实变函数论课后答案第一章2

实变函数论课后答案第一章2（p20-21）

第一章第二节

1. 证明平面上坐标为有理数的点构成一可数集合。

证明：将全体有理数排成一列 12,n r r r ，则平面上的有理点

)({}1

,;,j

j Q Q r s r Q s Q A ∞=⨯=

∈∈= ，其中)({},;1,2,j i j

A r r i n == 为可列集，故作

为可数个j A 的并1

j j Q Q A ∞

=⨯= 为可数集。（第20页定理5）。

2. 以直线上的互不相交的开区间为元素的任意集合至多只有可数多个元素. 证明：设

这里Λ为某指标集。

则我们可在任意I α∈A 这一开区间中选定一个有理数r α，与之对应，从而给出一个对应，

A Q I r αα

→→

由于I α互不相交，当αβαβ∈Λ≠，，时，显然r r αβ≠，故上述对应是11-的. 故A 与有理数集的一个子集对等，所以A 的势最多与Q 的势相同，不会超过Q 的势， 故A 要么为有限，要么为可数集.

3. 所有系数为有理数的多项式组成一可数集合. 证明：我们称系数为有理的多项式为有理多项式 任取非负整数n ，全体n 阶有理多项式的集合的势是0ℵ. 事实上，∀ n 阶有理数

()()120

,,,,n

i n i i n i X x a x a Q a a a ==∈∑ 令与之对应，这一对应显然是11-的，即

0,m m

m Q Q Q Q ∀⨯⨯=ℵ

的势是，这是因为由第一题：已知2Q Q Q =⨯是可数集，利用

归纳法，设k

k

Q Q Q Q =⨯⨯

是可数集，，

待证1

k k Q Q Q +=⨯是可数集，

.

将Q 中的点排成一列12,,m γγγ ，将k

Q 中的点排成一列12,,m l l l ， 则1

1

k k

j j Q

Q Q A ∞

+==⨯= ，其中(){}

,,,1,2,3,j i j A l i j γ== 显然为可数集，故

1

1k j j Q

A ∞

+== 也是可数集，这表明0,n n ∀≥阶有理多项式全体是一可数集，而全体有理多

项式{}0

n n ∞= 全体阶有理多项式作为可数集的并也是可数集.

4. 如果()f x 是(),-∞∞上的单调函数，则()f x 的不连续点最多有可数多个.

证明：我们在数学分析中知道(),-∞∞上的单调函数的不连续点，只能是跳跃间断点，其任取(),-∞∞上的单调函数()f x ，设其可能的间断点为{};,A x αα=∈ΛΛ 为某指标集，在

x A α∀∈，令()()lim ,lim ,x x

x x

f x y f x y αααα+

-

+-→→==则,y y αα+-=故A α∀∈，有一1R 上的

开区间()

,y y αα-+

与之对应.

不妨设x x αβ>，设0δ∃>使x x αβδδ->+，()()

,,,x x x y x x ααββδδ∀∈-∀∈+， 有()()f x f y ≥，故()()lim lim x x

x x

f x y y f x αααα-

+

-

+

→→=≥=，

所以()()

,,y y y y αααβ-+-+

=∅ ..

故()f x 的间断点的集合A 与1

R 上的一族互不相交的开区间11-对应，而后者的势为0ℵ，

故()f x 的间断点至多为可数多个.

5.设A 是一无穷集合，证明必有A A *

⊂，使~A A *

，且A A *

-可数.

证明：若A 为可数集，则不妨设{};1,2,i A a i n == ，令{}2;1,2,i A a i n *

==

，则 ~A A *，且{}21,1,2,,i A A a i n *+-== .

显然仍为可数集，故此时结论成立.

若A 为无穷集，且不是可数集，则由P19定理1，A 中包含一个可数子集B ，令A A B *

=-

，则由于A 是无穷集，且不是可数集，A B -是无穷集. 由P21定理7和B 为可数集知：.A A B A **

= 证毕

6. 若A 为一可数集合，则A 的所有有限子集构成的集合也是可数集.

证明：由第一，第三题的证明已知,m

m

m N Q Q Q Q ∀∈⨯⨯⨯=

（Q 为有理数集）.由于A

是可数集，故m 个由全体A 中的一个元素组成的集合{}{}1;A a a A N =∈ ，1

A 是可数集.

由全体A 中的两个元素组成的集合{}{}221

2

1

2

,;,A a a a a

A N =

∈ ，2A 是可数集

若{}{}1

2

,,,;,1,2,m m

i

A a a a a A i n =

∈= ，

记A 中的m 个元素组成的子集全体，则m

m

m A N N N N ⨯⨯⨯=

故是可数集.

显然A 的所有有限子集构成的集合可表示为1

m m A ∞

= ，m A 为可数集，故1

m m A ∞

= 作为可数个可

数集的并也是可数集.

注意：A 的全体子集构成的集合不是可数集.

7. 若A 是有非蜕化的（即左，右端点不相等的）开区间组成的不可数无穷集合，则有0δ>，使A 中无穷多个区间的长度大于δ.

证明：设Λ为一指标集，{}

;,A I I ααα=∈Λ为非蜕化的开区间， 记I α的长度为I α.

若本题的结论不成立，则n N ∀∈，只有有限个12,,n m I I I ∈Λ ，使1,I n

α>

{}

12,,n n m A I I I = 记，由于A 中的区间都是非蜕化的，,0I A I αα∀∈>， {}1;0n n A A I I αα∞

===>

由于n A 是有限集，故作为可数个可数集的并，A 也是可数集，这与A 是不可数无穷集矛盾. 故0,δ∃>，使A 中有无穷多个区间的长度大于0δ>. 事实上，A 中有不可数无穷多个区间的长度大于δ.

8. 如果空间中的长方形(){}1

21212,,;,,I x y z a

x a b y b c z c =

<<<<<<，中的

121212,,,,,a a b b c c ()121212,,a a b b c c <<<都是有理数，则称I 为有理长方形，证明全体有

理长方形构成一可数集合.

证明：由前面题3，6中已知m

m

Q Q Q Q =⨯⨯⨯

是可数集（Q 为有理数组成的集合）

设{};A I I =为有理长方形，任取(){}1

21212,,;,,I x y z a

x a b y b c z c A =

<<<<<<∈，

记之为()1212126

,,,,,121212,,,,,,a a b b c c I a a b b c c Q ∈. 与之对应，由于两有理长方形1

21212

1

2

1

2

1

2

,,,,,,,,,,,a a

b b

c c a a b b c c I I 相等

112211221122,,,,,a a a a b b b b c c c c ⇔======，故上述对应是单射， 故A 与6

Q 这一可数集的一个子集 Q

11-对应.