个方程对应．这是极坐标方程的一个特点．你能猜想一下过极点的直线的极坐标方程是什么形式吗？学生讨论后，得出：θ=θ0(θ0是倾斜角，ρ∈R)是过极点的直线的极坐标方程．师：把你认为在极坐标系下，有特殊位置的直线都画出来．例2 求适合下列条件的极坐标方程：(1)过点A(3，π)并和极轴垂直的直线；解(1)设M(ρ，θ)是直线上一点(如图3-15)，即ρcosθ=-3为所示．解(2)设M(ρ，θ)是直线上一点，过M作MN⊥Ox于N，则|MN|是点B到Ox的距离，师：不过极点也不垂直极轴、不平行极轴的直线的极坐标方程如何确立呢？例3 求极坐标平面内任意位置上的一条直线l的极坐标方程(如图3-17，图3-18)．让学生根据以上两个图形讨论确定l的元素是什么？结论直线l的倾斜角α，极点到直线l的距离|ON|可确定直线l的位置．解设直线l与极轴的夹角为α，极点O到直线l的距离为p(极点O到直线l的距离是唯一的定值，故α、p 都是常数)．直线l上任一点M(ρ，θ)，则在Rt△MNO中|OM|·sin∠OMN=|ON|，即ρsin(α-θ)=p为直线l的极坐标方程．(如图3-19，图3-20)师：直线的极坐标方程的一般式：ρsin(α-θ)=p，其中α是直线的倾斜角，p是极点到l的距离，当α、p 取什么值时，直线的位置是特殊情形呢？当α=π时，ρsinθ=p，直线平行极轴；当p=0时，θ=α，是过极点的直线．师：以上我们研究了极坐标系内的直线的极坐标方程．在极坐标系中的圆的方程如何确立呢？如图3-21：圆上任一点M(r，θ)，即指θ∈R时圆上任一点到极点的距离总是r，于是ρ=r是以极点为圆心r为半径的一个圆的极坐标方程．师：和在直角坐标系中，把x=a和y=b看作是二元方程一样，θ=θ0及ρ=r也应看作是二元方程．在方程θ=θ0中，ρ不出现，说明ρ可取任何非负实数值；同样，在方程ρ=r中，θ不出现，说明θ可取任何实数值．例4 求圆心是A(a，0)，半径是a的圆的极坐标方程．(让学生画图，教师巡视参与意见)解设⊙A交极轴于B，则|OB|=2a，圆上任意一点M(ρ，θ)，则据直径上的圆周角是直角可知：OM⊥MB，于是在Rt△OBM中，|OM|=|OB|cosθ，即ρ=2acosθ就是所求圆的极坐标方程．如图3-22．师：在极坐标系下，目前我们理解下面几种情形下的圆的极坐标方程即可．让学生自己得出极坐标方程．图3-23：ρ=2rcosθ；图3-24：ρ=-2rcosθ；图3-25：ρ=2rsinθ；图3-26：ρ=-2rsinθ．师：建立直线和圆的极坐标方程的步骤与建立直线和圆的直角坐标方程的步骤一样，你能小结一下吗？(投影)分4个步骤：(1)用(ρ，θ)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件ρ的点M的集合P=｛M|p(M)｝；(3)用坐标表示条件ρ(M)，列出方程f(ρ，θ)=0；(4)化方程f(ρ，θ)=0为最简形式．练习：分别作出下列极坐标方程表示的曲线(2)ρcosθ=sin2θ(cosθ=0或ρ=2sinθ)；设计说明直线和圆的极坐标方程一节的教学重点是如何根据条件列出等式．至于在极坐标系中由于点的极坐标的多值性，而带来的曲线的极坐标方程与直角坐标系中的方程有不同的性质，这一点只需学生了解即可．另外，由于删除了3种圆锥曲线的统一的极坐标方程，实际上就降低了对极坐标一节学习的难度．所以用一课时来学习曲线的极坐标方程只能是在前面学习曲线的直角坐标方程的基础上初步掌握建立极坐标方程的方法．为此本节课围绕着这一主题进行了充分的课堂活动，达到了教学目的．。
高二数学北师大版选修4-4《圆的极坐标方程》教案
第121212星期星期星期二二二201620162016年年5月月月101010日日单元章节单元章节单元章节课题课题课题本节课题本节课题本节课题第二课时第二课时第二课时三维三维三维目标目标目标
石泉中学课时教案
科目:高二数学 教师:张艳琴授课时间：第12周星期二2016年5月10日
单元（章节）课题
本节课题
例1．求圆心在极点、半径为 的圆的极坐标方程。
例2. 求圆心在 、半径 为的圆的极坐标方程。
例3. 求圆心在 、半径1为的圆的极坐标方程。
三、课堂小结
你今天主要学习了什么？都有哪些收获？
课堂检测内容
1．课本 第14页 练习2
2．课本 第14页 练习3
课后作业布置
课本 第18页A组 4 （3）（4）
预习内容布置
难点：求曲线的极坐标方程的方法.
教 学 过 程
一、情境导入
复习：在极坐标系中，如何求曲线的方程？
（1）建立平面直角坐标系（对称、简洁）；
（2）设点（设动点、定点的坐标）；
（3）列式（寻找动点满足的条件）；
（4）坐标化（将条件用坐标表示）；
（5）化简、整理.
导入：在极坐标系中，如何圆的极坐标方程？
二、典型例题
2.3圆的极坐标方程（第二课时）
三维目标
知识与技能：能在极坐标中求圆的极坐标方程，掌握求极坐标方程的一般步骤；
过程与方法：通过求圆的极坐标方程，体会求曲线的极坐标方程的方法；
情感,态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
提炼的课题
圆的极坐标方程
教学重难点
重点：能在极坐标中求圆的极坐标方程；ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
高中数学新苏教版精品教案《圆的极坐标方程》
4.2圆的极坐标方程如皋市搬经中学 章杰【教学目标】1.了解直角坐标方程与极坐标方程的联系与区别，掌握求曲线极坐标方程的步骤；2.掌握求圆的极坐标方程的方法；3.会进行圆的直角坐标方程和极坐标方程的相互转化.4.让学生体会类比的思想，体会数形结合的思想方法【教学重点】圆的极坐标方程的求法和直角坐标方程与极坐标方程的互相转化.【教学难点】在极坐标系中求圆的极坐标方程.【教学方式】启发式、探究式 【教学设计】活动一、复习引入（创设情境）引导学生回忆在直角坐标系下，曲线方程的定义师：在平面直角坐标系下，曲线方程可以用0),(=y x f 表示，曲线的方程是如何定义的？生：（1）曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f（2）以方程0),(=y x f 的解为坐标的点都在曲线上，那么这条曲线叫做方程的曲线，这个方程叫做曲线的方程.师：求曲线的方程的基本步骤是什么？生：建系---设点---列式----化简-----检验作答活动二、概念引入（探索发现）师：在直角坐标系中，垂直于x 轴和y 轴的直线可以用方程b y a x ==,（b a ,为常数）表示，那么，在极坐标系中，以极点O 为圆心，1为半径的圆可以用什么方程来表示呢？生1：可以用1=ρ生2：极坐标系任意一点的坐标可以用),(θρ表示，也可以用Z k k ∈++-),)12(,(θπρ表示，所以也可以用1-=ρ来表示.思考：1.满足方程1=ρ的所有的点都在圆上吗？2.圆上所有的点的极坐标都满足方程1=ρ吗？生：第一点满足，但第二点不满足，比如说点),1(π-在圆1=ρ上，但不满足方程1=ρ.师：通过以上问题的讨论，类比直角坐标系下曲线方程的定义，同学们能总结出在极坐标系下曲线方程的定义吗？生：一般地，在极坐标系下，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf叫做曲线C 的极坐标方程.师：极坐标系下曲线方程的定义和直角坐标系下曲线方程的定义有什么区别和联系？生：直角坐标系下点的坐标和方程的解是一一对应的关系，在极坐标系下点的坐标与方程的解不是一一对应的关系.师：说得非常准确，但我们让极坐标系中的点满足“πθρ20,0<≤≥”就满足一一对应的关系了，为了研究的方便，以后我们写点的极坐标方程时就满足πθρ20,0<≤≥.设计意图：通过这个环节让学生理解直角坐标系和极坐标中曲线方程的区别和联系.让学生体会类比的思想.活动三、求圆的极坐标方程例1：在极坐标系中, 半径为 a 的圆的圆心坐标为 C ( a, 0 ) ( a > 0 ), 求圆 C 的极坐标方程.解：如图，圆经过极点,O 设圆与极轴的另一个交点为,A 则有.2||a OA =设),(θρM 为圆上除点A O ,以外的任意一点，则.AM OM ⊥在AMO Rt ∆中，,cos ||||MOA OA OM ∠=即.cos 2θρa =经检验，点)0,2(),2,0(a A O π满足方程.cos 2θρa =所以，所求圆的极坐标方程为.cos 2θρa =.0,的极坐标方程）为圆心，过极点的圆变式：求以（a(θρcos 2a =）讨论：1.圆心为),2,1(πA 半径为1，求圆的极坐标方程； (θρsin 2=) 2.圆心为)3,1(πB ，半径为1，求圆的极坐标方程； ()3cos(2πθρ-=) 3.圆心为)32,1(πC ，半径为1，求圆的极坐标方程；()32cos(2πθρ-=) 完成上述3个问题，小组讨论1、2、3题对应的方程与θρcos 2=的关系，以及它们图像之间的关系思考：1.2.3个问题中的方程和曲线有什么关系？生：)cos(20θθρ-=由θρcos 2=绕极点逆时针旋转0θ（0θ为负角时顺时针旋转）得到.4.圆心为),(00θρM ,半径为r ，求圆的极坐标方程.O学生板演，并讲解解题思路.解：在圆M 上任取一点P ，连接PM OM OP ,,,在POM ∆中0,,θθρρ-=∠===POM rPM OM OP 所以，由余弦定理得POM OM OP OM OP PM ∠⋅-+=cos 2222即)cos(2002022θθρρρρ--+=r小结：1.如何求圆的极坐标方程生：在极坐标系下求圆的极坐标方程就是确定ρ和θ的等量关系，涉及到角度和长 度的问题，其本质是寻找三角形中的边角关系，转化成解直角或斜三角形的问 题.2.求曲线的极坐标方程的基本步骤（1）建立适当的极坐标系；（2）在曲线上任取一点);,(θρP（3）根据曲线上的点满足的条件写出等式；（4）用极坐标θρ,表示上述等式，并化简得到极坐标方程；（5）证明所得的方程是曲线的极坐标方程.练习1：按下列要求写出圆的极坐标方程:（1） 以)0,4(为圆心，半径为4的圆；（2）以)2,8(π为圆心，且过极点的圆；（3）以极点O 与点)0,4(-C 连接的线段为直径的圆；（4）圆心在极轴上，且过极点与点)6,32(πD 的圆.前三题口答，第四题请两位同学板演，展示两种方法，一种在极坐标系下运用几何性 质求解，另一种先求出圆的直角坐标方程，再转化成极坐标方程.活动四、圆的极坐标方程和直角坐标方程的互相转化例2：将θρsin 4=化成直角坐标方程.解：等式两边同时乘以ρ，得到θρρsin 2=因为θρθρsin ,cos ==y x所以y y x =+22，即41)21(22=-+y x 例3：将方程x y x =+22化成极坐标方程，并指出圆心和半径.解：因为θρθρsin ,cos ==y x所以θρρcos 2=即,0=ρ或θρcos =经检验θρcos =练习2：已知一个圆的极坐标方程是θθρsin 5cos 35-=，求圆心坐标和半径..08322为极坐标方程：化直角坐标方程练习=-+y y x活动五：课堂小结（总结提升）1.极坐标方程与直角坐标方程的区别；2.求曲线的极坐标方程的步骤；3.如何求圆的极坐标方程.（运用解三角形知识确定θρ,的关系；先求直角坐标系方程，再转化成极坐标方程）。
2022学年人教A版选修4-4：第一讲圆的极坐标方程教案
课时：5备课人杜强；二次备课人吴非
课题名称
第一讲圆的极坐标方程
三维目标
学习目标
1.理解极坐标方程的意义;
2.能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程.
重点目标
理解极坐标方程的意义
难点目标
能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程
导入示标
目标三导
学做思一：
自学探究
问题1.(1)求圆心在点（3，0），且过极点的圆的极坐标方程;
课后练习
同步练习金考卷
3．两圆 和 的圆心距是.
4．在圆心的极坐标为 ，半径为 的圆中，求过极点的弦的中点的轨迹.
﹡5.极坐标方程 所表示的曲线是.
﹡6.从极点O作直线与另一直线 相交于点M，在OM上取一点P使得
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设R为 上任意一点，试求 的最小值.
反思总结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
（1）圆心在 ，半径为1的圆；（2）圆心在 ，半径为 的圆.
3．把下列极坐标方程化为直角坐标方程：（1） ；（2） .
﹡4．求下列圆的圆心的极坐标：（1） ；（2） .
反思：与直角坐标方程 比较，你能说说极坐标方程 的优点吗？
达标检测
变式反馈
﹡1．求圆 的圆心的极坐标与半径.
2．设有半径为4的圆，它在极坐标系内的Biblioteka 心坐标是 ，则这个圆的极坐标方程是.
(2)以点 为圆心， 为半径的圆C的极坐标方程.
学做思二
问题2.你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 满足的条件吗？
问题3.已知圆O的半径为 ，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？
学做思三
技能提炼
15圆的极坐标方程导学案
编号15 编制人：梁从军 审核人： 雷友会 审批人 班级 姓名 学号泸州外国语学校 ◆高2010级数学科导学案◆14.3.1圆的极坐标方程．1．重点：掌握一些特殊位置下的圆（如过极点或圆心在极点的圆）的极坐标方程． ．一、课前自主学习 1．教材助读（1）圆的极坐标方程是什么？怎么推导出来的？ 2．预习思考（1）圆122=+y x 的极坐标方程是 . （2）曲线θρcos =的直角坐标方是 . 3．我的疑惑二、探究·合作·展示 ※ 学习探究 【探究一】1．求圆心在点(3,0)，且过极点的圆的极坐标方程．2．求以点(,0)C a （0a >）为圆心，a 为半径的圆C 的极坐标方程．3．求以)2,4(π为圆心，4为半径的圆的极坐标方程．4．已知圆心的极坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求圆的极坐标方程．【探究二】已知一个圆的极坐标方程是θθρsin 5cos 35-=，求圆心的极坐标与半径．三、我的收获 ※ 当堂检测：1．在极坐标系中，求适合下列条件的圆的极坐标方程：（1）圆心在)4,1(πA ，半径为1的圆； （2）圆心在)23,(πa ，半径为a 的圆.2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程：（1）2=ρ；（2）θρcos 5=.3．求下列圆的圆心的极坐标：（1）θρsin 4=；（2）)4cos(2θπρ-=.※ 课后作业：1．设有半径为4的圆，它在极坐标系内的圆心坐标是),4(π，则这个圆的极坐标方程是 ． 2．两圆θρcos 2=和θρsin 4=的圆心距是 ．3．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是（ ） A ．)4cos(2πθρ-= B. )4sin(2πθρ-=C. )1cos(2-=θρD. )1sin(2-=θρ4．已知点(2,)2A π，3)4B π，(0,0)O ，试判断ABO ∆的形状．。
圆的极坐标方程教学案例
圆的极坐标方程教学案例教学目标：1.理解极坐标系的概念和用途；2.掌握极坐标系下圆的极坐标方程的求解方法；3.运用极坐标方程分析圆形的特征和性质。
教学重点：1.极坐标系的概念和特点；2.圆的极坐标方程的推导和解题方法。
教学难点：1.如何从直角坐标系转换到极坐标系；2.如何用极坐标方程来表达圆形的特征和性质。
教学准备：1.一张白板和黑板笔；2.参考教材和课件。
教学过程：一、导入（10分钟）1.向学生介绍极坐标系的概念和用途，解释为什么有时候使用极坐标系更方便；2.让学生回顾直角坐标系到极坐标系的转换公式。
二、讲解（20分钟）1.解释圆的极坐标方程是什么，为什么要用极坐标方程来表示圆；2.通过推导，解释如何从直角坐标系转换到极坐标系，得到圆的极坐标方程；3.教学示例：给出一个圆的直角坐标方程，引导学生将其转换为极坐标方程。
三、练习（30分钟）1.给学生几个直角坐标方程，要求他们转换为极坐标方程；2.给学生几个极坐标方程，要求他们转换为直角坐标方程；3.给学生几个极坐标方程，要求他们根据极坐标方程分析圆形的特征和性质。
四、总结（10分钟）1.回顾本课学习的内容，强调极坐标方程的用途和重要性；2.总结极坐标方程的求解方法和圆形的特征。
五、拓展（10分钟）引导学生思考如何用极坐标方程表示其他形状的曲线，如椭圆、双曲线等。
六、作业布置（5分钟）1.练习册上的相关习题；2.思考如何用极坐标方程表示其他形状的曲线，并写出相应的方程。
教学反思：本节课主要讲解了圆的极坐标方程的求解方法和应用，通过例题和练习，学生对极坐标方程的应用有了一定的了解。
同时，通过拓展环节的引导，学生对极坐标方程还可以用来表示其他形状的曲线有了一定的认识。
然而，本节课的时间有限，课堂练习的时间有点紧张。
以后可以将课堂练习的时间适当延长，并在课后布置更多相关的习题，以巩固学生的知识点。
选修4-4 §1.3.1 圆的极坐标方程教案1
§1.3 简单曲线的极坐标方程
§1.3.1 圆的极坐标方程
三维目标
1.了解认识极坐标方程的意义；
2.掌握几种特殊位置的圆的极坐标方程；
3.能利用极坐标方程解决实际问题；
4.经历几种特殊位置的圆的极坐标方程的推导过程，进一步提高学生分析、解决问题的的
能力，同时培养学生自主学习习惯和团队合作精神.
教学重难点
教学重点：几种特殊位置下的圆的极坐标方程.
教学难点：几种特殊位置圆的极坐标方程的推导与应用.
教学方法
教法：启发诱导、探究合作、讲练结合.
学法：自主探究和团队合作.
教学流程
圆心在C(1, 1)，半径为r 的圆的极坐标方
程是什么？
1
θθ
11(,)
C ρθ(,)P ρθρ
1ρr
x
O。
圆的极坐标方程教案
简单曲线的极坐标方程1.2圆的极坐标方程时间：2023.4.11 地点：高二5楼录播室 授课班级：高二7班 授课人：李雪霜一、学习目标：1、了解极坐标方程的意义。
2、掌握圆的极坐标方程及其应用。
3、掌握圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，并能依据问题特点，选择合适的方程进行求解。
二、重点和难点1、重点：圆的极坐标方程的求法。
2、难点：如何寻找条件列出圆的极坐标方程。
三、复习回顾问题1：如何在平面内建立一个极坐标系。
问题2：极坐标系下平面内的点与极坐标有怎样的对应关系。
问题3：直角坐标与极坐标的如何互化。
（1）直角坐标转化为极坐标（2）极坐标转化为直角坐标四、课堂教学（一）提出问题：（师生互动）在平面直角坐标系中，一般地，直线方程可以表示为: 圆的方程可以表示为 ：共同特点：在平面直角坐标系中，平面曲线可以用方程()0,=y x f 表示。
曲线和方程满足如下关系：（1）曲线C 上点的坐标都是 的解；（2）以方程()0,=y x f 的解为坐标的点都在 上。
则方程()0,=y x f 叫作曲线C 的直角坐标方程。
那么，在极坐标系中，平面曲线是否可以用方程()0,=θρf 来表示呢？曲线的极坐标方程定义1：如果曲线C 上的点与方程f(ρ，θ)＝0有如下关系（1）在极坐标系中，如果平面曲线C 上 的极坐标中 满足方程f(ρ，θ)＝0；（2）坐标适合的点都在曲线C上。
则方程f(ρ，θ)＝0叫作曲线C的极坐标方程。
（二）探究圆的极坐标方程1如图，求半径为a的圆C的极坐标方程思考1：如图，可以建立多少种极坐标系？思考2：建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程最简单?思考3：建立合适的极坐标系，求出圆的极坐标方程。
题组练习1求下列圆的极坐标方程.(1)圆心在极点，半径为2;(2)圆心为C(2，0)，半径为2;(3)圆心为C(3，π/2)，半径为3;思考总结：(1)你能总结出以上求圆的极坐标方程的方法吗？(2)如果圆心不在以上几种特殊位置呢？题组练习2求下列圆的极坐标方程.(1)圆心为A(2，0)，半径为1;(2)圆心为C(ρ0，θ0)，半径为r;【概况归纳】需要先通过构造满足条件的三角形的边角关系，再利用正、余弦定理求解.（三）反思总结：圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为 。
圆的极坐标方程公开课教案
授课老师：xx授课班级:xx（6）班●设计理念：圆的极坐标方程在高考考查中，属中等以下难度的题，即基础题，它也是这一章的难点之一。
本课题通过课本例题及习题归类学习，让学生经历由简单到复杂的过程，增强解决圆的极坐标方程的能力。
●教学目的：通过类比直角坐标系下求曲线的方程的过程，探讨圆的极坐标方程。
●教学重点与难点：重点：如何根据条件列出圆的极坐标方程,比较这些图形在极坐标和平面直角坐标系中的方程。
难点：如何寻找条件列出圆的极坐标方程●教学过程：环节教学内容师生互动设计意图复习1、圆心为M（a,0）,半径为a（a>0）的思考并回答知识回顾，为圆的直角坐标方程为。
问题2、上述1xx如何推导圆的直角坐标方程（方法步骤）3、求曲线方程的步骤（求轨迹方程的步骤）本课的学习作准备组织探讨类型一：圆心在极点的圆学生在教师通过例题学的引导下，习，归纳圆的例7：求圆心在极点、半径为r的圆的极自主完成，极坐标方程。
并回答问题类型，提高学生学习的兴趣织探讨例8：求圆心坐标为C(a,0)（a>0）、半径为a的圆的极坐标方程？变式训练：课本p14页练习第2题求圆心在A3,、半径为3的圆的极坐标方程？类型三：圆心在点a,处且过极点的2圆求圆心在、半径为a的圆的a,（a>0）2极坐标方程？（课本p14页练习第3题）3变式训练：求圆心在a,2、半（a>0）径为a的圆的极坐标方程？《世纪金榜》p15页例1巩固练习：1、求极坐标方程分别是sin与生分析，讨论，根据圆的几何特征，发掘出用什么知识解决问题，归纳解题规xx，图形与极坐标方程有什么规xx。
要求学生在教师的引导下，自主发言，回答问题深，其中类型一、二、三是圆的极坐标方程的特例，结合练习熟悉类型一、二、三圆的极坐标方程，并能画出简单草图cos的两个圆的圆心距。
（课本p19页习题1-2第8题）2、求极坐标方程分别是1与2cos的两个圆的公共弦所在的极坐标方程?（《世纪金榜》p18页第4题）归纳总结圆的极坐标方程的方法设出圆上动点M的极坐标,,再根据圆的几何特征，利用已知的定理、公式等，得出,满足的方程。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。