《自动控制原理》线性定常系统的线性变换及结构分解

1n−1
n−1 2
n−1 n
(9-170)
3)设A阵具有m重实数特征值1，其余为(n − m) 个互异实数特征
值，但在求解Api = 1 pi (i = 1,2,, m) 时仍有m个独立实特征向量P1, P2 ,, Pm ，
则仍可使A阵化为对角阵 。（Ver6书没有）
P = p1 p2 pm pm+1 pn
系统。其动态方程分别为
•
S1 : x = Ax + Bu, y = Cx
(9—186)
•
S2 : z = AT z + C T v, w = BT z
(9—187)
其中，x，z均为n维状态向量；u.w 均为P 维向量；y, v 均为q维向量。
注意到系统与对偶系统之间，其输入、输出向量的维数是相交换的。
这表明变换前与变换后系统的传递矩阵完全相同，系统的传递矩阵 对于非奇异线性变换具有不变性。
3．变换后系统可控性不变
变换后系统可控性矩阵的秩为
rankS ' = rank P −1B (P −1 AP)P −1B (P −1 AP)2 P −1B (P −1 AP)n−1 P −1B = rank P −1B P −1 AB P −1 A2 B P −1 An−1B = rankP−1 B AB A2 B An−1B = rank B AB A2 B An−1B = rankS
三．非奇异线性变换的不变特性 从前面的研究中可以看到，为了便于研究系统固有特性，常常
需要引入非奇异线性变换，例如，将A阵对角化或约当化，需进行P 变换；将 A,b化为可控标准型，需进行 P−1 变换；将 A, c 化为可观测
标准型，需进行PT 变换。虽然这些变换中的p阵各不相同，但都是
非奇异矩阵。经过变换后，系统的固有特性是否会引起改变呢?这 当然是人们在研究线性变换时所需要回答的一个重要问题。下面的 研究将会表明，系统经过非奇异线性变换，系统的特征值、传递矩 阵、可控性、可观测性等重要性质均保持不变。下面以p变换为例 进行论证。
p1
b 0
Pb =
p1 A
b
=
p1
Ab
=
0
p1
A
n−1
A
n−1b
1
（9-183）
即
p1 b Ab An−1b = 0 0 1 （9-184）
故
p1 = 0 0 1 b Ab An−1b −1 （9-185）
该式表明 p1 是可控性矩阵的逆阵的最后一行。于是可得出变换 矩阵 p1 的求法如下：
p1
P=
p1 A
p1
A
n−1
5）P−1 便是将非标准型可控系统化为可控标准型的变换矩阵。
4.化可观系统为可观标准型 ？？
二．对偶原理
1．对偶系统的定义
在研究系统的可控性和可观测性时，利用对偶原理常常带来许
多方便。设系统为 S1 ( A, B,C)，则系统 S2 ( AT ,C T , BT )为系统 的对偶
pn−1 A = pn pn A = −a0 p1 − a1 p2 − − an−1 pn
经整理有
p1 A = p2 p2 A = p3
pn−1 A = p1 An−1 = pn
由此可得变换矩阵
p1
P=
p1 A
p1
A
n−1
（9-182）
又根据b 阵变换要求，P 应该满足式（9－179），有
可见，系统变换后与变换前的特征值完全相同，这说明对于非奇 异线性变换，系统特征值具有不变性。 稳定性？
2．变换后系统传递矩阵不变 变换后系统的传递矩阵为
G ' (s) = CP(sI − P −1 AP)−1 P −1B + D = C P(P −1sIP − P −1 AP)−1 P −1B + D = CP[P −1 (sI − A)P]−1 P −1B + D = CPP −1 (sI − A)−1 PP −1B + D = C(sI − A)−1 B + D
p1
1
2 p1
12
p2
p2
1
p6
pn
（9—221）
3.化可控系统为可控标准型 在前面研究状态空间表达式的建立问题时，曾得出单输入线
性定常系统状态方程的可控标准型：
•
x1
•
x2
•
xn−1
•
xn
=
0
0
0
− a0
1 0 0 − a1
0 1 0 − a2
0 x1 0
(9—188)
系统可观测，但 A, c 不是可观测标准型。其对偶系统动态方程为
•
z = AT z + C T v, w = bT z
（9－189）
对偶系统一定可控，但不是可控标准型。可利用已知的化为可控标
准型的原理和步骤，先将对偶系统化为可控标准型，再一次使用对
偶原理，便可获得可观测标准型。计算步骤略。
1.化A矩阵为对角型
1)设A阵为任意形式的方阵，且有n个互异实数特征值1, 2 ,, n ，
则可由非奇异线性变换化为对角阵 。
1
= P −1 AP =
2
n
(9-167)
阵由A阵的实数特征向量 Pi (i = 1,2,, n) 组成
P = P1 P2 Pn
(9-168)
特征向量满足
根据A阵变换要求，P应满足式(9—227)，有
p1 0 1 0 0 p1
p2
0
0
1
0
p2
A =
pn
−1
0
0
0
1
pn
−1
pn − a0 − a1 − a2 − an−1 pn
展开为
（9-179） （9-180）
(9-181)
p1 A = p2 p2 A = p3
设系统动态方程为
•
x = Ax + Bu, y = Cx + Du
令 x = Px ，变换后动态方程为
•
x = P−1 APx + P−1Bu, y = y = CPx + Du 1．变换后系统特征值不变 变换后系统的特征值为
I − P −1 AP = P −1P − P −1 AP = P −1P − P −1 AP = P −1 (I − A)P = P −1 (I − A) P = P −1 P I − A = P−1P I − A = I I − A = I − A
12
1n−1
pm+1
pn
（9－218）
式中
p1 = 1 1
12
n−1 T 1
（9－219）
（Ver6书没有）3)设A阵具有五重实特征值 1，但有两个独立
实特征向量 p1, p2 ，其余为 (n − 5) 个异实特征值，A阵约当化的可能
形式是
J 中虚线示出存在两个约当块，其中
P = p1
1. 计算可控性矩阵 ；S = b Ab An−1b
2. 计算可控性矩阵的逆阵 S −1 ，设一般形式为
S11 S12 S1n
S −1
=
S 21
S 22
S
2n
S n1
Sn2
S
nn
3. 取出 S −1 的最后一行（即第n行）构成 p1 行向量
p1 = Sn1 Sn2 Snn
构成 P 阵
Api = i pi ;i = 1,2,, n
(9-169)
2)若A阵为友矩阵，且有n个互异实数特征值1, 2 ,, n ，则下
列的范德蒙特(Vandermode)矩阵P可使A对角化：
0 1 0 0 1 1 1
0
0
1
0
1
2
n
A=
0
0
0
1
,
P
=
12
22
2n
− a0 − a1 − a2 − an−1
0
x2
0
+ u
1
x
n−1
0
− an−1 xn 1
（9-174）
与该状态方程对应的可控性矩阵s是一个右下三角阵，其主对角线
元素均为1，故 det S 0 ，系统一定可控，这就是形如式(9-194)
中的 A, b 称为可控标准型名称的由来。其可控性矩阵s形如
S = b
Ab
0 0
An−1b = 0 0 1
0 0 0 1 − an−1
0 0 1 − an−1 − an−2
0 1

−
an
−1
（9-175）
一个可控系统，当A,b 不具有可控标准型时，一定可以选择适
当的变换化为可控标准型。设系统状态方程为
•
x = Ax + bu
进行 P−1 变换，即令
（9-176）
在研究线性定常连续系统状态空间表达式的建立方法时可以看 到，选取不同的状态变量便有不同形式的动态方程。若两组状态变 量之间用一个非奇异矩阵联系着，则两组动态方程的矩阵与该非奇 异矩阵有确定关系。
设系统原动态方程为
•
x = Ax + bu, y = cx
令
（9-163）
x = Px
（9-164）
式中p为非奇异线性变换矩阵，它将x变换为 x ，变换后的动态方
（9－1）
A式pi中= 1 pi (i = 1,2,, m) 是互异实数特征值对应的实特征向量。 展开 pm+1, pm+2 ,, pn 时，n个代数方程中若有m个pij ( j = 1,2,, n)元
素可以任意选择，或只有 (n − m) 个独立方程，则有m个独立实特征 向量。
2.化A阵为约当型
9-5 线性定常系统的线性变换及结构分解
为便于对系统进行分析和综合设计，经常需要对系统进行各种 非奇异变换，例如将A 阵对角化、约当化，将A,b化为可控标准型，
将 A, c化为可观测标准型；或将系统按可控可观性进行结构分解等。
本节将介绍在线性定常系统研究中常用的一些线性变换方法及 非奇异线性变换的一些不变特性，并通过线性变换对系统内部结构 进行分解。 一、状态空间表达式的线性变换 [1]ver6p465
CT AT CT (AT )n−1CT 完全相同。
即对偶原理：S1 可控➔ S2可观 S1可观➔ S2 可控
3．对偶原理的应用
应用对偶原理，能把可观测的单输入－单输出系统化为可观测 标准型的问题转化为将其对偶系统化为可控标准型的问题。
设单输入－单输出系统动态方程为
•
x = Ax + bu, y = cx
p1
p2
p
m
1
1
=
A p1
p2
pm
1
（9-171） （9-172）
（9-173）
pm+1 ,, pn 是互异特征值对应的实特征向量。
（Ver6书没有）2)设A为友矩阵，具有m重实特征值，且只有一
个独立实特征向量 1 ，则使A约当化的 P 为
P = p1
p1
1
2 p1 n−1 p1
x = P −1z
（9-177）
变换为
•
z = PAP −1z + Pbu
（9-178）
要求
0 1 0 0
0
0
0
1
0
0
PAP −1 =
, Pb =
0
0
0
1
0
− a0 − a1 − a2 − an−1
1
下面具体推导变换矩阵P：
设变换矩阵P为
P = P1T P2T PnT T
其中，s为变换后系统的可控性矩阵；s为变换前系统的可控
性矩阵。可见，变换后与变换前系统可控性矩阵的秩相等，根据系
统可控性的秩判据可知，对于非奇异线性变换，系统的可控性不变。
4．变换后系统可观测性不变
设变换后系统的可观测性矩阵为 V ' ，变换前系统的可控性矩阵
为v，则有
rankV ' = rank (CP)T (P −1 AP)T (CP)T ((P −1 AP)2 )T (CP)T ((P −1 AP)n−1 )T (CP)T = rank PT C T PT AT C T PT ( A2 )T C T PT ( An−1 )T C T = rankPT C T AT C T ( A2 )T C T ( An−1 )T C T = rank C T AT C T ( A2 )T C T ( An−1 )T C T = rankV
1)设A阵具有m重实特征值 1 ，其余为(n—m)个互异实特征值， 但在求解 Api = 1 pi 时只有一个独立实特征向量 p1 ，则只能使A化
为约当阵 J 。
J 中虚线示出存在一个约当块。
P = p1 p2 pm pm+1 pn
式中 p2 , p3 ,, pm 是广义实特征向量，满足
1 1
程为
•
x = Ax + bu, y = cx = y
(9-165)
式中
A = P−1 AP,b = P−1b, c = cP
（9-166）
并称为对系统进行p变换。对系统进行线性变换的目的在于使 A 阵
规范化，以便于揭示系统特性及分析计算，待获得所需结果之后，再
引入反变换关系x = P−1x ，换算回原来的状态空间中去，得出最终结果。
当 S2 为 S1 的对偶系统时，S1 也是 S2 的对偶系统。
2．对偶原理
不难验证，系统 S1的可控性矩阵 B AB An−1B与对偶系统 S 2的
可观测性矩阵 (BT )T (AT )T (BT )T ((AT )T )n−1(BT )T 完全相同；系统 S1的
可观测性矩阵 CT AT CT (AT )n−1CT与对偶系统 S 2 的可控性矩阵