上海九年级数学-圆复习课(一)

圆复习课（一）
【教学目标】
1、详细复习圆的基本性质、垂径定理和直线与圆的位置关系；
2、熟练掌握相关方法，能做到快速解题；
【教学内容】
一、圆的有关概念
（1）圆是到定点的距离等于定长的点的集合，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最大的弦。

（2）圆既是轴对称图形又是中心对称图形。

（3）圆心相等、半径不同的两个圆是同心圆，半径相同、圆心不同的两个圆是等圆。

（4）一个圆的半径长为R，点P到圆心的距离为d，则点P在圆外，R
d>；点P在圆上，
R
d=；点P在圆内，R
d<
≤
0。

（5）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，不在同一直线上的三点确定一个圆。

（6）圆内接三角形与三角形的外接圆：三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点。

★例题分析
例1：P是平面内任意一点，到圆上的最大距离是8，最小距离是2，求该圆的半径。

例2：判断正误：
（1）经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆；
（2）经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆；
（3）经过三个定点，只能作一个圆；
（4）经过三角形三个顶点，只能作一个圆。

（5）任何一个三角形有且仅有一个外接圆；
（6）任何一个四边形都有一个外接圆；
（7）等腰三角形的外心一定在它的内部；
（8）一个圆的内接三角形且只有一个，三角形只有一个外接圆；
（9）等腰三角形的外接圆的圆心必在其顶角的平分线上；
（10）圆内接梯形是等腰三角形，圆内接平行四边形是菱形，圆内接菱形是正方形；
例3：已知一个圆形纸片被撕破了，只剩下一部分，请你用尺规把这个圆补完整。

例4：已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r。

（1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外。

（2）当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外。

C B
★巩固练习
1、在△ABC中，如果O是△ABC的外心，且∠A=73°，那么∠BOC=_______。

2、锐角三角形外心的位置在_______；直角三角形外心的位置在_______；钝角三角形外心的位置在______________。

3、直角三角形两条直角边分别为8cm、15cm，则其外接圆半径长为_______。

4、经过不共线三点A、B、C的圆的圆心是_______，半径是_________________________；可以画_______个圆。

5、经过M、N两点的圆的圆心在，这样的圆有个。

6、圆的半径为R，则其内接直角三角形斜边长为，内接正方形边长为，内接等边三角形边长为。

7、已知⊙O的半径为4cm，A为线段OP的中点，当OP=7cm时，点A与⊙O的位置关系是。

8、直角三角形两条直角边长为a、b，则直角三角形的外接圆半径是_________。

9、已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有个。

10、到定点的距离等于定长的点的轨迹是______________________________________
11、到直线l的距离等于2cm的点的轨迹是____________________________________
12、⊙O的半径r = 10 cm，圆心到直线l的距离OM = 8 cm，在直线l上有一点N，且MN = 6 cm。

则点N与圆O 的位置关系是。

二、圆心角、弧、弦、弦心距
（1）圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，联结圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径。

以圆心为顶点的角叫做圆心角。

（2）圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

圆心到弦的距离叫做弦心距。

能够重合的两条弧称为等弧；半径长相等的两个圆一定能够重合，把半径长相等的两个圆称为等圆。

（3）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等。

（4）圆心角的度数等于它所对应弧的度数。

★例题分析
例1：（1）如果两个圆心角相等，那么（）
A．这两个圆心角所对的弦相等；B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等；D．以上说法都不对
（2）在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（）
A．AB=2CD B．AB>CD C．AB<2CD D．不能确定
（3）⊙O中，如果AB=2AC，那么（）．
A．AB=AC B．AB=AC C．AB<2AC D．AB>2AC
例2：如图，D 、E 分别是⊙O 的半径OA 、OB 上的点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD=CE ，则AC 与BC 弧长的大小关系是 。

例3：∠AOB=90°，C 、D 是AB 三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F ，求证：AE=BF=CD 。

O
B A
C
E
D
F
★巩固练习
1、在ABC ∆中，0
60=∠A ，以BC 为直径的圆O 与AB 、AC 分别相交于点D 、E ，试判断DEO ∆的形状。

E
D
O
A B
C
2、在圆O 中，OA 、OB 是两条互相垂直的半径，M 是弦AB 的中点，过M 作MC 平行于OA 且交⋂
AB 于C ，求MCO ∠的度数。

O
A
B
C M
3、已知点Ｅ是⊙O 上的点，Ｂ、Ｃ分别是劣弧ＡＤ的三等分点，0
46=∠BOC ，则∠AED 的度数为_________
4、请用尺规作图：四等分弧AB （保留痕迹，不写作法）。

5、如图⊙O 是是等腰三角形ABC 的外接圆,AB=AC,D 是弧AC 的中点，已知∠EAD=114O ，求∠CAD 在度数。

6、如图，已知AB 是⊙O 的直径， BC CD DE ==，∠BOC=400，那么∠AOE = 。

O
A
B
C
D
E
7、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B =60°，则∠CAO 的度数是 。

8、⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB=3，则弦AB 所对圆心角的度数为 。

三、垂径定理以及它的推论
（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论：
⎪⎩
⎪
⎨⎧
⇒⎩⎨⎧平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧平分弦得到垂直于弦经过圆心一条直线具有 （2）在同圆或等圆中，如果圆心角、弧、弦、弦心距四组两种有一组量相等，那么它所对应的其余的量也相等。

★例题分析 例1：判断：
（1）垂直于弦的直线必平分这条弦。

（2）平分弦的直径必垂直于这条弦。

（3）一个圆的圆心必在一条弦的垂直平分线上。

（4）如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等。

（5）
（6）如图，如果AE=BF ，那么⋂
⋂
=BD AC 。

F E O
A
B
D
C
（7）圆O 与圆'O 是等圆，'//OO AD 则AB=CD 。

例2：计算。

（1）如图，已知圆O 中，0
60,1,=∠=⊥DOB ED BC OD ，求圆的直径长和弦BC 的长。

E
O
A
C
D
（2）已知AB 、CD 是⊙O 中互相垂直的弦，并且AB 把CD 分成3cm 和7cm 的两部分，则两条弦和圆心的距离分别为 cm 。

（3）已知⊙O 的半径为10cm ，弦MN ∥EF ，且MN=12cm ，EF=16cm ，则弦MN 和EF 之间的距离为 。

（4）已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为。

（5）在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中点的距离是。

例3：应用。

1、在1300多年前，我国隋朝建造了赵州石拱桥，它的桥拱是圆弧形，跨度AB（即弧所对的弦长）为37.4m，拱高CD（即弧的中点到弦的距离）为7.2m，求桥拱所在圆的半径。

R D B
A
O
C
例4：综合应用
1、在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，其他两边分别为6和8。

现要建造一个内接于三角形ABC的矩形水池DEFN其中，DE在AB上，如图所示的设计方案是使AC=8，BC=6。

（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？
（3）实际施工时，发现AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树。

A
C
N F
EM
2、如图，直角梯形ABCD 中，∠A=∠B=90
，AB = 7，BC －AD = 1。

以CD 为直径的圆
与AB 有两个不同的交点E ，F ，且AE = 1。

问线段AB 上是否存在点P ，使得以P 、A 、D 为顶点的三角形与以P ，B ，C 为顶点的三角形相似？若不存在，说明理由；若存在，这样的P 点有几个？并求AP 的长。

C
O
D
A
B
E
F
★巩固练习
1、过⊙O 内一点M 的最长的弦长为4 cm ，最短的弦长为2 cm ，则OM 的长等于 。

2、如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD=10cm ，AP ：PB=1：5，那么⊙O 的半径等于 。

3、如果⊙O 中弦AB 与直径CD 垂直，垂足为E ，AE=4，CE=2，那么⊙O 的半径等于 。

4、如图所示，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，且AC=CD ，AB 的弦心距等于CD 的一半。

则这两个同心圆的大小圆的半径之比 。

5、如图，用一块直径为a 的圆桌布平铺在对角线长为a 的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为 。

第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
6、如图，已知AB 为圆O 的弦（非直径），E 为AB 的中点，EO 的延长线交圆于点C ，
CD AB ∥，且交AO 的延长线于点D ．:EO OC 1:2=，4CD =，求圆O 的半径。

7、某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面。

若这个输水管道有水部分的水面宽
16cm AB =，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径。

8、已知圆O 的半径为10，弦AB=16，P 是弦AB 上的一个动点，则OP 的取值范围是 。

9、AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥于点E ，连结OC ，若5OC =，8CD =，则tan COE ∠= 10、如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝22，BD ＝3，则AB 的长为。

四、直线和圆的位置关系 （1）相离、相切、相交：
当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离；
当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。

当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的割线。

（2）如果圆O 的半径长为R ，圆心O 到直线L 的距离为d ，那么直线L 与圆O 相交，R d <；直线L 与圆O 相切，d=R ；直线L 与圆O 相交，R d >；
A
B
C
O
E B
A
（3）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
★例题分析
例1：在ABC ∆中，cm BC C B 6,45,300
==∠=∠，以A 为圆心，当半径为多长时，圆A 与BC 相切？相交？相离？
例2：（1）矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，AE=AD ，以点E 为圆心，EC 长为半径作圆E ，圆E 与AE 交于点F ，连接DF 。

求证：DF 是圆E 的切线。

F
D
A
B
C
E
（2）在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径作圆O ，与BC 交于点E ，过点E 作
AB ED ⊥，垂足为点D 。

求证：DE 为圆O 的切线；
E
O
B
A
D
例3：等边三角形ABC 的边长为36厘米，圆O 的半径为r 厘米，圆心O 从点A 出发，沿着线路AB 、BC 、CA 运动，回到点A 。

圆O 随着点O 的运动而移动。

若r 为3厘米，求圆O 首次与BC 边相切时，AO 的长。

★巩固练习
1、在OAB ∆中，若OA=OB=2，圆O 半径为1，当=∠AOB 时，直线AB 与圆O 相切；当AOB ∠满足 时，直线AB 与圆O 相交；当AOB ∠满足时，直线AB 与圆O 相离。

2、OA 平分BOC ∠，P 是OA 上任一点（O 点除外），如要以P 为圆心的圆与OC 相离，那么圆P 与OB 的位置关系是 。

3、在ABC ∆中，
0030,90=∠=∠A C ，点O 为AB 上的一点，m BO =，⊙O 的半径r 为2
1，当m 取 时，BC 与⊙O 相离，当m 取 时，BC 与⊙O 相切；当m 取 时，直线BC 与⊙O 相交。

4、已知0
30=∠BAC ，点D 是AC 边上的一点，AD=5，则以点D 为圆心，且与射线AB 相交两点的圆半径R 的取值范围 。

5、在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()0,6，半径是5的圆P 与直线y=x 的位置关系是 。

6、在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，以1为半径作圆，下列直线与圆O 有交点的是（ ）。

A 、2+-=x y ；B 、12+=x y ；C 、2=x ；D 、4-=+y x ；
7、平面直角坐标系中，圆M 的圆心坐标为()0,m ，半径是2，如果圆M 与y 轴所在直线相切，则m= ，如果圆M 与y 轴所在直线相交，则m 的取值范围是 。

8、菱形对角线交于O 点，以O 圆心，O 到菱形一边的距离为半径的圆O 与菱形各边的位置关系是 。

9、在ABC Rt ∆中，4,3,900===∠BC AC C ，如果圆C 与斜边AB 有公共点，则圆C 的半径r 的取值范围是 。

10、过正方形ABCD 顶点A 作一条直线，分别交BD 、CD 、BC 的延长线于E 、F 、G 。

求证：（1）DCE DAF ∠=∠；（2）CE 与CGF ∆的外接圆O 相切；
F
E B C A
D G
11、在ABC ∆中，cm AC cm AB 22,4==，若以A 为圆心，2cm 为半径的圆与BC 相切，求BAC ∠。

12、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，过点B 作BE ∥CD ，交AC 的延长线于点E ，连结BC 。

（1）求证：BE 为⊙O 的切线；（2）如果CD=6，tan ∠BCD=12
，求⊙O 的直径。

课后作业：
1、某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽为3米，船舱顶端为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问此货船能否顺利通过这座拱桥？为什么？
2、P 是半径为2cm 的⊙O 内的一点，OP=1cm ，那么过P 点的弦与圆弧组成弓形，其中面积最小的弓形面积为 cm 2。

3、已知一条弧的长是3πcm ，弧的半径是6cm ，则这条弧所对的圆心角是 度。

4、已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 和BC 相交于点P ，那么CD AB
等于 。

5、如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，连结OA 、OC ，⊙O 的半径R=2，sinB=34
，则弦AC 的长为 。

O
C B A
6、AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于E ，如果AB=10,CD=8，那么AE 的长为____
7、如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过弧BC 的中点D 做AC 的垂线交AC 的延 长线于E ，若DE = 2，EC = 1。

则⊙O 的直径是 。

O
C D E
8、已知直线AB 是圆O 的切线，直径CD 为10，则点C 、D 到直线AB 的距离之和为 。

9、AB 为圆O 直径，AD 和过圆上任意一点C 的切线互相垂直，求证：AC 平分DAB ∠ O D
A B
C
10、在圆O 中，AB 为直径，过B 点的切线与AD 的延长线交于点C ，AD=CD ，则=∠ACO sin 。

D C A
O。