空间曲线参数方程(第五讲)

第五讲 空间曲线参数方程

一、求空间曲线(,,)0(,)0

F x y z

G x y =ìG í=î：的参数方程

方法1；若把(,)0G x y =看做xoy 平面上的曲线方程，其参数方程已知，再将他们代入方程(,,)0F x y z =中，解出z ，就可以得到空间曲线G 的参数方程．

例1．设空间曲线2222

222x y z a x y b

ì++=G í+=î：，()0a b ³>，求其参数方程． 解：空间曲线是球面2222x y z a ++=与圆柱222x y b +=的交线，由圆周222x y b +=的参数方程得到

cos sin x b t y b t =ìí=î，(02)t p ££ 将222x y b +=代入球面方程得到222z a b =-， 于是交线方程为

cos sin x b t y b t z =ìï=íï=î． 方法2：把变量x ，y 之一看作参数，如另x t =，由(,)0G x y =解出y ，再将它们代入方程(,,)0F x y z =，解出z 即可得到空间曲线G 的参数方程． 例2．设空间曲线2222259

x y z x y ì++=G í+=î：，求其参数方程． 解：空间曲线是球面2225x y z ++=与平面429x y +=的交线，它是空间平面429x y +=上的一个圆周．

以t 为参数，令x t =，则由平面方程得到 922y t =-， 将x ，y 代入球面方程得

22229615(2)18524

z t t t t =---=--， 即

z =U n R e i s t e r e d

由26118504t t --³，得到

18181010

t +££，

因此空间曲线参数方程为922x t y t z ìï=ïï=-íïï=ïî

． 例3．设空间曲线2229x y z y z ì++=G í=î

：，求其参数方程． 解：将y z =代入方程222

9x y z ++=中，得 2229x z += 该椭圆参数方程为

x t =，3sin z t =，(02)t p ££ 于是空间曲线的参数方程为

3sin x t y t z t ì=ïïï=íïï=ïî， (02)t p ££． 例4． 设空间曲线222(1)(1)40x y z z ì+++-=G í=î：，求其参数方程． 解：因为0z =，则22(1)3x y ++=，

令1x t =-

，y t =，于是得参数方程为

10x t y t z ì=-+ïï=íï=ïî (02)t p ££， 例5．设空间曲线22290

x y z x y z ì++=G í++=î：，求其参数方程． U n R e g i s t e r e d

解：将z x y =--代入方程222

9x y z ++=中，得到柱面方程 2292x y xy ++=

， 作极坐标变换cos sin x r t y r t

=ìí=î，将其代入到2292x y xy ++=中得到 229sin cos 2r r t t +=

因此 29

21sin cos r t t =+

，即r = 于是曲线的参数方程为

x y z ì=ïïïï=íïï=ïïî U n R e g i t e r e d