九年级数学上册单元测试题及答案全套(冀教版)

九年级数学上册单元测试题及答案全套（冀教版）

（试题顺序：23章，25章，27章，24章，26章，28章，共6套）

第二十三章达标检测卷

(120分，90分钟)

一、选择题(每题3分，共30分)

1．某校组织了“讲文明、守秩序、迎南博”知识竞赛活动，从中抽取了7名同学的参赛成绩如下(单位：分)：80，90，70，100，60，80，80.则这组数据的中位数和众数分别是() A．90，80 B．70，80 C．80，80 D．100，80

2．某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中课外体育占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%.小彤的这三项成绩(百分制)分别为95分，90分，88分，则小彤这学期的体育成绩为()

A．89分B．90分C．92分D．93分

3．制鞋厂准备生产一批男皮鞋，经抽样(120名中年男子)，得知所需鞋号和人数如下：

并求出鞋号的中位数是24 cm，众数是25 cm，平均数约是24 cm，下列说法正确的是()

A．因为需要鞋号为27 cm的人数太少，所以鞋号为27 cm的鞋可以不生产

B．因为平均数约是24 cm，所以这批男鞋可以一律按24 cm的鞋生产

C．因为中位数是24 cm，所以24 cm的鞋的生产量应占首位

D．因为众数是25 cm，所以25 cm的鞋的生产量应占首位

4．已知一组数据2，3，4，x，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的平均数、中位数分别是() A．4，4 B．3，4 C．4，3 D．3，3

5．济南某中学足球队的18名队员的年龄如下表所示：

这18名队员年龄的众数和中位数分别是()

(第6题)

6．如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么关于该班40名同学一周参加体育锻炼时间的说法错误的是()

A．平均数是8.625小时B．中位数是8小时

C．众数是8小时D．锻炼时间超过8小时的有21人

7．某市测得一周PM2.5的日均值(单位：微克/立方米)如下：31，30，34，35，36，34，31，对这组数据下列说法正确的是()

A．众数是35 B．中位数是34 C．平均数是35 D．方差是6

8．某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，将多轮选拔赛的成绩的数据进行分析得到每名学生的平均成绩x及其方差s2如表所示，如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，那么应选择的学生是()

A.甲B．乙C．丙D．丁

9．如果一组数据a1，a2，a3，…，a n的方差是2，那么一组新数据2a1，2a2，…，2a n的方差是() A．2 B．4 C．8 D．16

10．已知某校女子田径队23人年龄的平均数和中位数都是13岁，但是后来发现其中有一位同学的年龄登记错误，将14岁写成了15岁．经重新计算后，正确的平均数为a岁，中位数为b岁，则下列结论中正确的是()

A．a<13，b＝13 B．a<13，b<13 C．a>13，b<13 D．a>13，b＝13

二、填空题(每题3分，共30分)

11．高一新生入学军训射击训练中，小张同学的射击成绩(单位：环)为5，7，9，10，7，则这组数据的众数是________．

12．某中学举行歌咏比赛，六名评委对某歌手打分(单位：分)如下：77，82，78，95，83，75，去

13．两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为________．

14．三位同学在一次数学考试中的得分与他们三个人的平均成绩的差分别是－8，6，a，则a＝________．

15．某公司欲招聘工人，对候选人进行三项测试：语言、创新、综合知识，并将测试得分按

的比确定测试总分．已知某位候选人的三项得分分别为88，72，50，则这位候选人的测试总分为________．16．某班40名学生参加了一次“献爱心一日捐”活动，捐款人数与捐款额如图所示，根据图中所提供的信息，你认为这次捐款活动中40个捐款额的中位数是________．

(第16题)

(第18题)

17．一组数据1，5，7，x的中位数和平均数相等，则x的值是________．

18．甲、乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天日平均气温方差大小关系为s甲2__________s乙2(填“＞”或“＜”)．

19．学校篮球队五名队员的年龄(单位：岁)分别为17，15，16，15，17，其方差为0.8，则三年后这五名队员年龄的方差为________．

20．某外贸公司要出口一批罐头，标准质量为每听454 g，现抽取10听样品进行检测，它们的质量与标准质量的差值(单位：g)如下：－10，＋5，0，＋5，0，0，－5，0，＋5，＋10.则这10听罐头质量的平均数及众数分别为______________．

三、解答题(21，22题每题8分，23，24题每题10分，25，26题每题12分，共60分)

21．为了估计西瓜、苹果和香蕉三种水果一个月的销售量，某水果店对这三种水果7天的销售量进行了统计，统计结果如图所示．

(1)若西瓜、苹果和香蕉的售价分别为6元/千克、8元/千克和3元/千克，则这7天销售额最大的水果品种是________；

A．西瓜B．苹果C．香蕉

(2)估计一个月(按30天计算)该水果店可销售苹果多少千克？

(第21题)

22．“最美女教师”张丽莉，为抢救两名学生，以致双腿高位截肢，社会各界纷纷为她捐款．某市某中学九年级一班的全体同学参加了捐款活动，该班同学捐款情况的部分统计图如图所示：

(1)求该班的总人数；

(2)将条形图补充完整，并写出捐款金额的众数；

(3)该班平均每人捐款多少元？

(第22题)

23．某市为了了解高峰时段16路公交车从总站乘该路车出行的人数情况，随机抽查了10个班次乘该路车的人数，结果如下：

14，23，16，25，23，28，26，27，23，25

(1)这组数据的众数为________，中位数为________；

(2)计算这10个班次乘该路车人数的平均数；

(3)如果16路公交车在高峰时段从总站共出车60个班次，根据上面的计算结果，估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有多少人？

24．某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：

(1)请你计算这两组数据的平均数；

(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从稳定性的角度考虑，你认为选派谁参加比较合适？请说明理由．

25．某校八年级一班要从班级里数学成绩较优秀的甲、乙两位学生中选拔一人参加“全国初中数学联赛”，为此，数学老师对两位同学进行了辅导，并在辅导期间测验了6次，测验成绩如下表(单位：分)：

次数,1,2,3,4,5,6

甲,79,78,84,81,83,75

乙,83,77,80,85,80,75

利用表中数据，解答下列问题：

(1)计算甲、乙测验成绩的平均数；

(2)写出甲、乙测验成绩的中位数；

(3)计算甲、乙测验成绩的方差；(结果取整数)

(4)根据以上信息，你认为老师应该派谁参赛？简述理由．

26．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3 000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩(成绩x取整数，总分100分)作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：

(第26题)

请根据所给信息，解答下列问题：

(1)a＝________，b＝________；

(2)请补全频数分布直方图；

(3)这次比赛成绩的中位数会落在________分数段；

(4)若成绩在90分以上(包括90分)的为“优”等，则该校参加这次比赛的3 000名学生中成绩为“优”等的大约有多少人？

答案

一、1.C 2.B 3.D 4.D 5.B

6．B 解析：众数是一组数据中出现次数最多的数据，故众数是8小时；

将这组数据按从小到大的顺序排列后，处于中间位置的两个数的平均数是9，故中位数是9小时； 平均数是7×3＋8×16＋9×14＋10×740＝8.625(小时)；

锻炼时间超过8小时的有14＋7＝21(人)． 故选B .

7．B 8.B 9.C 10.A 二、11.7 12.80分

13．6 解析：由题意得???3＋a ＋2b ＋5

4

＝6，a ＋6＋b

3＝6，

解得?

????a ＝8，b ＝4，

∴这组新数据是3，4，5，6，8，8，8，其中位数是6.

17．－1或3或11 18.＞ 19.0.8 20．455 g ，454 g 三、21.解：(1)A

(2)140÷7×30＝600(千克)．

答：估计一个月(按30天计算)该水果店可销售苹果600千克． 22．解：(1)14÷28%＝50(人)． 故该班的总人数为50人．

(2)补全条形图如图所示，捐款金额的众数是10元．

(第22题)

(3)150×(5×9＋10×16＋15×14＋20×7＋25×4)＝1

50×655＝13.1(元)， 因此该班平均每人捐款13.1元．

解析：条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图能直接反映各部分占总体的百分比大小．

23．解：(1)23；24

(2)1

10×(14＋16＋23＋23＋23＋25＋25＋26＋27＋28)＝23(人)． 故这10个班次乘该路车人数的平均数是23人． (3)60×23＝1 380(人)．

所以估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有1 380人． 24．解：(1)x 甲＝1

8

×(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85；

x 乙＝1

8

×(83＋92＋80＋95＋90＋80＋85＋75)＝85.这两组数据的平均数都是85；

(2)选派甲参加比较合适．理由如下：由(1)知x 甲＝x 乙＝85，则s 甲2＝1

8×[(78－85)2＋(79－85)2＋(81

－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s 乙2＝1

8×[(75－85)2＋(80－85)2

＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41，∴s 甲

2

乙

2

，∴甲的成绩

较稳定，∴选派甲参加比较合适．

25．解：(1)x 甲＝79＋78＋84＋81＋83＋75

6

＝80(分)，

x 乙＝83＋77＋80＋85＋80＋756＝80(分)．

(2)甲、乙测验成绩的中位数都是80分．

(3)s 甲2＝1

6×[(79－80)2＋(78－80)2＋(84－80)2＋(81－80)2＋(83－80)2＋(75－80)2]≈9，

s 乙2＝1

6

×[(83－80)2＋(77－80)2＋(80－80)2＋(85－80)2＋(80－80)2＋(75－80)2]≈11.

(4)老师应该派甲参赛，因为在甲、乙测验成绩的平均数和中位数都相同的情况下，甲的测验成绩更稳定，所以老师应该派甲参赛．

26．解：(1)60；0.15 (2)略． (3)80≤x ＜90

(4)3 000×0.4＝1 200(人)，则该校参加这次比赛的3 000名学生中成绩为“优”等的大约有1 200人．

第二十五章达标检测卷

(120分，90分钟)

一、选择题(每题3分，共30分) 1．若m ＋n n ＝52，则m n 等于( )

A .52

B .23

C .25

D .3

2

2．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为( ) A ．1：4 B ．1：2 C ．2：1 D ．4：1

3．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝6，AE ＝2，则AC 的长为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8

(第3题)

(第4题)

(第5题)

(第6题)

4．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为1

3，在

第一象限内把线段AB 缩小后得到CD ，则点C 的坐标为( )

A ．(2，1)

B ．(2，0)

C ．(3，3)

D ．(3，1)

5．如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确的是( ) A ．AB 2＝BC·BD B ．AB 2＝AC·BD C ．AB·AD ＝BD·BC D ．AB·AD ＝BD·CD

6．如图，小东用长3.2 m 的竹竿BE 做测量工具测量学校旗杆CD 的高度，移动竹竿BE ，使竹竿BE 、旗杆CD 顶端的影子恰好落在地面的同一点A 处．此时，竹竿BE 与点A 相距8 m ，与旗杆CD 相距22 m ，则旗杆CD 的高度为( )

A ．12 m

B ．10 m

C ．8 m

D ．7 m

7．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与△ABC 相似的是( )

(第7题)

8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 是AD 的中点，CF ⊥BE 于点F ，则CF 等于( ) A ．2 B ．2.4 C ．2.5 D ．2.25

(第8题)

(第9题)

(第10题)

(第13题)

(第14题)

9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝18，BC ＝12，正方形DEFG 的顶点E ，F 在△ABC 内，顶点D ，G 分别在AB ，AC 上，AD ＝AG ，DG ＝6，则点F 到BC 的距离为( )

A ．1

B ．2

C ．122－6

D ．62－6

10．如图，在钝角三角形ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边向△ABC 的外侧作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACF ，EM 平分 ∠AEB 交AB 于点M ，取BC 的中点D ，AC 的中点N ，连接DN ，DE ，DF.下列结论：①EM ＝DN ；②S △CND ＝1

3S 四边形ABDN ；③DE ＝DF ；④DE ⊥DF.其中正确结论的

个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

二、填空题(每题3分，共24分)

11．假期，爸爸带小明去A 地旅游，小明想知道A 地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为

000的地图上测得所居住的城市距A 地32 cm ，则小明所居住的城市与A 地的实际距离为________．

12．若

＋y)＝

，则

＝________．

13．如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC>AC.若S 1表示以BC 为边的正方形的面积，S 2表示长为AD(AD ＝AB)、宽为AC 的矩形的面积，则S 1与S 2的大小关系为________．

14．如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，且S △ADE

四边形DBCE

＝，

那么

＝________．

15．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BE

EC

的值是________．

(第15题)

(第16题)

(第17题)

(第18题)

16．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝________.

17．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．18．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2，…，以此类推，则S n＝________.(用含n的式子表示)

三、解答题(19，21题每题8分，24题14分，其余每题12分，共66分)

19．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及α的大小．

(第19题)

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5，2)．

(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘－2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；

(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比．(不写解答过程，直接写出结果)

(第20题)

21．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，分别延长FD和CB交于点

G.

(1)求证：△ADE≌△CFE；

(2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的长．

(第21题)

22．如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两景观灯的间隔都是10 m，在与河岸DE的距离为16 m的A处(AD⊥DE)看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．

(第22题)

23．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝24，BC＝12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动．如果E，F 同时出发，用t(0≤t≤6)秒表示运动的时间．

请解答下列问题：

(1)当t为何值时，△CEF是等腰直角三角形？

(2)当t为何值时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似？

(第23题)

24．如图，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF.

(1)求证：△ADE≌△DCF.

(2)若E是CD的中点，求证：Q是CF的中点．

(3)连接AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在(2)的条件下，判断S1＋S2＝S3是否成立？并说明理由．

(第24题)

答案

一、1.D 2.B 3.C 4.A

AB

＝BC

＝

AC2

＝BC·BD，AB·AD＝AC·DB.

6．A 解析：∵BE ∥CD ，∴△AEB ∽△ADC ，∴AE AD ＝BE CD ，即88＋22＝3.2

CD ，解得CD ＝12.故旗杆

CD 的高度为12 m ．故选A .

7．A 8.B

(第9题)

9．D 解析：如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，交DG 于点N ，延长GF 交BC 于点H. ∵AB ＝AC ，AD ＝AG ，∴＝

又∵∠BAC ＝∠DAG ， ∴△ADG ∽△ABC. ∴∠ADG ＝∠B. ∴DG ∥BC.∴AN ⊥DG. ∵四边形DEFG 是正方形， ∴FG ⊥DG.∴FH ⊥BC. ∵AB ＝AC ＝18，BC ＝12， ∴BM ＝1

2

BC ＝6.

∴AM ＝AB 2－BM 2＝12 2. ∵AN AM ＝DG BC ，即AN 122＝612， ∴AN ＝6 2.

∴MN ＝AM －AN ＝6 2.

∴FH ＝MN －GF ＝62－6.故选D .

10．D 解析：∵△ABE 是等腰直角三角形，EM 平分∠AEB ，∴EM 是AB 边上的中线． ∴EM ＝12

AB.

∵点D ，点N 分别是BC ，AC 的中点， ∴DN 是△ABC 的中位线． ∴DN ＝1

2AB ，DN ∥AB.

∴EM ＝DN.①正确．

由DN ∥AB ，易证△CDN ∽△CBA. ∴S △CND S △CAB ＝????DN AB 2＝14

. ∴S △CND ＝1

S 四边形ABDN .②正确．

(第10题)

如图，连接DM ，FN ，则DM 是△ABC 的中位线， ∴DM ＝1

2AC ，DM ∥AC.

∴四边形AMDN 是平行四边形．

∴∠AMD ＝∠AND.易知∠ANF ＝90°，∠AME ＝90°， ∴∠EMD ＝ ∠DNF.

∵FN 是AC 边上的中线， ∴FN ＝1

2AC.∴DM ＝FN.

∴△DEM ≌△FDN.

∴DE ＝DF ，∠FDN ＝∠DEM. ③正确．

∵∠MDN ＋∠AMD ＝180°，

∴∠EDF ＝∠MDN －(∠EDM ＋∠FDN)＝180°－∠AMD －(∠EDM ＋∠DEM)＝180°－(∠AMD ＋∠EDM ＋∠DEM)＝180°－(180°－∠AME)＝180°－(180°－90°)＝90°.

∴DE ⊥DF.④正确．故选D .

二、11.160 km 解析：设小明所居住的城市与A 地的实际距离为x km ，根据题意可列比例式为1500 000＝32x ×105

，解得x ＝160.

12.32 解析：由x x ＋y ＝35，得5x ＝3x ＋3y ，化简得2x ＝3y ，所以x y ＝32. 13．S 1＝S 2 解析：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC>AC ， ∴BC 2＝AC·AB ，又∵S 1＝BC 2，S 2＝AC·AD ＝AC·AB ，∴S 1＝S 2. 14．1∶3 15.

3

3

解析：由∠B ＝45°，∠BAC ＝90°，可知AC ＝AB ，由∠D ＝30°，∠ACD ＝90°，可知CD ＝3AC ，则CD ＝3AB.即AB CD ＝13＝3

3

.易知△ABE ∽△DCE ，

∴BE EC ＝AB CD ＝3

3

. 16．5.5 m 解析：由已知得△DEF ∽△DCB ，∴EF CB ＝ED

CD ，∵DE ＝40 cm ＝0.4 m ，EF ＝20 cm ＝0.2

m ，CD ＝8 m ，∴0.2CB ＝0.4

8

.∴CB ＝4 m .

17.16

3

或3 解析：∵∠ABC ＝∠FBP ＝90°，∴∠ABP ＝∠CBF.当△MBC ∽△ABP 时，＝

，得BM ＝4×4÷3＝

16

3

；当△CBM ∽△ABP 时，BM ∶BP ＝CB ∶AB ，得BM ＝4×3÷4＝3. 18.32×????34n

解析：在正三角形ABC 中，AB 1⊥BC ，

∴BB 1＝1

2

BC ＝1.

在Rt △ABB 1中，AB 1＝AB 2－BB 12＝22－12＝3，

根据题意可得△AB 2B 1∽△AB 1B ，记△AB 1B 的面积为S ，∴S 1S ＝????322.∴S 1＝3

4S.

同理可得S 2＝34S 1，S 3＝34S 2，S 4＝3

4S 3，….

又∵S ＝12×1×3＝3

2，

∴S 1＝34S ＝32×3

4

，

S 2＝34S 1＝32×????342，S 3＝34S 2＝32×????343，S 4＝34S 3＝32×????344

，…，

S n ＝32

×????34n

.

三、19.解：因为四边形ABCD ∽四边形EFGH ，所以∠H ＝∠D ＝95°，则α＝360°－95°－118°－67°＝80°.再由x ∶7＝12∶6，解得x ＝14.

20．分析：(1)根据关于x 轴对称的两点的坐标特征得出对应点的位置，进而得出答案； (2)将△A 1B 1C 1三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘－2得出各点坐标，进而得出答案； (3)利用位似图形的性质得出位似比，进而得出答案． 解：(1)如图，△A 1B 1C 1即为所求．

(第20题)

(2)如图，△A 2B 2C 2即为所求． (3)S △A 1B 1C 1∶S △A 2B 2C 2＝1∶4.

解析：此题主要考查了位似变换以及轴对称变换，找准对应点位置是解题的关键． 21．(1)证明：∵AB ∥FC ，∴∠A ＝∠ECF.又∵∠AED ＝∠CEF ，且DE ＝FE ， ∴△ADE ≌△CFE.

(2)解：方法一：∵AB ∥FC ，

∴∠GBD ＝∠GCF ，∠GDB ＝∠F. ∴△GBD ∽△GCF.∴GB GC ＝BD CF

. ∴

22＋4＝1

CF

.∴CF ＝3. 由(1)得△ADE ≌△CFE. ∴AD ＝CF ＝3，

∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋1＝4.

(第21题)

方法二：如图，取BC 的中点H ，连接EH. ∵△ADE ≌△CFE ，

∴AE ＝CE.∴EH 是△ABC 的中位线． ∴EH ∥AB ，且EH ＝1

2

AB.

∴∠GBD ＝∠GHE ，∠GDB ＝∠GEH. ∴△GBD ∽△GHE. ∴DB EH ＝GB GH .∴1EH ＝22＋2. ∴EH ＝2.∴AB ＝2EH ＝4. 22．解：由题意可得DE ∥BC ， 所以AD AB ＝AE AC

.

又因为∠DAE ＝∠BAC ， 所以△ADE ∽△ABC.

所以AD AB ＝DE BC ，即AD AD ＋DB ＝DE BC

.

因为AD ＝16 m ，BC ＝50 m ，DE ＝20 m ， 所以1616＋DB ＝2050.

所以DB ＝24 m .

答：这条河的宽度为24 m .

23．解：(1)由题意可知BE ＝2t ，CF ＝4t ，CE ＝12－2t. 因为△CEF 是等腰直角三角形，∠ECF 是直角，所以CE ＝CF. 所以12－2t ＝4t ，解得t ＝2.

所以当t ＝2时，△CEF 是等腰直角三角形．

①若△EFC ∽△ACD ，则EC AD ＝FC

CD ，

所以12－2t 12＝4t 24，解得t ＝3，

即当t ＝3时，△EFC ∽△ACD. ②若△FEC ∽△ACD ，则FC AD ＝EC CD ，

所以4t 12＝12－2t 24，解得t ＝1.2，

即当t ＝1.2时，△FEC ∽△ACD.

因此，当t 为3或1.2时，以点E ，C ，F 为顶点的三角形与△ACD 相似．

24．(1)证明：由AD ＝DC ，∠ADE ＝∠DCF ＝90°，DE ＝CF ，得△ADE ≌△DCF. (2)证明：因为四边形AEHG 是正方形，所以∠AEH ＝90°. 所以∠QEC ＋∠AED ＝90°. 又因为∠AED ＋∠EAD ＝90°， 所以∠QEC ＝∠EAD. 因为∠C ＝∠ADE ＝90°， 所以△ECQ ∽△ADE. 所以CQ DE ＝EC AD

.

因为E 是CD 的中点，CD ＝AD ，所以EC ＝DE ＝12AD.所以EC AD ＝1

2.

因为DE ＝CF ，所以

CQ DE ＝CQ CF ＝1

2

.即Q 是CF 的中点． (3)解：S 1＋S 2＝S 3成立． 理由：因为△ECQ ∽△ADE ， 所以CQ DE ＝QE AE .所以CQ CE ＝QE AE .

因为∠C ＝∠AEQ ＝90°， 所以△ECQ ∽△AEQ.

所以△AEQ ∽△ECQ ∽△ADE. 所以S 1S 3＝????EQ AQ 2，S 2S 3

＝????AE AQ 2

.

所以S 1S 3＋S 2S 3＝????EQ AQ 2＋????AE AQ 2＝EQ 2＋AE 2AQ 2

.

在Rt △AEQ 中，

由勾股定理得EQ 2＋AE 2＝AQ 2， 所以S 1S 3＋S 2

S 3

＝1，即S 1＋S 2＝S 3.