函数单调性的应用
函数的单调性及应用
contents
目录
• 函数的单调性定义 • 函数的单调性性质 • 函数的单调性应用 • 反函数的单调性 • 单调性在实际问题中的应用 • 总结与展望
01 函数的单调性定义
增函数的定义
增函数的定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内的任 意$x_{1}, x_{2}$（$x_{1} < x_{2}$）， 都有$f(x_{1}) < f(x_{2})$，则称函数 $f(x)$在其定义域内是增函数。
06 总结与展望
函数单调性的重要性
数学基础
单调性是函数的重要性质之一，是数学分析、微积分等学科的 基础概念，对于理解函数的变化规律和性质具有重要意义。
解决实际问题
单调性在解决实际问题中也有广泛应用，如经济学、生物学、 工程学等领域的研究中，单调性可以帮助我们更好地理解和描
述事物的发展趋势和变化规律。
判断函数值大小
通过比较原函数和反函数的单调性，可以判 断两个函数值的大小关系。
优化问题
在某些优化问题中，可以利用反函数的单调 性来寻找最优解。
05 单调性在实际问题中的应 用
在经济问题中的应用
总结词
单调性在经济分析中有着广泛的应用，可以 帮助我们理解经济现象和预测未来的趋势。
详细描述
在经济学中，单调性可以用于研究商品价格 的变化趋势、消费者需求的变化趋势、劳动 力市场的供求关系等。通过分析这些经济变 量的单调性，我们可以更好地理解经济规律 ，预测未来的经济走势，为决策提供依据。
单调性法
利用函数的单调性，可以确定函数在某个区间 内的最大值或最小值，从而求解最值问题。
导数法
通过求导数，可以判断函数的单调性，从而确 定函数的最值。
函数单调性的应用
3 ∵y＝f(x)是开口向下的抛物线，对称轴为 x＝ . 2 3 3 ∴f(x)在(－∞， ］上是增函数，在［ ，＋∞)上是减函数. 2 2
3x (2)∵f(x)＝3|x|＝ －3x
(x≥0) (x＜0)
由一次函数的单调性可得：f(x)在(－∞，0］上是减函数， 在［0，＋∞)上是增函数.
∵2≤x1＜x2≤5. ∴x1－x2＜0，x 2－1＞0，x 1－1＞0. ∴f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x 2)＜f(x 1). x ∴f(x)＝ 在区间［2,5］上是减函数. x－1
x (2)由(1)可知 f(x)＝ 在区间［2,5］上是递减的， x－1 故任意的 x∈［2,5］均有 f(5)≤f(x)≤f(2)， 2 ∴f(x) max＝f(2)＝ ＝2. 2－1 5 5 f(x) min＝f(5)＝ ＝ . 5－1 4
判断函数单调性的方法:
1、图象法 2、定义法
证明函数单调性的方法: 定义法
定义法判断证明函数单调性的一般步骤： 取值 作差 变形 判断符号 下结论
函数单调性的证明
证明函数 f(x)＝ x在［0，＋∞)上是增函数.
【解析】 设 x1，x2∈［0，＋∞)，且 x1<x 2. 则 f(x1)－f(x2)＝ x1－ x2＝ x1－x2 . x1＋ x2
函数单调性的应用
已知函数 f ( x )
x ，x∈［2,5］. x 1
(1)判断该函数在区间［2,5］上的单调性，并给予证明； (2)求该函数在区间［2,5］上的最大值与最小值.
【解析】
x (1)f(x)＝ 在区间［2,5］上是减函数. x－1
证明：任意取 x1，x2∈［2,5］且 x1＜x 2， x1 x2 则 f(x1)＝ ，f(x2)＝ . x1－1 x2－1 f(x2)－f(x1)＝ x1－x2 x2 x1 － ＝ . x2－1 x1－1 (x2－1)(x1－1)
函数的单调性的应用
y u,u 1 ,v x2 2x 3 v
在（-，-1）上v是减函数且u,v恒为正
在（3，+）上是增函数且u,
3
在（-，-1）上是增函数
在（3，+）上是减函数
y=
1 在（-，-1）上是增函数，
x2 2x 3
在（3，+）上是减函数
； 作文加盟品牌 作文培训机构加盟 小学生作文加盟 快乐作文培训加盟 作文班加盟 作文加盟排行榜 作文培训加盟哪家好 ；
解：先求定义域：
y f (u)
u 2x x2
u在（-，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数
而y=f(u)在R上是减函数
y f (2x x2 )在（-，1）上是减函数
在（1，+）上是增函数
例2：判断函数y
1 的单调性 x2 2x 3
解：定义域：x2 2x 3 0 x (, 1) (3, )
函数的单调性
１．函数单调性的判定． ２．函数单调性的证明． ３．函数单调性的应用．
一．函数单调性的判定方法：
１.利用已知函数的单调性 ２.利用函数图象 ３.复合函数的判定方法 ４.利用定义
例1.若函数f(x)在实数集上是减函数,求f(2x-x2) 的单调区间以及单调性.
例4：作出函数f(x)= x2 6x 9+ x2 6x 9 的图象，并指出函数f(x)的单调区间
分析：作出函数图象，直观地判断函数的单调区间
y
解： 原函数可化为：
-2x x -3
f(x)=|x-3|+|x+3|= 6 2x
-3<x<3 Y=-2x x3
函数的基本性质单调性的应用
函数的基本性质单调性的应用函数的单调性是函数在定义域上的性质，描述了函数图像随着自变量的增减而变化的规律。
应用函数的单调性可以帮助我们分析函数的性质，解决各类数学问题。
下面将对函数的基本性质单调性的应用进行分类总结。
一、判断函数的增减性：1.定义法：根据函数定义，若对于任意x1、x2∈定义域，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数f(x)在该定义域上严格递增。
若f(x1)>f(x2)，则函数f(x)在该定义域上是严格递减。
2.导数法：对于可导函数f(x)，若在定义域上f'(x)≥0，则函数f(x)在该定义域上是递增的；若f'(x)≤0，则函数f(x)在该定义域上是递减的。
3.不等式法：对于不等式f(x1)≤f(x2)，如果我们能够证明当x1<x2时，则不等式成立，那么函数f(x)在该定义域上是递增的；如果我们能够证明当x1<x2时，则不等式反向成立，那么函数f(x)在该定义域上是递减的。
二、判断函数的最大值和最小值：1.极值点：对于可导函数f(x)，当f'(x)=0时，x就是函数f(x)的一个极值点。
若在x点的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则x是函数f(x)的一个局部最大值点；若在x点的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则x是函数f(x)的一个局部最小值点。
2.二阶导数：对于二次可导函数f(x)，当f''(x)>0时，函数f(x)在该点上是凹的，存在一个局部极小值；当f''(x)<0时，函数f(x)在该点上是凸的，存在一个局部极大值。
通过判断二阶导数的正负，可以得出函数的凹凸性及极值点。
三、求解方程和不等式：1.方程求解：对于严格递增（递减）函数f(x)，f(x)=k（k为常数）的方程只有一个解。
2.不等式求解：对于不等式f(x)≤0，f(x)≥0，若函数f(x)在定义域上递减，则不等式解集由定义域内满足f(x)≤0（≥0）的x组成。
函数单调性的七种应用
函数单调性的七种应用
一、内容提要如果函数f()对于区间(a,b)内任意两个值1和2,当1
如果对于区间(a,b)内任意两个值1和2,当1f(2),那么f()叫做在区间(a,b)内是单调减少的,区间(a,b)叫做函数f()的单调减少区间。
在其中一区间单调增加或单调减少的函数叫做这个区间的单调函数,
这个区间叫做这个函数的单调区间。
二、函数单调性的应用
函数的单调性既属于数学的基础知识,也是解决数学问题的重要工具。
许多数学问题,比如,确定参变量的范围、证明不等式、求解三角方程、高
次方程、超越方程、求解高难度的不等式,以及确定函数的周期,都要用到
函数的单调性。
上面我所提到的这些问题看上去用初等方法解决起来都较
为困难。
但是,如果采用函数的单调性来求解的话,那将变得很简单、可行。
三、例题分析
例1:f()=,其中a是实数,n是任意给定的自然数且n≥2,如果f()当
∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围。
解:要使f()有意义必须且只须1+2+3…(n-1)+na>0恒成立,从而a>
①,令①右端为式g(),则g()在(-∞,1]上单调递增。
从而有
g()≤g(1),∈(-∞,1]而g(1)=
∴g()≤≤(∵n≥2)
由式①可得a>
例2:设00时,有f()在(0,1)上是增函数。
则f()0
解:改写原不等式为
()3+>3+5
令f()=3+5,则原不等式即为
f()>f()⑥
∵f()是实数集R上的单调增函数
∴不等式⑥等价于不等式>
解之得原不等式的解为-1。
函数单调性及其应用的研究
函数单调性及其应用的研究
函数单调性指的是函数在其定义域上的增减性质。
具体来说，如果函数f的定义域上的任意两个自变量x1和x2满足x1<x2，则有f(x1)<f(x2)（即f单调递增），或者f(x1)>f(x2)（即f单调递减）。
如果函数既不单调递增也不单调递减，则称之为不单调。
函数单调性的研究在数学分析、微积分、数值分析、优化等领域中有着广泛的应用。
以下是一些具体的应用：
1. 函数单调性可以帮助我们确定函数的最值和极值，从而指导我们在实际问题中找到最优解。
2. 在微积分中，函数单调性可以帮助我们证明一些基本定理，例如中值定理、罗尔定理等。
3. 函数单调性还可以为数值计算提供依据。
如果我们知道函数f在一个区间上单调递增或递减，那么我们就可以使用二分法等技术来快速找到这个区间内的零点或极值点。
4. 在优化问题中，函数单调性可以帮助我们确定最优解空间的边界和方向，从而指导我们设计更加高效的优化算法。
总之，函数单调性是数学中一个非常重要的概念，它不仅可以帮助我们求解各种实际问题，还可以为理论研究提供有力的工具和方法。
函数单调性及其应用
函数单调性及其应用
函数单调性是指函数在某个定义域内的取值随着自变量的增加或减少而单调递增或递减的特性。
如果函数在该定义域内只有单调递增或单调递减的情况，则称该函数具有单调性。
应用方面，函数单调性可以用于优化问题的求解、最大值和最小值问题的解决以及一些相关定理的证明。
常见的应用包括：
1. 优化问题的求解。
如果在某个定义域上，函数单调递增，则可以通过增大自变量的取值达到最大化函数值的目的；如果函数单调递减，则可以通过减小自变量的取值达到最大化函数值的目的。
2. 最大值和最小值问题的解决。
如果函数具有单调性，则可以通过确定其定义域上的边界值来确定函数的极值点。
3. 相关定理的证明。
函数单调性对于一些相关定理的证明具有十分重要的作用，例如拉格朗日中值定理和柯西-施瓦茨不等式等。
综上所述，函数单调性在数学领域中具有广泛的应用和重要的意义。
函数的单调性及其应用
函数的单调性及其应用
函数的单调性是指函数在定义域内的取值增减情况。
具体地说，设函数$f(x)$在区间$I$内有定义，如果对于$I$内任意的$x_1$和
$x_2$，只要$x_1<x_2$，就有$f(x_1)<f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$内单调递增；如果对于$I$内任意的$x_1$和$x_2$，只要
$x_1<x_2$，就有$f(x_1)>f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$内单调递减。
应用方面，函数的单调性可以帮助我们判断函数的图像和性质，如：
1. 判断函数的最值及其取值范围：单调递增的函数在定义域内
最小值是在端点处取得，最大值是在定义域最大值处取得；单调递
减的函数则恰好相反。
2. 判断函数零点：若函数为单调递增，则只有一个零点；若函
数为单调递减，则只有一个零点。
3. 判断函数的奇偶性：若函数为奇函数，则当$x<0$时单调递减，$x>0$时单调递增；若函数为偶函数，则在整个定义域内都单调
递增或单调递减。
4. 判断函数解析式的符号：已知某函数在某区间单调递增或单
调递减，则我们可以根据函数图像的位置，得到函数解析式的符号。
单调性的应用
解 ∵y＝f(x)的定义域为 R，且为增函数，f(1－a)<f(2a－1)，
2 ∴1－a<2a－1，即 a>3， ∴所求 a
2 的取值范围是3，＋∞.
1．函数 f(x)的定义域为(a，b)，且对其内任意实数 x1，x2 均有 (x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0，则 f(x)在(a，b)上是 A．增函数 C．不增不减函数 B．减函数 D．既增又减函数 ( B )
6－4a，a<2 2 ∴f(x)min＝2－a ，2≤a≤4 . 18－8a，a>4 小结 此题为二次函数中区间固定对称轴移动的问题，此类问题
应注意对称轴的变化对最值的影响．
跟踪训练 3 已知函数 f(x)＝x2－2x－3，若 x∈[t，t＋2]时，求 函数 f(x)的最值．
解 ∵对称轴 x＝1，
(如图)．显然，函数图象的顶点就是烟花上升的 最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时 刻，纵坐标就是这时距地面的高度．
由二次函数的知识，对于函数 h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，我们有： 14.7 当 t＝－ ＝1.5 时， 2×－4.9
4×－4.9×18－14.72 函数有最大值 h＝ ≈29. 4×－4.9
2
例 2 已知函数 值．
x2 f(x)＝ x 1 (x∈[-5,-2])，求函数的最大值和最小
3 x 例 3 求函数 f(x)＝ 2 x 1 在 (0, ) 上的最大值。
小结
要熟记常见函数的单调性：一次函数 y＝kx＋b(k≠0)，当
k>0 时单调递增，当 k<0 时单调递减；二次函数 y＝ax2＋bx＋ b b c(a≠0)，当 a>0 时，在－∞，－2a上单调递减，在－2a，＋∞ k 上单调递增，a<0 时相反；y＝x(x≠0)，当 k>0 时，在(－∞，0) 和(0，＋∞)上都单调递减．当 k<0 时，在(－∞，0)和(0，＋∞) 上都单调递增．
函数单调性总结及应用
yxo 函数的基本性质 单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减） （4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③1212()(()())0x x f x f x -->或12120()()x x f x f x ->-等价于单增;1212()(()())0x x f x f x --<或12120()()x x f x f x -<-等价于单减;（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数． （3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2oy=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211课后练习【感受理解】 1．函数2y x=-的单调递_____区间是______________________. 2．函数221y x x =+-的单调递增区间为_______________________.3．已知()(21)f x k x b =++在R 上是增函数，则k 的取值范围是______________. 4．下列说法中，正确命题的个数是______________. ①函数2y x =在R 上为增函数； ②函数1y x=-在定义域内为增函数； ③若()f x 为R 上的增函数且12()()f x f x >，则12x x >； ④函数1y x=的单调减区间为(,0)(0,)-∞⋃+∞. 【思考应用】5．函数()1f x x =+的增区间为 . 6．函数1()1f x x =+的单调减区间为 . 7．函数14)(2+-=mx x x f 在]2,(--∞上递减，在),2[+∞-上递增，则实数m ＝ . 二、解答题： 8．证明函数1()1g x x=-在()1,+∞是减函数.9．求证函数1()f x x x=-在()0,+∞是单调增函数.10．若二次函数2()(1)5f x x a x =--+在区间1(,1)2上是增函数，求a 的取值范围【能力提高】 12.讨论函数1()f x x x=+的单调性.函数的单调性（2）课后训练【感受理解】1.已知函数)y f x =（在R 上是增函数，且f (m 2)＞f (-m )，则m 的取值范围是: __________.2.函数()f x =的单调减区间 .3.函数1()1xf x x-=+的单调递减区间 . 4.函数y _____________.【思考应用】5. 若函数2()45f x x mx m =-+-在[2,)-+∞上是增函数，则实数m 的取值范为 .6. 函数)(x f 在),0(+∞上是减函数，那么)1(2+-a a f 与)43(f 的大小关系是 .7. 设)(x f 为定义在R 上的减函数，且0)(>x f ，则下列函数： ①)(23x f y -=；② )(11x f y +=；③ )(2x f y =；④ )(2x f y += 其中为R 上的增函数的序号是 . 8. 函数xx x f 2)(+=在]1,0(上有最 值 . 9.函数1||22+-=x x y 的单调增区间为 . 10. 定义在R 上的偶函数满足：对任意的，有.则A) B) C) D) 11.求证：函数()f x x =在R 上是单调减函数．【能力提高】12.函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞，－3)B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)13.()y f x =是定义在(0,)+∞上增函数,解不等式()[8(2)]f x f x >-.()f x 1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠2121()()0f x f x x x -<-(3)(2)(1)f f f <-<(1)(2)(3)f f f <-<(2)(1)(3)f f f -<<(3)(1)(2)f f f <<-。
函数的单调性的应用
例4：作出函数f(x)= x2 6 x 9 + x2 6 x 9 的图象，并指出函数f(x)的单调区间
分析：作出函数图象，直观地判断函数的单调区间 解： 原函数可化为： -2x f(x)=|x-3|+|x+3|= 6 2x x -3 -3<x<3 x3
Y=-2x 6 y
总结：此函数以下单调规律： 两边为增，中间为减．
－a
０
－a
点拨:含参函数,不能化为基本函数类型，常采用定义 法解题.
例3.已知定义在(0,+)上的函数f(x)满足 : 对x,y (0,+)都有f(xy)=f(x)+f(y), 当x>1时,f(x)>0. 试证明:f(x)在(0,+)上是增函数
a(x+2)-2a+1 2a 1 解： f(x)= a x2 x2 当-a+1>0时 a<1 f(x)在(-2,+)上是减函数 当-a+1<0时 a>1 f(x)在(-,-2)上是增函数
点拨:含参函数,能够化归为常见函数的单调性时,直接 讨论参数．
二．证明：根据函数单调性定义解题．
Y=2x
如图可得：在（-，-3]上为减函数， 在[3，+）上为增函数，
-3 3
x
在[-3，3]上为常函数，不具有单调性
例3：已知f(x)=8+2x-x , 若g ( x) f (2 x )，
2 2
试确定g ( x)的单调区间，及单调性
（重点班、实验班）
解：设u=2-x ,则 y g ( x) f (u ) 8 2u u (u 1) 7
函数的单调性和奇偶性的综合应用
精品资料欢迎下载函数的单调性和奇偶性的综合应用知识要点：对称有点对称和轴对称：O点对称：对称中心O轴对称：数的图像关奇函于原点成点对称，偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形。
1、函数的单调性：应用：若y f ( x) 是增函数， f ( x1 )应用：若y f ( x) 是减函数， f ( x1 )f (x2 )x1x2 f (x2 )x1x2相关练习：若 y f (x) 是R上的减函数，则 f (1) f ( a2 2 a 2 )2、熟悉常见的函数的单调性：y kx b 、y k、 y ax2bx cb在 (x相关练习：若 f ( x) ax ，g ( x),0) 上都是减函数，则 f (x)ax 2bx 在 (0,) 上是函x数（增、减）3、函数的奇偶性：定义域关于原点对称， f (x) f (x) f (x) 是偶函数定义域关于原点对称， f (x) f ( x) f ( x) 是奇函数（当然，对于一般的函数，都没有恰好f ( x) f ( x) ，所以大部分函数都不具有奇偶性）相关练习：（ 1）已知函数f ( x)ax2bx4a1是定义在 [a 1,2a] 上的奇函数，且 f (1) 5 ，求 a 、bb(2) 若f ( x)(K2) x2( K1)x 3 是偶函数，则 f ( x) 的递减区间是。
(3) 若函数 f ( x) 是定义在R 上的奇函数，则 f (0)。
(4)函数 y f (x) 的奇偶性如下：画出函数在另一半区间的大致图像奇函数偶函数奇函数奇函数y y y yo x o x o x o x精品资料欢迎下载例题分析：4、单调性和奇偶性的综合应用【类型 1转换区间】相关练习：（ 1）根据函数的图像说明，若偶函数y f ( x) 在 (,0) 上是减函数，则 f ( x) 在 (0,) 上是函数（增、减）(2)已知 f ( x) 为奇函数，当x0时， f ( x)(1x) x ，则当x0 时， f (x)=(3)R 上的偶函数在(0,) 上是减函数， f (3) f ( a2a 1 )4(4) 设f (x)为定义在（(,) 上的偶函数，且 f (x) 在 [0,) 为增函数，则 f (2) 、 f () 、f (3) 的大小顺序是（）A. f () f (3) f (2)B. f () f (2) f (3)C. f () f (3) f (2)D. f () f (2) f (3)(5)如果奇函数 f (x) 在区间 [3,7] 上的最小值是5，那么 f ( x) 在区间 [ 7, 3]上 ()A.最小值是 5B. 最小值是－５C. 最大值是－５D. 最大值是 5(6)如果偶函数 f (x) 在 [3,7] 上是增函数，且最小值是－５那么 f (x) 在 [ 7,3]上是( )A.增函数且最小值为－５B. 增函数且最大值为－５C.减函数且最小值为－５D. 减函数且最大值为－５(7)已知函数 f ( x) 是定义在R 上的偶函数，且在(, 0)上 f (x) 是单调增函数，那么当x10 ， x20 且x1x20 时，有（）A. f (x1) f ( x2 )B. f ( x1 ) f (x2 )C. f ( x1) f ( x2 )D. 不确定(8)如果 f ( x) 是奇函数，而且在开区间( ,0) 上是增函数，又 f (2)0 ，那么 x f ( x) 0的解是（）A. 2 x 0 或 0 x2B. 2 x 0 或 x 2C. x 2 或 0 x 2D. x 3 或 x 3(9)已知函数f ( x)为偶函数，xR ，当 x0 时，f ( x)单调递增，对于x1，x2，有| x1|| x2|，则（）A. f ( x1)f ( x2)B.f ( x1) f ( x2)C.f ( x1)f ( x2 ) D. | f ( x1 ) | | f ( x2 ) |精品资料 欢迎下载5、单调性和奇偶性的综合应用【类型 2利用单调性解不等式】(1 相关练习： (1)已知y f ( x)是( 3,3)上的减函数，解不等式f (x 3) f (2 x)1 ,)2(0, 2 (2) 定义在( 1,1)上的奇函数f ( x)是减函数，且满足条件 f (1 a) f (1 2a) 0)，求 a的取值范围。
浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用
浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用1. 引言1.1 引言在高中数学学习中，函数单调性是一个重要的概念。
它不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在解决实际问题中也具有很大的应用价值。
本文将从函数单调性的概念入手，探讨在高中数学中函数单调性的学习与运用。
函数单调性是指函数在定义域上的增减性质。
在高中数学课程中，我们学习了很多种函数，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
了解这些函数的单调性，可以帮助我们更好地理解函数的性质，进而解决各种数学问题。
在学习函数单调性时，我们需要掌握如何判断一个函数的单调性。
一般来说，可以通过求导数或者利用函数的增减性质来确定一个函数的单调性。
我们还需要注意函数在定义域上的特殊点，如奇点和间断点，这些点可能影响函数的单调性。
函数单调性在高中数学中有着广泛的应用。
比如在求函数的最值、解不等式、证明不等式等问题中，函数的单调性往往能起到关键作用。
在物理、化学等自然科学中，函数的单调性也常常被用来描述物理规律和现象。
2. 正文2.1 函数单调性的概念函数单调性是函数在定义域内具有特定的增减规律的性质。
简单来说，就是函数随着自变量的增大而增大，或随着自变量的减小而减小。
在数学中，函数单调性是对函数变化规律的一种重要描述，它能够帮助我们更好地理解和分析函数的性质。
具体来说，函数的单调性分为严格单调和非严格单调两种。
严格单调是指函数在整个定义域内严格递增或严格递减，即任意两个不同的自变量对应的函数值之间的大小关系是确定的。
非严格单调则是指函数在整个定义域内递增或递减，但可以存在相等的情况。
函数单调性的概念为我们提供了研究函数的新视角，通过研究函数的单调性，我们可以得到函数图像的大致形状和变化规律。
这对于解题和分析问题都有重要意义。
在高中数学中，函数单调性是一个重要的概念，通过对函数单调性的学习和理解，我们可以更深入地掌握函数的性质和特点。
函数单调性是数学中一个基础而重要的概念，它在高中数学中具有重要的教学意义和应用价值。
函数单调性的应用教案
函数单调性的应用教案第一章：函数单调性的基本概念1.1 函数单调性的定义引入函数单调性的概念，解释函数单调递增和单调递减的定义。
通过图形和实例来说明函数单调性的直观含义。
1.2 函数单调性的性质探讨函数单调性的几个基本性质，如传递性、复合函数的单调性等。
通过例题和练习题来巩固对函数单调性性质的理解。
第二章：利用函数单调性解不等式2.1 单调性在不等式解中的应用解释如何利用函数单调性来解决不等式问题，如求解函数的定义域、值域等。
提供实例和练习题，让学生熟悉运用函数单调性解不等式的方法。
2.2 单调性在函数最值问题中的应用介绍如何利用函数单调性来求解函数的最值问题，包括最大值和最小值。
通过具体例题和练习题，展示函数单调性在解决最值问题中的应用。
第三章：函数单调性与方程的解3.1 单调性在函数零点问题中的应用讲解如何利用函数单调性来寻找函数的零点，即解方程f(x)=0。
提供实例和练习题，让学生掌握利用函数单调性求解零点的方法。
3.2 单调性在函数不等式问题中的应用介绍如何利用函数单调性来解决函数不等式问题，如求解f(x)>0或f(x)<0的解集。
通过具体例题和练习题，展示函数单调性在解决不等式问题中的应用。
第四章：函数单调性与数列极限4.1 单调性在数列极限问题中的应用解释如何利用函数单调性来求解数列极限问题，特别是涉及到函数极限的情况。
提供实例和练习题，让学生熟悉运用函数单调性解决数列极限问题的方法。
4.2 单调性在函数极限问题中的应用讲解如何利用函数单调性来求解函数极限问题，即当x趋向于某个值时，函数的极限值。
通过具体例题和练习题，展示函数单调性在解决函数极限问题中的应用。
第五章：函数单调性与微分中值定理5.1 单调性在拉格朗日中值定理中的应用介绍如何利用函数单调性来证明拉格朗日中值定理，即导数存在性定理。
提供实例和练习题，让学生掌握利用函数单调性证明拉格朗日中值定理的方法。
5.2 单调性在柯西中值定理中的应用讲解如何利用函数单调性来证明柯西中值定理，即两个函数的导数之间的关系。
函数单调性在高考中的应用归纳总结教师版
函数单调性在高考中的应用归纳总结教师版
一、在高考中函数的单调性的应用
1、函数的单调性应用于判断方程或不等式的解的存在性。
当函数
f(x)在[a,b]上单调递增或单调递减时，有f(a)≤f(x)≤f(b)，可以得出
f(x)=0的解x在[a,b]上存在。
2、用函数的单调性来判断函数极值问题。
一个函数在[a,b]上单调递
增或单调递减，f(a)≤f(x)≤f(b)。
在[a,b]上存在极值点，即函数取得
最大值或最小值的点。
3、利用函数的单调性求解一元函数最值问题。
若函数f(x)在(a,b)
上连续且单调递增或单调递减，则函数f(x)在(a,b)上一定存在最大值和
最小值，且最大值或最小值一定取得上界或下界处。
4、用函数的单调性解答解析几何问题。
在求解解析几何中，有时要
利用函数f(x)的单调性来解决函数的最值问题。
比如求椭圆上的最小值
问题，由函数的单调性可以知道它的最小值是函数的上界或下界处取得的。
二、单调性在高考中的易错点
1、在判断函数的单调性时，不能仅依靠函数图像进行判断。
例如，
函数f(x)的图像如果在其中一区间内存在拐点，则该区间内函数一定是
不单调的；反之，函数图像上如果没有拐点，函数仍然可能是不单调的。
2、当函数中存在分段函数时，需要对每一段函数都进行单调性的判断。
函数单调性在生活中实际应用
函数单调性在生活中实际应用函数单调性在我们生活中有着广泛的应用，其中最常见的就是经济学中的供求关系。
例如在市场中，当价格上涨时，需求量会逐渐减少，反之价格下跌时，需求量会增加，这就是函数单调性的应用。
另外，函数单调性还可以应用在企业的生产管理方面，可以帮助企业确定生产规模，从而获取较大的经济效益，同时也可以有效的防止企业的生产成本过高。
此外，函数单调性也可以应用在社会管理方面，可以帮助政府有效的进行政策调整，以达到更好的社会效果。
例如，政府可以采取政策措施来控制房价，房价过高时政府可以采取控制房价的措施，从而降低房价；反之，如果房价过低时，政府可以采取政策手段来提高房价。
此外，函数单调性还可以应用在财政管理方面，可以帮助政府有效的调整财政支出和税率，从而获取较大的财政收入。
函数单调性作为一种运用自然现象的规律，其应用非常广泛，可以方便政府和企业更好的进行规划，实现更高效的管理。
此外，函数单调性也广泛应用在数学中，可以用来寻找极值点。
函数单调性可以帮助我们确定函数在某一点是最大值还是最小值，从而可以有效的计算函数的最大和最小值从而获得更好的结果。
因此函数单调性在解决数学难题方面也发挥着重要的作用。
另外，函数单调性在经济学的投资分析中也有重要作用，它可以帮助投资者对风险有效的进行评估和预测，以便于投资者采取更加谨慎的投资行为，从而获得最优投资收益。
总之，函数单调性在日常生活、社会管理、财政管理、数学以及投资分析中都发挥重要作用，它不仅可以帮助政府和企业更好的制定规划，同时也可以帮助投资者对风险有效的进行评估和预测。
此外，函数单调性在建筑设计、农业生产以及工程管理等领域也有着重要的作用。
在建筑设计中，函数单调性可以帮助建筑设计师确定合理的建筑尺寸，从而实现安全可靠的建筑设计。
在农业生产中，函数单调性可以帮助农民们确定合理的种植模式，从而最大化农作物的产量。
在工程管理中，函数单调性可以帮助工程管理者有效的完成复杂的工程，从而节约时间和金钱。
函数的基本性质单调性的应用(分类总结超级全面)
函数的基本性质-单调性的应用知识点一：函数单调性的应用技巧1.比较函数值的大小利用函数的单调性及自变量的大小可以比较两个函数值的大小.2.利用单调性求参数的取值范围这是函数单调性的逆向思维问题，将参数看成已知数，建立相关大小关系进行比较.3.利用单调性解不等式利用函数的单调性，可以将函数值之间的不等关系与自变量间的不等关系进行等价转化.例 1.已知函数c bx x x f ++=2)(，对任意实数x 都有)2()2(x f x f -=+，试比较)1(f ，)2(f ，)4(f .例2.若函数y ＝－2x 2＋mx －3在[－1，＋∞)上为减函数，则m 的取值范围是________．例3.已知函数)(x f y =是实数R 上的增函数，且)65()32(+>-x f x f ，求实数x 的取值范围.巩固练习：1.已知函数f (x )＝2x 2－ax －1，在[－1,2]上单调，则实数a 的取值范围是( )A ．[－4,8]B ．(－∞，－4]C ．[8，＋∞]D ．(－∞，－4]∪[8，＋∞)2.函数=)(x f ⎩⎨⎧-∈+∈+]1,1[,7],2,1(,62x x x x 则f (x )的最大值、最小值是( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对3.已知函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+0,4,0,422x x x x x x 若)2(2a f -)(a f >，求实数a 的取值范围.知识点二：分段函数的单调性例4.若函数f (x )＝⎩⎨⎧≤-+->-+-0,)2(,0,1)12(2x x b x x b x b 在R 上为增函数，求实数b 的取值范围．巩固练习： 1.已知⎩⎨⎧<+≥-=0,1,0,)1()(2x x x x x f 则)(x f 的单调区间是 .知识点三：复合函数的单调性判断复合函数))((x g f y =单调性的步骤：（1）确定函数定义域；（2）将复合函数分解成)(u f y =，)(x g u =（3）分别确定这两个函数的单调性；（4）利用“同增异减”的规律确定复合函数))((x g f y =的单调性.例5.求函数228)(x x x f --=的单调区间.巩固练习：1.求函数43)(2-+=x x x f 的单调区间.知识点四：抽象函数的单调性1.解决此类问题通常有两种方法.一种是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论；另一种是赋值法，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.2.一般地，若)(x f 满足：)()()(y f x f y x f +=+，则)()(2211x x x f x f +-==)()(221x f x x f +-；若)()()(y f x f y x f +=⋅，则)()()()(2212211x f x x f x x x f x f +=⋅=.例6.已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞，且)()()(y f x f y x f +=⋅，当1>x 时，)(x f 0>.(1)求)1(f ；(2)证明)(x f 在定义域上是增函数.巩固练习：1.已知函数)(x f ，对任意的b a ,R ∈，都有1)()()(-+=+b f a f b a f ，并且当0>x 时，)(x f 1>.（1）求证：)(x f 是R 上的增函数；（2）若5)4(=f ，解不等式3)23(2<--m m f .课后练习1.若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( )A ．2B ．－2C ．2或－2D ．02.函数f (x )＝12-x ＋x 的值域是( )A ．[12，＋∞)B ．(－∞，12] C ．(0，＋∞) D ．[1，＋∞)3.若0<t ≤14，则1t－t 的最小值是( ) A ．－2 B ．154 C ．2 D ．0 4.若函数⎩⎨⎧<+≥-+-=1,1,1,22)(2x ax x a ax x x f 是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,0)B ．[－2,0)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0)5.定义在R 上的函数f (x )对任意两个不等的实数x 1，x 2，总有0)()(2121>--x x x f x f成立，且f(－3)＝a，f(－1)＝b，则f(x)在[－3，－1]上的最大值是________．6.若函数2axxf的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值范=x-)1(2)+(2+围是________．7.已知)(xf-<-，求x的取值fx(x1(f是定义在区间[－1,1]上的增函数，且))2范围．8.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)函数y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，求实数a的取值范围．。
函数的单调性在解题中的应用
函数的单调性在解题中的应用
虽然单调性函数还不太为人所熟悉，但它是一个非常有用的数学概念，在许多解决数学问题的过程中可以帮助我们更有效地求解。
本文旨在阐明单调性函数在解决数学问题中的应用，以期让读者能够更好地洞察单调性函数在解题中的重要性。
单调性函数定义为增函数或减函数，即当输入变量改变时，函数值不变或变化方向一致。
在数学中，这意味着函数y=f(x)中，当x变化时，对应的y值只能增长或减小，无法出现先增后减或者先减后增的现象。
单调性函数的定义和概念如此明朗，其应用便自显。
在解决数学问题中，我们可以根据单调性函数进行分析和结论。
一个典型的案例就是使用单调性函数帮助我们求解算术积分问题。
对于这类问题，我们先要求出原函数的单调性，然后根据增减性来确定积分区间，从而使用分形积分法将原问题分解成几次易于计算的小问题。
此外，单调性函数在解决数学优化问题中也得到了广泛的应用，而且这是单调性函数的一个重要的用处，例如最大化和最小化问题。
某个函数F(x)的单调性决定了它的最值取自哪个区域，从而可以确定求解最大值或最小值问题时所需计算的范围。
典型地，在优化问题中，单调性函数能够帮助我们减少计算量，从而使问题更为容易求解。
在现实应用中，我们也可以根据单调性函数来求解复杂的工程计算。
基于单调性函数，我们可以构造更有效的工程计算模型，在求解多变量的离散工程问题中用得最多，例如分布式系统的资源优化分配、水影响区的评估，以及高速公路网的规划与建设等等。
总而言之，单调性函数在数学的求解中发挥着巨大的作用，尤其在复杂的数学优化和统计问题中，如果我们能够洞察到单调性函数，给予合理的应用，就能够帮助我们以更快的速度得出正确的答案。
函数单调性的应用
2
a≥（2－a）×1＋1，
7. 已知函数 () = ቐ
( − 2), ≥ 2,
满足对任意的实数 1 ≠ 2 ，都有
− 1, < 2
13
(−∞, ]
8
(1 )−(2 )
< 0 成立，则实数 的取值范围为_______________.
1
( )
2
1 −2
2
1
，＋∞.
2
a（x＋2）＋1－2a
1－2a
方法二：f(x)＝
＝a＋
，∵f(x)在(－2，＋∞)上单调递
x＋2
x＋2
1
增，∴1－2a<0，∴a>2.
(1，2)
4. 已知函数 y＝loga(2－ax)在[0，
1]上是减函数，
则实数 a 的取值范围是________．
【解析】 设 u＝2－ax，∵a>0，且 a≠1，
2 − > 0,
[解析] 由已知可得 ൞ + 3 > 0,
解得 −3 < < −1 或 > 3 ，所以实数 的
2 − > + 3,
取值范围为 (−3, −1) ∪ (3, +∞) .
1
2. 已知函数 () 为 上的减函数，则满足 (| |) < (1) 的实数 的取值范围
− 2 < 0,
1 2
[解析] 由题意知函数 () 是 上的减函数，于是有 ൝
( − 2) × 2 ≤ ( ) − 1,
2
由此解得 ≤
13
13
，即实数 的取值范围是 (−∞, ] .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅谈函数单调性的应用
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
浅谈函数单调性的应用
贵州省习水县第一中学袁嗣林
摘要：函数的单调性是函数的一条重要性质，本文概括、总结了五种方法判断函数的
单调性. 同时对每种方法的特点及适用范围、注意事项采用举例的方式作了具体的介绍，这有助于读者更好地理解和掌握这些方法，从而能轻松的解决有关函数单调性的问题.
关键词：函数单调性；判断方法；应用
On the application of monotone functions
Abstract：Monotonicity of the function is an important function of the nature of this sum,
summed up the five methods to determine the function of the monotony, while the characteristics of each method and application, note the use made by way of example the specific introduction, which help readers better understand and master these methods, which can easily solve the problem of monotone functions。
Ked Word：Monotonic function; method to judge; application
函数的单调性是函数的一条重要性质，反映了函数值的变化规律. 在高考中历考弥新，考查的深度远远高于课本。
在讨论函数单调性时必须在其定义域内进行，因此要研究函数的单调性就必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集. 接下来我就来谈谈函数单调性的应用。
一、函数单调性的判别
单调性是函数最重要的性质之一．导数的引入虽然给单调性的研究带来了极大的方便，
但是它并不能解决与单凋性有关的所有问题．本文结合近几年的试题谈谈判断单调性的几种
方法。
．
1.定义法（自变量增大函数值变小为减函数；反之，为增函数）
例1 判断函数的单调性
解因为==，显然当为正数且逐渐增加时, 也逐渐增加，则其倒数逐渐减小，即函数值逐渐减小，所以函数在区间(0，+∞)上为减函数．
2.函数变换法
由上面的定义法我们不难得到单调函数运算后的一些结论：在同一个区间上，若f(x)、g(x)都是单凋增(减)函数，则f(x)+g(x)也是单凋增(减)函数；若f(x)单凋递增，g(x)单凋递减，则f(x)-g(x)单调递增；若f(x)单凋递减，g(x)单凋递增，则f(x)-g(x )单调递减.
例2 判断函数的单调性.
解设，显然当x>0时，函数g(x)单凋递增，而函数f(x)单调递减．由上面的运算法则知函数f(X)在区间(0，+∞)上为增函数.
3.复合函数法
设函数f(x)由两个函数g(x)与h(X)复合而成，则g(x)与h(x)单调性相同时，f(x)单调递增；g( x)与h(x)单调性不同时，f(x)单调递减，即通常所说的同增异减．多层复合，依此类推．
例3已知函数y=f(x)的图象与函数的图象关于直线对称，记，若y=g(x)在区间[ 1/2，2]上是增函数，则实数a的取值范围( )
(A)（０，+∞） (B)（0，1)U(1，2) (C) (D)
解因为，
所以-1
取特殊值
令则. 当，此时递增，又函数g （t）的图象开口向上，对称轴为，所以二次函数g（t）递增，故函数g（x）递增，满足题意.排除A.同理取特殊值，排除B，C可知选D.
4．作差比较法
根据定义证明函数单调性是判断函数单调性的最重要的方法。
其步骤为：(1)设值：即在单调区间上设出两个不相等的自变量、，且< ；(2)比较：即比较)与大小，通常采用作差或作商的方法；(3)判断：即根据定义结合前两个步骤得出结论．例4 (由2001年新课程卷题改编) 设，求证f(x)在(O，+∞)上是增函数.
证明设0<< ，则- =+-（+）
=（-）+（-）
=（）
由> 0，> 0，-> 0，+ 0，10，1-0
所以-< 0，即)<.从而，f(x)在(0，+∞)上是增函数.
5．等价变形法
根据单调性定义，易知增函数的等价形式是或（-）
[ ] 0有时直接用定义判断函数单凋性困难较大，采用等价形式则能帮我们化难为易.
例5 设f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且对任意的a、b∈[-1，1]，当“a+b≠0时，都有，试判断单调性.
解设，∈[-1，1]，且<，则-∈ [-1，1]，
依题意有=
故）在 [-1，1]上是增函数.
二、单调性在解题中的应用
单调性有广泛的应用，主要用于如下几个方面：
1.比较两个数的大小
例6比较和的大小
分析从题设的两个对数，便联想起y= 在在(O，+∞)上是单调增函数，因此．只要比较两个真数的大小，原题就可获解.
解，解得
当时，有0<<．因函数y= 在上单调递增，故，
.
2.证明与正整数有关的命题
例7 已知，且，，n 2 求证.
证明构造函数，因为x>-1且x≠ 0，
故-==
所以，
所以是单调递减函数.
3.解方程
例8 解方程
解
在它们共同的定义域里，为单调递增函数，为单调递减函数．
又显然=，
所以方程=仅有一解．X=1．故原方程的解是x=1．
4.证明不等式
在证明不等式中，通过联想构造函数，将常量作为变量的瞬时状态，置于构造函数的单调区间内，利用其单调性证明一些不等式，十分便捷．
例9 已知a、b、c∈R ，|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证ab+bc+ca+1>0
解构造函数f(x )=(b+c)x +bc+1，只需证 x∈(-1，1)时f(x)>0恒成立．当b+c=时， =1一b2 >O恒成立．
当b+c≠ 0时，一次函数= (b+c)x+bc+1，在x∈(-1，1)上是单调的．
因为=bc+b+c+1= (b+1)(c+1)>0，，f(-1)= bc-b-c+1=(b-1)(c-1)>0，
所以=(b+c)x+bc+1在 x∈(-1，1)上恒大于零.
综上，当|a|<1时，(b+c)a+bc+1>0恒成立，从而得证．
例10 已知f(x)为R上的减函数,则满足的实数x的取值范围( )
A B C D
解析借助单调性将不等式转换为自变量应满足的关系式.很容易可以做出选C.
5.求参数的取值范围
例11已知f(x)是奇函数，在实数集R上又是单调递减函数，且时
求t的取值范围.
分析：因已知函数f（x）是奇函数将已知不等式移项后可得
根据是减函数脱去，然后由式子特征构造相应单调函数.
解<设x=sin0<x<1 化简：
-3tx<-1 解得t>.
6.已知函数在某区间上单调求参数的取值范围此类问题的本质就是转化为不等式恒成立问题
例12 已知a为实数若在和上都是递增的，求a的取值范围．
解在和上非负.
的图象为开口向上且过点(O，-4)的抛物线，由条件得
即
所以a的取值范围为[-2，2].。