函数单调性的应用

浅谈函数单调性的应用

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浅谈函数单调性的应用

贵州省习水县第一中学袁嗣林

摘要：函数的单调性是函数的一条重要性质，本文概括、总结了五种方法判断函数的

单调性. 同时对每种方法的特点及适用范围、注意事项采用举例的方式作了具体的介绍，这有助于读者更好地理解和掌握这些方法，从而能轻松的解决有关函数单调性的问题.

关键词：函数单调性；判断方法；应用

On the application of monotone functions

Abstract：Monotonicity of the function is an important function of the nature of this sum,

summed up the five methods to determine the function of the monotony, while the characteristics of each method and application, note the use made by way of example the specific introduction, which help readers better understand and master these methods, which can easily solve the problem of monotone functions。

Ked Word：Monotonic function; method to judge; application

函数的单调性是函数的一条重要性质，反映了函数值的变化规律. 在高考中历考弥新，考查的深度远远高于课本。

在讨论函数单调性时必须在其定义域内进行，因此要研究函数的单调性就必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集. 接下来我就来谈谈函数单调性的应用。

一、函数单调性的判别

单调性是函数最重要的性质之一．导数的引入虽然给单调性的研究带来了极大的方便，

但是它并不能解决与单凋性有关的所有问题．本文结合近几年的试题谈谈判断单调性的几种

方法。．

1.定义法（自变量增大函数值变小为减函数；反之，为增函数）

例1 判断函数的单调性

解因为==，显然当为正数且逐渐增加时, 也逐渐增加，则其倒数逐渐减小，即函数值逐渐减小，所以函数在区间(0，+∞)上为减函数．

2.函数变换法

由上面的定义法我们不难得到单调函数运算后的一些结论：在同一个区间上，若f(x)、g(x)都是单凋增(减)函数，则f(x)+g(x)也是单凋增(减)函数；若f(x)单凋递增，g(x)单凋递减，则f(x)-g(x)单调递增；若f(x)单凋递减，g(x)单凋递增，则f(x)-g(x )单调递减.

例2 判断函数的单调性.

解设，显然当x>0时，函数g(x)单凋递增，而函数f(x)单调递减．由上面的运算法则知函数f(X)在区间(0，+∞)上为增函数.

3.复合函数法

设函数f(x)由两个函数g(x)与h(X)复合而成，则g(x)与h(x)单调性相同时，f(x)单调递增；g( x)与h(x)单调性不同时，f(x)单调递减，即通常所说的同增异减．多层复合，依此类推．

例3已知函数y=f(x)的图象与函数的图象关于直线对称，记，若y=g(x)在区间[ 1/2，2]上是增函数，则实数a的取值范围( )

(A)（０，+∞） (B)（0，1)U(1，2) (C) (D)

解因为，

所以-1

取特殊值

令则. 当，此时递增，又函数g （t）的图象开口向上，对称轴为，所以二次函数g（t）递增，故函数g（x）递增，满足题意.排除A.同理取特殊值，排除B，C可知选D.

4．作差比较法

根据定义证明函数单调性是判断函数单调性的最重要的方法。其步骤为：(1)设值：即在单调区间上设出两个不相等的自变量、，且< ；(2)比较：即比较)与大小，通常采用作差或作商的方法；(3)判断：即根据定义结合前两个步骤得出结论．例4 (由2001年新课程卷题改编) 设，求证f(x)在(O，+∞)上是增函数.

证明设0<< ，则- =+-（+）

=（-）+（-）

=（）

由> 0，> 0，-> 0，+ 0，10，1-0

所以-< 0，即)<.从而，f(x)在(0，+∞)上是增函数.

5．等价变形法

根据单调性定义，易知增函数的等价形式是或（-）

[ ] 0有时直接用定义判断函数单凋性困难较大，采用等价形式则能帮我们化难为易.

例5 设f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且对任意的a、b∈[-1，1]，当“a+b≠0时，都有，试判断单调性.

解设，∈[-1，1]，且<，则-∈ [-1，1]，

依题意有=

故）在 [-1，1]上是增函数.

二、单调性在解题中的应用

单调性有广泛的应用，主要用于如下几个方面：

1.比较两个数的大小

例6比较和的大小

分析从题设的两个对数，便联想起y= 在在(O，+∞)上是单调增函数，因此．只要比较两个真数的大小，原题就可获解.

解，解得

当时，有0<<．因函数y= 在上单调递增，故，

.

2.证明与正整数有关的命题

例7 已知，且，，n 2 求证.

证明构造函数，因为x>-1且x≠ 0，

故-==

所以，

所以是单调递减函数.

3.解方程

例8 解方程

解

在它们共同的定义域里，为单调递增函数，为单调递减函数．