量子力学的矩阵形式和表象变换考试题

x2
x’2
A’2
(ei , e j ) ij (i, j 1,2) （1） A2
A
平面上的任何一个矢量都可用它 们来展开,
A A1e1 A2e2
e2 θ
O e’1
ee’12 θ A’1
A1
x1
（2） x’1
A1和A2表示矢量A在两个分量坐标上的投影。
假设另一个x’1x’2直角坐标系，由 原来的坐标系顺时针旋转 θ角,其基矢为e’1e’2, 满足
2 3
xe( px )xdx
23 1 ( px )2
c( px )
23 1 ( px )2
动量的几率分布为
wp
c( px ) 2
23
1
( px )4
动量的平均值为 p *(x) pˆ (x)
pˆ (x) i
43
x
(
xe
x
)
2i
3
(1 x)ex
p
(
x)
pˆ
(
x)
4i3
0
(x x2 )e2xdx
3. 能量表象
考虑任意力学量Q本征值为1, 2,…, n…,对应的正交本 征函数 u1(x), u 2 (x),… u n (x) …, 则任意波函数（x）按Q的 本征函数展开为
(x,t) anun (x),
n
（16）
下标n表示能级，上式两边同乘以u*m(x), 并积分
(x) 2 dx Axex 2 dx 1
A2 x e2 2xdx A2 1 1, A 43
0
43
(x) { 43 xex , x 0
0, x 0
c(
p, t )
43 (2)1/ 2
xex
p
(
x)dx
23
xexe pxxdx
0
x e 1 xdx
1
(
1)!(
N0)
第五章 量子力学的表象变换与 矩阵形式
1. 量子态的不同表象， 幺正变换 2. 力学量的矩阵表示 3. 力学量的表象变换
5.1量子态的不同表象， 幺正变换
5.1.1 坐标表象
通过坐标变换,以引进量子力学中的表象及表象变换的概念.
表象: 量子力学中的态和力学量的具体表示方式称为表象.
平面坐标系x1和x2的基矢e1和e2， 长度为1，彼此正交，即
(ei ' , e' j ) ij (i, j 1,2)
（1’）
在此坐标中，矢量A表示成
A A1e'1 A2e'2
（2’）
A A1e'1 A2e'2 A1e1 A2e2
对上式分别用e’1, e’2点乘
（3）
A1 A1(e'1e1) A2 (e'1 e2 ) A2 A1(e'2e1) A2 (e'2 e2 )
p'
(
x)e
i
E
p
't
p
(
x)dx
(
p
p'
)e
i
E
p
't
,
在动量表象中，具有确定动量p’ 的粒子波函数是函数。
例题：一维粒子运动的状态是
(x) {Axex , x 0
0, x 0
求1）粒子动量的几率分布；
2）粒子的平均动量
0
x 1exdx
1
(
1)!(
N0)
解：由于波函数为归一化，首先要对波函数进行归一化
am (t) um (x) (x,t)dx,
（17）
粒子态完全由an完全集确定，即能量表象。
(x,t) 2 dx an (t)a*m (t) um*(x)un (x)dx m,n
an (t)a*m (t)mn a*n (t)an (t)
m,n
n
因为
(x,t) 2 dx 1
（4）
写成矩阵的形式
A1 A2
(e'1 e1 ) (e'2 e1 )
(e'1 e2 ) (e'2e2 )
A1 A2
x2
x’2
A’2
cos s in
sin cos
A1 A2
A1 A2
R(
)
A1 A2
（5）A2e2 θ
O e’1
（6）
ee’12 θ A’1
A A1
x1 x’1
R（θ）称为变换矩阵元，是两个坐标系基矢之间的标积。当 R确定后，任何两个坐标系之间的关系也就确定了。
因为波函数是归 一化的，表示成
1
例题1：一维谐振子的能量表象中不同能量本征值的波函数
n=0:
0
4
exp( 1 x2 )
2
E0
1 2
n=1:
1 2
1 2
exp( 1 x2 )
2
x
E1
3 2
因为系统的波函数是正交归一的波函数，表示为
(x,t) 4 exp( 1 x2 ) 2 1 exp( 1 x2 ) x ....
所以
a* n (t)an (t) 1
n
来自百度文库
an 2 是对应力学量Q取不同能量本征值的几率
数列a1(t), a2 (t), a3(t),...an (t)..
可表示成一 列矩阵的形 式
a1(t)
a2 (t)
an (t)
其共轭矩阵
为一行矩阵
a*1(t), a*2 (t),... a*n (t),...
(
x,
t
)
p
(
x)dx,
（13）
如果已知ψ(r,t) 就可以通过上式得到c(p,t)，反过来也成立。
(r,t) 2d 3r c(p,t) 2d 3 p,
（14）
显然， c(p,t)描述的粒子态与ψ(r,t)描述的粒子态同样完整。 已 知c(p,t)，就可以求出ψ(r,t)，反之也一样。即c(p,t)和ψ(r,t)描述 的是粒子态同一个状态。因此，将c(p,t)称为粒子态的动量表象。
4
2
2
2
总结
其转置矩阵表示为
R~
cos sin
sin cos
变换矩阵R与其转置矩阵之间的关系为
RR~ R~R 1
因为R＊=R，
（7）
5.1.2 Representation Theory (表象理论)
一个粒子的态完全可由归一化的波函数ψ(r,t)来描述， 将ψ(r,t)称为坐标表象。下面将讨论用动量为变量描述波函 数。 将ψ(r,t) 还可表示成
p (x)
1
(2)1/ 2
exp(
i
px x),
( x, t )
1
(2)1/ 2
i c( px , t) exp( px x)d p
（11）
c( p,t) p (x)dp
在整个动量空间积分。c(p,t)为展开系数， ψp(r )是动量 的本征函数。
（12）
1
c( p, t) (2)1/2
那么在动量表象中，坐标的平均值可以表示为
r c(p,t)(i p )c(p,t)d 3 p,
其它观测量的平均值类似可表示出。
p c(p,t)(ip )c(p,t)d 3 p,
如果ψ(x,t)描述的状态是动量p’的自由粒子的状态
( x, t )
p (x) exp(
i
Ep'
t),
c( p,t)