第五章(线性定常系统的综合)
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. x Ax Bu y Cx . x d Ad x d Bd ( υ y ) u C d x d
状态空间表达式为
A Bd C x y C 0 x d . .x x d BCd x 0 x B υ Ad d d
2、反馈连接
. x Ax B ( υ C f x f ) . x f A f x f B f Cx y Cx
状态空间表达式为
BC f x A B x 0 υ B C A f f f x y C 0 x f . .x x f
13 可得 G 40 1 2 s
§5.3 系统的镇定、解耦和状态观测器
一、系统的镇定 系统镇定： Σ0（A,B,C）通过反馈使其极点均具有负实部，保证系 统为渐近稳定。 系统状态反馈能镇定： Σ0（A,B,C）通过状态反馈使其极点均具有 负实部，保证系统为渐近稳定。 系统输出反馈能镇定： Σ0（A,B,C）通过输出反馈使其极点均具有 负实部，保证系统为渐近稳定。 二、系统解耦 1、概念 使具有输入和输出个数相同的MIMO系统的每一输出只受一个输入 控制，称为系统的解耦。 2、实现方法 ①使用前馈补偿器 (见 P183 图5-9)
试选择反馈增益阵G,使系统的闭环极点为-5，
1 0 rank( N ) rank 2 2 0 s
系统能观。
设
G G 0 G1
则
2 f () I ( A GC) 2 G0 s (1 G1 )
而
f * ( ) ( 5)( 8) 2 13 40
比较有
3 K 2 4 2 K1 6 K 4 0
得
K [ 4
4
1]
注意：当状态空间表达式不同时，结果亦不同。 二、采用输出反馈 定理1： 对于完全能控的SISO系统Σ0（A,b,C），不能采用输出线 性反馈来实现闭环系统极点的任意配置。 定理2：对于完全能控的SISO系统Σ0（A,b,C），通过带动态补偿 器的输出反馈实现闭环系统极点的任意配置的充要条件是： ① Σ0完全能观； ②动态补偿器的阶数为n-1。
特别地，D=0，有
. x [ A BHC]x Bυ y Cx
受控系统传递函数阵（D=0）
W0 (s) C(sI A) 1 B
带输出反馈的传递函数阵（D=0）
WH ( s ) C[ sI ( A BHC)]1 B [ I W0 ( s ) H ]1W0 ( s ) W0 ( s )[I HW0 ( s )]1
* ③ 比较 f ( ) 与 f ( ) 求 ④ 求G
G To2 G
1
说明：如果系统的维数较低，只要系统能观，也可以不化为能观标准 Ⅱ型，通过直接比较特征多项式系数确定G矩阵。
例 已知 -8。 解:
. 0 s2 1 0 x x u 0 1 1 0 y 1 0x
状态反馈与输出反馈的比较：
① ② ③ ④ H的选择余地不如K（m<n） ； 输出反馈是一种部分状态反馈； 输出反馈的效果不如状态反馈 输出反馈的实现较状态反馈容易。
三、从输出到状态矢量导数反馈
. x Ax Bu y Cx Du
引入图示状态矢量导数反馈
. x ( A GC)x ( B GD)u y Cx Du
设置状态反馈控制器，使系统的闭环极
点为-2，-1+j, -1-j。 解: 因为传递函数没有零极点对消现象，所以系统能控且能观。 可直接写出他的能控标准I型的实现，系统的状态空间表达式为：
0 x 0 0 y 10
.
0 0 0 1 x 0 u 2 3 1 1 0 0x
即
. x ( A BK )x Bυ y (C DK )x Dυ
K状态反馈矩阵（反馈增益矩阵）
二、输出反馈
. x Ax Bu y Cx Du
引入图示的状态反馈 则
u Hy υ u H (Cx Du) υ u ( I HD) 1 ( HCx υ)
步骤：① 将Σ0 化为能控标准Ⅰ型
② 加入
K [ K0 K1 Kn1 ]
并求
f ( ) I ( A b K )
* ③ 比较 f ( ) 与 f ( ) 求 K ④ 求K
K KTc1
1
若为传递函数， ① ④可以免除。
例 已知
W ( s)
10 s( s 1)(s 2)
有
. x Ax B( I HD) 1 ( HCx υ) 1 y Cx D( I HD) ( HCx υ)
H反馈增益阵
即
. x [ A B( I HD) 1 HC]x B( I HD) 1 υ 1 1 y [C D( I HD) HC]x D( I HD) υ
0 1 3 K2 K0
2 K1
3 K2
3 (3 K 2 )2 (2 K1 ) K 0
f * ( ) ( s 2)(s 1 j )(s 1 j ) 3 42 6 4
^
即
lim(x x) 0
t
^
。称
为Σ0的一个状态观测器。
^
3、实现方法 ①利用Σ0 的u和y重构 见P191图5-14 存在0—n-1阶微分器，会加剧测量噪声对系统的影 响，无工程价值。 ②开环观测器 见P192图5-15 要求Σ0 与Σo 的初始状态相同，因实际不可能而无 实用价值。 ③渐近观测器
设 K [ K0
K1
K2 ] 则
f ( ) I ( A bK ) 0 I 0 0 0 I 0 K0 1 0 2 0 0 0[ K 1 0 3 1 1 0 2 K1 0 K1 K2 ] 1 0 1
能控。 能观。
0 rank( N ) rank 1
1 2 0
引入状态反馈后 系统的状态空间表达式为：
. 0 1 0 x x u 0 0 1 y [0 1]x
0 rank( M ) rank 1
1 源自文库 0
②使用状态反馈(见 P184 图5-10)
三、状态观测器
1、意义
闭环系统极点的任意配置、系统解耦、最优控制等均离 不开全状态反馈。但是系统的状态变量并不都易于直接检测。 于是提出了“状态观测器。
2、定义 若线性定常系统Σ0（A,B,C）的状态矢量x不能直接检测， 则如果动态系统 以 Σ0的输入u和输出y作为其输入量，能 ^ 产生一组输出量 渐近于 xx
引入误差矢量 x x x 可得状态误差方程
x x x Ax Bu [( A GC ) x Gy Bu] Ax [( A GC ) x GCx] ( A GC )(x x)
^ ^ ^ . ~ . . ^
~
^
即
~
x ( A GC ) x
特别地，D=0，有
. x ( A GC)x Bu y Cx
传递函数阵
WG (s) C[sI ( A GC)]1 B
状态反馈、输出反馈、从输出到状态矢量导数反馈的共性 ① 都不增加状态变量，即维数不变； ② 反馈增益阵都是常矩阵，属于线性反馈； 四、动态补偿器 在受控系统的基础上添加子系统。 1、串联连接
第五章 线性定常系统的综合
要求： 1、理解状态反馈、输出反馈、从输出到状态矢量导数反馈的 概念、意义； 2、掌握极点配置问题解。
§5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
一、状态反馈
. x Ax Bu y Cx Du
引入图示的状态反馈 则
. x Ax B( Kx υ) y Cx D( Kx υ)
能控。 不能观。
0 rank( N ) rank 0
1 1 0
2、输出反馈不改变受控系统的能控性与能观性
§5.2 极点配置问题
给出系统的期望极点，确定增益矩阵。 一、采用状态反馈 1、定理 采用状态反馈对系统Σ0（A,b,C）任意配置极点的充要条件是： Σ0完全能控。 2、给定极点，求状态反馈增益K
三、采用从输出到 x 反馈 1、定理 . 对系统Σ0（A,b,C）采用从输出到 x 的线性反馈来实现闭环极点任 意配置的充要条件是Σ0 完全能观。 2、给定极点，求从输出到状态矢量导数反馈增益G
步骤：① 将Σ0 化为能观标准Ⅱ型 ② 加入G [G0
G1 Gn1 ]T 并求
.
f ( ) I ( A G C )
. ~
~
其解为： x e ( AGC )t x(0) ①若 x(0) 0 ②若 x(0) 0
~
~
~
则
x(0) 0
~
~
二者初值不相等，但A-GC的特征值均具有负实部，
则 x 将渐近逼近实际状态X ，逼近速度取决于G和A-GC特征值的配 置。 例 见P193例5-9
第五章 结束
五、闭环系统的能控性与能观性 1、状态反馈不改变受控系统的能控性，但不能保证系统的能观性。
例 试分析系统
. 0 1 0 x 引入状态反馈 x 1uK=[-1 1 0 y [0 1]x
0]后系
统的能控性与能观性 解： 引入状态反馈前
0 rank( M ) rank 1 1 2 0
状态空间表达式为
A Bd C x y C 0 x d . .x x d BCd x 0 x B υ Ad d d
2、反馈连接
. x Ax B ( υ C f x f ) . x f A f x f B f Cx y Cx
状态空间表达式为
BC f x A B x 0 υ B C A f f f x y C 0 x f . .x x f
13 可得 G 40 1 2 s
§5.3 系统的镇定、解耦和状态观测器
一、系统的镇定 系统镇定： Σ0（A,B,C）通过反馈使其极点均具有负实部，保证系 统为渐近稳定。 系统状态反馈能镇定： Σ0（A,B,C）通过状态反馈使其极点均具有 负实部，保证系统为渐近稳定。 系统输出反馈能镇定： Σ0（A,B,C）通过输出反馈使其极点均具有 负实部，保证系统为渐近稳定。 二、系统解耦 1、概念 使具有输入和输出个数相同的MIMO系统的每一输出只受一个输入 控制，称为系统的解耦。 2、实现方法 ①使用前馈补偿器 (见 P183 图5-9)
试选择反馈增益阵G,使系统的闭环极点为-5，
1 0 rank( N ) rank 2 2 0 s
系统能观。
设
G G 0 G1
则
2 f () I ( A GC) 2 G0 s (1 G1 )
而
f * ( ) ( 5)( 8) 2 13 40
比较有
3 K 2 4 2 K1 6 K 4 0
得
K [ 4
4
1]
注意：当状态空间表达式不同时，结果亦不同。 二、采用输出反馈 定理1： 对于完全能控的SISO系统Σ0（A,b,C），不能采用输出线 性反馈来实现闭环系统极点的任意配置。 定理2：对于完全能控的SISO系统Σ0（A,b,C），通过带动态补偿 器的输出反馈实现闭环系统极点的任意配置的充要条件是： ① Σ0完全能观； ②动态补偿器的阶数为n-1。
特别地，D=0，有
. x [ A BHC]x Bυ y Cx
受控系统传递函数阵（D=0）
W0 (s) C(sI A) 1 B
带输出反馈的传递函数阵（D=0）
WH ( s ) C[ sI ( A BHC)]1 B [ I W0 ( s ) H ]1W0 ( s ) W0 ( s )[I HW0 ( s )]1
* ③ 比较 f ( ) 与 f ( ) 求 ④ 求G
G To2 G
1
说明：如果系统的维数较低，只要系统能观，也可以不化为能观标准 Ⅱ型，通过直接比较特征多项式系数确定G矩阵。
例 已知 -8。 解:
. 0 s2 1 0 x x u 0 1 1 0 y 1 0x
状态反馈与输出反馈的比较：
① ② ③ ④ H的选择余地不如K（m<n） ； 输出反馈是一种部分状态反馈； 输出反馈的效果不如状态反馈 输出反馈的实现较状态反馈容易。
三、从输出到状态矢量导数反馈
. x Ax Bu y Cx Du
引入图示状态矢量导数反馈
. x ( A GC)x ( B GD)u y Cx Du
设置状态反馈控制器，使系统的闭环极
点为-2，-1+j, -1-j。 解: 因为传递函数没有零极点对消现象，所以系统能控且能观。 可直接写出他的能控标准I型的实现，系统的状态空间表达式为：
0 x 0 0 y 10
.
0 0 0 1 x 0 u 2 3 1 1 0 0x
即
. x ( A BK )x Bυ y (C DK )x Dυ
K状态反馈矩阵（反馈增益矩阵）
二、输出反馈
. x Ax Bu y Cx Du
引入图示的状态反馈 则
u Hy υ u H (Cx Du) υ u ( I HD) 1 ( HCx υ)
步骤：① 将Σ0 化为能控标准Ⅰ型
② 加入
K [ K0 K1 Kn1 ]
并求
f ( ) I ( A b K )
* ③ 比较 f ( ) 与 f ( ) 求 K ④ 求K
K KTc1
1
若为传递函数， ① ④可以免除。
例 已知
W ( s)
10 s( s 1)(s 2)
有
. x Ax B( I HD) 1 ( HCx υ) 1 y Cx D( I HD) ( HCx υ)
H反馈增益阵
即
. x [ A B( I HD) 1 HC]x B( I HD) 1 υ 1 1 y [C D( I HD) HC]x D( I HD) υ
0 1 3 K2 K0
2 K1
3 K2
3 (3 K 2 )2 (2 K1 ) K 0
f * ( ) ( s 2)(s 1 j )(s 1 j ) 3 42 6 4
^
即
lim(x x) 0
t
^
。称
为Σ0的一个状态观测器。
^
3、实现方法 ①利用Σ0 的u和y重构 见P191图5-14 存在0—n-1阶微分器，会加剧测量噪声对系统的影 响，无工程价值。 ②开环观测器 见P192图5-15 要求Σ0 与Σo 的初始状态相同，因实际不可能而无 实用价值。 ③渐近观测器
设 K [ K0
K1
K2 ] 则
f ( ) I ( A bK ) 0 I 0 0 0 I 0 K0 1 0 2 0 0 0[ K 1 0 3 1 1 0 2 K1 0 K1 K2 ] 1 0 1
能控。 能观。
0 rank( N ) rank 1
1 2 0
引入状态反馈后 系统的状态空间表达式为：
. 0 1 0 x x u 0 0 1 y [0 1]x
0 rank( M ) rank 1
1 源自文库 0
②使用状态反馈(见 P184 图5-10)
三、状态观测器
1、意义
闭环系统极点的任意配置、系统解耦、最优控制等均离 不开全状态反馈。但是系统的状态变量并不都易于直接检测。 于是提出了“状态观测器。
2、定义 若线性定常系统Σ0（A,B,C）的状态矢量x不能直接检测， 则如果动态系统 以 Σ0的输入u和输出y作为其输入量，能 ^ 产生一组输出量 渐近于 xx
引入误差矢量 x x x 可得状态误差方程
x x x Ax Bu [( A GC ) x Gy Bu] Ax [( A GC ) x GCx] ( A GC )(x x)
^ ^ ^ . ~ . . ^
~
^
即
~
x ( A GC ) x
特别地，D=0，有
. x ( A GC)x Bu y Cx
传递函数阵
WG (s) C[sI ( A GC)]1 B
状态反馈、输出反馈、从输出到状态矢量导数反馈的共性 ① 都不增加状态变量，即维数不变； ② 反馈增益阵都是常矩阵，属于线性反馈； 四、动态补偿器 在受控系统的基础上添加子系统。 1、串联连接
第五章 线性定常系统的综合
要求： 1、理解状态反馈、输出反馈、从输出到状态矢量导数反馈的 概念、意义； 2、掌握极点配置问题解。
§5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
一、状态反馈
. x Ax Bu y Cx Du
引入图示的状态反馈 则
. x Ax B( Kx υ) y Cx D( Kx υ)
能控。 不能观。
0 rank( N ) rank 0
1 1 0
2、输出反馈不改变受控系统的能控性与能观性
§5.2 极点配置问题
给出系统的期望极点，确定增益矩阵。 一、采用状态反馈 1、定理 采用状态反馈对系统Σ0（A,b,C）任意配置极点的充要条件是： Σ0完全能控。 2、给定极点，求状态反馈增益K
三、采用从输出到 x 反馈 1、定理 . 对系统Σ0（A,b,C）采用从输出到 x 的线性反馈来实现闭环极点任 意配置的充要条件是Σ0 完全能观。 2、给定极点，求从输出到状态矢量导数反馈增益G
步骤：① 将Σ0 化为能观标准Ⅱ型 ② 加入G [G0
G1 Gn1 ]T 并求
.
f ( ) I ( A G C )
. ~
~
其解为： x e ( AGC )t x(0) ①若 x(0) 0 ②若 x(0) 0
~
~
~
则
x(0) 0
~
~
二者初值不相等，但A-GC的特征值均具有负实部，
则 x 将渐近逼近实际状态X ，逼近速度取决于G和A-GC特征值的配 置。 例 见P193例5-9
第五章 结束
五、闭环系统的能控性与能观性 1、状态反馈不改变受控系统的能控性，但不能保证系统的能观性。
例 试分析系统
. 0 1 0 x 引入状态反馈 x 1uK=[-1 1 0 y [0 1]x
0]后系
统的能控性与能观性 解： 引入状态反馈前
0 rank( M ) rank 1 1 2 0