材料力学考研综合试题(卷)

综合题

1 图示结构均用235Q 钢制成，材料的弹性模量GPa 200=E ，在梁端截面

B 处有一重量为P 的物体自B 正上方高度h 处自由下落，已知：kN 10=P ，mm 0001=l ，mm 1=h ，梁的横截面惯性矩3/2Al I =，杆B

C 的横截面积为A ， 杆BC 为大柔度杆，其直径mm 30=d ，试求点B 的铅垂位移。

解：变形协调

)/()3/()(N 3N EA l F EI l F P =-

2/N P F =

m m 4035.0)/(N st ==EA l F Δ

kN 8.85])/21(1[2/1st d =++=Δh P P

kN 48.78/πkN 9.422/22cr d Nd ==<==l EI F P F

m m 303.0)/(Nd d ==EA l F w B

2 图a 所示杆AC 与弹簧相连，受到重量为P 的重物自高h 处自由下落的冲击。杆AC 长为l ，横截面面积为A ，材料弹性模量为E ，弹簧刚度为k N/mm ，在未受冲击时弹簧不受力。试导出C 处的最大动位移max d δ的计算公式。

(a)

解：图b,平衡 P F F B A =+ ]

)/21(1[)//()/()]

/(1/[/)/(2/1st st d st δδδδh k

l EA P EA l F EA kl P F k

F EA l F A A B A ++=+==+==

3图示截面为2mm 2575⨯=⨯h b 的矩形铝合金简支梁，跨中点C 增加1弹簧刚度为kN/m 18=k 的弹簧。重量N 250=P 的重物自C 正上方高mm 50=h 处自由落下，如图a 所示。若铝合金梁的弹性模量GPa 70=E 。试求：

（1）冲击时，梁内的最大正应力。

（2）若弹簧如图b 所示放置，梁内最大正应力又为多大？

解：m 5034.0/)48/(3

a st,=+=k P EI Pl δ

MPa 24)4/(a st,==W Pl σ

97.2211a

st,da =+

+=δh

K

MPa 4.712497.2da =⨯=σ 弹簧受压力k F （静荷时）

k F EI l F P k k /)48/()(3=-,N 149=k F ,101=-k F P N

MPa 70.9)4/(

)(b st,=-=W l F P k σ mm 28.8/b st,==k F k δ,616.4b d,=K

MPa 8.44st d db =⋅=σσK

4 图a 所示重量为kN 2=P 的重物，自高度mm 10=h 处自由下落冲击直径为d 的圆横截面杆组成的水平框架上的点C 处。已知弯曲刚度2m kN 6.133⋅=EI ，m 1=a ，切变模量E G 4.0=（E 为材料的弹性模量）。试求截面C 的最大铅垂位移。

(a) 解：0)2(22p

2=-+-=GI a

Pa M EI a

P EI a M C C C θ Pa M C 18

7

=

(I I 2p =)， Pa Pa M T C BA 9

1

2-=-

=(顺)

mm 158.41852.7636763223233

333p

32

3st,==+

+-=⋅-+-=EI

Pa EI Pa EI Pa EI Pa EI Pa a GI a T EI a P EI a M EI a P ΔBA C C

mm

2.1441.3158.441.3)/21(1d,2/1st,d =⨯==++=C C ΔΔh K

5图a 所示两端固定的超静定梁横截面为矩形，高为h ，宽为b ，材料的弹性模量为E ，重量为P 的重物自梁中点C 处正上方高0h 处自由落下。试求冲击时的最大动应力m ax d σ。

(a) (b)

解：忽略轴力影响，有静定基如图b,用迭加法

022)2(22=-

=EI l M EI l P C

C θ Pl M C 81=，Pl M A 81=

EI

Pl EI l M EI l P ΔC C 1922)2(3)2(232

3=

-= 21

3

0210d )]/(3841[1)21(1Pl EIh Δh K C

++=++=

])3841(1[43213

02d d Pl

EIh bh Pl

W M K C ++==σ

6 图a 所示梁AB 用梁CD 加强，E 、D 间通过一刚体接触,两梁的弯曲刚度

均为EI 。重为P 的重物自B 处正上方高h 处以初速度0v 下落，冲击梁AB 。P 、

0v 、l 为已知，试求：

(1) 若已知重物自由下落时的动荷因数2/1st d )/21(1Δh K ++=，用此式如何导

出有初速度0v 时的d K ；

(2) 求梁AB 的最大动弯矩。

B

E

A

P

(a) (b)

解：2/11d )/21(1B h K δ++=2/12

}/)]2/([21{1B g v h δ+++= D E F F =

)()()('

ED D ED E E F w F w P w =-

)3/()3/()6/(5333EI l F EI l F EI Pl ED ED =- 4/5P F ED =

EI

Pl l EI l F EI l F EI l P ED ED B 813)23(3)2(3

233=+-=δ

2/132

0d )]13/()2(81[1g Pl v gh EI K +++=

d PlK M E =,4/3d PlK M A =,max M M E = })]13/()2(81[1{2

132

0max g Pl v gh EI Pl M +++=

7 图a 所示半径为R ，弯曲刚度为EI 的等截面薄圆环在直径AB 两端作用一对突加载荷F ，试求AB 间相对动位移。

R

D

C

F

A

F B

(a) (b)

解：由结构、载荷对称性，C 、D 横截面剪力为零，静定基如图b ：

)cos 1(2)(ϕϕ-+-=R F X M ，1-=∂∂X M

0d )(12π

0 =∂∂⋅-=⎰ϕϕθR X M M EI C ，

)π121(-=FR X EI FR R F M M EI ΔCy 322π

0 π88πd )2(1-=∂∂=⎰ϕ

EI

FR FR EI ΔΔCy AB 33

2st 149.0π4)8π(2=-==

突加载荷 2d =K

X