母函数

第二章 母函数及其应用

问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法是比较麻烦的（参见表2.0.1）。

新方法：母函数方法，问题将显得容易多了。其次，在求解递推关系的解、整数分拆以及证明组合恒等式时，母函数方法是一种非常重要的手段。

表2.0.1 条件

组合方案数

排列方案数

对应的集合

相异元素，不重复

()!

!!r n r n C r

n -⋅=

()!

!

r n n P r

n -=

{}n e e e S ,,, 21=

相异元素，可重复

r

r n C 1-+

r

n

S ＝{,,21e e ⋅∞⋅∞

n

e ⋅∞, }

不尽相异元素（有限重复）

特例

r ＝n

1 !

!!!m n n n n 21

S ＝{11e n ⋅，22e n ⋅，

…，m m e n ⋅}, n 1＋n 2＋…＋n m ＝n

n k ≣1, (k ＝1,2,…, m )

r ＝1

m

m

所有n k ≣r r

r m C 1-+

r

m

至少有一个n k 满足1≢n k < r

母函数方法的基本思想是把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，从而把离散数列间的结合关系转化为多项式或幂级数之间的运算。

2.1 母 函 数

（一）母函数

（1）定义

定义2.1.1 对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞

=≡0

n n

n

x

a

x G 为该数列的（普通型）母函

数，简称普母函数或母函数。

（2）例

例2.1.1 有限数列C (n ,r )，r ＝0,1,2, …,n 的普母函数是()n

x +1。

例2.1.2 无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是

+++++=-n

x

x x x

2

111

（3）说明

● n a 可以为有限个或无限个； ● 数列{}n a 与母函数一一对应，即给定数列便得知它的母函数；反之，求得母函数则数

列也随之而定；

例如，无限数列{0，1，1，…，1，…}的普母函数是 +++++n x x x 20＝

x

x

-1

● 这里将母函数只看作一个形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”，而且始终认为它是可“逐项微分”和“逐项积分”的。

（4）常用母函数 {a k }，k ＝0,1, …

G (x ) {a k }，k ＝0,1, …

G (x )

a k ＝1 x

-11

a k ＝a k

ax

-11 a k ＝k ()

2

1x x

- a k ＝k ＋1 ()2

11

x -

a k ＝k(k ＋1) ()

3

12x x

-

a k ＝k 2

()

()3

11x x x -+ a k ＝k(k ＋1)(k ＋2) ()

4

x 1x

6-

a k ＝⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛k

α

，α任意 ()αx +1

a 0 ＝0，a k ＝

k

a

k

-ln (1- a x )

a k ＝!

k k

α

，α任意 x

e

α a k ＝

()()!

21k k

-

x cos

a k ＝

()()!

121+-k

k

x x

sin

1

a k ＝()1

21+-k k

x x

arctan 1

a k ＝⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛+k k n ()()11+--n x

（二）组合问题

（1）组合的母函数

定理2.1.1 组合的母函数：设{}m m e n e n e n S ⋅⋅⋅=,,,2211 ,且n 1＋ n 2＋…＋ n m ＝n ，则S 的r 可重组合的母函数为

()x G ＝∏∑==⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛m

i n j j

i x 10＝∑=n r r r x a 0 (2.1.1) 其中，r 可重组合数为r

x 之系数r a ，r ＝0,1,2, …,n .

定理2.1.1的最大优点在于：

● 将无重组合与重复组合统一起来处理；

● 使处理可重组合的枚举问题变得非常简单。 （2）特例

推论1 {}n e e e S ,,, 21=，则r 无重组合的母函数为

G (x ) ＝ (1＋x )n (2.1.2) 组合数为r

x 之系数C (n ,r )。

推论2 {}n e e e S ⋅∞⋅∞⋅∞=,,, 21，则r 无限(无限制)可重组合的母函数为