上海交通大学传热学传热学第5章

x 与 l 相当，即： x ~ l ~ 1 u沿边界层厚度由0到u:
u，v，t，p，x，y ，t， ，，， ，cp
0 y y ~
u ~ u ~ 1
v u u 由连续性方程： ~ ~1 y x l
第五章 对流传热的理论基础

v ~
8
§ 5-3 边界层型对流传热问题的数学描写
离开前缘x处的速度边界层厚度
cf
w
1 2 u 2

0.664 Re x
范宁局部摩擦系数
Pr1 3 t
速度边界层与热边界层厚度之比
第五章 对流传热的理论基础 13
§5-4 流体外掠平板传热层流分析解及比拟理论
2、特征数方程
局部表面传热系数：
hx 0.332 hx x
u x a
以流体外掠等温平板的湍流换热为例。 湍流边界层动量和能量方程为
u u 2u u v ( t ) 2 x y y t t 2t u v (a at ) 2 x y y
第五章 对流传热的理论基础
湍流动量扩散率
湍流热扩散率
18
§5-4 流体外掠平板传热层流分析解及比拟理论
u x



a
注意：特征尺度为 当地坐标 x 定性温度（p212）
普朗特数
第五章 对流传热的理论基础
15
§5-4 流体外掠平板传热层流分析解及比拟理论
3、普朗特数的物理意义
与 t 之间的关系
对于外掠平板的层流流动: u const,

u u 2u 动量方程： u v 2 x y y t t 2t 能量方程： u v a 2 x y y
4、比拟理论 引入下列无量纲量： t tw v u * x * y * * v u x y t tw u u l l * * 2 * u u 1 u 则有 * * u v ( t ) * * *2 x y u l y
2 1 * * u v (a at ) 2 * * x y u l y *
外掠平板传热层流换热计算要点
计算时，注意五点：
a Pr （p213）；
b
hx 与 hm Nu x 与 Nu ， m
两对变量的差别；
c x 与 l 的选取或计算 ；
d
Rec 5 105
e 定性温度： t t t w 2
第五章 对流传热的理论基础
17
§5-4 流体外掠平板传热层流分析解及比拟理论
特点： （1）边界层厚度很薄 （2）边界层内梯度很大 （3）流场分为两个区
——边界层概念的基本思想
第五章 对流传热的理论基础 6
§ 5-3 边界层型对流传热问题的数学描写
三、热边界层——结构和特点
（1）湍流边界层贴壁处的 温度梯度明显大于层流？
T T y y w ,t w, L
四、边界层换热微分方程组
u v 0 x y (a)
1 1

u u p 2u 2u （u v ) ( 2 2 ) x y x x y
(b)
1 1 1 2 1 1 （1 ） 1 （ 2 ） 2 1 1 v v p 2v 2v （u v ) ( 2 2 ) x y y x y
而
类似地：
y *
y* 0
t (t w t ) y

l
y 0


hxl

Nu x l


Nu x
cf 2
Re x
t hx t w t y w, x
(Rex 107 )
这就是有名的雷诺比拟，它成立 的前提是Pr=1
2、特征数方程
Nu x
2 13 0.332 Re1 Pr x
12 x 13
特征数方程
Nul 0.664Re Pr
或准则方程
Leabharlann Baidu
一定要注意上面准则方程的适用条件：
外掠等温平板、层流、无内热源
式中： Nu x
Re x Pr
hx x

努塞尔(Nusselt)数 雷诺(Reynolds)数
21
实验测定平板上湍流边界层阻力系数为：
15 c f 0.0592Re x
路德维希·普朗特 （Ludwig Prandtl， 1876-－1953）德国 力学家，现代流体力 学之父，近代力学奠 基人之一。
5
第五章 对流传热的理论基础
§ 5-3 边界层型对流传热问题的数学描写
二、速度边界层——结构和特点
结构：边界层 = 层流边界层+过渡区+湍流边界层
临界雷诺数Rec
粘性底层（层流底层）
2 2t t t t t c p u x v y 2 2 y x
第五章 对流传热的理论基础
u v 0 x y
2
2
可求得速度场 (u,v)和温度 场(t)以及压 力场(p), 既 适用于层流， 也适用于紊流
4、比拟理论
• 比拟理论的基本思想：当流体中的微团从一个位置脉动到另一个位置时将
•
产生两个作用: (1)动量交换和附加的切应力；（2）附加的热量交换； 比拟理论的基本思想：既然湍流中的附加切应力和热流密度都是由于流体微团的 脉动所致，所以湍流中的热量传递与流动阻力之间一定存在内在的联系。比拟理 论就是试图通过较易测定的阻力系数来获得相应的Nu
(c)
1 （1

1
2 ） （ 2 第五章 对流传热的理论基础1
） 2
9
§ 5-3 边界层型对流传热问题的数学描写
四、边界层换热微分方程组 p ~ y
p dp x dx
p ~1 x
u u dp 2u （u v ) 2 x y dx y
第五章 对流传热的理论基础
3
0.03 0.025
§ 5-3 边界层型对流传热问题的数学描写
边界层概念：速度边界层和温度边界层
一、边界层——提出和判断标准
YC
0.02
0.015 0.01 0.005 0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
XC
第五章 对流传热的理论基础 4
普朗特在边界层理论、风洞实验技术、机翼理论、紊流 理论等方面都作出了重要的贡献。 1906年建造了德国第一个风洞，与他的学生Meyer一起 研究了膨胀波现象（普朗特－梅耶流动），并首次提出 超声速喷管设计方法，直到今天，所有超声速风洞和火 箭喷管的设计仍然采用普朗特的方法。 除了在流体力学 中的研究工作，还培养了很多著名科学家，其中包括冯. 卡门、梅耶等著名流体力学家，对我国流体力学研究做 出奠基工作的陆士嘉教授也曾是普朗特的学生。（冯.卡 门的学生：钱学森、范绪箕、庄逢甘等） 普朗特在固体力学方面也有不少贡献。他的博士论文探 讨了狭长矩形截面梁的侧向稳定性。1903年提出了柱体 扭转问题的薄膜比拟法 。T.von卡门在他指导下完成的 博士论文是关于柱体塑性区的屈曲问题。关于超声速流 动的完整理论最后由普朗特的学生西奥多.冯.卡门完成。
致，因此，可以假定：
t
at
Prt 1
当 Pr = 1时，则 u * 与 应该有完全相同的解，此时：
u * y *
y * 0
y *
y * 0
* * 2 * 2 u u 1 u 1 * * * * u v ( t ) u v (a at ) 2 2 * * * * * x y u l x y u l y y *
y* 0 : y l:
*
第五章 对流传热的理论基础
* *
u* 0, v* 0, 0 u 1, v v u , 1
20
u * y *
y * 0
u y
l u u y y 0
l l Re w cf u u 2 y 0
此时动量方程与能量方程的形式完全一致:
dp 0 dx
表明：此情况下动量传递与热量传递规律相似 特别地：对于 = a 的流体（Pr=1），速度场与无量纲温度场 在形式上完全相似，这是Pr的另一层物理意义：表示流动边界 层和温度边界层的相对厚度
第五章 对流传热的理论基础 16
§5-4 流体外掠平板传热层流分析解及比拟理论
边界条件为：
y* 0 : y* l :
u* 0, v* 0, 0 u* 1, v* v u , 1
19 第五章 对流传热的理论基础
§5-4 流体外掠平板传热层流分析解及比拟理论
4、比拟理论
雷诺认为：由于湍流切应力 t 和湍流热流密度qt 均由脉动所
故：湍流换热比层流换热强！
（2） 与 t 的关系： 不一定相等
第五章 对流传热的理论基础 7
§ 5-3 边界层型对流传热问题的数学描写
四、边界层换热微分方程组
边界层概念的引入 + 数量级分析 = 简化的换热微分方程组
例：二维、稳态、强制对流
5个基本量的数量级：
主流速度： u ~ 1;
温度： t ~ 1; 壁面特征长度： l ~ 1; 边界层厚度： ~ ; t ~
1
Quick Review：
t hx t w t y w, x
1 L h hx dx L 0

W (m C)
2
第五章 对流传热的理论基础
2
第五章 对流传热问题的数学描写
5-1 对流传热概说 5-2 对流换热问题的数学描写 5-3 边界层型对流传热问题的数学描写 5-4 流体外掠平板传热层流分析解及比拟 理论
Quick Review：
1、对流换热的概念、影响因素、分类 2、对流换热的数学描述
u u u p 2u 2u 4个方程，4个 （ u v ) Fx ( 2 2 ) 未知量 —— x y x x y v v v p v v （ u v ) Fy ( 2 2 ) x y y x y
t t 2t 2t u v a( 2 2 ) x y x y 1 1 1 1 2 1 ） （ 2 2 1 1
(d)
t t 2t u v a 2 x y y
第五章 对流传热的理论基础 10
§ 5-3 边界层型对流传热问题的数学描写
四、边界层换热微分方程组
1、流体外掠平板传热层流分析解
等温平板层流分析解：对于主流场均速 u 、均温 t，并给定恒 定壁温的情况下的流体外掠平板换热，边界条件为
y 0 u 0, v 0, t t w y u u , t t
在层流范围内求解上述边界层方程组可得如下结果：

5.0 x Re x
du dp 若 0，则 0 dx dx
第五章 对流传热的理论基础
由伯努力方程得到
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第五章 对流传热问题的数学描写
5-1 对流传热概说 5-2 对流换热问题的数学描写 5-3 边界层型对流传热问题的数学描写 5-4 流体外掠平板传热层流分析解及比拟 理论
第五章 对流传热的理论基础
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§5-4 流体外掠平板传热层流分析解及比拟理论
u v 0 x y
u u 1 dp 2u u v 2 x y dx y
t t 2t u v a 2 x y y

对流换热边界层微分 方程组：
3个方程、3个未知量：
u、v、t，方程封闭
如果配上相应的定解条 件（p211），则可以求 解
du dp u dx dx
1 x 2 1 3
1 x 2
1 3
注意：层流 特征数方程 或 关联式 准则方程

u 0.332 a
2 13 Nu x 0.332 Re1 Pr x
第五章 对流传热的理论基础
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§5-4 流体外掠平板传热层流分析解及比拟理论