复摆实验报告

【数据处理及结果】
1) 最小二乘法计算 g 表 2：悬点在 O 点右侧时 h2 与 T2h 数据表
2/7
基础物理实验 复摆实验
h2/cm2 T2h/cm·s2
798.06 44.35
742.56 42.10
689.06 40.06
637.56 37.86
588.06 35.85
540.56 33.95
① 用最小二乘法，作 T2h-h2 图，利用斜率计算 g；
1/7
基础物理实验 复摆实验
②
利用公式4π2 g
=
T12+T22 2(h1+h2)
+
T12−T22 计算 2(h1−h2)
g；
③ 作 T-h 图，从图上求出复摆的等轴单摆长，根据T = 2π√Lg = 2π√h1+gh2计算重力加
速度 g。
+
T12 − T22 2(h1 − h2)
=
975.0cm/s2
② T1 = 1.20753s T2 = 1.20694s h1 = 23.27cm h2 = 13.24cm
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基础物理实验 复摆实验
g2
=
4π2
T12 + T22 2(h1 + h2)
+
T12 − T22 2(h1 − h2)
=
298.25 333.43 371.72 410.47 451.99 495.95 541.49 24.24 25.68 27.23 28.75 30.44 32.20 33.93
h2/cm2 T2h/cm·s2
588.55 638.57 690.11 745.84 801.46 35.94 37.94 40.09 42.22 44.48
大，而且对重心的测量误差较大，会引起 h1 和 h2 的差值较大的误差。 最小二乘法所得到的 g 的不确定度比较小，因为最小二乘法用了大量数据拟合，最小二
乘法是理论上最好的方法，但最小二乘法用到了 h，包含了对重心位置的测定，实验时
操作不规范，读数误差等会引起较大的误差，因而最小二乘法得到的 g 与真实值有所偏
493.28 32.08
h2/cm2 T2h/cm·s2
451.56 30.40
408.85 28.66
369.79 27.10
332.33 25.64
297.56 24.18
263.74 22.87
232.26 21.64
h2/cm2 T2h/cm·s2
202.49 20.42
175.30 19.29
【数据表格】
1) 复摆质量 M=412.81g 小刀口质量 m=6.35g
2) 复摆重心 G 的位置：重心在 O 点左侧 0.05cm 的位置 表 1：修正重心后的 h 与 T 数据表
左侧
右侧
h1/cm
20T/s
T/s
h2/cm
20T/s
28.31
25.0703 1.25351
28.25
25.0594
68.23 85.56 14.92 15.61
h2/cm2 T2h/cm·s2
105.27 127.24 150.06 176.09 203.06 232.87 264.39 16.20 17.24 18.09 19.27 20.37 21.58 22.87
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基础物理实验 复摆实验
h2/cm2 T2h/cm·s2
化为θ̈
+
mgh I
θ
=
0，解得θ
=
Acos(ωt
+
θ0)
ω = √mgh
I
，则复摆的振动周期T = 2π√mIgh
2) 利用复摆测定重力加速度 g
①
由T
=
2π√mIgh
=
2π√IG+mh2
mgh
得mgT2h = 4π2IG + 4π2mh2 T2h 与 h2 成直线关系，由直线斜率可求出 g。
②
由T1
27.31
24.8672 1.24336
27.25
24.8604
26.27
24.7076 1.23538
26.25
24.7073
25.27
24.5050 1.22525
25.25
24.4912
24.26
24.3420 1.21710
24.25
24.3176
23.27
24.1505 1.20753
23.25
由图像得： 线 1：T=1.24157s
① h1=27.05cm
h2=11.27cm
g
=
4π2(h1+h2) T2
=
981.4cm/s2
5/7
30.00
基础物理实验 复摆实验
② h1=11.10cm 线 2：T=1.21506s ① h1=23.98cm
h2=27.07cm h2=12.50cm
② h1=12.68cm 线 3：T=1.19189s ① h1=20.34cm
− −
g̅ )2 1)
=
4cm/s2
g ± σg = (982 ± 4)cm/s2 3) 作图法计算 g
图 5：悬点不同时的 T-h 图
T (s)
2.00000
1.60000
1 2 3
-30.00
-20.00
1.20000
-10.00
0.00
h(cm)
10.00
20.00
注：记 O 点左侧为负，右侧为正。
13.24
24.1389
12.25
24.3065 1.21533
12.22
24.4086
11.28
24.7247 1.23624
11.25
24.7828
10.26
25.1327 1.25663
10.23
25.3812
9.25
25.9781 1.29891
9.25
25.9718
8.26
26.8802 1.34401
18.23
23.7203
17.27
23.6931 1.18466
17.25
23.6775
16.26
23.7204 1.18602
16.24
23.7318
15.26
23.7830 1.18915
15.24
23.8315
14.25
23.9149 1.19575
14.23
23.9584
13.27
24.1018 1.20509
可以计算出 g 的值。
图 1：复摆示意图
图 2：质量分布均匀的复摆的 周期 T 与 h 的关系示意图
【实验内容】
1) 安装、调整复摆； 2) 测定复摆重心 G 的位置 3) 改变悬点位置，从复摆左右两边边第 4 孔到第 29 孔，测定对应的周期 T。读数时取光
电计时器第 1 次到第 41 次间时间间隔，即 20T。 4) 用三种方法计算重力加速度 g
987.2cm/s2
③ T1 = 1.19660s T2 = 1.19792s
h1 = 21.26cm h2 = 14.23cm
g3
=
4π2
T12 + T22 2(h1 + h2)
+
T12 − T22 2(h1 − h2)
=
982.9cm⁄s2
所以，g = 981.7cm/s2
σg
=
√∑3i=1(gi 3 × (3
4000
800.00
g1
=
4π2 slope
=
976.2cm/s2
σg1 = 0.1cm/s2
g1 ± σg1 = (976.2 ± 0.1)cm/s2
h2/cm2 T2h/cm·s2
表 3：悬点在 O 点左侧时 h2 与 T2h 数据表 10.56 18.06 27.56 39.06 52.71 12.49 12.93 13.31 13.82 14.20
取T1
≈
T2, ，|h1
− h2|比较大的
3
组数据，利用公式
4π2 g
=
T12+T22 2(h1+h2)
+
2(Th121−−Th222)计算
g。
取三对不同的数据计算，求平均值。
① T1 = 1.23538s T2 = 1.23914s
h1 = 11.25cm h2 = 26.27cm
g1
=
4π2
T12 + T22 2(h1 + h2)
=
975.5cm/s2
g
=
4π2(h1+h2) T2
=
984.3cm/s2
g
=
4π2(h1+h2) T2
=
984.9cm/s2
g
=
4π2(h1+h2) T2
=
982.7cm/s2
4) 综上
① 最小二乘法
g ± σg = (975.8 ± 0.1)cm⁄s2 = (9.758 ± 0.001)m/s2 ② 公式法
差。
而作图法得到的重力加速度值最接近真实值，根据公式4π2 = T12+T22 + T12−T22 ，
h2=24.13cm h2=15.17cm
② h1=20.59cm
h2=14..77cm
所以，g = 981.1cm/s2
σg
=
√∑6i=1(gi 6 × (6
− −
g̅ )2 1)
=
2cm/s2
g ± σg = (981 ± 2)cm/s2
g
=
4π2(h1+h2) T2
=
977.6cm/s2
g
=
4π2(h1+h2) T2
g ± σg = (982 ± 4)cm⁄s2 = (9.82 ± 0.04)m/s2 ③ 作图法
g ± σg = (981 ± 2)cm⁄s2 = (9.81 ± 0.02)m/s2 查阅资料得到北京地区的重力加速度为 9.8014m/s2
比较以上三种方法所得到的重力加速度 g：
公式法的结果误差和不确定度均比较大，原因是只利用了 3 组结果，引起的偶然误差较
50.00
图 4：悬点在 O 点右侧时 T2h-h2 图
40.00
T2h(cm's2)
30.00
20.00
10.00 0.00
200.00
Equation Adj. R-Square
T2h T2h
y = a + b*x
0.99995
Value
Standard Error
Intercept 12.09283
8.23
26.9503
7.26
27.9712 1.39856
7.25
27.9562
6.25
29.7355 1.48678
6.25
29.6367
5.25
31.8392 1.59196
5.23
31.5707
4.25
34.8871 1.74436
4.21
34.7621
3.25
39.2147 1.96073
50.00
40.00
T2h(cm،s2)
30.00
20.00
10.00 0.00
200.00
Equation
y = a + b*x
Adj. R-Square 0.99993
Value
Standard Error
B
Intercept 12.12796
0.02596
B
Slope
0.04044
6.6854E-5
基础物理实验 复摆实验
复摆实验
【目的要求】
1) 研究复摆的物理特性； 2) 用复摆测定重力加速度； 3) 用作图法和最小二乘法研究问题及处理数据。
【仪器用具】
复摆，光电计时器（显示数字总位数为 6 位），电子天平（精确到 0.01g）
【实验原理】
1) 复摆的振动周期公式 在重力作用下，绕固定水平转轴在竖直平面内摆动的刚体称为复摆。 M = −mghsinθ = Iβ ，β = θ̈ 则 Iθ̈ + mghsinθ = 0 在摆角很小时，sinθ ≈ θ
24.1675
22.27
24.0499 1.20250
22.21
24.0381
21.26
23.9321 1.19660
21.25
23.9211
20.26
23.8229 1.19114
20.22
23.8097
19.28
23.7683 1.18842
19.23
23.7421
18.26
23.7163 1.18582
=
2π√IG+mh12
mgh1
T2
=
2π√IG+mh22
mgh2
得
4π2 g
=
T12 + T22 2(h1 + h2)
+
T12 − T22 2(h1 − h2)
第一项能被精确测定
③ 作 T-h 图，如右图所示，在 T 的极小值附近作平
行于 x 轴的直线，记录与图线交点的 h1、h2，则
L=h1+h2，L 为复摆的等轴单摆长，由T = 2π√Lg，
149.33 18.20
126.56 17.27
104.65 16.48
85.56 15.60
67.73 14.94
h2/cm2 T2h/cm·s2
52.56 14.17
39.06 13.72
27.35 13.03
17.72 12.72
10.24 12.41
图 3：悬点在 O 点右侧时 T2h-h2
0.02264
Slope
0.04052
5.82765E-5
400.00
h2(cm2)
600.00
800.00
g2
=
4π2 slope
=
974.3cm/s2
σg2 = 0.1cm/s2 g2 ± σg2 = (974.3 ± 0.1)cm/s2
所以，g = 975.3cm/s2 g ± σg = (975.8 ± 0.1)cm/s2 2) 公式法计算 g
3.20
39.3809
T/s 1.25297 1.24302 1.23537 1.22456 1.21588 1.20838 1.20191 1.19606 1.19049 1.18711 1.18602 1.18388 1.18659 1.19158 1.19792 1.20694 1.22043 1.23914 1.26906 1.29859 1.34752 1.39781 1.48184 1.57854 1.73811 1.96904