化工数学第四章答案

化工数学
1.（√）判别以下方程的类型，并指出变系数中自变量取值范围
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）a＝1，b＝2，c＝3，b2－ac>0，是双曲型方程
（2）b＝0.5，b2－ac>0，是双曲型方程
（3）b2－ac＝x2y2，当x＝0或y＝0时，是抛物线型方程，否则是双曲型方程
（4）b2－ac＝xy，当x＝0或y＝0时，是抛物线型方程，当x和y同号时是双曲型方程，否则是椭圆型方程
解：令
原方程化为
再将边界条件化齐，设
特解由以下方程确定
将以上方程化为0阶变形Bessel方程，并根据边界条件得到
再求解 的齐次边值问题
令 ，分离变量后得到
特征值问题的解为0阶Bessel函数
最后用富里叶－贝赛尔级数表示
由 ,v(r)得到F，再得到T的分布
11．（√）在原子能电站的反应堆中，球形的核燃料颗粒（铀或钚）在受控裂变时生成速率为Q的单位体积热源，这一热量必须通过流动的冷却剂移出反应器。为了了解和预测颗粒温度的变化，需要考虑不定常的热量衡算方程。对于单颗粒燃料，该方程为
解得
（2）同理可证
3.（√）用分离变量法求解以下一维热传导方程的定解问题
(1)
解：设
由（4）
（5）代入（2）
其中An由下式确定：
(2)
解：首先将方程化齐，为此，令
代入方程，得
解得
于是
用分离变量法解问题（12）
得特征值
特征函数
及
因此，问题的解为
4.解下列矩形域的拉普拉斯方程定解问题
解：
首先假设问题的解具有以下变量分离的形式
解：将特征值方程化为规范形式如下
显然特征根0，特征函数yn(x)带权e-2x正交
方程的通解为
为使方程有非零解，可令
通解可表示为
由边界条件和使问题有非零解，只有
因此特征值为
相应的特征函数为
10．（√）设一半径为R的均质圆盘，周边维持在温度TR,上下表面与环境有热交换，初始温度为
T0，则圆盘的温度分布可用以下问题描述
7.（√）在一降膜反应器中，液膜在重力下沿固壁表面向下流动，吸收气相中的反应组分并在液相中进行一级化学反应，参见图7.1。设膜内流速分布由下式给出（此处y＝０为气液界面）
则膜内反应物的浓度分布由以下方程描述
式中δ为膜厚，D为反应物在液相中的扩散系数，k为一级反应速率常数。
边界条件为
试导出上述问题的特征值问题，判断特征值和特征函数是否存在，给出其正交性定义。假设特征函数Yn(y)为已知,试给出膜内浓度分布c(x,y)的级数形式的解，并给出其中系数的计算公式。
解：极坐标系下的热传导方程为
（提示：本题作法与第四章第2节情况3介绍的圆上Laplace方程的第一边值问题解法类似，参见p204，区别有两点：一是此处为半圆，0<<，需要用＝0和＝处的齐次边界条件代替式（2.34）的周期性边界条件来确定特征值；二是此处为环形区域，不包括r=0点，因此允许方程（2.37）中R(r)的两个解同时存在，然后根据内、外两条半圆形边界上的条件确定级数展开式的系数。）
即
解得
由此将产生4个特解
当 时，T有界，故将T4和T3舍去，将T1和T2相加得到另一个特解
用三角函数进行表示，
依照边界条件确定常数A，B和λ
比较得
在x＝0处，其平均温度是零瞬间时初始瞬变的结果。这一变化的阶梯解是：
将此式子附加至解，得:
上式并不满足初始条件，所以不能用于很小的时间范围。但是对于很大的t值， 趋于零，结果形成的表示式可以很好地表示在初始瞬变已消失的情况下的周期温度分布：
式中v0为血液流速（常数），D是溶质在血液中的扩散系数。设未透析的血液中含溶质浓度为c0，则入口端边界条件为
z= 0 :c=c0
壁面的边界条件为
式中cD为管外透析液中的溶质浓度（一般取为０），K0L为半渗透膜的传质系数，代表管壁和管外表面的传质阻力，即
这里tw为管壁厚度，Dw为溶质通过管壁的扩散系数，k0为管外侧的传质系数。
（6）
对方程（5）作变换，令x=cosθ，化为Legendre方程
（7）
（8）
将上式与Sturm-Liouville方程（8）比较，知k(x)=1-x2>0，ρ(x)=1>0，q(x)=0，满足特征值问题的条件。由于k(x)在边界x=±1上均为零点，因此边界条件应代之以自然边界条件
（9）
根据Sturm-Liouville特征值问题的四个基本定理，特征值s和特征函数H(x)必定存在，且s(s+1)≧0，特征函数H(x)正交且完整。因此方程（7）若要得到满足边界条件（9）的解，参数s只能取为正整数，即
提示：在求冰层中温度分布时，其厚度可作为常数考虑。在一般情况下，还可以将气温TW进一步考虑为时间t的Fourier级数以反映天气的逐日变化和中长期变化的影响。
解：
a）可用一维热传导方程来描述该过程，假定厚度l不变
假定定解为下列形式，T=F(t)G(x)。由于温度变化是周期的，则F(t)中解的指数为虚数，原一维热传导方程可化为
特征根＝n由问题（7）中的齐次边界条件确定。
最后，假定特征值问题（7）的解Yn(y)已获得，则由（6）
--------------------------(9)
系数An由下式确定
于是所求的解答为
8.证明对于周期边界条件
由方程(4.3.7a)所确定的特征函数在[a,b]内是带权ρ(x)正交的。
解：
假设 ，则有
Ⅲ. 时， 为实数，且必有一个正实数，系统是不稳定的
解：
问题由球坐标系中的Laplace方程描述，在轴对称及稳态温度分布的条件下，方程简化为
（1）
边界条件为
（2）
用分离变量法处理，令
（3）
分离变量后可得到
（4）
（5）
这里将常数λ表示为s(s+1)是为了下面求解的方便。
由于R(r)的边界条件不是齐次的，方程（4）不构成特征值问题，其展开后为欧拉方程，通解为
2.（√）证明：
（1）圆形区域上Laplace方程 在圆对称情况下的通解为
式中r为径向极坐标，A、B为任意常数
（2）球形区域上Laplace方程 在球对称情况下的通解为
式中r为径向球坐标，A、B为任意常数
证明：（1）在极坐标下，圆型区域内，laplace方程的表达式为
在圆对称情况下
，
原方程可化为 ，
（1）
代入原方程，得到关于X(x)的特征值问题和Y(y)的方程
（2）
（3）
类似与书P199中对于方程（4.2.5）、（4.2.6）的讨论，这里的参数λ只能取正值，否则只能得到零解。因此方程（2）的通解是
（4）
由边界条件X'(0)=0知c2=0，再由 知，若要有非零解,c1≠0，必须 ＝0，由此λ应取以下值
(1)×ym－(2)×yn得
对上式两端积分得
应用边界条件
上式可变为
同时由于周期性边界条件 且 ，因此 ，即特征函数ym、yn得带权正交。
若周期性条件满足第一类齐次条件或者第二类齐次条件或自然边界条件，显然 ，同样得证。
9.（√）将以下特征值问题化为sturm－Liouville方程的规范形式，并求出特征值和特征函数
将以上两式的右端展开为 的傅立叶级数，然后逐项比较系数，得到
由此解得
代入方程（10），于是问题的解最终为
（n=1,2,3,…）
5．对于第一章习题2所述的池塘结冰问题，如果空气温度TW每天呈现周期性变化，其规律用以下方程描述
求冰层中的温度分布及厚度l的时间变化趋势，若给定冰的导温系数 ，TW＝－10℃，T＝5℃，＝86400s，再问冰冻三尺需几日之寒？
于是问题的解为
由Bessel函数的性质（第93页（5.47）式）
再由p222页脚注
上式结合边界条件（6）得
平均浓度为
于是
令 ，
式中 由
确定。至此，公式证毕。
13.求一球壳内的轴对称稳态温度分布，设在球壳表面r=R1上温度分布为已知T=f1(θ)；在球壳内表面r=R2上，温度分布为T=f2(θ)，试用Lengendre函数给出壳体内的温度分布。
（n=1,2,3,…）（5）
由此得到 （n=1,2,3,…）（6）
由方程（3）可得 （7）
将λ值代入方程（7），得 （n=1,2,3,…）（8）
从而由方程（1）得到，
（9）
式（9）中An=A1nCn，Bn=B1nCn，均为任意常数。
根据叠加原理构造以下级数形式的解
（10）
令上式满足y的边界条件，得到确定系数An，Bn的方程
解：首先将边界条件化零，为此令
------------------------------Fra Baidu bibliotek------------（1）
得
------------------------------------------------（2）
解出
化为u的齐次边值问题
------------------------------------------（4）
初始与边界条件
式中Tf为流动的冷却剂流体温度(常数)。试用分离变量法求出颗粒上的温度分布。
解：该问题的方程与边值中都含有非其次项，难以直接用分离变量法，但可用叠加特解的办法同时将其化其或消去，为此令
得
令 ，
式（6）化为
解得
当 ，F有限，所以A＝0
，代入（6）中的边界条件得：
由（10）即可解出特征值 ，特征函数
为了实时预测透析效果及透析速度v0的影响，需要求解上述问题。试用分离变量法求解并证明在出口端z=l处，溶质的截面平均浓度 由以下关系式给出
式中 ，特征值λn由下式确定
解：不妨取cD为零（或者先将边值化齐也可以得到同样的结果），令
由（3）得
由于 在r＝0处有奇异性，故有B＝0，于是
由边界条件（3）
上式可确定出特征值 ，特征函数为
b）厚度l的时间变化趋势
由一维热传导公式可得：
其中 为潜热
两端分别积分可得
将具体数值 代入上式，用matlab解得t＝6882779.6s＝79.6天。
随着时间的增加，负积温逐渐累积，冰层不断加厚，但是速度越来越缓慢。
6．（√）求图示的半环形区域内的稳态温度分布( )
边界条件为：当r＝c时，u＝u0，其余边界保持0度。
II.当 时， 为复数，若同时 ，即 ，则 的实部为正，此时系统是不稳定的，临界条件为
n取0，1，2，……时各本征解对应的B0，B1，B2，……是产生分岔解的所在之处，意即，对于n的某个值，每当至少有一个相应的 的实部为正时，稳态解对波数n的不均匀扰动是不稳定的，这样的扰动便会长大而可能导致某种以波数n为特征的有序结构，由 还可以得到 ,同时满足上两式的分岔解，属于时间周期解。
由(5)
因此，所求得解为
12.（√）现代血液透析装置（人工肾）的原理类似于一个逆流列管式换热器，由大约一百万只微孔中空纤维管束组成，每只中空纤维的管壁为聚合物半渗透膜。当血液从管的一头注入向另一头流出时，有害溶质如尿酸等就透过管壁膜渗出管外，由管间的透析液体（通常不含尿酸）带出。溶质在中空纤维管中的流动与传递可由以下方程描述
相应的特征函数为n阶的Legendre多项式
（10）
从而由方程（6）、（10）以及线性叠加原理可将原问题的一般解表示为一下级数形式
（n=1,2,…）（11）
由边界条件（2）得
（12），（13）
方程（11）的系数An、Bn由上述两式确定。
若f1(θ)、f2(θ)具有一阶连续导数及分段连续二阶导数，则由Sturm-Liouville特征值问题的第四定理，可得
其中
与例题类似，当方程中不含化学反应项时，(4.5.68B)中的两个方程可分别独立求解，其级数解具有如下形式 ，将此解形式代入原方程组再利用矩阵解法可得：
，
要令方程组存在非零解，则c1c2不能完全为零，其必要条件为
表示成更直观的形式为
其中
解得
I. 时， 有负实部，因此稳态解 对波数很大的扰动总是稳定的
（14）
其中
同理 （15）
由（14）、（15）可解得系数An、Bn的值，然后代入方程（11）即得问题的解。
14.如果将§5.4节所述的反应－扩散模型的边界条件(4.5.69）改换成无渗透边界条件，即
试给出相应的线性稳定性问题的失稳判据。
解：
改为无渗透边界条件 之后，对于开放系统中的化学反应，仍存在唯一的均匀稳定解，即 ，小扰动变量的定义仍然适用，u、v所满足的线性方程组(4.5.68)可转化为 (4.5.68B)，
其次，解上述问题，令 ，得
-----------------------------------（5）
------------------------------------------------ -(6)
-------------------------------------(7)
式（7）为方程（4）的特征值问题，由于 ，故由Sturm-Liouville问题的基本定理，特征值及特征函数都存在，且特征函数带权函数v(y)/D正交，正交性定义如下