天津南开中学2019-2020学年高三年级第一次月考理科试卷
2023-2024学年天津市南开中学高三上学期第一次月考数学试题及答案
南开中学2024届高三第一次月检测数学学科试卷考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.第Ｉ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}2|230A x x x =-->，{}1,2,3,4B =，则()A B ⋂=Rð（）A. {}1,2 B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}42. “sin 0x =”是“cos 1x =”的（ ）A 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()||sin 2f x x x =的部分图象可能是（ ）AB. C. D.4. 下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上单调递减的是（ ）A. 2y = B. sin xy x=C. )lg2y x=- D. e e 2x xy --=5. 计算：0ln 228241.1e log 1lg10ln e log +-+++的值（ ）A. 0B.152C. 2D. 36. 已知1sin 3a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（ ）A. a c b<< B. a b c << C. b a c << D. c a b<<7.π2cos 63αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）..A. 19-B.19C.13D.898. 将函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为()y g x =，有下列命题：①函数()g x 的图象关于直线πx =对称 ②函数()g x 图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称③函数()g x 在π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 ④函数()g x 在[]0,2π上恰有5个极值点其中正确命题个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 49. 设函数ln 2,0()π1sin ,π042x x x f x x x ω⎧+->⎪=⎨⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（ ）A. 131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B. 174⎡⎢⎣C. 49121652⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D. 65121732⎡⎫⎪⎢⎣⎭，第II 卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）10. 已知i 是虚数单位，化简32i12i-+的结果为____________．11.在代数式521x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为_____________．12. 函数()()ππ2sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则π=3f ⎛⎫⎪⎝⎭__________．的的13. 在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60 和30 ，第一排A 点和最后一排E 点的距离为（如图所示），则旗杆的高度为____________米．14. 已知定义在[)0+∞，上的函数()f x ，当[0,2)x ∈时，()()1611f x x =--，且对任意的实数1[2222)n n x +∈--，（*2N n n ∈，≥），都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若函数()()log a g x f x x =-有且仅有五个零点，则a 的取值范围__________.15. 记()ln f x x ax b =++（0a >）在区间[],2t t +（t 为正数）上的最大值为(),t M a b ，若{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=，则实数t 的最大值为__________.三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16. 已知函数()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+-⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值.17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2C π≠，已知cos 2cos cos b c A a B C -=.（1）求角B 的大小；（2）若223125b c ac +=-，求ABC 面积的最大值.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，E 为棱PC 的中点.（1）证明：//BE 平面PAD ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）求点D 到平面PBC 的距离.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，短轴长为.（1）求C 的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM △，求k 的值.20. 已知函数()11lnx aF x x x =--+.（Ⅰ）设函数()()()1h x x F x =-，当2a =时，证明：当1x >时，()0h x >；（Ⅱ）若()0F x >恒成立，求实数a 取值范围；（Ⅲ）若a 使()F x 有两个不同的零点12,x x，证明：21a a x x e e -<-<-.的南开中学2024届高三第一次月检测数学学科试卷考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.第Ｉ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}2|230A x x x =-->，{}1,2,3,4B =，则()A B ⋂=Rð（）A. {}1,2 B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}4【答案】B 【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由2230x x -->，即()()130x x +->，解得3x >或1x <-，所以{}2|230{|1A x x x x x =-->=<-或3}x >，所以{}|13A x x =-≤≤R ð，又{}1,2,3,4B =，所以(){}1,2,3A B ⋂=R ð.故选：B2. “sin 0x =”是“cos 1x =”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分性和必要性的定义结合同角三角函数的关系即可得出结论.【详解】解：因为sin 0x =，根据三角函数的基本关系式，可得cos 1x ==±，反之：若cos 1x =，根据三角函数的基本关系式，可得sin 0x ==，所以“sin 0x =”是“cos 1x =”的必要不充分条件.故选：C.3. 函数()||sin 2f x x x =的部分图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是奇函数，排除B ，再取特殊值验证.【详解】因为()()||sin 2||sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-所以()f x 是奇函数，排除B ，由02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，排除A ，由44f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，排除D ．故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4. 下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上单调递减的是（ ）A. 2y = B. sin x y x=C. )lg2y x=- D. e e 2x xy --=【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性定义、对数函数、指数函数单调性，结合复合函数的单调性依次判断各个选项即可.【详解】A 选项：()()2f x f x -==，不是奇函数，故A 选项错误；B 选项：()()()sin sin sin x x xf x f x x x x---====--，不是奇函数，故B 选项错误；C 选项：因为()f x 的定义域为R ，且()()))()22lg 2lg2lg 414lg10f x f x x x x x -+=++=+-==，∴()f x 是奇函数．设2t x ==因为t =()0,∞+上单调递减，lg y t =在()0,∞+上单调递增，由复合函数单调性知，()f x 在()0,∞+上单调递减，故C 选项正确；D 选项：()11e 2e x xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为1e e ,xxy y ==-在()0,∞+上都单调递增，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，故D 选项错误，故选：C ．5. 计算：0ln 228241.1e log 1lg10ln e log +-+++的值（ ）A. 0B.152C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】根据指数及对数的运算法则计算可得；【详解】0ln 222423151.1e log 1lg10ln e log 812012log 222+-+++=+-+++=.故选：B6. 已知1sin 3a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b<<【答案】A 【解析】【分析】化简得13c =，构造函数()sin ,0,2πf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，通过导数可证得sin ,0,2πx x x ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭，可得a c <，而0.91133b c ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，从而可得答案．【详解】2711lg 912lg 31log 922lg 2723lg 33c ==⨯=⨯=.设()sin ,0,2πf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则有()cos 10f x x '=-<，()f x 单调递减，从而()(0)0f x f <=，所以sin ,0,2πx x x ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭，故11sin 33<，即a c <，而0.91133b c ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，故有a c b <<．故选：A ．7.π2cos63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭，则πsin26α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A.19- B.19C.13D.89【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.π2cos63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭，12sin cos23ααα⎫+-=⎪⎪⎭，1π2cos sin263ααα⎛⎫+=+=⎪⎝⎭.πππsin2cos2626αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππcos2cosπ233αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππcos22sin136αα⎛⎫⎛⎫=-+=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2212139⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭.故选：A8. 将函数()π3sin26f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为()y g x=，有下列命题：①函数()g x的图象关于直线πx=对称②函数()g x的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称③函数()g x在π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增④函数()g x 在[]0,2π上恰有5个极值点其中正确的命题个数为（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象平移变换的特点，利用正弦弦函数的对称性、单调性、最值，结合函数的极值点定义逐项判断即可求解.【详解】函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为()πππ3sin 23sin 2666y g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，对于①，当πx =时，()π3π3sin 2π62g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，不是函数()y g x =的最值，故①错误；对于②，当π12x =时，πππ3sin 2012126g ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②正确；对于③，当π5π,2424x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2,644x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故函数在该区间上单调递增，故③正确；对于④，令(ππ2πZ 62x k k -=+∈，解得()ππZ 23k x k =+∈，当0,1,2,3k =时，π5π4π11π,,,3636x =，在[]0,2π上有4个极值点，故④错误．故选：B.9. 设函数ln 2,0()π1sin ,π042x x x f x x x ω⎧+->⎪=⎨⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（ ）A. 131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B. 172144⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C. 49121652⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D. 65121732⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】C 【解析】【分析】分段函数分段处理，在1x >，01x <<各有1个零点，所以π0x -≤≤有5个零点，利用三角函数求出所有的零点，保证π0x -≤≤之间有5个零点即可.【详解】由题，当1x ≥时，()ln 2f x x x =+-，显然()f x 在()1,+∞上单调递增，且()110f =-<，()22ln 220f =+->，此时()f x 在()1,+∞在有一个零点；当01x <<时，()ln 2f x x x =--，1()10f x x'=-<，所以()f x 在()0,1上单调递减，2211()220e ef =+->，此时()f x 在()0,1上只有一个零点；所有当π0x -≤≤时，()π1sin 42f x x ω⎛⎫+- ⎪⎝⎭=有5个零点，令()0f x =，则π1sin 42x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即ππ2π46x k ω+=+，或π5π2π46x k ω+=+，k ∈Z ，解得π2π12k x ω-+=，或7π2π12k x ω-+=，k ∈Z ，当0k =时，12π7π1212,x x ωω--==；当1k =时，34π7π2π2π1212,x x ωω----==；当2k =时，56π7π4π4π1212,x x ωω----==；由题可得π0x -≤≤区间内的5个零点，即π4π12π7π4π12πωω⎧--⎪≥-⎪⎪⎨⎪--⎪<-⎪⎩，解得54912126ω≤<，即49651212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，.故选：C.【点睛】分段函数的零点问题点睛：根据函数的特点分别考虑函数在每段区间上的单调性，结合零点存在性定理，得到每一段区间上的零点的个数，从而得出函数在定义域内的零点个数.第II 卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）10. 已知i 是虚数单位，化简32i12i-+的结果为____________．【答案】18i 55--【解析】分析】运用复数运算法则计算即可.【【详解】2232i (32i)(12i)36i 2i 4i 38i 418i 12i (12i)(12i)14i 1455-----+--====--++--+.故答案为：18i 55--.11.在代数式521x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为_____________．【答案】-5【解析】【分析】写出二项式定理的通项，化简后，使得x 的指数幂为0，即可求得k 的值.【详解】521x ⎫-⎪⎭的展开式的通项为：()51552215521C C 1rrrr r r r T x x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令5502r -=，解得1r =，所以()11215C 15T +=-=-，521x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为5-.故答案为：-512. 函数()()ππ2sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则π=3f ⎛⎫⎪⎝⎭__________．【解析】【分析】根据函数()f x 的图象结合正弦函数的图象及性质，求得函数的解析式，再代入求值即可.【详解】由函数()f x 的图象可知，35ππ3π41234T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则2π=πT ω=，2ω=.把5π12x =代入()f x ，则5ππ22π122k ϕ⨯+=+，而ππ22ϕ-<<，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以ππππ=2sin 22sin 3333f ⎛⎫⎛⎫⨯-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.13. 在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60 和30 ，第一排A 点和最后一排E 点的距离为（如图所示），则旗杆的高度为____________米．【答案】27【解析】【分析】根据已知可得30ECA ∠= ，在EAC 中由正弦定理可得AC ，再利用t ABC R 中计算可得答案.【详解】由图可得3609012012030∠=---= ECA ，在EAC sin 30= EA，即sin 452sin 30===EA AC ，在t ABC R 中，60CAB ∠= ，可得sin 6027=⨯== BC AC 米.故答案为：27.14. 已知定义在[)0+∞，上的函数()f x ，当[0,2)x ∈时，()()1611f x x =--，且对任意的实数1[2222)n n x +∈--，（*2N n n ∈，≥），都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若函数()()log a g x f x x =-有且仅有五个零点，则a 的取值范围__________.【答案】1410⎛ ⎝【解析】【分析】写出()f x 的解析式并画出()f x 的图象，结合已知条件将问题转化为()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点，结合图象分析即可求得结果.【详解】当[0,2)x ∈，()16(1|1|)f x x =--，当2n =时，[2,6)x ∈，此时1[0,2)2x -∈，则11()(1)16(1|2|)8(1|2|)22222x x xf x f =-=⨯--=--，当3n =时，[6,14)x ∈，此时1[2,6)2x -∈，则1155()(1)8(1||)4(1||)2224242x x x f x f =-=⨯--=--，当4n =时，[14,30)x ∈，此时1[6,14)2x-∈，则111111()(1)4(1||)2(1||)2228484x x x f x f =-=⨯--=--，……因为()()log a g x f x x =-有且仅有5个零点，所以()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点，如图所示，由图可知，当log a y x =经过点(10,4)A 时，两函数图象有4个交点，经过点(22,2)B 时，两函数图象有6个交点，所以当()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点时，则1log 104log 222a aa >⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得1410a <<.故答案为：1410（.15. 记()ln f x x ax b =++（0a >）在区间[],2t t +（t 为正数）上的最大值为(),t M a b ，若{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=，则实数t 的最大值为__________.【答案】14##0.25【解析】【分析】由函数单调性性质及图象变换可画出()f x 的图象，进而可得(,)()t M a b f t ≥，结合已知条件可知只需()ln 3f t a ≥+，即(ln )ln 3t at b a -++≥+，由()(2)f t f t =+可得ln(2)ln 2(1)2t t a t b ++++=-，联立两者进而可求得结果.【详解】设()ln g x x ax b =++，（0a >），定义域为(0,)+∞，由单调性性质可知，()g x 在(0,)+∞上单调递增，当x 趋近于0时，()g x 趋近于-∞；当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于+∞，设0()0g x =，则()g x 的图象如图所示，所以()f x 的图象如图所示，则由图象可知，{}max (),()(2)()(,)max (),(2)(2),()(2)t f t f t f t f x M a b f t f t f t f t f t ≥+⎧==+=⎨+<+⎩，所以(,)()t M a b f t ≥，如图所示，当()(2)f t f t =+时，有(ln )ln(2)(2)t at b t a t b -++=++++，则ln(2)ln 2(1)2t t a t b ++++=-，①又因为{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=，所以()ln 3f t a ≥+，即(ln )ln 3t at b a -++≥+，所以ln ln 3b t at a ≤----，②由①②得ln(2)ln 2(1)ln ln 32t t a t t at a ++++≤-----，整理得ln(2)ln 2ln 3ln 9t t t +≥+=，即29t t +≥，所以14t ≤.故t 的最大值为14.故答案为：14【点睛】恒成立问题解题方法指导：方法1：分离参数法求最值.(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．(2)()a f x ≥恒成立⇔max ()a f x ≥；()a f x ≤恒成立⇔min ()a f x ≤；()a f x ≥能成立⇔min ()a f x ≥；()a f x ≤能成立⇔max ()a f x ≤.方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16. 已知函数()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+-⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值.【答案】（1）πT =，()5ππ122k x k =+∈Z （2）min 1y =，max 2y =.【解析】【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式化简，再根据周期公式、对称轴公式进行求解；（2）由x 的取值范围求出整体角的取值范围，再结合正弦型函数图像及性质得出结果.【小问1详解】()()2πcos 2sin πcos 2f x x x x ⎤⎛⎫=+-+⋅ ⎪⎥⎝⎭⎦)22sin cos 1cos2sin2x x x x x =+⋅=-+sin22sin 23x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故周期为2ππ2T ==，令2π,32x k k ππ-=+∈Z ，解得()5ππ122k x k =+∈Z ，对称轴方程()5ππ122k x k =+∈Z ，【小问2详解】()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵ππ42x ≤≤，∴ππ2π2,363t x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，当π6t =时，即π4x =时，()min π1sin sin 62t ==，此时min 1y =，当π2t =时，即5π12x =时，()max πsin sin 12t ==，此时max 2y =.17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2C π≠，已知cos 2cos cos b c A a B C -=.（1）求角B 的大小；（2）若223125b c ac +=-，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）3π（2【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角或余弦定理化简原式，根据2C π≠，所以cos 0C ≠或2222a b c b+-≠，化简即可得出1cos 2B =，即可得出答案；（1）根据余弦定理结合第一问得出的角B 的大小得出222a c b ac +-=，结合已知223125b c ac +=-，得出224412a ac c ++=，根据基本不等式得出22412422a c ac a c +=-≥⋅⋅即32ac ≤，即可由三角形面积公式得出答案；或将224412a ac c ++=化简为2(2)12a c +=，由三角形面积公式结合基本不等式得出ABC 的面积212sin 222a c S ac B c +⎫===⋅≤=⎪⎭，即可得出答案.【小问1详解】方法一：由cos 2cos cos b c A a B C -=根据正弦定理边化角得：sin sin cos 2sin cos cos B C A A B C -=，即()sin sin cos 2sin cos cos A C C A A B C +-=，所以sin cos 2sin cos cos A C A B C =，因为2C π≠，所以cos 0C ≠，又sin 0A >，所以1cos 2B =，又0πB <<，所以3B π=.方法二：由cos 2cos cos b c A a B C -=根据余弦定理：得2222222cos 22b c a a b c b c a B bc ab+-+--=⋅，即2222222cos 22b c a a b c B b b -++-=⋅，因为2C π≠，所以22202a b c b+-≠，所以1cos 2B =，又0πB <<，得3B π=.小问2详解】方法一：由（1）及余弦定理知2221cos 22a cb B ac +-==，所以222a c b ac +-=，因为223125b c ac +=-，所以()2221235a c c ac ac +---=，化简得224412a ac c ++=，因为0,0a c >>，所以22412422a c ac a c +=-≥⋅⋅，所以32ac ≤，当且仅当2a c ==a c ==时取等号，所以ABC的面积1sin 2S ac B ==≤，所以ABC方法二：由（1）及余弦定理知2221cos 22a cb B ac +-==，所以222a c b ac +-=.因为223125b c ac +=-，所以()2221235a c c ac ac +---=，化简得224412a ac c ++=，即2(2)12a c +=，所以ABC的面积212sin 222a c S ac B c +⎫===⋅≤=⎪⎭，【当且仅当2a c ==a c ==时取等号，所以ABC 18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，E 为棱PC 的中点.（1）证明：//BE 平面PAD ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）求点D 到平面PBC 的距离.【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）以A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行；（2）求出平面PBD 的一个法向量，再由向量法求解；（3）求出平面PBC 的法向量()2111,,n x y z =，再由向量法求解.【小问1详解】解：以点A 为原点，AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()002P ,,，由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ，向量()0,1,1BE = ，()1,0,0AB =，故0BE AB ⋅= ，又AB为平面PAD 的一个法向量，又BE ⊄面PAD ，所以//BE 平面PAD .【小问2详解】向量()1,2,0BD =-，()1,0,2PB =- ，()0,1,1BE = 设(),,n x y z = 为平面PBD 的法向量，则0n BD n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，得()2,1,1n =为平面PBD 的一个法向量，所以cos ,n BE n BE n BE⋅===⋅所以直线BE 与平面PBD【小问3详解】向量()1,2,0BC = ，设平面PBC 的法向量()2111,,n x y z =，220n BC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11112020x y x z +=⎧⎨-=⎩，令11y =-，得()22,1,1n =- 为平面PBC 的一个法向量，则22BD n d n ⋅===.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，短轴长为..（1）求C 的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM △，求k 的值.【答案】（1）22142x y += （2）【解析】【分析】（1）根据题意得出,a b 的值，进而可得结果；（2）设直线l 的方程为()2y k x =+，将其与椭圆方程联立，得出EM 斜率，联立方程组得出M 点的坐标，利用点到直线距离公式式，结合韦达定理以及三角形面积公式将面积表示为关于k 的方程，解出即可得结果.小问1详解】由题意可得2222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，b =，c =∴椭圆C 的方程为22142x y +=.【小问2详解】易知椭圆左顶点()2,0A -，设直线l 的方程为()2y k x =+，则()0,2E k ，()0,2H k -，由()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消y 可得()2222128840k x k x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，∴()()422644841216k k k ∆=--+=，【则有2122812k x x k +=-+，21228412k x x k-=+，∴()2012214212k x x x k =+=-+，()0022212=+=+k y k x k ，∴0012OP y k x k ==-，∴直线EM 的斜率2EM k k =，∴直线EM 的方程为22y kx k =+，直线AH 的方程为()2y k x =-+，∴点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴点M 到直线:20l kx y k -+=的距离d =，∴AB ==∴1||2AP AB ==∴241132212APM k S AP d k =⋅=⨯==+△，解得k =.20. 已知函数()11lnx a F x x x =--+.（Ⅰ）设函数()()()1h x x F x =-，当2a =时，证明：当1x >时，()0h x >；（Ⅱ）若()0F x >恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若a 使()F x 有两个不同的零点12,x x ，证明：21a a x x e e -<-<-.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2a ≤；（Ⅲ）证明见解析.【解析】分析】（Ⅰ）当2a =时对()h x 求导，证明1x >时，()0h x '>即可.（Ⅱ）设函数()()1ln 1a x f x x x -=-+，根据函数的单调性判断ln x 与()11a x x -+的关系，根据()0F x >恒成立，确定a 的取值范围；（Ⅲ）根据函数的单调性求出2121a a t t x x e e --<-<-，得到【21t t -==，证明结论成立即可.【详解】（Ⅰ）()()ln 111x a h x x x x ⎛⎫=--⎪-+⎝⎭当2a =时，()()()21ln 21ln 111x x h x x x x x x -⎛⎫=--=- ⎪-++⎝⎭()()()()()()()()2222221211111114x x x x h x x x x x x x x +---+-'=-==+++，当1x >时，()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上为单调递增函数，因为()10h =，所以()()10h x h >=，（Ⅱ）设函数()()1ln 1a x f x x x -=-+，则()()()222111x a x f x x x +-+'=+，令()()2211g x x a x =+-+，当1a ≤时，当0x >时，()0g x >，当12a <≤时，2480a a ∆=-≤，得()0g x ≥，所以当2a ≤时，()f x 在()0,∞+上为单调递增函数，且()10f =，所以有()101f x x >-，可得()0F x >．当2a >时，有2480a a ∆=->，此时()g x 有两个零点，设为12,t t ，且12t t <.又因为()12210t t a +=->，121t t =，所以1201t t <<<，在()21,t 上，()f x 为单调递减函数，所以此时有()0f x <，即()1ln 1a x x x -<+，得ln 011x a x x -<-+，此时()0F x >不恒成立，综上2a ≤．（Ⅲ）若()F x 有两个不同的零点12, x x ，不妨设12x x <，则12, x x 为()()1ln 1a x f x x x -=-+的两个零点，且11x ≠，21x ≠，由（Ⅱ）知此时2a >，并且()f x 在()10,t ，()2,t +∞为单调递增函数，在()12,t t 上为单调递减函数，且()10f =，所以()10f t >，()20f t <，因为()201a a a f e e -=-<+，()201aa a f e e =>+，1a a e e -<<，且()f x 图象连续不断，所以()11,a x e t -∈，()22,a x t e∈，所以2121a a t t x x e e--<-<-，因为21t t -==综上得:21||a a x x e e -<-<-.【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法（1）分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.（2）数形结合法结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于x 轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.（3）主参换位法把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.。
天津市南开中学高三第一次月考物理试题-word
南开中学2019-2019学年第一次月考一、单项选题1、关于物体做圆周运动的说法正确的是A．匀速圆周运动是匀速运动B．物体在恒力作用下不可能做匀速圆周运动C．向心加速度越大，物体的角速度变化越快D．匀速圆周运动中向心加速度是一恒量2、美国物理学家于2019年在国家实验室观察到了顶夸克。
这是近二十几年粒子物理研究最重要的实验进展之一。
正、反顶夸克之间的强相互作用势能可写为，式中是正、反顶夸克之间的距离，是强相互作用耦合常数，无单位，是与单位制有关的常数，则在国际单位制中常数的单位是（）A．J B．N C． D．J/m3、如图所示，是某同学绘制的沿直线运动的物体的加速度a、速度v、位移s随时间变化的图像，若该物体在t＝0时刻的速度为零，则A、B、C、D四个选项中表示该物体沿单一方向运动的图像是[ ]、A B C D4、一个质点在恒力F作用下，在xOy平面内从O点运动到A点的轨迹如图所示，且在A点时的速度方向与x轴平行，则恒力F的方向可能是（）A．沿+x方向 B．沿-x方向C．沿+y方向D．沿-y方向5、如图4所示，A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A物体以速度v向左运动时，系A、B的绳分别与水平方向成α、β角，此时B物体的速度大小_______，方向_______.6、如图所示，三角形传送带以1m/s的速度逆时针匀速转动，两边的传送带长都是2m，且与水平方向的夹角均为37°，现有两个小物块A.B从传送带顶端都以1m/s的初速度沿传送带下滑，两物块与传送带间的动摩擦因数都是0.5，，sin37°=0.6，cos37°=0.8，下列判断不正确的是A.物体A先到达传动带底端B.物块A.B同时到达传送带底端C.传送带对物块A.B的摩擦力都沿传送带向上D.物块A下滑过程中相对传送带的路程小于物块B下滑过程中相对传送带的位移7、从地面竖直上抛一物体A，同时在离地面某一高度处有一物体B自由下落，两物体在空中同时到达同一高度时速度大小均为v，不计空气阻力，则下列说法正确的是A．A上抛的初速度与B落地时速度大小相等，都是2vB．两物体在空中运动的时间相等C．在两个物体落地之前，在任意相等的时间内两个物体的速度变化量相同D．两物体在空中同时达到的同一高度处一定是B开始下落时高度的中点8、如图所示，一辆小车静止在水平地面上，bc是固定在小车上的水平横杆，物块M穿在杆上，M通过细线悬吊着小物体m，m在小车的水平底板上，小车未动时细线恰好在竖直方向上．现使小车向右运动，全过程中M始终未相对杆bc移动，M、m与小车保持相对静止，已知a1∶a2∶a3∶a4＝1∶2∶4∶8，M受到的摩擦力大小依次为Ff1、Ff2、Ff3、Ff4，则以下结论正确的是()．A．Ff1∶Ff2＝1∶2B．Ff2∶Ff3＝1∶2C．Ff3∶Ff4＝1∶2D．tanα＝2tanθ9、如图所示,光滑斜面体固定在水平面上,倾角为30°,轻弹簧下端固定A物体,A物体质量为m,上表面水平且粗糙,弹簧劲度系数为k,重力加速度为g,初始时A保持静止状态,在A的上表面轻轻放一个与A质量相等的B物体,随后两物体一起运动,则A. 当B放在A上的瞬间,A、B的加速度为B. 当B放在A上的瞬间,A对B的摩擦力为零C. 当B放在A上的瞬间,A对B的支持力大于mgD. A和B一起下滑距离时,A和B的速度达到最大二、多项选择题10、如图所示，固定的斜面上叠放着A、B两木块，木块A与B的接触面是水平的，水平力F作用于木块A，使木块A、B保持静止，且F≠0，则下列描述正确的是（）A．A对B的摩擦力为0B．B一定受到4个力的作用C．斜面对木块B的摩擦力方向可能沿斜面向下D．A、B整体可能受三个力作用11、如图所示，河的宽度为L，河水流速为u，甲、乙两船均以静水中的速度v同时渡河。
2019-2020学年天津一中高三(上)第一次月考数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年天津一中高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）1. 集合A ={x|x 2−x −2≤0}，B ={x|x −1<0}，则A ∪B =( )A. {x|x <1}B. {x|−1≤x <1}C. {x|x ≤2}D. {x|−2≤x <1}2. 定义域为[a,b]的函数y =f(x)图像的两个端点为A 、B ，向量ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，M(x,y)是f(x)图像上任意一点，其中x =λa +(1−λ)b ，若不等式|MN |≤k 恒成立，则称函数f(x)在[a,b]上满足“k 范围线性近似”，其中最小正实数k 称为该函数的线性近似阈值.若函数y =2x 定义在[1,2]上，则该函数的线性近似阈值是( )A. 2−√2B. 3−2√2C. 3+2√2D. 2+√23. 把函数y =sin(x +φ)(0<φ<π)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位长度，所得图象过点(π4,0)，则φ=A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6 4. 设a =sin2，b =log 0.3π，c =40.5，则( )A. b <a <cB. a <b <cC. c <a <bD. b <c <a5. 已知sinα=23,则cos(3π−2α)等于( )A. −√53B. 19 C. −19 D. √536. 设函数y =f(x)是奇函数，若f(−2)+f(−3)−1=f(2)+f(3)+2，则f(2)+f(3)=( )A. 1B. 3C. −1D. −37. 一个边长为6的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒．当无盖方盒的容积V 最大时，x 的值为( )A. 3B. 2C. 1D. 168. 已知函数f(x)={(12)x ,x ≤1−x 2+4x −52,x >1，若函数g(x)=32x −a ，其中a ∈R ，若函数y =f(x)−g(x)恰有3个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1516)B. (1516,1)C. (1,1615)D. (1,54)9. 将函数f (x )=sin (2x +π6)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. 直线x =π2是g(x)的图象的一条对称轴B. g (π6)=√32C. g(x)的周期为2πD. g(x)为奇函数二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）10.若复数1+iz=1−i，则|z|=____．11.已知角α满足tanα−1tanα+1=−13，则sinαcosα=__________．12.设函数f(x)=e x sin x的图像在点(0,0)处的切线与直线x+my+1=0平行，则m=____.13.已知函数f(x)=|lnx|，实数m,n满足0<m<n，且f(m)=f(n)，若f(x)在区间[m2,n]上的最大值是2，则nm的值为__________．14.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则ξ的数学期望Eξ=______ ．15.设函数f(x)=sin2x−√3cosxcos(x+π2)，则函数f(x)在区间[0,π2]上的单调增区间为_________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16.已知tan(π4+α)=3，且α为锐角．(1)求tanα的值；(2)求sin(α+π6)的值．17.设函数f(x)=12ax2−1−lnx，其中a∈R.(1)若a=0，求过点(0,−1)且与曲线y=f(x)相切的直线方程；(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2.①求a的取值范围；②求证：f′(x1)+f′(x2)<0．18. 已知函数f(x)=sinωx +√3cosωx 的最小正周期为π，x ∈R ，ω>0是常数．(1)求ω的值； (2)若f(θ2+π12)=65，θ∈(0,π2)，求sin2θ．19. 已知离心率为√63的椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A,B 两点，|AB |=2√33． (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y =kx +2与椭圆交于C,D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (−1,0)，求k 的值．20. 已知函数f(x)=xlnx ．(1)求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间；(3)若对于任意x ∈[1e ,e]，都有f(x)≤ax −1，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合A ={x|x 2−x −2≤0}={x|−1<x <2}， B ={x|x −1<0}={x|x <1}， ∴A ∪B ={x|x <2}． 故选：C ．先分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∪B ．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析： 【分析】本题考查了对即时定义的理解及重要不等式，属较难题．先阅读理解定义，做出y =2x 在闭区间图像和端点，利用题目中的等式得到M ，N 横坐标相等，从而可以用x 表示|MN |，从而问题转化为求闭区间上的最值问题． 【解答】解：作出函数y =2x 图像，它的图象在[1,2]上的两端点分别为：A (1,2)，B (2,1)， 所以直线AB 的方程为：x +y −3=0， 设M (x,y )是曲线y =2x 上的一点，x ∈[1,2]， 其中x =λ×1+(1−λ)×2，由ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可知A,B,N 三点共线， 所以N 点的坐标满足直线AB 的方程x +y −3=0， 又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)， 则ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ+2(1−λ),2λ+(1−λ))， 所以M,N 两点的横坐标相等.故|MN |=|2x −(3−x )|， 函数y =2x 在[1,2]上满足“k 范围线性近似”， 所以x ∈[1,2]时，|2x −(3−x )|≤k 恒成立， 即：|2x −(3−x )|max ≤k 恒成立，记y=2x −(3−x)，整理得：y=2x+x−3，x∈[1,2]，y=2x +x−3≥2√2x×x−3=2√2−3，当且仅当x=√2时，等号成立，当x=1时，y=21+1−3=0，则x∈[1,2]时，所以2√2−3≤y≤0，所以|2x −(3−x)|max=3−2√2，即：3−2√2≤k所以该函数的线性近似阈值是：3−2√2，故选：B．3.答案：D解析：【分析】本题主要考查了y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．由题意，根据三角函数图像变换规律，可得变换后的图像对应解析式，再由(π4,0)点在函数图像上，求解φ．【解答】解：函数y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得到y=sin(2x+φ)的图象，再将其图象向右平移π6个单位，可得y=sin[2(x−π6)+φ]=sin(2x−π3+φ)的图象，∵所得图象过点(π4,0)，∴2π4−π3+φ=kπ，k∈Z，∵0<φ<π，∴φ=5π6．故选D．4.答案：A解析：【分析】本题考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．容易得出0<sin2<1, log0.3π<0, 40.5>1，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵0<sin2<1，log0.3π<log0.31=0，40.5>40=1，∴b<a<c．故选：A．5.答案：C解析：解：∵sinα=23，∴cos(3π−2α)=cos[2π+(π−2α)]=cos(π−2α)=−cos2α=−(1−2sin2α)=−1+2×49=−19．故选：C．把所求式子中的角3π−2α变形为2π+(π−2α)，利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式化简，将sinα的值代入即可求出值．此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握公式是解本题的关键．6.答案：C解析：∵函数y=f(x)是奇函数，∴f(−2)=−f(2)，f(−3)=−f(3)，∴−f(2)−f(3)−1=f(2)+ f(3)+1，∴f(2)+f(3)=−1．7.答案：C解析：解：设无盖方盒的底面边长为a，则a=6−2x，则无盖方盒的容积为：V(x)=x(6−2x)2．得V′(x)=12x2−48x+36．令V′(x)=12x2−48x+36>0，解得x<1或x>3；令V′(x)=12x2−48x+36<0，解得1<x<3．∵函数V(x)的定义域为x∈(0,3)，∴函数V(x)的单调增区间是：(0,1)；函数V(x)的单调减区间是：(1,3)．令V′(x)=12x2−48x+36=0，得x=1或x=3(舍)．并求得V(1)=16．由V(x)的单调性知，16为V(x)的最大值．故截去的小正方形的边长x为1m时，无盖方盒的容积最大，其最大容积是16m3．故选C．设无盖方盒的底面边长为a，则a=6−2x，则无盖方盒的容积为：V(x)=x(6−2x)2.求导得V′(x)= 12x2−48x+36.再令V′(x)=12x2−48x+36=0，得x=1或x=3(舍).并求得V(1)=16.由V(x)的单调性知，16为V(x)的最大值．由此能求出截去的小正方形的边长x为多少时，无盖方盒的容积最大．本题考查函数模型的选择与应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用导数解题．易错点是理不清数量间的相互关系，不能正确地建立方程．8.答案：B解析： 【分析】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数的交点问题，利用数形结合作出两个函数的图象是解决本题的关键，属于中档题．由y =f(x)−g(x)=0得f(x)=g(x)，作出两个函数f(x)和g(x)的图象，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：由y =f(x)−g(x)=0得f(x)=g(x)，作出两个函数f(x)和g(x)的图象，则A(1,12)，当g(x)经过点A 时，f(x)与g(x)有2个交点，此时g(1)=32−a =12，此时a =1， 当g(x)与f(x)在x >1相切时，此时f(x)与g(x)有2个交点 由−x 2+4x −52=32x −a ， 即x 2−52x +52−a =0，由判别式Δ=0得(52)2−4(52−a)=0， 得a =1516，要使f(x)与g(x)有3个交点，则g(x)位于这两条线之间， 则a 满足a ∈(1516,1)， 故选：B9.答案：A解析： 【分析】本题主要考查了函数的图像和性质，属于中档题．解题的关键首先找到f(x)平移后的表达式y =g(x)，再利用性质判断正确选项即可． 【解答】 解：因为将函数的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，所以，所以y=g(x)的对称轴方程为，即，故A正确；而，故B不正确；因为，故C不正确；因为，所以g(x)为偶函数，故D不正确；故选A．10.答案：1解析：【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：1+iz=1−i，则复数|z|=|1+iz+i |=|(1+i)2(1−i)(1+i)|=1，故答案为1．11.答案：25解析：由tanα−1tanα+1=−13⇒tanα=12，∴sinαcosα=sinαcosαcos2α+sin2α=tanα1+tan2α=25．12.答案：−1解析：【分析】本题属于利用导数求某点处的曲线方程，考察了对导数的几何意义的理解．首先要判定点是否满足曲线，而后求导求出切线方程的斜率，切线方程与直线x+my+l=0平行，故斜率相等．属中等题．【解答】解：点(0,0)满足曲线f(x)，对f(x)求导：f′(x)=e x sinx+e x cosx；过(0,0)的切线方程斜率为：f′(0)=1；∴切线方程为：y−0=1×(x−0)⇒y=x；由直线x+my+l=0，则y=−1m x−1m∵切线方程与直线x+my+l=0平行；∴−1m=1解得m=−1．故答案为−1．13.答案：e2解析：【分析】本题考查了含绝对值函数的单调性、函数的最值的求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．利用函数的单调性可得，或，分别检验两种情况下的最大值是否为2，可得结论．【解答】解：由题意得−lnm=lnn，∴1m=n，且0<m<1<n，又函数在(0,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，，或．∴当|lnm2|=2时，m=1e，又n=1m，∴n=e，此时，f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2，满足条件．当时，n=e2，m=1e2，此时，f(x)在区间[m2,n]上的最大值为，不满足条件．综上，n=e，m=1e．nm=e2，故答案为e2．14.答案：76解析：解：由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ=0)=C32C42⋅C42C62=15，P(ξ=1)=C31C11C42⋅C42C62+C32C42⋅C21C41C62=715，P(ξ=2)=C31C11C42⋅C21C41C62+C32C42⋅C22C62=310，P(ξ=3)=C31C11C42⋅C22C62=130，∴Eξ=0×15+1×715+2×310+3×130=76．故答案为：76．由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分另求出P(ξ=0)，P(ξ=1)，P(ξ=2)，P(ξ=3)，由此能求出ξ的数学期望Eξ．本题考查离散型随机变量的数学期的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．15.答案：解析：【分析】本题主要考查三角函数，两角和差公式及倍角公式与半角公式，属于基础题．【解答】解：=12−12cos2x+√32sin2x=sin(2x−π6)+12．令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，得− π 6+kπ ⩽x⩽ π 3+kπ ，k∈Z，当k=0时，− π 6⩽x⩽ π 3，故f(x)在上的单调增区间是．16.答案：解：(1)∵tan(π4+α)=tanπ4+tanα1−tanπ4tanα=1+tanα1−tanα，由tan (π4+α)=3，得：1+tanα1−tanα=3，解得tanα=12．(2)∵α为锐角，tanα=sinαcosα，sin2α+cos2α=1，∴sinα=√55，cosα=2√55，∴sin(α+π6)=√55×√32+2√55×12=√15+2√510．解析：(1)由条件利用两角和的正切公式，求得tanα的值．(2)由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinα、cosα的值，再利用两角和的正弦公式求得sin(α+π6)的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的三角公式的应用，属于基础题．17.答案：解：(1)当a =0时，f(x)=−1−lnx ，f ′(x)=−1x ．设切点为T(x 0,−1−lnx 0)，则切线方程为：y +1+lnx 0=−1x 0( x −x 0).因为切线过点(0,−1)，所以−1+1+lnx 0=−1x 0(0−x 0)，解得x 0=e ．所以所求切线方程为y =−1e x −1． (2)f (x )的定义域为(0,+∞)， ①f ′(x)=ax −1x =ax 2−1x，x >0．(i) 若a ≤0，则f ′(x)<0，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减， 从而函数f(x)在(0,+∞)上至多有1个零点，不合题意． (ii)若a >0，由f ′(x)=0，解得x =√a 负值舍去)． 当0<x <√a 时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x >√a 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)min =f(√a )=12−√a 1=−12−√a ．要使函数f(x)有两个零点，首先−12−√a <0，解得0<a <e ． 当0<a <e 时，√a >√e >1e ．因为f(1e )=a2e 2>0，故f(1e )⋅f(√a )<0．又函数f(x)在√a )上单调递减，且其图象在√a )上不间断， 所以函数f(x)在区间√a )内恰有1个零点． 考察函数g(x)=x −1−lnx ，则g ′(x)=1−1x =x−1x．当x ∈(0,1)时，g ′(x)<0，函数g(x)在(0,1)上单调递减； 当x ∈(1,+∞)时，g ′(x)>0，函数g(x)在(1,+∞)上单调递增， 所以g(x)≥g(1)=0，故f(2a )=2a −1−ln 2a ≥0． 因为2aa=2−√a a >0，故2a >√a ．因为f(√a )⋅f(2a )≤0，且f(x)在(√a +∞)上单调递增，其图象在(√a +∞)上不间断， 所以函数f(x)在区间(√a 2a ]上恰有1个零点，即在(√a +∞)上恰有1个零点． 综上所述，a 的取值范围是(0,e)．②由x 1，x 2是函数f(x)的两个零点(不妨设x 1<x 2)，得 {12ax 12−1−lnx 1=012ax 22−1−lnx 2=0，两式相减，得 12a(x 12−x 22)−ln x1x 2=0， 即12a(x 1+x 2) (x 1−x 2)−ln x1x 2=0，所以a(x 1+x 2)=2lnx 1x 2x1−x 2．f ′(x 1)+f ′(x 2)<0等价于ax 1−1x 1+ax 2−1x 2<0，即a(x 1+x 2)−1x 1−1x 2<0，即2lnx 1x 2x 1−x 2−1x 1−1x 2<0，即2ln x1x 2+x2x 1−x1x 2>0．设ℎ(x)=2lnx +1x −x ，x ∈(0,1)， 则ℎ′(x)=2x −1x2−1=−(x−1)2x 2<0，所以函数ℎ(x)在(0,1)单调递减，所以ℎ(x)>ℎ(1)=0．因为x 1x 2∈(0,1)，所以2ln x 1x 2+x 2x 1−x1x 2>0，即f ′(x 1)+f ′(x 2)<0成立．解析：本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性、函数的极值，考查转化思想以及计算能力，属于难题．(1)当a =0时，对f(x)求导，设切点为T(x 0,−1−lnx 0)，可得切线方程，结合切线过点(0,−1)，代入切线方程解得x 0=e ，推出切线方程； (2)①f ′(x)=ax −1x =ax 2−1x，x >0；(i) 若a ≤0，不合题意；(ii)若a >0，求出函数的f(x)min ，当0<a <e 时，函数f(x)在区间√a )内恰有1个零点，在(√a +∞)上恰有1个零点，利用函数的零点个数推出a 的取值范围是(0,e)．②由x 1，x 2是函数f(x)的两个零点(不妨设x 1<x 2)，得 {12ax 12−1−lnx 1=012ax 22−1−lnx 2=0转化求解即可．18.答案：解：(1)∵f(x)=sinωx +√3cosωx =2sin(ωx +π3)，∵函数f(x)=sinωx +√3cosωx 的最小正周期为π， ∴T =π=2πω，解得：ω=2．(2)∵f(θ2+π12)=2sin[2(θ2+π12)+π3]=2sin(θ+π2)=2cosθ=65，∴cosθ=35， ∵θ∈(0,π2)，，∴sin2θ=2sinθcosθ=2×35×45=2425．解析：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦型函数的周期性，属于基础题． (1)由辅助角公式化简解析式可得f(x)=2sin(ωx +π3)，由已知及周期公式即可求ω的值． (2)由诱导公式可得f(θ2+π12)=2cosθ=65，可得cosθ，由θ∈(0,π2)，可得sinθ，sin2θ的值．19.答案：解：(1)设焦距为2c ，∵e =ca =√63，a 2=b 2+c 2，∴b a=√33； ∵|AB|=2√33， ∴2b 2a=2√33， 解得b =1，a =√3； 故椭圆的方程为x 23+y 2=1；(2)将y =kx +2代入椭圆方程， 化简可得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0， 由直线与椭圆有两个交点知， Δ=(12k)2−36(1+3k 2)>0， 解得，k 2>1； 设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)；则x 1+x 2=−12k3k 2+1，x 1x 2=93k 2+1； 若以线段CD 为直径的圆过点E(−1,0)， 则EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=0，而y 1y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4， 则(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=(k 2+1)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=(k 2+1)93k 2+1−(2k +1)12k3k 2+1+5=0， 解得，k =76，满足k 2>1；故k =76．解析：本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了学生的化简运算能力，属于中档题． (1)设焦距为2c ，结合e =ca=√63，从而求椭圆的方程； (2)联立方程化简可得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0，再设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)；从而可得x 1+x 2=−12k3k 2+1，x 1x 2=93k 2+1；从而由平面向量化简可得(k 2+1)93k 2+1−(2k +1)12k3k 2+1+5=0，从而解得． 20.答案：解：(Ⅰ)因为函数f(x)=xlnx ，所以f′(x)=lnx +x ⋅1x =lnx +1，f′(1)=ln1+1=1． 又因为f(1)=0，所以曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y =x −1． (Ⅱ)函数f(x)=xlnx 定义域为(0,+∞)， 由(Ⅰ)可知，f′(x)=lnx +1． 令f′(x)=0，解得x =1e ．f(x)与f′(x)在区间(0,+∞)上的情况如下：所以，f(x)的单调递增区间是(e ，的单调递减区间是(0,1e )． (Ⅲ)当1e ≤x ≤e 时，“f(x)≤ax −1”等价于“a ≥lnx +1x ”. 令g(x)=lnx +1x ，x ∈[1e ,e]， g′(x)=1x −1x 2=x−1x 2，x ∈[1e ,e]．当x ∈(1e ,1)时，g′(x)<0，所以g(x)在区间(1e ,1)单调递减． 当x ∈(1,e)时，g′(x)>0，所以g(x)在区间(1,e)单调递增． 而g(1e )=−lne +e =e −1>1.5， g(e)=lne +1e =1+1e <1.5．所以g(x)在区间[1e ,e]上的最大值为g(1e )=e −1．所以当a ≥e −1时，对于任意x ∈[1e ,e]，都有f(x)≤ax −1．解析：本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．(Ⅰ)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，求出切线方程即可；(Ⅱ)求出函数的导数，根据导数和函数单调的关系，求出函数的单调区间即可；(Ⅲ)问题等价于“a≥lnx+1”，构造函数，利用导数求出函数的最值，从而求出ax的范围即可．。
天津市南开中学高三第一次月考.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015~2016年度天津市南开中学高三第一次月考数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题纸上。
答题时，务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8题，共40分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，{}1,3,5,7,9A =，{}1,2,5,6,8B =，则U A B I ð等于（A ）{}3,7,9（C ）{}2,6,8（B ）{}1,5（D ）{}4（2）集合{}|215A x x x =-++≥，16|B x x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则AB =（A ）()[),43,4-∞- （B ）(][)4,23,4-- （C ）(][),23,-∞-+∞（D ）(](),24,-∞-+∞（3）若“x a <”是“254x -≤”的必要条件，则实数a 的取值范围是（A ）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（B ）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（C ）9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（D ）9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（4）如图，圆O 和圆'O 都经过点A 和点B ，PQ 切圆O 于点P ，交圆'O 于,Q M ，交AB 的延长线于N ．若2PN =，1MN =，则MQ 等于（A ）72（B ）3 （C ）10（D ）23（5）已知，0.3log 0.2a =，3log 2b =，0.2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b <<（D ）c b a <<（6）已知函数()()2ln (2)2f x x a b x b a =--+--为偶函数，且在区间[),a +∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（A ）()(),21,-∞-+∞（B ）()0,+∞ （C ）()1,+∞（D ）()2,+∞（7）已知函数()211,2log 1,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩则满足不等式()()211f a f a ->+的实数a 的取值范围是（A ）(),2-∞（B ）()0,1（C ）()1,+∞（D ）()2,+∞（8）如图，已知45CAB ∠=︒，15ACB ∠=︒，6AC =，7CD =，则BD =（A ）1132-+（B ）1132+（C ）3或1（D ）3NB AQMO'O PDCAB2015~2016年度天津市南开中学高三第一次月考数学（理科）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
天津市南开中学2019届高三上第一次月考数学试卷(理科)(解析版)
天津市南开中学2019届高三上第一次月考数学试卷（理科）（解析版）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．做图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：集合，，．故选：C．先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.已知命题p：，，命题q：，，则下列说法中正确的是A. 命题是假命题B. 命题是真命题C. 命题￢是真命题D. 命题￢是假命题【答案】C【解析】解：，，故命题p为真命题；当时，，故命题q为假命题，故命题是真命题，命题是假命题，命题￢是真命题，命题￢是真命题，故选：C．先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，得到答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题，特称命题等知识点，难度中档．3.已知函数，则A. 4B.C.D.【答案】B【解析】解：，，故选：B．由分段函数及复合函数知，从内向外依次代入求值即可．本题考查了分段函数与复合函数的应用及学生的化简运算能力的应用．4.函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：函数，，故排除C，D，，，故排除A，故选：B当时，，，故选：B．利用特殊值排排除即可本题考了函数的图象的识别，排除是关键，属于基础题5.在下列那个区间必有零点A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，，，，，，在单调递减，在单调递增．，，在内存在零点，故选：C．求解，运用导数判断在单调递减，在单调递增，根据零点存在性定理得出，，在内存在零点．本题考查了函数的单调性，运用导数判断，零点问题，属于中档题，难度不大．6.已知函数，，则的值域是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为，所以，，则，即．则函数的值域为，故选：B．根据对数函数的性质结合函数值域的对应进行求解即可．本題考查函数的值域，考查运算求解能力结合对数函数的运算性质是解决本题的关键．7.已知函数在处的切线倾斜角为，则A. B. C. 0 D. 3【答案】C【解析】解：函数的导数，又在处的切线倾斜角为，可得，即，故选：C．求得的导数，可得切线的斜率，由斜率的几何意义，可得所求值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8.已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，若在上不单调，令，则函数与x轴在有交点，时，显然不成立，时，只需，解得：或，因为题目要求充分不必要，因此只有D选项符合要求，故选：D．求出函数的导数，问题转化为函数与x轴在有交点，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质判断即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．9.如图，若在矩阵OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：矩形，，，阴影故豆子落在图中阴影部分的概率为，故选：A．分别求出矩形和阴影部分的面积即可求出豆子落在图中阴影部分的概率．本题简单的考查了几何概率的求解，属于容易题，难度不大，正确求面积是关键．10.已知函数为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数，数列为等差数列，且公差不为0，若，则A. 45B. 15C. 10D. 0【答案】A【解析】解：根据题意，函数为定义域R上的奇函数，则有，，若，即，即，，又由为定义域R上的奇函数，且在R上是单调函数，是9项的和且和为0，必有，则有，即，在等差数列中，，即，则；故选：A．根据题意，由奇函数的性质可得，又由且，可得，结合等差数列的性质可得，进而可得，即，进而计算可得答案．本题考查函数的奇偶性的应用，涉及等差数列的性质以及应用，属于中档题．11.设是函数的导函数，且，为自然对数的底数，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：构造，则，，，在定义域内单调递增，又，则不等式，化为，即，，则，得，综上，不等式的解集为．故选：A．由题意，构造函数，利用导数可得在定义域内单调递增，把不等式转化为，利用单调性求解．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，是中档题．12.对于函数和，设，，若存在、，使得，则称与互为“零点关联函数”若函数与互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】C的零点为．设的零点为，若函数与互为“零点关联函数”，根据零点关联函数，则，，如图．由于必过点，故要使其零点在区间上，则或，解得，故选：C．先得出函数的零点为再设的零点为，根据函数与互为“零点关联函数”，及新定义的零点关联函数，有，从而得出的零点所在的范围，最后利用数形结合法求解即可．本题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了转化为判断函数的图象的零点的取值范围问题，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知集合2，，，若，则非零实数m的数值是______．【答案】2【解析】解：集合2，，，，或或，解得．非零实数m的数值是2．故答案为：2．利用元素与集合的关系及集合中元素的互异性能求出非零实数m的数值．本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系及集合中元素的互异性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是______．【答案】【解析】解：例如，尽管对任意的都成立，当上为增函数，在为减函数，故答案为：．本题答案不唯一，符合要求即可．本题考查了函数的单调性，属于基础题．15.设函数在区间上的值域是，则的取值的范围是______．【答案】【解析】解：令解得或，令得．又在上单调递增，在上单调递减，当，时，取得最小值0，当，时，取得最大值4．故答案为．分别求出和的解，根据的单调性得出的最值．本题考查了二次函数的性质，属于中档题．16.若函数在处取得极小值，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：，由于函数在处取得极小值，则显然成立，令，由于是函数的极小值点，则左边附近，，即；在右边附近，，即．则，则，解得，故答案为：．令，将函数在处取得极小值，转化为，从而实数m 的取值范围．本题考察导数与函数的极值，将极小值点进行转化，是解本题的关键，属于中等题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合，集合．求集合A；若，求实数a的取值范围．【答案】解：由，得，．，，，由，得，所以或所以a的范围为，．【解析】通过解分式不等式求得集合A；求得，根据，则，利用数轴确定a满足的条件，从而求出a 的取值范围．本题主要考查了集合的运算，考查了集合的包含关系中参数的取值范围，体现了数形结合思想．18.已知命题p：，．若p为真命题，求实数m的取值范围；若有命题q：，，当为真命题且为假命题时，求实数m的取值范围．【答案】解：，，时不成立．且，解得．为真命题时，．对于命题q：，，，又时，，．为真命题且为假命题时，真q假或p假q真，当p假q真，有，解得；当p真q假，有，解得；为真命题且为假命题时，或．【解析】根据二次函数的性质求出p为真时m的范围即可；，，时不成立可得且，解得m范围对于命题q：，，根据时，利用函数的单调性即可得出由为真命题且为假命题时，可得p 真q假或p假q真．本题考查了函数与不等式的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.已知函数在处有极值．求常数a、b；求曲线与x轴所包围的面积．【答案】解：，由及得：，解得；由知当或时，，当或时，，曲线与x轴所包围的面积：．【解析】求导函数，利用函数在处有极值，建立方程组，即可求得a，b的值；确定函数的积分区间，被积函数，再求出原函数，即可求得结论．本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查利用定积分求面积，正确求导是关键．20.已知函数．求函数的单调区间；求函数的极值；求函数在区间上的最大值与最小值．【答案】解：，，由，得或．由，得，函数的单调增区间为，，单调减区间为；由可得，函数在，上单调递增，在上单调递减单调递减．当时，有极大值，且极大值为；当时，有极小值，且极小值为；由知，函数在上单调递减，在上单调递增，函数的最小值为，又，，函数在上的最小值为，最大值为4．【解析】求出原函数的导函数，由导函数大于0求得x的范围可得原函数的增区间，由导函数小于0求得x的范围可得原函数的减区间；由可得原函数的单调性，从而得到极值点，进一步求得极值；由知，函数在上单调递减，在上单调递增，然后求出极值与端点值，比较得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数在闭区间上的最值，是中档题．21.已知函数．当时，求的单调增区间；若在上是增函数，求a得取值范围．【答案】解：当时，；，由得，或，故所求的单调增区间为，；，在上是增函数，在上恒成立，即恒成立，当且仅当时取等号所以，当时，易知在上也是增函数，所以．【解析】求单调增区间，先求导，令导函数大于等于0即可；已知在区间上是增函数，即在区间上恒成立，然后用分离参数求最值即可．本题考查利用导数研究函数的单调性和二次函数在定区间上的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．22.已知函数，其中．Ⅰ设是的导函数，讨论的单调性；Ⅱ证明：存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解．【答案】解：函数，其中可得：．，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．证明：由，解得，令，则，，存在，使得，令，其中，由，可得：函数在区间上单调递增．，即，当时，有，．再由可知：在区间上单调递增，当时，，；当时，，；又当，．故当时，恒成立．综上所述：存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解．【解析】函数，其中可得：，可得，分别解出，，即可得出单调性．由，可得，代入可得：，利用函数零点存在定理可得：存在，使得，令，再利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．第11页，共11页。
2019届天津市南开中学高三上第一次月考数学试卷(理科)(word版)
天津南开中学2019届高三年级第一次月考数学试卷（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1、已知全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合={1,2,3,5}A ，={2,4}B ，则()UA B ⋃=（ ）A .{0,2,4}B.{4}C.{1,2,4}D.{0,2,3,4}2、设变量x ，y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A.0B.3C .6D.123、设x R ∈，则“|x+2|+|x-1|≤5”是“-3≤x ≤3”的（ ） A .充分不必要区间 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4、已知125ln ,log 2,x y z e π-===，则（ ） A.x ＜y<zB.z<x<yC.z<y<xD .y<z<x5、已知函数224,2()log ,2x x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.[1,0)-B.(1,2]C .(1,)+∞D.(2,)+∞6、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，若对于任意x R ∈，22(log )(22)f a f x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A.(0,1]B .1[,2]2C.(0,2]D.[2,)+∞7、已知函数32()247f x x x x =---，其导函数为'()f x ，则以下4个命题： ①()f x 的单调减区间是2(,2)3-； ②()f x 的极小值是-15； ③()f x 有且只有一个零点；④当0a >时，对任意的2x >且x a ≠，恒有()()'()()f x f a f a x a >+-。
天津市南开中学2020届高三物理第一次月考试卷 人教版
天津市南开中学2020届高三物理第一次月考试卷第Ⅰ卷本题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确。
全部选对的得3分，选对但不全的得1分，有选错的或不答的得0分。
一、选择题：1.有下列4个核反应方程①2411Na→2412Mg+01-e ②23592U+10n→14156Ba+9236Kr+310n ③199F+42He→2210Ne+11H ④32He+21H→42He+11H上述核反应依次属于（ ）A.衰变、人工转变、人工转变、聚变B.裂变、裂变、聚变、聚变C.衰变、衰变、聚变、聚变D.衰变、裂变、人工转变、聚变2.如图所示，A 、B 两个物体由同一地点沿相同方向做直线运动的v －t 图，由图可知（ ）A.B 出发时间比A 早5sB.第15s 末A 、B 速度相等C.前15s 内A 的位移比B 的位移大50mD.第20s 末A 、B 位移之差为25m3.科学家常常根据物理实验提出假设，并用假设解释一些客观现象，进而建立新理论．玻尔关于氢原子结构的理论便是这种研究方法的成功典范，请问玻尔理论是从下列哪些现象推出的( )A ．α粒子散射实验现象B ．慢中子轰击铀核产生的裂变现象C ．天然放射现象中的α衰变现象D ．氢原子光谱的特征谱线现象1- B4.一物体做竖直上抛运动， 1s后运动位移的大小为上升最大高度的49，则关于物体上抛的初速度，下列说法正确的是（）A．初速度只能为39.27m/s B．初速度应有两个值C．初速度可能有三个值 D．初速度不可能有三个值5．自动扶梯在时间t1内把相对于扶梯静止的人送上楼。
若持梯静止不动。
人沿扶梯上楼所用时间为t2。
则人沿运动着的扶梯走上楼所需时间为 ( )A. B. C. D.6．如图所示，两个质量都是m的小球A、B用轻杆连接后斜放在墙上处于平衡状态．已知墙面光滑，水平地面粗糙。
现将A 球向下移动一小段距离．两球再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，地面对B球的支持力N和轻杆上的压力F的变化情况是（）A．N变大，F变大 B．N变大，F变小C．N不变，F变大 D．N不变，F变小7.紫外线照射一些物质时，会发生萤光效应，即物质发出可见光，这些物质中的原子先后发生两次跃迁，其能量变化分别为△E1和△E2，下列关于原子这两次跃迁的说法中正确的是（）A.两次均向高能级跃迁，且|△E1|>| △E2|B.两次均向低能级跃迁，且|△E1|<|△E2|C.先向高能级跃迁，再向低能级跃迁，且| △E1|<|△E2|D.先向高能级跃迁，再向低能级跃迁，且|△E1|>|△E2|8．一氢气球下系一小重物G，重物只在重力和绳的拉力作用下做直线运动，不计空气阻力和风力影响，重物运动的方向如图中箭头所示虚线方向，图中气球和重物G 在运动中所处的位置可能是 ( )9．如图(1)所示，一根轻弹簧上端固定在O 点，下端拴一个钢球P ，球处于静止状态．现对球施加一个方向向右的外力F ，使球缓慢偏移，在移动中的每一个时刻，都可以认为钢球处于平衡状态．若外力F 方向始终水平，移动中弹簧与竖直方向的夹角θ<900且弹簧的伸长量不超过弹性限度，则图(2)中所给出的弹簧伸长量x 与cos θ的函数关系图象中，最接近的是（ ）10.如图所示,物体A 、B 、C 质量分别为m 、2m 、3m ，A 与天花板间，B 与C 之间用轻弹簧连接，当系统平衡后，突然将AB 间绳烧断，在绳断的瞬间，A 、B 、C 的加速度分别为（以向下的方向为正方向）( ) A 、g ，g ，g B 、－5g ，2.5g ，0 C 、－5g ，2g ，0 D 、－g ，2.5g ，3g11. 如图，两根直木棍AB 和CD 相互平行，斜靠在图（2）图（1）x Ox OxOxOαC ADA BC竖直墙壁上固定不动，一根水泥圆筒从木棍的上部匀速滑下．若保持两木棍倾角不变，将两棍间的距离减小后固定不动，仍将水泥圆筒放在两木棍上部，则水泥圆筒在两木棍上将：( )A．仍匀速滑下 B．加速滑下C．可能静止 D．一定静止12.如图所示，质量相等的木块A、B，用轻弹簧连接，置于光滑的水平面上，开始弹簧处于自然状态，现用水平恒力F推木块A，则弹簧在第一次被压缩到最短的过程中（）A.vA ＝vB时，aA<aBB.vA ＝vB时，aA>aBC.aA ＝aB时，vA<vBD.aA ＝aB时，vA>vB第Ⅱ卷本题共6小题，共64分。
2019届高三上天津市南开中学第一次月考试卷物理(附答案
2019届高三上天津市南开中学第一次月考试卷物理（附答案）一、单项选择1．下列说法正确的是（）A．卢瑟福通过实验发现质子的核反应方程为：B．铀核裂变的核反应方程是：C．汤姆孙首先提出了原子核结构学说D．在原子核中，比结合能越小表示原子核中的核子结合得越牢固，原子核越牢固2．汽车以20m/s的速度在平直公路上行驶，急刹车时的加速度大小为5m/s2，则自驾驶员急踩刹车开始，2s与5s时汽车的位移之比为（）A．5：4 B．4：5 C．3：4 D．4：33．亚丁湾索马里海域六艘海盗快艇试图靠近中国海军护航编队保护的商船，中国特战队员发射爆震弹成功将其驱离.假如其中一艘海盗快艇在海面上运动的v-t图象如图所示.则下列说法正确的是（）A．海盗快艇在0-66s内从静止出发做加速度增大的加速直线运动B．海盗快艇在66s末开始调头逃离C．海盗快艇在96s末离商船最近D．海盗快艇在96s-116s内做匀减速直线运4．用相同材料做成的A、B两木块的质量之比为3:2，初速度之比为2:3，它们在同一粗糙水平面上同时开始沿直线滑行，直至停止，则它们（）A．滑行中的加速度之比为2:3B．滑行的时间之比为1:1C．滑行的距离之比为4:9D．滑行的距离之比为3:25．“蹦极”就是跳跃者把一端固定的长弹性绳绑在踝关节等处，从几十米高处跳下的一种极限运动。
某人做蹦极运动，所受绳子拉力F的大小随时间t变化的情况如图所示。
将蹦极过程近似为在竖直方向的运动，重力加速度为g。
据图可知，此人在蹦极过程中最大加速度约为（）A．gB．2gC．3gD．4g6．如图所示，在光滑的水平面上有甲、乙两个木块，质量分别为m1和m2，中间用一原长为L、劲度系数为k的轻弹簧连接起来，现用一水平力F向左推木块乙，当两木块一起匀加速运动时，两木块之间的距离是（）A．B．C．D．7．如图所示为氢原子能级的示意图，现有大量的氢原子处于n = 4的激发态，当向低能级跃迁时辐射出若干不同颜色的光。
2019届天津市南开中学高三(上)第一次月考数学试题(解析版)
一、单选题
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，则 ，应选答案D。
2．函数 的定义域为（）
A．［-2，2］B．［-2，0）∪（0，2］
C．（-∞，-2］∪［2，＋∞）D．（-2，0）∪（0，2）
【答案】B
【解析】使f(x)有意义的x满足 解不等式组即可得解.
【详解】
由题意得 ，解得 且 ，∴ .故选B.
【点睛】
本题考查了具体函数的定义域，属于基础题.
3．设 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】ALeabharlann 【解析】由|x+2|+|x+5| 5，利用绝对值的几何意义，可得出-3 x 2,即可得解.
4．已知 ， ， ，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】 ， ， ， ，所以 ，选D.
5．已知函数 有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）
A．［-1，0）B．（1，2］
C．（1，＋∞）D．（2，＋∞）
【答案】C
【解析】由分段函数解析式可得， 时恰有一个零点，只需 时有一个零点即可,由对数函数的单调性,即可得到 的范围.
其中真命题的个数为（）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】D
【解析】对 进行求导，分析导函数的正负即可解决①；由单调性求极值,分析零点即可解决②③；对于④，构造函数 ，即可解决.
【详解】
，其导函数为 .令 ，解得 ， .当 时，即 时，函数单调递增，当 时，即 时，函数单调递减，故当 时，函数有极小值，极小值为 ，当 时，函数有极大值，极大值为 ，故函数只有一个零点，①②③正确；∵ ， 且 ，∴令 ，则 ，记 ，因为当 时， ，则 在（2，＋∞）单调递增，又因为 ，∴当 时， ，当 时， ，∴以 在（2，a）递减，在 递增，又 ，∴ 成立，故④正确．故选D.
南开中学2019届高三第一次月考作文题及范文
南开中学2019届高三第一次月考作文题及范文【考题】阅读下面材料，根据自己的体验和感悟，写一篇文章。
（60分）周国平在作品中写道：“诗人之为诗人，就在于他对时光的流逝比一般人更加敏感，诗便是他为逃脱这流逝自筑的避难所。
摆脱时间有三种方式：活在回忆中，把过去永恒化；活在当下的激情中，把现在永恒化；活在期待中，把未来永恒化。
”读了上面的材料，你有怎样的思考和感悟？请结合个人的生活体验和感悟围绕“摆脱时间”写一篇文章。
要求：（1）自选角度，自拟标题；（2）文体不限（诗歌除外），文体特征鲜明；（3）不少于800字；（4）不得抄袭，不得套作。
【范文】高三9班张馨月时间，一个在文学作品中频繁被提起的话题，前有《论语》中记载孔子说过“逝者如斯夫，不舍昼夜”；后有庄子写下“人生天地之间，若白驹过隙，忽然而已”，无一不感叹时光的流逝。
果真，诗人就是比一般人对时间的流逝要更加的敏感。
诗人可以借诗来逃脱这流逝，而我们呢？既知时间留不住，与其珍惜时间，倒不如选择摆脱时间。
活在回忆里，把过去永恒化，就是摆脱时间。
“不能沉湎于过去的美好而忘记走当下的路”，这是曾经很流行的一个说法，但我们可以选择用过去的美好来激励自己。
走得累了，迷失了方向，也可以回过头去看看走过的路。
把过去永恒化，用过去来冲散眼前的一切困苦。
破除时间上的隔阂，与过去言和，做时间的穿梭者，这不就是在摆脱时间吗？活在当下的激情中，把现在永恒化，也可谓是摆脱时间的好方法。
享受当下，享受每一件平凡小事的喜悦。
珍惜每一分每一秒，去做自己之所想，让每一件小事破茧成蝶，舞动蝶翼，振翅来使我们的人生风起。
我们改变不了过去，也左右不了将来，但现在掌握在我们自己手中。
把现在永恒化，你大可以摆脱每一天时间上的界限，撰写属于自己人生的自传。
世事苍狗白云，但只要我们珍惜当下，做时间的掌控者，这也是在摆脱时间。
活在期待中，把未来永恒化，也可以摆脱时间。
担心自己的过去活得不够精彩，又忧虑当下自己的碌碌无为，放走了时间。
2019年天津市南开中学高三上学期第一次月考(理科)数学试题(含答案)
高考数学精品复习资料2019.5南开中学高三第一次月者数学试卷本试卷分第1卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120 分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，答卷时，考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，祝各位考生考试腰利！一、选择题（每题5分，共40分）1．设集合{}{}2S=x|x>-2,|340T x x x =+-≤，则S T =（ ）A ．(]2,1-B ．(],4-∞C ．(],1-∞D ．[)1,+∞2．在四边形ABCD 中，0,AB BC BC AD ⋅=⋅，则四边形ABCD 是( )A ．直角梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形3．己知向量0,AB BC BC AD ⋅=⋅，若0,AB BC BC AD ⋅=⋅，则n=( )A ．-3B ． 3C ．1D ．-14．函数2sin cos 2y x x x θ=+( )A ．2(,3πB ．5(,6πC ．2(3π-D ．(3π 5．已知曲线的极坐标方程为24cos22θρ=-，则其直角坐标下的方程是( ) A ．22(1)1x y ++= B ．22(1)1x y ++=C ．22(1)1x y -+=D ．22(1)1x y +-=6．不等式252(1)x x +≥-的解集是( ) A ．13,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．(]1,11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．(]1,11,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭7．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=，则向量CA 在CB 方向上的投影为( )AB ． 3 C． D ．-38．已知1212120a a b b c c ≠，命题111222:a b c p a b c ==， 命题q:两个关于x 的不等式221112220,0a x b x c a x b x c ++>++>解集相同则命题p 是命题q 的( )条件A ．充分必要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要二、填空题（每题5分，共30分）9．已知5sin 04134x x ππ⎛⎫⎛⎫-=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2cos 4x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________ 10．在△ABC 中，90,60ABC C A ∠=∠=，过C 作ABC D 的外接圆的切线CD,BD CD ⊥与外接圆交于点E ，则DE 的长为_______________.11．在ABC D 中，角A ，B ，C 所对的边分别为d ，b ，c,若bcosA 、ccosC 、acosB 成等差数列，则角C=_____________12．将函数2sin(2)4y x π=-图象上所有点的纵坐标缩小到原来的12，横坐标伸长到原来的2倍，再将图象向左平移4π，则所得图象解析式为y=____________ 1 3．已知E ，F 为平行四边形ABCD 中边BC 与边CD 的中点，且160AF AE EAF ==∠=，则AB BC ⋅=_____________14.命题p:关于x 的方程240x ax -+=有实根，命题q:关于x 的函数224y x ax =++在[),b +∞上是增函数，若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，则b 的取值范围是___________三．解答题（15-18每题13分，19,20每题14分）15．已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=- (,0)x x R ω∈>，相邻两条对称轴之间的距离等于2π (1)求()4f π的值(2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 值. 16某项新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测。
2020届天津市南开中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)
所以 ，即 ，解得 .
故选该艺术课程的共有 人.
(2)因为 ，
所以 的概率分布列为
所以
【点睛】
本题考查集合中容斥原理的应用，组合公式的应用，古典概型，分布列和期望的求法，属于中档题
17．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且 ．
二、填空题
10．已知 ，则 的最小值为__________．
【答案】
【解析】可采用拼凑法，令 ，再结合基本不等式求解即可
【详解】
因为 ，所以 ，
，当且仅当 时取到“=”号
故答案为：
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，属于中档题
11．如图，在 中， 是 的中点， 是 上的两个三等分点， ， ，则 的值是_______.
(Ⅲ)首先求得点G的坐标，然后结合平面 的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.
【详解】
(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，则PA⊥CD，
由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，
由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据平面向量基本定理，将 当作两组基底向量，再根据向量线性运算的加法与减法法则，代换出 ，结合 ，化简得 ，将 表示成 的关系式，再结合基本不等式求解即可
【详解】
，
，
由 ，化简得 ，
则 ，
当且仅当 时取“=”号
故选：A
【点睛】
天津市南开中学高三数学上第二次月考试卷理(含解析)(最新整理)
天津市南开中学2019届高三上第二次月考数学试题（理科)一、选择题（本大题共8小题，共40。
0分）1.已知R为实数集，，,则A。
B. C. D。
【答案】A【解析】考点：交、并、补集的混合运算．分析:集合M为二次不等式的解集，集合N为函数的定义域，分别求出，再进行集合的运算．解:M=｛x｜x2-2x＜0}=｛x|0＜x＜2}，N={x｜y=}={x｜x≥1}，则C1N={x|x＜1}，所以M∩（C1N）={x｜0＜x＜1｝故选A2.已知实数满足，则目标函数的最大值为（ )A. -4 B。
1 C. 2 D。
3【答案】C【解析】试题分析：作出可行域如图所示：作直线，再作一组平行于的直线，当直线经过点时,取得最大值，由得：，所以点的坐标为,所以，故选C．考点：线性规划．【此处有视频，请去附件查看】3。
已知q是等比数列的公比,则“”是“数列是递增数列”的条件．A. 充分不必要B。
必要不充分C。
充要 D. 既不充分也不必要【答案】D【解析】【分析】由等比数列的性质，举特例可得出选项．【详解】已知q是等比数列{a n}的公比，当a1＝1，q＝﹣1，则数列为摆动数列，即数列｛a n}不是递增数列，当数列｛a n｝是递增数列，不妨取：a n＝2n，则a1＝2，q＝2，不满足a1（1﹣q）＞0,故“a1(1﹣q）＞0”是“数列{a n｝是递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，涉及等比数列的性质，属于简单题．4。
已知，,，则A. B。
C。
D.【答案】C【解析】【分析】利用对数式的运算性质比较a与b的大小，再比较b，c与2的大小关系得答案．【详解】∵a＝log23＜2，b＝log46，c＝0。
4﹣1。
2，∴c＞a＞b．故选:C．【点睛】本题考查对数值的大小比较，考查对数函数与指数函数的性质，是基础题．5。
设函数（是常数,），且函数的部分图象如图所示，则有（）A。
B。
C。
天津市南开区天津中学2019-2020年高三上第一次月考英语参考答案
2019-2020学年度第一学期高三年级第一次月考英语参考答案一、听力理解：1-5 ABCBC 6-10 BBCBB 11-15 CABCC二、单项选择：16-20 CABDC 21-25 ADBCA 26-30 BCDAB三、完形填空：31-35 CADBC 36-40 ACBDA 41-45 BCDAB 46-50 CADBD四、阅读理解：51-55 DDBDC 56-60 CBACD 61-65 DCBDA 66-70 DACDC五、阅读表达：71.He would begin to talk about his day．72.He looked as if he really enjoyed it．73.Even if my father went through difficulties，he was always listening to me carefully．74.It makes a child self-centered．75.Yes, I think so. It helps the children know what they say matters in this world．六、书面表达：Nowadays more and more people enjoy traveling abroad with their family during th eir holiday．With the development of economy and people's living standard，Chine se people can afford to go abroad.Besides,more people are becoming interested in fo reign cultures．However,some people don't behave so well in foreign countries.For example, they drop litter everywhere，as well as spitting randomly in public，which not only shows bad personal qualities，but also does great harm to the image of our country．Personally，traveling abroad is a good opportunity to widen our vision. At the same time,everyone has the responsibility to uphold the image of our motherland，a civiliz ed county with a long history．I suggest we inherit our ancient traditions and behave in a way that befits our values when traveling abroad．。
天津南开中学2019届高三第一次月检测物理试卷
南开中学2019届高三第一次月检测物理试题一、单项选择题（每小题3分，共27分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1. 关于物体做匀速圆周运动的说法正确的是（ ）A ．物体在恒力作用下可以做匀速圆周运动B ．匀速圆周运动是线速度不变的运动C ．做匀速圆周运动的物体处于平衡状态D ．匀速圆周运动是向心加速度大小不变的运动2. 美国物理学家于1995年在国家实验室观测到了夸克。
这是近二十几年粒子物理研究最重要的实验进展之一。
正、反顶夸克之间的强相互作用势能可写为43s p a E K r=-，式中r 是正、负顶夸克之间的距离，a s = 0.12是强相互作用耦合常数，无单位，K 是与单位制有关的常数，则在国际单位制中常数K 的单位是（ ）A ．JB ．NC ．J·mD ．J/m3. 如图所示，是某同学绘制的沿直线运动的物体的加速度a 、速度v 、位移x 随时间t 变化的图像，若该物体在t = 0时刻的速度为零，则表示该物体沿单一方向运动的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 一个质点在恒力F 的作用下，在xOy 平面内从O 点运动到A 点的轨迹如图所示，且在A 点的速度方向与x 轴平行，则恒力F 的方向可能的是（ ）A ．沿+x 方向B ．沿-x 方向C ．沿+y 方向D ．沿-y 方向5. 如图所示，A 、B 两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A 物体以速度v 向左运动时，系A 、B 的绳分别为水平方向α、β角，此时B 物体的速度大小为（ ）A ．sin sin v αβ B ．cos sin v αβ C ．sin cos v αβ D ．cos cos v αβ6. 如图所示，三角形传送带以1 m/s 的速度逆时针匀速转动，两边的传送带长都是2 m ，且与水平方向的夹角均为37°。
现有两个小物体A 、B 从传送带顶端都以1 m/s 的初速度沿传送带下滑，两物块与传送带间的动摩擦因数都是0.5，g取10 m/s2，sin37°= 0.6，cos37°= 0.8。
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天津南开中学2019-2020学年高三年级第一次月考理科试卷一、单选题1、已知全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合={1,2,3,5}A ，={2,4}B ，则()U A B ⋃ð=（ ） A.{0,2,4}B.{4}C.{1,2,4}D.{0,2,3,4}2、设变量x ，y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ） A.0 B.3 C.6 D.12 3、设x R ∈，则“|x+2|+|x-1|≤5”是“-3≤x ≤3”的（ ） A.充分不必要区间 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4、已知125ln ,log 2,x y z e π-===，则（ ） A.x ＜y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x5、已知函数224,2()log ,2x x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.[1,0)-B.(1,2]C.(1,)+∞D.(2,)+∞6、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，若对于任意x R ∈，22(log )(22)f a f x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.(0,1]B.1[,2]2C.(0,2]D.[2,)+∞7、已知函数32()247f x x x x =---，其导函数为'()f x ，则以下4个命题：①()f x 的单调减区间是2(,2)3-；②()f x 的极小值是-15； ③()f x 有且只有一个零点；④当0a >时，对任意的2x >且x a ≠，恒有()()'()()f x f a f a x a >+-。
其中真命题的个数为（ ） A.1 B.2 C.3D.48、已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，22log (1),(1,0]()173,(,1]22x x f x x x x --∈-⎧⎪=⎨---∈-∞-⎪⎩，若关于x 的方程()=()f x t t R ∈恰有5个不同的实数根12345,,,,x x x x x ，则12345++++x x x x x 的取值范围是（ ） A.(2,1)-- B.(1,1)- C.(1,2) D.(2,3)二、填空题9．设i 是虚数单位，若复数是纯虚数，则a 的值为______． 10．若（x ＋ ）8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________．11．数列{}n a 且21,2πsin ,4n n n na n n 为奇数为偶数⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2018S =_________．12．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,22.2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆C 上的点到直线l 距离的最小值为________________.13．已知函数()2ln f x x x =-与()22g x x m x=--的图象上存在关于原点对称的点，则实数m 的取值范围是__________．14．已知函数()1,0,0x e m x f x ax b x ⎧+-≥=⎨+<⎩，其中1m <-，对于任意1x R ∈且10x ¹，均存在唯一实数2x ，使得()()21f x f x =，且12x x ≠，若关于x 的方程()()f x f m =有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是__________________.三、解答题15．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosC ＋(cosA － sinA)cosB ＝0． (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．16．甲、乙、丙三个口袋内部分别装有6个只有颜色不相同的球，并且每个口袋内的6个球均有1个红球，2个黑球，3个无色透明的球，甲、乙、丙三个口袋中依次随机各摸出1个球.（Ⅰ）求恰好摸出红球、黑球和无色球各1个的概率；（Ⅱ）求摸出的3个球中含有有色球个数ξ的概率分布列和数学期望.17．已知函数()()21202f x ax x a =+≠，()ln g x x =. （Ⅰ）若()()()h x f x g x =-存在单调增区间，求a 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数0a >，使得方程()()()21g x f x a x'=-+在区间1,e e⎛⎫⎪⎝⎭内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出a 的取值范围？若不存在，请说明理由.18．已知等比数列 的公比 ，且 ， ． Ⅰ 求数列 的通项公式；Ⅱ 设， 是数列 的前n 项和，对任意正整数n 不等式恒成立，求实数a 的取值范围．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点，一个焦点为．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求||||AB PQ 的取值范围．20．已知函数()ln f x ax x =+，函数()g x 的导函数()xg x e '=，且()()01g g e '=，其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）若存在()0,x ∈+∞，使得不等式()g x <m 的取值范围；（Ⅲ）当0a =时，对于()0,x ∀∈+∞，求证：()()2f x g x <-.0)(1)(0)y k x k =-≠x P C ,A B天津南开中学2019-2020学年高三年级第一次月考理科试卷一、单选题1、已知全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合={1,2,3,5}A ，={2,4}B ，则()U A B ⋃ð=（ ） A .{0,2,4}B.{4}C.{1,2,4}D.{0,2,3,4}2、设变量x ，y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ） A.0 B.3 C .6 D.12 3、设x R ∈，则“|x+2|+|x-1|≤5”是“-3≤x ≤3”的（ ） A .充分不必要区间 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4、已知125ln ,log 2,x y z e π-===，则（ ） A.x ＜y<zB.z<x<yC.z<y<xD .y<z<x5、已知函数224,2()log ,2x x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.[1,0)-B.(1,2]C .(1,)+∞D.(2,)+∞6、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，若对于任意x R ∈，22(log )(22)f a f x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.(0,1]B .1[,2]2C.(0,2]D.[2,)+∞7、已知函数32()247f x x x x =---，其导函数为'()f x ，则以下4个命题：①()f x 的单调减区间是2(,2)3-；②()f x 的极小值是-15； ③()f x 有且只有一个零点；④当0a >时，对任意的2x >且x a ≠，恒有()()'()()f x f a f a x a >+-。
其中真命题的个数为（ ） A.1 B.2 C.3D .48、已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，22log (1),(1,0]()173,(,1]22x x f x x x x --∈-⎧⎪=⎨---∈-∞-⎪⎩，若关于x 的方程()=()f x t t R ∈恰有5个不同的实数根12345,,,,x x x x x ，则12345++++x x x x x 的取值范围是（ ） A.(2,1)-- B .(1,1)- C.(1,2) D.(2,3)二、填空题9．设i 是虚数单位，若复数是纯虚数，则a 的值为______． 【答案】3【解析】由题意：，满足题意时有： .10．若（x ＋ ）8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________．【答案】【解析】试题分析：二项展开式的通项为,令解得 ．所以 的系数为 ,解得．【考点】二项式定理．11．数列{}n a 且21,2πsin ,4n n n na n n 为奇数为偶数⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2018S =_________．【答案】30282019【解析】根据通项公式为分段函数的特点，将前2018项的和分组，分别计算奇数项的和与偶数项的和，其中奇数项可采用裂项相消法求和，偶数项利用周期求和即可.【详解】数列{}n a 且21,2,4n n n na n sin n 为奇数为偶数π⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩，①当n 为奇数时，21111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ②当n 为偶数时，sin4n n a π=， 所以：()()201813520172462018S a a a a a a a a =+++⋯+++++⋯+，()11111111010233520172019⎛⎫=-+-+⋯+-++-+⋯+ ⎪⎝⎭， 10093028120192019=+=． 故答案为：30282019．【点睛】本题主要考查了数列求和中的裂项相消法，分组法，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．12．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,2.x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆C 上的点到直线l 距离的最小值为________________.1【解析】化直线l 的参数方程为普通方程3x y +=，圆C 的普通方程为()2211x y -+=，求圆心到直线的距离为d,则所求得最小值为d-r.【详解】直线l的参数方程为1222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去t 得普通方程为3x y +=，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，化为普通方程为222x y x +=，即为()2211x y -+=，表示以()1,0C 为圆心，半径为1的圆，则圆心C 到直线l 的距离d ==C 上的点到直线l 距离的1.1. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标与普通方程的转化，圆上的动点到直线的最小距离为d-r,最大距离为d+r （d 为圆心到直线的距离）.13．已知函数()2ln f x x x =-与()22g x x m x=--的图象上存在关于原点对称的点，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】[)1ln2,++∞【解析】由题意可知()()f x g x =--有解，即方程222ln x x x m x-=--+有解，即2ln m x x =+有解，设()()2ln 0h x x x x =+>，则()22122'x h x x x x-=-=，()h x ∴在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ∴当2x =时， ()h x 取得最小值()2ln21h =+， ()h x ∴的值域为[)1ln2,++∞， m ∴的取值范围是[)1ln2,++∞，故答案为[)1ln2,++∞.14．已知函数()1,0,0x e m x f x ax b x ⎧+-≥=⎨+<⎩，其中1m <-，对于任意1x R ∈且10x ¹，均存在唯一实数2x ，使得()()21f x f x =，且12x x ≠，若关于x 的方程()()f x f m =有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是__________________. 【答案】()2,1--【解析】由任意1x R ∈且10x ≠，均存在唯一实数2x ，使得()()21f x f x =，可转化为求()f x 的值域，可得0b ma =⎧⎨<⎩，由此可画出()f x 的图像，方程有4个不相等的实数根，转化为图像有4个不同交点，即可解得. 【详解】当0a =时，显然不符合题意；当0a ≠时，函数()10xy e m x =+-≥和函数()0y ax b x =+<都是定义域内的单调函数，且函数()10x y e m x =+-≥的值域为[),m +∞，则由题意得函数()0y ax b x =+<的值域为(),m +∞，所以,0.b m a =⎧⎨<⎩则函数()1,0,,0,x e m x f x ax b x ⎧+-≥=⎨+<⎩即()1,0,,0.x e m x f x ax m x ⎧+-≥=⎨+<⎩的值域为[),m +∞，()f x 的大致图象如图所示，由函数图象易得要使方程()()f x f m =有4个不相等的实数根，则()()0,,f m f m m ⎧>⎪⎨<-⎪⎩即0,.am m am m m +>⎧⎨+<-⎩又因为1m <-，解得21a -<<-.故答案为()2,1--.【点睛】本题考查了函数的性质，考查了函数方程的应用，方程的根的问题，转化为函数图像交点问题，属于难题.三、解答题15．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosC ＋(cosA － sinA)cosB ＝0． (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围． 【答案】（1）（2）≤b <1. 【解析】（1）即在三角形ABC 中有余弦定理得【考点】本题主要考查解三角形、正余弦定理、基本不等式等基础知识，考查分析问题解决问题的能力.16．甲、乙、丙三个口袋内部分别装有6个只有颜色不相同的球，并且每个口袋内的6个球均有1个红球，2个黑球，3个无色透明的球，甲、乙、丙三个口袋中依次随机各摸出1个球.（Ⅰ）求恰好摸出红球、黑球和无色球各1个的概率；（Ⅱ）求摸出的3个球中含有有色球个数ξ的概率分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）16（Ⅱ）分布列见解析，()32E ξ=【解析】（Ⅰ）由相互独立事件的概率公式即可求得.（Ⅱ）由ξ的取值为0,1,2,3，分别求出各对应的概率即可得解分布列及期望. 【详解】由于各个袋中球的情况一样，而且从每一个袋中摸出红球、黑球、无色球的概率均分别为16，13，12，所以根据相互独立事件同时发生的概率公式可得（Ⅰ）3311116326P A =⨯⨯⨯=（Ⅱ）ξ的取值为0,1,2,3，并且()311028P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()2131********P C ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； ()223111326328P C ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3331113638P C ξ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 从而ξ的概率分布列为()13313012388882E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列及期望，独立事件同时发生的概率，属于中档题.17．已知函数()()21202f x ax x a =+≠，()ln g x x =. （Ⅰ）若()()()h x f x g x =-存在单调增区间，求a 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数0a >，使得方程()()()21g x f x a x'=-+在区间1,e e⎛⎫⎪⎝⎭内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出a 的取值范围？若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）()()1,00,-⋃+∞（Ⅱ）2121e ea e +<<-【解析】（Ⅰ）对()h x 进行求导，存在单调递增区间，转化()0h x '>有正解，分类讨论求a 的取值范围. （Ⅱ）方程()()()21g x f x a x'=-+在1,e e⎛⎫⎪⎝⎭内有且只有两个不相等的实数根转化()()212ln H x ax a x x =+--在1,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在两个零点，求导，研究单调性,限制端点值及极小值即可得解. 【详解】（Ⅰ）由已知，得()212ln 2h x ax x x =+-，且0x >. 则()21212ax x h x ax x x='+-=+-∵函数()h x 存在单调递增区间.∴()0h x '>，2210ax x +->有0x >的解.①当0a <时，221y ax x =+-的图象为开口向下的抛物线，要使2210ax x +->总有0x >的解，则方程2210ax x +-=至少有一个不重复正根，而方程2210ax x +-=总有两个不相等的根时，则必定是两个不相等的正根，故只需440a ∆=+>，即1a >-，即10a -<<.②当0a >时，221y ax x =+-的图象为开口向上的抛物线，2210ax x +-≥一定有0x >的解.综上，a 的取值范围是()()1,00,-⋃+∞. （Ⅱ）方程()()()21g x f x a x'=-+得为()ln 221x ax a x =+-+，()ln 12xax a x=+- 等价于方程()212ln 0ax a x x +--=.设()()212ln H x ax a x x =+--.于是原方程在区间1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内根的问题，转化为函数()H x 在区间1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭内的零点问题.()()()()()221212111212ax a x ax x H x ax a x x x+--+'-=+--== 当()0,1x ∈时，()0H x '<，()H x 是减函数； 当()1,x ∈+∞时，()0H x '>，()H x 是增函数；若()H x 在1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭内有且只有两个不相等的零点，只须()()()()()()()()222min 221211210112101212100e a e e a aH e e e e H x H a a a H e ae a e e e a e a ⎧-++-⎛⎫=++=>⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==+-=-<⎨⎪=+--=-+->⎪⎪>⎩解得2121e e a e +<<- 【点睛】本题考查了导数研究函数单调性及已知零点个数求参数范围，考察了学生推理能力，综合性强，属于难题.18．已知等比数列的公比，且，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设，是数列的前n项和，对任意正整数n不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1).(2).【解析】试题分析：（Ⅰ）本小题用等比数列的基本量法可求解，即用首项和公比表示出已知条件并解出，可得通项公式；（Ⅱ）由，因此用错位相减法可求得其前项和，对不等式按的奇偶分类，可求得参数的取值范围．试题解析：（Ⅰ）设数列的公比为，则，∴∵，∴，∴数列的通项公式为．（Ⅱ）解：∴∴∴=∴对任意正整数恒成立，设，易知单调递增．为奇数时，的最小值为，∴得，为偶数时，的最小值为，∴，综上，，即实数的取值范围是．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点，一个焦点为．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求||||AB PQ 的取值范围． 【答案】（1）椭圆C 的方程是2214x y +=；（2）||||AB PQ的取值范围为(4,．【解析】试题分析：（1）求椭圆C 的方程，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(1,2，一个焦点为，故可用待定系数法，利用焦点为可得c =，可得221314a b +=，再由222a b c =+，即可解出,a b ，从而得椭圆C 的方程；（2）求||||AB PQ 的取值范围，由弦长公式可求得线段AB 的长，因此可设1122(,),(,)A x y B x y ，由22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得，2222(14)8440k x k x k +-+-=，则12,x x 是方程的两根，有根与系数关系，得2122814k x x k +=+，21224414k x x k-=+，由弦长公式求得线段AB 的长，求||PQ 的长，需求出,P Q 的坐标，直线与轴交于点，可得(1,0)P ，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，故先求出线段AB 的中点坐标，写出线段AB 的垂直平分线方程，令0y =，既得Q 点的坐标，从而得||PQ 的长，这样就得||||AB PQ 的取值范围． 试题解析：（1）由题意得2222=3,131,4a b a b ⎧-⎪⎨+=⎪⎩解得=2a ，1b =． 所以椭圆C 的方程是2214x y +=． 4分（2）由22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=．0)(1)(0)y k x k =-≠x P C ,AB0)0)(1)(0)y k x k =-≠x P设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k-=+， 121222(2)14k y y k x x k -+=+-=+．所以线段AB 的中点坐标为2224(,)1414k kk k-++， 所以线段AB 的垂直平分线方程为22214()1414k k y x k k k --=--++． 于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q 223(,0)14kk+，又点(1,0)P ， 所以22223111414k k PQ k k +=-=++．又AB ==．于是，22||141||14AB k k PQ k +===++ 因为0k ≠，所以221331k<-<+．所以||||AB PQ的取值范围为(4,． 14分【考点】求椭圆的方程，直线与椭圆位置关系，二次曲线范围问题．20．已知函数()ln f x ax x =+，函数()g x 的导函数()xg x e '=，且()()01g g e '=，其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）若存在()0,x ∈+∞，使得不等式()g x <m 的取值范围；（Ⅲ）当0a =时，对于()0,x ∀∈+∞，求证：()()2f x g x <-. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3m ≤（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）求导，对a 进行分类讨论，研究单调性，求极值.（Ⅱ）先求得()xg x e =，分离变量，即()max3m x e <-，构造新函数，求其最大值，即可求出m 的取值范围.（Ⅲ）令()()()2x g x f x ϕ=--，即()ln 2xx e x ϕ=--,求导研究单调性，求最小值大于0即可证得原不等式成立. 【详解】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()11ax f x a x x='+=+. 当0a ≥时，()0f x '>，∴()f x 在()0,+∞上为增函数，()f x 没有极值；当0a <时，令()10f x x a>⇒<-∴()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减∴()f x 有极大值()11ln f a a ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭，无极小值. （Ⅱ）()x g x e '=，∴()xg x e c =+∵()()()0'11g g e c e e =⇒+=，∴0c = ∴()xg x e =∵()0,x ∃∈+∞，使得不等式()g x<即()max3m x e <-令()3h x x e =-，()'1x h x e =-当0x >时，1x e >≥=∴1x e >，即()0h x '<.∴()h x 在()0,+∞单调递减，∴()()03h x h <= ∴3m ≤.（Ⅲ）当0a =时，()ln f x x =，令()()()2x g x f x ϕ=--，即()ln 2xx e x ϕ=-- ∴()1xx e xϕ'=-，则()x ϕ'在()0,+∞上为增函数∵1202ϕ⎛⎫=< ⎪⎝⎭'，()110e ϕ'=->∴()001,1'02x x ϕ⎛⎫∃∈= ⎪⎝⎭，.∵()x ϕ'在()0,+∞上为增函数 ∴()00,x x ∈时，()0x ϕ'<，()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>.()x ϕ在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增∴()()000min ln 2xx x e x ϕϕ==--∵()0000011'00xx x e e x x ϕ=⇒-=⇒=∴00ln x x =- ∵01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴()00012x x x ϕ=+-单调递减，∴()()01220x ϕϕ>=-=∴()()00x x ϕϕ≥>即()()2f x g x <-. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，解决不等式的有解问题，恒成立问题，分离变量是通法，考查了学生的推理能力，属于难题.。