第3章Kirchhoff积分法叠前深度偏移

第三章 Kirchhoff 积分法叠前深度偏移
大家知道，叠前偏移的概念早在70年代中期就提出来了，但由于叠前记录的信噪比较低，偏移的初始模型又很难选准，加之当时的计算机无法承受叠前偏移较大的计算量，直到90年代叠前偏移才开始尝试应用于油气勘探地震数据的精细处理中。

常见的叠前深度偏移方法可以分为两类：第一类是基于绕射扫描叠加原理的Kirchhoff 积分法，另一类是基于波动方程的偏移方法（如有限差分偏移方法、Fourier 偏移方法等）。

本章重点讨论Kirchhoff 积分法叠前深度偏移。

Kirchhoff 积分法叠前深度偏移被认为是一种高效实用的叠前深度偏移方法，目前主要完善三维采集和叠前深度偏移软件。

积分法具有高偏移角度、无频散、占用资源少和实现效率高的特点，并且积分法能够适应变化的观测系统和起伏的地表，优化的射线追踪法和改进的有限差分法能够在速度场变化的情况下快速准确地计算绕射波和反射波旅行时，从而使积分法能够适应复杂的构造成像。

地震偏移成像问题，经过最近十多年的研究与发展，已经基本解决了和正在解决三维偏移，叠前深度偏移和多分量地震偏移等诸问题。

但是偏移中有诸多问题尚未解决，例如真振幅偏移问题和各向异性介质中的地震偏移问题。

近年来，解决真振幅偏移问题就是偏移地震数据得到真正的振幅和相位信息，从而为岩性解释服务。

由于积分法具有许多优点，因此研究Kirchhoff 型保幅叠前深度偏移具有很高的理论价值和实用价值。

下面就变速射线追踪法计算走时、有限差分法计算走时以及Kirchhoff 型常规叠前深度偏移和保幅叠前深度偏移做详细讨论和分析。

§3.1 变速射线追踪法计算走时
Kirchhoff 积分法叠前深度偏移已在实际生产中应用了多年，并解决了不少复杂构造的成像问题（Zhu & Lines, 1998）。

Kirchhoff 积分法的关键是绕射旅行时的计算，目前常用的计算方法是射线追踪法和有限差分法（Schneider, 1992, 1995）。

有限差分绕射旅行时计算是基于费马原理，可在直角坐标系或球坐标系实现，具体方法原理将在本章第二节介绍。

射线追踪法计算绕射旅行时可分为常速法和变速法，常速法很简单，在此不再赘述；下面主要介绍变速法。

考虑到地下介质在纵横向上通常是变速的，为通过射线追踪较精确地生成CMP 道集中各道的反射旅行时，下面我们基于Langan （1985）的思想，推导变速介质条件下的射线追踪方程。

由程函方程可推出如下的射线方程
])
(1[])(1[r v ds r d r v ds d r ∇= （3-1） 其中，)(r v 是波速，r
是空间位置，s 是与路径长度有关的仿射参数。

路径长度l 由（3-2）式给出
⎰''=s s d r n l 0)( （3-2）
其中， ds
r d r n =)( （3-3）
)(r n 是位置r 处指向射线传播方向的矢量，射线旅行时为
s d r v r n s t s
'''=⎰0)
()()( （3-4） 若)(n v 为正实数且时不变，则有
1)(=r n
（3-5） 由射线方程，经推导得出 s d s d ])r (v 1[)r (v s d )r (v )r (v n ˆr )s (r s 0s 0
r s 0000'''''∇'+''+=⎰⎰⎰''' （3-6） 其中，0r 是炮点(s=0)相对于原点的位置，0n
ˆ 为s=0处射线方向的单位矢量。

当射线通过恒定速度梯度或恒定慢度梯度介质传播时，可建立方程（3-6）的简单近似解。

如果射线通过恒定速度梯度介质传播，速度场可表示为
r v r v ⋅+=λ*)( （3-7）
其中，*v 是原点处的速度，λ 为速度梯度)]([r v r ∇。

借助于Taylor 展开()1(*
<⋅v r λ)，由（3-6）、（3-3）和（3-4）分别求得
())(O ]n ˆ[s v 6n ˆv 2s )]n ˆ(v 2s 1[s n ˆr )s (r 32023200020000λ+⋅λ-λ-λ-⋅λ++= （3-8）
()
)(O ]n ˆ[s v 2n ˆv s )]n ˆ(v s 1[n ˆ)s (n 320222000000λ+⋅λ-λ-λ-⋅λ+= （3-9） ()
)(O }v 2s )n ˆ(]n ˆ[v 6s 1{v s )s (t 3002022020λ+⋅λ-⋅λ+λ+= （3-10） 其中，)1(11*
0*0v r v v ⋅-=λ, 0v 是射线入射点处的速度。

方程（3-8）、（3-9）、和（3-10）就是恒定速度梯度介质条件下的射线追踪方程。

§3.2 有限差分法计算走时
一．二维有限差分绕射旅行时计算方法
在Kirchhoff 叠前深度偏移中，绕射走时的计算精度直接影响了成像精度。

为此，我们利用Eikonal 方程、费马原理和有限差分近似，基于二维介质在规则网格上进行绕射走时的有限差分计算，它无需走时的内插，并且把它扩展到三维是很简单的。

1．方形网格情况下的绕射走时有限差分计算
在高频近似下，二维几何路径及二维波前的传播符合射线追踪的程函方程，
()202
2,z x s z t x t =⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ （3-11） 方程（3-11）建立了走时梯度与速度模型的基本定量关系。

坐标轴是x 和z ，s 0是慢度（速度的倒数）。

方程（3-11）中的两个微分项能够应用有限差分来近似表示：
()312021t t t t x
x t --+∆=∂∂ （3-12a ） ()321021t t t t z
z t --+∆=∂∂ （3-12b ） 其中t 0、t 1、t 2和t 3的含义如图3-1所示，x ∆和z ∆分别是
横向和纵向采样间距，方形网格情况下，h z x =∆=∆。

在平面波近似下，已知t 0、t 1和t 2可以求t 3的值。

即已知 四个点中的任意三个都可以把另一点计算出来。

2122003)()(2t t hs t t --+= （3-13）
为获取待求行或列上第一个点处的旅行时，利用有限差分
得出如下计算公式 图3-1 方形网格走时计算示意图
2122003)(25.0)(t t hs t t --+= （3-14）
其中，3210,,,t t t t 分别是内行或内列上旅行时的相对极小值、两侧的旅行时、和待求行或列上的旅行时。

2．矩形网格情况下的绕射走时有限差分计算
为提高绕射走时有限差分计算方法的适应性，考虑具有不同纵、横向采样间距的矩形网格。

矩形网格走时计算见图3-2a 。

基于方程（3-11）和（3-12），经推导可以得出：
经过（3-15）式，“十”字形的四个顶点值都可以求取出来，这样十字形的各个顶点构成一个环，下面要做的是如何把该环进行外推，求取整个模型上的走时。

我们把距离前一个环上的极小和极大走时点最近的点定义为该环的相对极小和极大走时点。

对于沿z 方向边界上的 图3-2b ‘十’字型中, O 点是震源点的位置, ‘十’字型各点的走时已知, 各顶点的走时可由相邻三个点的走时求出。

O A B C D
图3-2a 矩形网格中水平距离为x ∆, 垂直距离为z ∆,慢度s 0为常数, t 0、t 1和t 2的走时已知, 可以求t 3的走时值。

S 0t 3 t 2 x ∆ z ∆t 0、 t 1 （3-15） 22221202212022102)1(3)()(2)()(z x t t s z x z x t t t z t t t x t a ∆+∆--∆+∆∆∆+-+∆+-+∆=t 0、 t 1 z ∆S 0
x ∆ t 2 t 3
第一个点可由方程（3-11）的非中心有限差分求出，即方程（3-16a ）， )4)((22212
0)1(3z t t s x t t b ∆--∆+= （3-16a ） t 3是待求C 和D 的走时，t 0是图3-2b 中点O 的走时（相对极小值走时），t 1和t 2、分别为A 和B 点的走时。

同理可求得沿x 方向边界上的第一个点的走时为：
)4)((222120
0)
1(3x t t s z t t b ∆--∆+= （3-16b ） 式（3-15）和（3-16）考虑了平面透射波的情况。

当计算下一环走时时，在四条边上依次进
行（当震源点在地下时，震源下面的点的走时
不必要计算）。

逐个从相对极小走时点出发，
沿边界向前、向后逐点扫描计算走时，直到遇
到极大走时点或顶点为止。

当所有四个边上的
网格点的走时都计算出来后，再计算四个顶点
的走时。

在扫描过程中，相对极大值被计算了
两次，选其中较小的一个作为该点的走时，这
等价于几何射线从两边到达同一个点，我们只
考虑了初至射线。

另外，当（3-15）式右边根号下出现负值
时有， ⎩⎨⎧∆+∆+=x s s t z s s t t a ),min(),min(202101)
2(3 （3-17） 当（3-16）式方程的右边根号下出现负值时，我们选取： l s s t t b ∆+=),min(100)2(3 （3-18）
当向z 方向外推时，z l =，当向x 方向外推
时x l =。

式（3-17）和（3-18）考虑了首波出现的情况。

若考虑顶点的散射波，则有：
0220)3(3s z x t t ∆+∆+= （3-19）
式（3-19）考虑了散射波传播的情况。

依据费马原理，在考虑了平面透射波、首波和散射波情况下的最终初至走时为：
),,min()3(3)2(3)1(33t t t t = （3-20）
具体的实现步骤如下：如图3-3所示，从源点到各边的长度分别为R 1、R 2、R 3和R 4，以R 1<R 2<R 3<R 4为例，按照上面的方法一环一环地逐渐向外扩展。

首先由源点O 进行矩阵扩展直到R 1环，如图3-3虚线所示；然后基于R 1环向左、向上和向右外推直到R 2环，如图2细实线所示；再由R 2环向上和向右外推至R 3环，如图3-3中较粗实线所示；最后由R 3环向上外推至R 4环，如图3-3中最粗实线所示。

扩展矩阵与方阵所不同的是不需要整环外推，而是只对未到达边界的各边进行外推，直至各边都到达边界为止，这样整个模型上的图3-3 扩展矩阵图 R 1、R 2、R 3和R 4分别为源点O 到下边、左边、上边和右边的距离。

先由源点O
进行矩阵扩展直到R 1环，如虚线所示；然后基于
R 1环向左、向上和向右外推直到R 2环；再由R 2
环向上和向右外推至R 3环；最后由R 3环向上外推
至R 4环，这样整个模型上的走时就可计算出来。

R 1 R 2 R 3
R 4 O
最终初至走时（公式（3-20））就都计算出来了。

具有不同的纵、横向采样间距的二维矩形网格模型，相对于经典的二维方形网格模型的优点是：（1）在勘探地震学或天然地震学中，它可把地震道间距或其倍数作为离散网格的横向采样间隔，而纵向采样间隔可按要求任意选取，无需做地震道的空间插值；（2）可较好地适应速度场的纵横向变化，具有较强的灵活性；（3）在满足精度的条件下，可以最大限度地提高计算效率。

二．迎风有限差分三维旅行时计算
Kirchhoff 积分法三维叠前深度偏移的核心是复杂介质中的旅行时计算。

三维旅行时算法的效率和精度直接决定了成像方法的应用范围和效果。

考虑到偏移速度场的复杂性和三维叠前深度偏移的大计算量，必须采用稳健高效的三维旅行时计算方法。

目前大部分的Kirchhoff 积分法三维叠前深度偏移仅利用初至波旅行时。

实质上，波前面有时会数次通过速度空间中的某一点，出现多值旅行时，使得初至波旅行时与携带最大能量的波前的到达时不一致，此时仅用初至波旅行时成像显然是不合适的。

然而，利用初至波旅行时的Kirchhoff 积分法偏移实现简单、计算效率高，且成像精度能满足大多数情况下的实际要求。

因此，我们采用了稳健高效的迎风有限差分三维旅行时计算方法。

迎风差分格式就是考虑到波的传播规律构造出的差分格式。

该方法较高的计算效率正是源于迎风差分格式，因为它不需要搜索旅行时的相对极小值点或多次计算同一点的旅行时来保证计算过程满足因果律、计算旅行时满足费马原理。

另外，迎风有限差分法适合于向量并行巨型机；改进型（无量刚形式）的有限差分方程明显提高了计算方法的稳定性；下面给出的稳定性条件自适应地决定了用于外推的径向（三维旅行时的计算采用了球坐标系）步骤；计算网格的数目、大小、形状、和边界会随径向半径和速度场的复杂性自适应选取；考虑到原坐标系是笛卡尔坐标系，旅行时计算网格是笛卡尔网格，因此球坐标系下的计算网格的边界截断也是自适应的。

球坐标系下的程函方程为
22
2222),,()sin (11z y x s t r t r r t =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂φθθ （3-21） 其中t 是旅行时，S 是慢度。

定义 φ
θ∂∂=∂∂=∂∂=t v t u r t w ,, （3-22） 考虑到计算方法的稳定性，令
r
v v r u u ==, （3-23） 基于有限差分近似，最后得出 2/12222sin ),,(),,(),,(),,(⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∆+-∆+-∆+=∆+θφθφθφθφθr r v r r u r r s r r w （3-24） 经推导有如下的CFL 稳定性条件
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∆+∆∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤∆θφθφθθαv u wr r 22sin sin 21 (3-25) 其中，r r r /)(∆-=α。

上述方程在全部θ和φ上可实现向量化和并行化。

在满足（3-25）式的条件下，利用上述方程可实现三维旅行时场的计算。

三．模型试算
基于矩形网格进行二维模型的有限差分走时计算。

计算中选取了一均匀模型。

其速度为2000m/s ，网格大小为100⨯100，当间距x ∆与z ∆之比小于3时，计算的相对走时误差小于0.05%；当网格大小为80⨯100时，网格间距之比越小，计算的相对走时误差也越小。

图3-4是一层状介质模型。

上、下层速度分别为1000m/s 和2500m/s ，网格大小为100⨯80，纵横向网格间距分别为2m 和4m ，震源位于（40, 160）点处的初至波等时线图重叠在该层状介质上。

图3-5为均匀介质中含一高速体，背景速度为1000m/s ，高速体速度为2500m/s ，网格大小为80⨯100，纵横向网格间距分别为2m 和4m ，震源位于（160, 0）点处的初至波等时线重叠在该高速体介质上。

从等时线图中可以看到，模型中首波和顶点产生的散射波均存在。

图3-6为激发点A 处包括直达透射波、首波和散射波在内的射线追踪图。

利用该方法求取了直达透射波、首波和散射波到达接收点B 处的旅行时，并依据费马原理最终得到了初至走时。

该方法适于地震正演、Kirchhoff 积分法地震偏移和层析成像等。

§3.3 Kirchhoff 积分法叠前深度偏移
一．考虑几何扩散效应的Kirchhoff 积分法叠前深度偏移
为适应复杂地质构造和岩性成像实现保幅处理。

在Kirchhoff 积分法叠前深度偏移中，图3-5 含高速体的均匀介质和重叠在其上的震源位于(160, 0)点的等时线图。

背景速度为1000m/s ，高速体速度为2500m/s
图3-4 层状介质和重叠在其上的震源位于(40,160)点的等时线图。

注意，上、下层速度分别为1000m/s 和2500 m/s 。

。

x /m 1000 m/s 2500 m/s (z /m )
x /m 2500 m/s 1000 m/s (z /m )
图3-6 由图4中震源位于(160, 0)点（A 点）激发的地震波，在背景速度为1000m/s 的均匀介质中传播后，在速度为2500m/s 的
高速体上发生透射、折射（临界角）和散
射（C 点）
，在接收点B 处接收到了直达透射波①、首波②和散射波③。

首波 z /m x /m 散射波e 直达波 ① ② 接收点 2500m/s
1000m/s C B ③ 震源点 A
应考虑采集效应、几何扩散、振幅随入射角的变化、透射损失、地层吸收衰减、散射损失、焦散效应、各向异性影响和薄互层效应等。

下面基于Marmousi 模型讨论只考虑几何扩散效应的Kirchhoff 积分法叠前深度偏移。

经推导，采用如下的考虑几何扩散效应的Kirchhoff 积分法叠前深度偏移成像公式
r s r r s s r s r r r s dx t
x x x x x x u x x x A x x n x x R ∂+∂∇⋅=⎰∑));,();(;();;();();(τττ （3-26） 式中，∑是记录面（线）；r s x x x ,,分别表示成像点、震源点和接收点；r s ττ,分别表示震源点到成像点和成像点到接收点的旅行时；A 是几何扩散因子（振幅加权因子）；n
是记录面∑的外法线方向；u 是记录波场；R 是反射系数。

我们基于Marmousi 模型(Versteeg R., 1994)进行了初至波走时的计算和基于该走时的Kirchhoff 叠前深度偏移。

Marmousi 模型是一比较复杂的2-D 地质模型，如图3-7a 所示。

模型上部主要有三大断裂组成；中部有一盐丘；深部两侧有高速体，中间2500m 附近有一低速目的层。

所用炮记录来自于SEG/EAGE 提供的声波模拟记录。

总计240炮，每炮96道，每道750个样点，时间采样率为4ms ，炮间距和道间距均为25m ，CDP 间距为12.5m ，深度采样间隔为4m ，最大深度为3000m 。

图3-7a 是纵横向间隔均为3.125m 方形网格的Marmousi 模型(1988⨯960)和重叠在其上的震源位于(1000, 0)点处的一等时线图。

图3-7b 是CDP 间距为12.5m ，深度间隔为4m 的Marmousi 模型(497⨯750)和重叠在其上的震源位于(250, 0)点处的一等时线图。

比较图3-7a 和3-7b 的计算结果可以看到，无论从整体效果还是从局部效果上（如图中的A 、B 和C 点），适于矩形网格的有限差分走时计算法都要优于方形网格法。

且在算法实现过程中，矩形网格法无需地震道的内插，适于介质的强纵横向变速，有较高的计算效率、较强的适应性和灵活性。

基于上述方法，对Marmousi 模型做了Kirchhoff 叠前深度偏移处理，如图3-8a 所示。

为便于比较，我们用Fourier 有限差分（FFD ）法对Marmousi 模型也做了叠前深度偏移处理，如图3-8b 所示。

两次处理的结果说明了Kirchhoff 积分法在三大断裂和盐丘的位置成像精度，断点的清晰度和识别上以及深部高速体和低速目的层的位置成像精度、分辨率和准确性上，基本达到了波动方程的FFD 法叠前深度偏移的位置成像效果。

但是，在三大断裂、盐丘和深部高速体，尤其是低速目的层的保幅性上不如波动方程的FFD 法。

这与所用方法（与FFD 等波动方程法和全格林函数法相比）没有考虑续至波等有效能量密切相关，这一点对强纵横向变速的复杂介质情况尤为明显。

目前，基于全格林函数法，研究使用有限差分计算走时的高效方法已成为可能。

另外，Kirchhoff 积分法在实用性上易于实现相对保幅处理。

因此，Kirchhoff 法叠前深度偏移有着广阔的应用前景。

(a) 方形网格法 (b) 矩形网格法 图3-7(a) Marmousi 模型(1988⨯960)和重叠在其上的震源位于(1000, 0)点的一等时线图，Δx=Δz=3.125m ； (b) Marmousi 模型(497⨯750)和重叠在其上的震源位于(250, 0)点的一等时线图，Δx=12.5m 、Δz=4m 。

CDP C A B (z /m ) CDP A B C (z /m )
二． Kirchhoff 型保幅叠前深度偏移
1．基本原理
当前使用积分法进行叠前深度偏移比较普遍，因为它具有通过服从Snell ’定律的射线追踪或基于Fermat 原理的有限差分快速实现绕射走时计算的优点，这样使通过复杂地质体的地震波能够比较准确的描述和实现方法本身的高效率。

用于波场反向外推的积分式和三维叠前时间偏移的公式在总体上是一致的，但在时间偏移中一般不进行射线追踪。

我们可以从Kirchhoff 积分式出发计算反向外推的波场u(r,t)， ⎰⎰++∂∂+=A s g g g R g dxdy r r t r r t t r u t
r r v r r R t r u )),(),(,(]),(1),(1[
cos 21
),(φπ （3-27） r 表示地下任一点的三维坐标；R z /cos =φ；r g 为地震道的坐标)0,,(=g g g z y x ；r s 为炮点坐标，一般取原点；R(r, r g )为从r 到r g 的射线距离；v 为速度；t(r, r g )为从反射点（成像点）至地面接收点的走时；t(r,r s )为从震源点到反射点（成像点）的走时。

当R(r,r g )很大或kR(r,r g )>>1时，其中v k /ω=为波数，上式可简化为（Berkhout, 1983）
⎰⎰++∂∂=A s g g
g dxdy r r t r r t t r u r r R t v t r u )),(),(,(),(2cos 1),(πφ （3-28） （3-28）式是波场延拓的计算公式，需要的仅是计算偏移成像点的成像值，这时只从外推的记录上取时间),(),(s g r r t r r t t +=的波场值，即为r 点的成像振幅值，用公式表示为
⎰⎰+∂∂=A s g g
g dxdy r r t r r t r u r r R t v r u )),(),(,(),(2cos 1)(πφ （3-29） 如果将反射系数引进积分式，（3-29）式可写为
dxdy r r t r r t r u t r r dR dz r r A r r A v r R s g g
g s g )],(),(,[),(),(),(121)(+∂∂⎰⎰=π （3-30） R(r)表示反射系数加权后的偏移成像点的波场；A(r, r s )表示从震源到成像点（反射点）的振幅；A(r, r g )表示从成像点到接收点的振幅。

绕射走时的射线追踪法或有限差分法见本章的第一节和第二节。

(a) Kirchhoff 积分法 (b) FFD 法 图3-8 Marmousi 模型叠前深度偏移剖面
Trace Trace (z /m ) (z /m )
2．采集和传播效应及其补偿
1）传播效应
反射波由于在地面和反射层之间的传播而被模糊，偏移就是要去掉传播效应。

地震能够搞清的细节是半波长，更小的细节是不能解决的，但这并不意味着小比例尺的介质参数可以忽视。

通过一维介质的充分研究已经表明，层间的多次反射可能严重地影响着地震波场的可传播特征，其主要影响是与角度有关的频散现象。

但当前的宏观模型对这种影响不予考虑，因此这种影响在偏移中也被忽略了，这会导致成像波形频散和错误的振幅随入射角的变化（A V A ）。

要进行真振幅偏移，就是要对几何扩散和反射系数随入射角的变化和透射损失等进行补偿。

在震源附近，地震子波是脉冲型的。

但在远离震源后的传播中子波具有了一定长度的延续时间。

研究表明：反射面越深，反射波的优势频率也越低，这种变化主要与波场衰减有关。

研究波场衰减为仪器设计和参数设置提供参考、对高保真和高分辨率地震信息的精确接收十分有价值。

反射波的波场损失主要包括三方面：发散损失、透过损失和非弹性衰减损失。

发散损失是波前扩散的必然结果。

无论反射界面或速度梯度存在与否都要发生这种损失，并且它们的存在控制着具体的发散特点。

透过损失是只有当部分能量被反射的反射界面存在时才发生的一种损失，界面越多损失越大。

因此，视反射界面的分布情况，透过损失可以大于或小于发散损失。

而地震波的非弹性吸收机理目前还不是很清楚，较为一致的意见是由于介质的内摩擦和振动做功引起的。

这与地震能量转换为热能的吸收过程有密切关系，也和物质的不均匀性引起的散射而使信号失去相干性有关。

其中，岩石孔隙和裂隙中的流体对地震波的非弹性衰减的研究于20世纪50年代，由Biot 建立的均匀各向异性多孔线性粘弹性介质中波传播的半唯象理论展开。

但由于其复杂性，目前对其具体的定量研究还没有开始。

总之，波场传播衰减的研究对于指导爆炸和保真接收均有实际意义。

2）采集效应
对于复杂地区的三维地震数据采集有许多限制，常采用一些不规则观测系统。

Kirchhoff 偏移在三维叠前深度偏移领域中已经取得了很大的成功，然而对于一些盐丘或者是采集观测系统比较复杂的情况，偏移振幅的精度不够高。

这主要是由不规则采集观测系统的采样和波场穿过地下构造复杂地区的扭曲相互作用而产生的。

目前，不规则空间采集分布是三维地震勘探中一个常见的问题。

Chemingui 和Biondi 已经说明了不规则采样在偏移成像剖面上会留下印痕，尤其是在3-D 多道处理和3-D 叠前偏移中更是如此，为此设计了许多使这些假象最小化的方法。

为了考虑到不规则空间分布，近来提出了两种不同的方法：一种是局部方法，它是权函数基于等效数据理论（Canning and Gardner, 1998）；另一种是全局方法，介绍的是加权真振幅偏移核的反演（Wu, 1998）。

为了计算合适的保幅叠前深度偏移的权函数，Philippe 等提出了地面道位置的几何研究。

由此把上述两种方法综合成3-D 保幅叠前深度偏移方法。

在这种方法中，保幅偏移的权函数包含了振幅补偿和采集观测系统补偿两大部分。

对于采集观测系统补偿应该考虑道密度和采集（传播）效应。

把一特定的密度权函数因子),(r s w mid 直接包含在偏移核中，这样就考虑了不规则采集的影响，由此应能提高最终的保幅成像结果。

注意，其中的加权面是利用对整个观测系统的每一炮检距范围的中心点位置的三角剖分来建立的，且对每一叠前道给出一加权因子。

因为处理四维空间（震源y x s s ,和检波点y x g g ,）是比较困难的，因此把工作空间简化为一理想的三维地震观测，其中对每一炮检距范围考虑中点坐标（)(5.0x x x g s m +=和)(5.0y y y g s m +=）。

每一个对目的层有贡献的地震道必须关于地面分布加权，此地面分布可以为每一地震道关于它的相邻道（这样寻找最接近的道）
定义一个积分区。

在我们的三维工作空间内，在每一炮检距范围，把相邻道定义为相邻中点。

3）偏移核内的权因子
三维叠前深度偏移是基于渐进近似（射线理论+Born 或Kirchhoff 近似），格林函数可以在三维不均匀光滑速度场中通过基于动力学射线追踪的波前重建方法求得。

另外，即使成像算法设计成保幅的，但由于地震数据的不规则空间采样，振幅假象和相位畸变将会影响成像的质量。

因此，不规则采集的三维数据体的偏移成为一个重点研究的课题。

下面主要说明一下如何把地震道的不规则采样的影响考虑到叠前深度偏移的核函数内。

在一海上三维地震情况下，对于每一深度点x 0，三维偏移/反演的最终表达式可概述如下
)),,,(,()(),,()2(1
)(0020s r x s T r LSR q s x r A q x m obs LSR δςπδ⨯∂∂∑≈ （3-31） 其中，q 是一个矢量，它是由与分别来自于炮点和接收点位置(s, r)的射线有关的慢度矢量和p s +p r 确定的，A 和T 是由射线追踪计算的振幅与走时。

obs δς是地震数据，LSR 是地震道。

在三角剖分和权函数计算后，能够对每一地震道LSR 定义适当的密度),(r s w mid ，并可以用包含一传播项和一采集项的二个矩阵表示雅可比矩阵
ideal mid LSR r s r s w r s q LSR r s r s q LSR q ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂≈∂∂∂∂=∂∂)(),(),(),()()(),(),()()()(
偏移核通过矩阵补偿了双程振幅（1/A ），并通过矩阵ideal mid LSR r s w )(/),(∂∂⨯考虑了采集观测系统。

在该矩阵中，含有由射线追踪计算的旁轴量和一个加权密度（w mid ）。

w mid (s, r)来自于三角剖分，它直接考虑了采样的不规则性。

因而，在不均匀模型中，基于三维射线追踪的偏移方法具有如下几个优点：计算效率高；能提供有关反射层的定量信息（即反射系数、速度扰动或阻抗反差）和能解释多值波至。

另外，三角剖分是纯几何问题，步骤比较简单。

以二维为例，（1）输入中点谱（对一给定炮检距范围的中点坐标），输出是一系列三角形（中点为顶点）。

因为不想内插地震数据，中点坐标是固定的。

每一中点与其它中点通过三角形的边相联接，边的数目取决于该中点与其它中点的相对位置；（2）划分每一三角形面并把部分面分配给最近的中点。

如果在保幅叠前深度偏移的核中选用合适的权因子，则可以消除实际采集所产生的印痕。

三角剖分和权函数的计算实现了偏移算子的保幅能力。

3．地震波的散射
地震剖面的真振幅分析日益成为地震勘探研究的重点。

一个反射层的波阻抗反差和沿该反射层的振幅变化用来定量表征反射层的物理和地质性质。

对于勘探问题，关于反射层性质的推论有可能确定油/气/水界面。

在地震勘探中广泛接受的观测方式是：一般反射层越深，相对应的反射信号越复杂。

一个可能的原因是由于随着深度的增加反射层本身会变得更加复杂；其二，复杂的覆盖层在很大程度上影响地震波从震源到反射层再到检波器的传播。

对于第二种情况，即使在反射层本身很简单的情况下，在传播过程中由于散射会造成波的‘累积’复杂性和能量损失。

此时，如果采用这样的记录信号做振幅研究，那么将欠估计反射系数，且按照该反射层的内部结构，将对偏移剖面做错误的解释。

下面给出了对给定的覆盖层的统计参数，如何定量估计散射损失。

根据这些信息，就可以校正由于散射引起的振幅损失，并依次可靠地估计反射系数和A VO 趋势。