傅里叶变换在信号与系统系统中的应用

河北联合大学

本科毕业设计（论文）

题目傅里叶变换在信号与系统中的应用

院系理学院

专业班级07数学一班

学生姓名刘帅

学生学号200710050113

指导教师佟玉霞

2011年5月24日

题目傅里叶变换在信号与系统中的应用

专业数学与应用数学姓名刘帅学号200710050113

主要内容、基本要求、主要参考资料等

主要内容

傅里叶变换是一种重要的变换，且在与通信相关的信号与系统中有着广泛的应用。本文主要研究傅里叶变换的基本原理；其次，掌握其在滤波，调制、解调，抽样等方面中的应用。分析了信号在通信系统中的处理方法，通过傅里叶变换推导出信号调制解调的原理，由此引出对频分复用通信系统的组成原理的介绍。

基本要求

通过傅里叶变换实现一个高通滤波，低通滤波，带通滤波。用傅里叶变换推导出信号调制解调的原理。通过抽样实现连续信号离散化，简化计算。另外利用调制的原理推导出通信系统中的时分复用和频分复用。

参考资料

[1]《信号与系统理论、方法和应用》徐守时著中国科技大学出版社 2006年3月修订二版

[2]《信号与系统》第二版上、下册郑君里、应启珩、杨为理著高等教育出版社

[3]《通信系统》第四版 Simon Haykin 著宋铁成、徐平平、徐智勇等译沈

连丰审校电子工业出版社

[4]《信号与系统—连续与离散》第四版 Rodger E.Ziemer 等著肖志涛等译

腾建辅审校电子工业出版社

[5]《现代通信原理》陶亚雄主编电子工业出版社

[6]《信号与系统》乐正友著清华大学出版社

[7]《信号与线性系统》阎鸿森、王新风、田惠生编西安交通大学出版社

[8]《信号与线性系统》张卫钢主编郑晶、徐琨、徐建民副主编西安电

子科技大学出版社

[9] /view/191871.htm//百度百科傅里叶变换

[10]《通信原理》第六版樊昌信曹丽娜编著国防工业出版社

[11]A．V．Oppenheim,A.S.Willsky with S.H.Nawab.Siganals and systems(Second edition).Prentice-Hall,1997.中译：刘树棠。信号与系统。西安交通工业大学出版社

完成期限

指导教师

专业负责人

2010年11 月1日

目录

1.引言 (1)

2.傅里叶变换 (1)

2.1 傅里叶变换的提出及发展 (1)

2.2 傅里叶变换定义 (2)

2.3 傅里叶变换的分类 (3)

傅里叶变换的性质

3.傅里叶变换在滤波技术中的应用 (4)

3.1 滤波的概念 (4)

3.2 理想选择性滤波器 (4)

3.3 系统的物理可实现性 (6)

4.傅里叶变换在调制与解调技术中的应用 (7)

4.1 调制与解调的原理 (8)

4.2 正弦调制过程 (9)

4.3 相干解调 (10)

5.傅里叶变换在抽样技术中的应用 (11)

5.1理想抽样 (11)

5.2 抽样的恢复 (13)

5.3零阶抽样保持 (15)

6.频分复用与时分复用 (17)

7.结束语 (19)

参考文献 (20)

1.引言

傅立叶变换是在傅立叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的。这方面的问题也称为傅立叶分析。傅立叶分析的研究与应用至今已经历了一百余年。1822年法国数学家傅立叶(J．Fourier,1768—1830)．提出并证明了将周期函数展开为正弦函数的原理．莫定了傅立叶变换的理论基础。进入20世纪以后。人们认识到，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用频率域(颍域)的分析方法较之经典的时同域(时域)方法有许多突出的优点。当今。傅立叶分析方法已经成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。随着计算机、数字集成电路技术的发展。在傅立叶变换方法中出现了所谓的”快速傅立叶变换”(F丌)．目前快速傅立叶变换的研究与应用已相当成熟，而且仍然在不断更新与发展。傅立叶变换不仅应用于电力工程、通信和控制领域之中．而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关效学、物理和工程技术领域中得到广泛普遍的应用。

滤波、调制和抽样，将模拟信号数字化；对信号进行处理改善信号性能，产生新的较理想信号。另外通过调制，使不同频率，不同时域信号可同时发送，从而达到节省频带的目的，即所谓时分复用、频分复用。电话，电视等也都涉及到傅里叶的变换。傅里叶分析方法的建立经历了一段漫长的历史，涉及到许多人的工作和许多物理现象的研究。当今傅里叶分析法已经成为信号分析与系统不可缺少的重要工具。

2.傅里叶变换

2.1 傅里叶变换的提出及发展

1804 年，法国科学家 J.-B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究。他在题为《热的解析理论》一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解。在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种思想，虽然缺乏严格的论证，但对近代数学以及物理、工程技术却都产生了深远的影响，成为傅里叶变换的起源。从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦

基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。傅里叶变换通过对函数的分析来达到对复杂函数的深入理解和研究。最初，傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。“任意”的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类。利用这一点，傅里叶变换可通过对相对简单的事物的研究来了解复杂事物，而且现代数学发现傅里叶变换具有非常好的性质：

（1）傅里叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子。

（2）傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似。

（3）正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质, 从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。

（4）著名的卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算, 从而提供了计算卷积的一种简单手段。

（5）离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT))。

正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

2.2 傅里叶变换定义

若)(t f 在任一有限区间上满足狄利克雷条件，且)(t f 在（－∞，＋∞）上绝对可积（如下积分收敛），即：

⎰

∞∞-∞

∞-⎰=)()( （2）