信号与系统课件 第三章6-8

D ( p ) = 0 , 求出特征根 λ i
r zi = ∑ C i e
全响应
i =1
N
λi t
冲激响应 零状态响应
H ( s ) ↔ h( t )
rzs = e( t ) ∗ h( t )
书P84题2.27、 2.28
书P84 2.27题 有一线性系统当激励为ε(t) 时全响应为 当激励为δ(t)时的全响应为 r2 (t ) = δ (t ) （1） 系统的零输入响应；
−∞
f (t − t0 )e − jω t dx
x = t − t0
FT [ f (t − t0 )] = ∫ =e
− jω t0 ∞ −∞
f ( x)e − jω ( x +t0 ) dx
∫
∞
−∞
f ( x)e − jω x dx = e − jω t0 F ( jω )
2 延时特性：
f (t ) ↔ F ( jω )
•
∞ Aτ sin(nΩτ / 2) f (t ) = (1 + 2∑ cos nΩt ) T nΩτ / 2 n =1
y
τ
A
τ
2
x T
Aτ f (t ) = T
sin(nΩτ / 2) jnΩt ∑∞ nΩτ / 2 e n =＝
∞
An
2Aτ T
单边幅度频谱
2π
An = An e
nΩ
•
jϕ n
2 Aτ ⎛ nΩτ ⎞ & An = Sa ⎜ ⎟ T ⎝ 2 ⎠
↔ πδ (ω ) +
−j 1 ε ( t ) ↔ π ⋅ δ (ω ) + 2
1
π
ω
e
jω
5 、阶跃函数ε(t)
1 ε ( t ) ↔ π ⋅ δ (ω ) + jω
ε (t ) ↔ πδ (ω ) +
1
ω
e
−j
π
2
6：复指数函数
e
jω c t
jω c t
e
jωc t
↔ 2πδ (ω − ωc )
rzs(t)= h (t)* e(t) =e-t ε(t)-te-t ε(t)
r (t)=rzi(t)+rzs(t)= 2e-t ε(t)-te-t ε(t)
书P84 2.28题
设系统方程为 r" (t ) + 5 r ' (t ) + 6 r (t ) = e(t )
e(t ) = e − t ε (t )
a a2 + ω 2
+∞
⎧0 a → 0⎨ ⎩∞
ω≠0 ω=0
πδ (ω )
+∞ 1 ω a ω +∞ d ( ) = lim arctg ( ) −∞ lim ∫ 2 dω = lim ∫ 2 2 a →0 a →0 a →0 a a − ∞ 1 + (ω / a ) −∞ a + ω
=π
阶跃信号( t ) ε ε(t)
t
1 0
ω
0
ω
2：单边指数函数
f(t)=e-at ε(t) (a>0)
− jω t
F ( jω ) = ∫0 f ( t )e
幅频 F ( jω) =
1
∞
1 dt = α + jω
相频
(α > 0)
1
α +ω
2
2
ω ϕ (ω ) = −arctg ( ) α
ϕ (ω )
0
α
1 2α
ω
−
3α
π
2
0
ω
T • F ( jω ) = lim An T→∞ 2
F ( jω ) → 幅 度 频 谱 (偶 ）
ϕ (ω）→ 相 位 频 谱 （ 奇 ）
= lim
π An
Ω
•
T →∞ Ω→0
π An = dω
•
密度频谱
f (t ) =
π∫
1
+∞
0
F ( jω ) cos (ωt + ϕ(ω ) ) d ω
cos(ωt+ϕ(ω))
f ( t − t 0 ) ↔ F ( jω )e − jωt
0
一个信号延时，幅度频谱不变，只是相频增加一个线性因子。 例1：
A
τ
2
τ
t
f ( t ) = A[ε ( t + ) − ε ( t − )] 2 2
F ( jω ) = A( e
jω
τ
τ
τ
2
−e
− jω
τ
2
1 )(πδ (ω ) + ) jω
r1 (t ) = 2 e − t ε (t )
（2) 求当激励为e-tε(t)时的全响应。 解：设此系统的阶跃响应为rε(t)，h(t)= rε'(t) ε(t) δ(t) r1(t)=rzi(t)+ rε(t) r2(t)=rzi(t)+h(t) =rzi(t)+ rε'(t) r'(t)- r (t)= e(t) h1(t)=etε(t)
∞ − j (ω −ω c ) t
Fe
{ }= ∫
jω c t
−1
∞
−∞
e
e
− jω t
dt = ∫ e
−∞
dt
冲激函数： δ(t)
1 F {1} = 2π
1
∫
∞
−∞
e jω t dω = δ (t )
∫
∞
−∞
e-jω t dω = 2πδ ( −t ) = 2πδ (t )
F e
{
jω c t
}= ∫
FS
t
T
−Ω
0 Ω
2Ω ω
FT
F ( jω )
(Ω)
−2Ω −Ω
0
Ω
2Ω
ω
周期矩形脉冲的FS和FT
f 0 (t )
Aτ
FT
t
− 2π
⎛ ωτ ⎞ F0 ( jω ) = Aτ Sa ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝
2π
A
−
τ
2
τ
2
τ
0
τ
ω
周 期 重 复 f (t ) A
τ
−T
& = 2 F ( jω) An 0 T
复习
三角函数形式 An A0 A1 A2
+∞ 1 f (t ) = A0 + ∑ An cos ( nΩt + ϕn ) 2 n =1
ϕn
… nΩ
0
0
Ω 2Ω 3Ω 4Ω
•
Ω 2Ω 3Ω 4Ω
… nΩ
An = An e jϕn
指数形式
1 f (t ) = 2
n = −∞
∑
∞
•
A ne
jn Ω t
2 t2 An = ∫ f (t )e − jnΩt dt T t1
sin(ω c t ) ↔ jπ ⋅ [δ (ω + ω c ) − δ (ω − ω c )]
1 +∞ ⎡ & fT (t ) = ∑ ⎣ An ⋅ e j ( nΩt ) ⎤ ⎦ 2 n =−∞
& = 2 An T
∫
T −T
2 2
f ( t ).e − jn Ω t d t
e
jω c t
↔ 2π ⋅ δ (ω − ω c )
jω0t
] = ∫ f (t )e
−∞
∞
jω0t − jω t
e
dt = F ( jω − jω0 )
FF(jw-w ) （jω ) 0
1 线性特性： 2 延时特性： 证明:
∞
−∞
f (t )e− jω t dt
a ⋅ f 1 ( t ) + b ⋅ f 2 ( t ) ↔ a ⋅ F1 ( jω ) + b ⋅ F2 ( jω )
f ( t − t 0 ) ↔ F ( jω )e − jωt
∞
0
FT [ f (t − t0 ) ] = ∫
fT (t ) ↔ FT ( jω ) = π
FT
n =−∞
∑
+∞
& ⎡ Anδ (ω − nΩ) ⎤ ⎣ ⎦
周期单位冲激序列
δ T (t ) =
n = −∞
∑
∞
1 ∞ & jnΩ t δ (t − nT ) = ∑ An .e 2 n = −∞
T 2
& = 2 An T
∫
T 2
−
δ T ( t ).e
− jn Ω t
2 dt = T
1 ∞ jnΩt δ T (t ) = ∑ e T n =−∞
e jωct ↔ 2π ⋅ δ (ω − ωc )
∞
F ( jω ) = FT [δT (t )] = Ω ∑ δ (ω − nΩ)
n =−∞
(1)
δ(t)
0
1
F0 ( jω )
t
0
ω
1 T
δ T (t )
π
−π
4π τ
5 、阶跃函数ε(t)
注意：不满足绝对可积条件
f(t)=e-at ε(t) (a>0)
1 F ( jω ) = a + jω
1 a jω = 2 − 2 2 a + jω a + ω a +ω2
ε ( t ) = lim e − at ε ( t )
a →0
a→0
1 1 = lim ? jω a → 0 a + jω 1 = πδ (ω ) + jω
书P84 2.28题
r''(t)+5r'(t)+6r(t)=e(t)
e(t)= e-t ε(t)
h(t)= (e-2t -e-3t ) ε(t) rzs(t)= h (t)* e(t) =(0.5e-t -e-2t +0.5e-3t ) ε(t) r(t)= Ce-t ε(t) C=0.5
rzi(t)= (e-2t -0.5e-3t ) ε(t) r(t)= 0.5e-t ε(t) r(0)=0.5 r'(0)=-0.5
FS
t
T
2 Aτ nΩτ Sa( ) ω =nΩ = T 2
Aτ T
1 & An 2
2
ω
F ( jω )
FT
⎛ nΩτ ⎞ F ( jω) = AτΩ ∑ Sa ⎜ ⎟δ (ω − nΩ) ⎝ 2 ⎠ n =−∞
∞
AτΩ
ω
§3.8 傅里叶变换的基本性质
F ( jω ) = FT [ f (t )] = ∫
C e − t ε (t ) 全响应为
1、系统的初始状态 r (0)、r' (0) 2、系数C的大小。 解： r''(t)+5r'(t)+6r(t)=e(t) e(t)= e-t ε(t)
1 1 1 H ( p) = 2 = − p +5p + 6 p+2 p+3
h(t)= (e-2t -e-3t ) ε(t) rzs(t)= h (t)* e(t) =(0.5e-t -e-2t +0.5e-3t ) ε(t) r(t)= Ce-t ε(t) C=0.5
1
π
F ( jω ) d ω
§3.6 常用信号的傅里叶变换
1：冲激函数
F ( jω ) = ∫− ∞ δ ( t )e − jω t dt ＝1
∞
FT
−1
1 [ δ (ω ) ] = 2π
∫
∞ −∞
δ (ω ) e
jω t
1 dω = 2π
1
f (t ) = 1
δ (t )
0
F ( jω )
t
0
F ( jω ) (2π )
rε'(t)- rε(t)= r2(t)- r1(t)
书P84 2.27题
设此系统的阶跃响应为rε(t)，h(t)= rε'(t) r'(t)- r (t)= e(t) h1(t)=etε(t)
rε'(t)- rε(t)= r2(t)- r1(t)
rε(t)= h1(t)* e(t) =etε(t)*[δ(t)- e-t ε(t)] = e-t ε(t) (1) rzi(t)= r1(t)- rε(t) = e-t ε(t) (2) e(t)= e-t ε(t) h(t)= rε'(t) =δ(t)- e-t ε(t)
第二章主要内容及习题 一、求零输入响应（算子方程、转移算子） 书P78题2.4、 2.5、 2.6 二、卷积积分（奇异函数、图解、卷积性质、零 状态响应、冲击响应） 书P79题2.7、 2.8、 2.9、 2.10、 2.16、 2.17、 2.18、 2.20、 2.21、 2.22
三、求全响应 零输入响应
ωτ
2
)
1 5、阶跃信号： ε (t ) ↔ π ⋅ δ (ω ) + jω
6、直流：
1 ↔ 2π ⋅ δ (ω )
e jω ct ↔ 2π ⋅ δ (ω − ω c )
§3.7 周期信号的傅里叶变换
1 ↔ 2 π ⋅ δ (ω )
e jω ct ↔ 2π ⋅ δ (ω − ω c )
cos(ω c t ) ↔ π ⋅ [δ (ω + ω c ) + δ (ω − ω c )]
∞
−∞
e
− j (ω −ω c ) t
dt = 2πδ (ω − ω c )
常用信号的F.T 1、冲激函数： δ(t)
−αt
1 α>0 α>0
1 2、单边指数信号： e ε (t ) ↔ α + jω
3、双边指数信号： e
−α t
2α ↔ 2 α +ω2
4、门函数： AGτ (t ) ↔ Aτ ⋅ Sa(
3、双边指数信号
f (t ) = e
F ( jω ) =
−α t
(−∞ < t < +∞)
a>0
2α α 2 +ω2
ϕ (ω ) = 0
F ( jω )
f(t)
0
t
0
ω
4 门函数 AG τ ( t ) A
τ
2
τ
AGτ ( t ) ↔ Aτ ⋅ Sa (
t
ωτ
2
)
Aτ
F ( jω )
2π
6π
τ
τ
ϕ (ω )
A
τ
t
= 2 Aπ j sin(
ωτ
2
)δ (ω) + 2 A
sin(
ωτ
2
)
ω
Aτ S a (
ωτ
2
)e
− jω
τ
2
= Aτ S a (
ωτ
2
)
三、频移（调制）特性
FT
[f
( t )]= F ( jω )
0
则： FT [ f ( t ) e jω t ] = F ( j ω − j ω 0 )
FT[ f (t )e
0 −π
2Aτ T
τ
4π
•
τ
Aτ T
An Ω
·
An 2
0 0
2π 4π
2π
τ
4π
τ
nΩ
τwk.baidu.com
τ
nΩ
双边频谱
傅里叶变换： 傅里叶反变换：
F ( j ω ) = ∫ − ∞ f ( t ) e − j ω t dt
1 f (t ) = 2π
jϕ ( ω )
∞
∫
∞ −∞
F ( j ω )e
jω t
dω
F ( jω ) = F ( jω ) e