第3章Kirchhoff积分法叠前深度偏移

第三章 Kirchhoff 积分法叠前深度偏移

大家知道，叠前偏移的概念早在70年代中期就提出来了，但由于叠前记录的信噪比较低，偏移的初始模型又很难选准，加之当时的计算机无法承受叠前偏移较大的计算量，直到90年代叠前偏移才开始尝试应用于油气勘探地震数据的精细处理中。常见的叠前深度偏移方法可以分为两类：第一类是基于绕射扫描叠加原理的Kirchhoff 积分法，另一类是基于波动方程的偏移方法（如有限差分偏移方法、Fourier 偏移方法等）。本章重点讨论Kirchhoff 积分法叠前深度偏移。

Kirchhoff 积分法叠前深度偏移被认为是一种高效实用的叠前深度偏移方法，目前主要完善三维采集和叠前深度偏移软件。积分法具有高偏移角度、无频散、占用资源少和实现效率高的特点，并且积分法能够适应变化的观测系统和起伏的地表，优化的射线追踪法和改进的有限差分法能够在速度场变化的情况下快速准确地计算绕射波和反射波旅行时，从而使积分法能够适应复杂的构造成像。地震偏移成像问题，经过最近十多年的研究与发展，已经基本解决了和正在解决三维偏移，叠前深度偏移和多分量地震偏移等诸问题。但是偏移中有诸多问题尚未解决，例如真振幅偏移问题和各向异性介质中的地震偏移问题。近年来，解决真振幅偏移问题就是偏移地震数据得到真正的振幅和相位信息，从而为岩性解释服务。由于积分法具有许多优点，因此研究Kirchhoff 型保幅叠前深度偏移具有很高的理论价值和实用价值。下面就变速射线追踪法计算走时、有限差分法计算走时以及Kirchhoff 型常规叠前深度偏移和保幅叠前深度偏移做详细讨论和分析。

§3.1 变速射线追踪法计算走时

Kirchhoff 积分法叠前深度偏移已在实际生产中应用了多年，并解决了不少复杂构造的成像问题（Zhu & Lines, 1998）。Kirchhoff 积分法的关键是绕射旅行时的计算，目前常用的计算方法是射线追踪法和有限差分法（Schneider, 1992, 1995）。有限差分绕射旅行时计算是基于费马原理，可在直角坐标系或球坐标系实现，具体方法原理将在本章第二节介绍。射线追踪法计算绕射旅行时可分为常速法和变速法，常速法很简单，在此不再赘述；下面主要介绍变速法。

考虑到地下介质在纵横向上通常是变速的，为通过射线追踪较精确地生成CMP 道集中各道的反射旅行时，下面我们基于Langan （1985）的思想，推导变速介质条件下的射线追踪方程。

由程函方程可推出如下的射线方程

])

(1[])(1[r v ds r d r v ds d r ∇= （3-1） 其中，)(r v 是波速，r

是空间位置，s 是与路径长度有关的仿射参数。路径长度l 由（3-2）式给出

⎰''=s s d r n l 0)( （3-2）

其中， ds

r d r n =)( （3-3）

)(r n 是位置r 处指向射线传播方向的矢量，射线旅行时为

s d r v r n s t s

'''=⎰0)

()()( （3-4） 若)(n v 为正实数且时不变，则有

1)(=r n

（3-5） 由射线方程，经推导得出 s d s d ])r (v 1[)r (v s d )r (v )r (v n ˆr )s (r s 0s 0

r s 0000'''''∇'+''+=⎰⎰⎰''' （3-6） 其中，0r 是炮点(s=0)相对于原点的位置，0n

ˆ 为s=0处射线方向的单位矢量。 当射线通过恒定速度梯度或恒定慢度梯度介质传播时，可建立方程（3-6）的简单近似解。如果射线通过恒定速度梯度介质传播，速度场可表示为

r v r v ⋅+=λ*)( （3-7）

其中，*v 是原点处的速度，λ 为速度梯度)]([r v r ∇。借助于Taylor 展开()1(*

<⋅v r λ)，由（3-6）、（3-3）和（3-4）分别求得

())(O ]n ˆ[s v 6n ˆv 2s )]n ˆ(v 2s 1[s n ˆr )s (r 32023200020000λ+⋅λ-λ-λ-⋅λ++= （3-8）

()

)(O ]n ˆ[s v 2n ˆv s )]n ˆ(v s 1[n ˆ)s (n 320222000000λ+⋅λ-λ-λ-⋅λ+= （3-9） ()

)(O }v 2s )n ˆ(]n ˆ[v 6s 1{v s )s (t 3002022020λ+⋅λ-⋅λ+λ+= （3-10） 其中，)1(11*

0*0v r v v ⋅-=λ, 0v 是射线入射点处的速度。方程（3-8）、（3-9）、和（3-10）就是恒定速度梯度介质条件下的射线追踪方程。

§3.2 有限差分法计算走时

一．二维有限差分绕射旅行时计算方法

在Kirchhoff 叠前深度偏移中，绕射走时的计算精度直接影响了成像精度。为此，我们利用Eikonal 方程、费马原理和有限差分近似，基于二维介质在规则网格上进行绕射走时的有限差分计算，它无需走时的内插，并且把它扩展到三维是很简单的。

1．方形网格情况下的绕射走时有限差分计算

在高频近似下，二维几何路径及二维波前的传播符合射线追踪的程函方程，

()202

2,z x s z t x t =⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ （3-11） 方程（3-11）建立了走时梯度与速度模型的基本定量关系。坐标轴是x 和z ，s 0是慢度（速度的倒数）。方程（3-11）中的两个微分项能够应用有限差分来近似表示：

()312021t t t t x

x t --+∆=∂∂ （3-12a ） ()321021t t t t z

z t --+∆=∂∂ （3-12b ） 其中t 0、t 1、t 2和t 3的含义如图3-1所示，x ∆和z ∆分别是

横向和纵向采样间距，方形网格情况下，h z x =∆=∆。 在平面波近似下，已知t 0、t 1和t 2可以求t 3的值。即已知 四个点中的任意三个都可以把另一点计算出来。 2122003)()(2t t hs t t --+= （3-13）

为获取待求行或列上第一个点处的旅行时，利用有限差分

得出如下计算公式 图3-1 方形网格走时计算示意图

2122003)(25.0)(t t hs t t --+= （3-14）

其中，3210,,,t t t t 分别是内行或内列上旅行时的相对极小值、两侧的旅行时、和待求行或列上的旅行时。

2．矩形网格情况下的绕射走时有限差分计算

为提高绕射走时有限差分计算方法的适应性，考虑具有不同纵、横向采样间距的矩形网格。矩形网格走时计算见图3-2a 。基于方程（3-11）和（3-12），经推导可以得出：

经过（3-15）式，“十”字形的四个顶点值都可以求取出来，这样十字形的各个顶点构成一个环，下面要做的是如何把该环进行外推，求取整个模型上的走时。我们把距离前一个环上的极小和极大走时点最近的点定义为该环的相对极小和极大走时点。对于沿z 方向边界上的 图3-2b ‘十’字型中, O 点是震源点的位置, ‘十’字型各点的走时已知, 各顶点的走时可由相邻三个点的走时求出。

O A B C D

图3-2a 矩形网格中水平距离为x ∆, 垂直距离为z ∆,慢度s 0为常数, t 0、t 1和t 2的走时已知, 可以求t 3的走时值。 S 0t 3 t 2 x ∆ z ∆t 0、 t 1 （3-15） 22221202212022102)1(3)()(2)()(z x t t s z x z x t t t z t t t x t a ∆+∆--∆+∆∆∆+-+∆+-+∆=t 0、 t 1 z ∆S 0

x ∆ t 2 t 3