2020年大学普通物理力学第一章习题课

y2 B2
1
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习题7
如图所示，岸高h，人用绳拉船靠岸，与水面夹角θ时，人向左 的速度为v0，加速度为a0，试求此时船左行的速度v与加速度a。
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解答7
(1) (2)
解：如图(1)所示，dt时间内，绳子缩短量 dl，与船行距离dx的关系为：
dl=dxcosθ; 两边同时除以dt，得：
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解答3
解：建立如图所示坐标系，t时刻头 顶影子的坐标为x+x',设头顶影子的 速度为v，则：
v

d(x dt
x)

v0

dx dt
又 H h x x x'
x' hx H h
dx' hv0 dt H h
所以v

v0

hv0 H h

H H
h
v0
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解答1
（1） h v02 sin 2 0
2g
（2）
xmax

v02
sin g
20
（3）任一时刻的切向加速度和法向加
速度分别为：
a
g sin
g
vy v
g
v0 sin0 gt
v0 cos0 2 v0 sin0 gt2
an

g cos
直线运动：匀速、匀加速、变加速
运动分类
曲线运动：抛体运动、圆周运动等
二维坐标系
x 直角坐标系（ ，y）
自极然坐坐标标系系（e（r，e，）n）
运动的相对性
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习题1
一质点以初速度vo与水平面成θ o角抛出，重力加速度为g，求：
（1）质点达到最高点的时间和最大高度 （2）质点在水平面上的最大射程 （3）任一时刻的切向、法向加速度 （4）轨道最高点的曲率半径
一质点初速度v0作直线运动，所受阻力与速度成正比，试求当 质点速度为v0/n时，质点经过的距离与质点所能行经的总距离 之比。
解：设t时刻质点的加速度为： a dv kv
dt
则：dv kdt,积分得：ln v kt C v
代入初值条件：v v0ekt
质点运动距离：x t vdt v0 ekt C
故，x随时间变化关系为： x=Asin(ωt+Φ0)，v0>0
x=Asin(ωt+Φ0)，v0>0
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作业题选讲
补充题5
v2
曲率半径公式
a心
设某质点沿y=ex曲线运动，且x方向速度分量不变，即： x=x0+vt，则
ax

0, ay

d2y dt 2

v2ex, a

v2ex

R 2
j, a下

'
a下

a0

R 2
j
a下 R2 2t 2R
所以，
a上：a下
4 2t4 t 2
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习题6
质点在xy平面运动，t=0时刻，x0=A,y0=0，vx0=0,vy0=Bω ,任意 时刻t，ax=-Aω 2cosω t,ay=-Bω 2sinω t,求质点运动轨道。
axt
2,
y

1 2
v0t

1 2
ayt
2
令,x=0，有： t 4 , y 0.8m g
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作业题选讲
补充题2
2x
dvx dt

dvx dx
dx dt

dvx dx
vx , vxdvx
2 xdx
vx v0
vx
dvx

Leabharlann Baidu
x 2 xdx
x0
dx dt
0, a心 a r

d 2r dt 2
r
d
dt
2

代入得：
a心 3 A 2
v2 4 A
a心 3
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习题5
刚性的圆环t=0时刻从静止开始做角加速度为β的纯滚动，求任 意t时刻环上最高点加速度a上与最低点的加速度a下的比值。
解：在地面系S中，圆心的速度与加速度分别为：

vx



x02

v02
2


x2
积分 x x0
dx
t
dt, A
A2 x2
0
x02

v02
2
得，x

A s in t
0 或x

Asin t
0 ,其中0

arc tan
x0 A
可验证，当x=Asin(ωt+Φ0)时，v0>0；当x=Asin(ωt+Φ0)时，v0>0。
v=v0/cosθ
如图（2）所示，加速度a水平向左，将
加速度分解为径向分量ar和横向分量aθ,则： ar=acosθ
又
ar

a0

v2 l
, v
v sin ,l

h
s in
可得： ar

a0

v02 h
sin3 cos2
,a

a0
cos

v02 h
tan3
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习题8
v0 dl R d Ri, a0 dv R i
dt dt
dt
在随圆心平动的S'中，圆环在S'中绕环心以β作匀加速转动，对最高点：
'
a上

R i

R 2
j,
a上

'
a上

a0

2R i

R 2
j
a上 （2R）2 (2R)2
'
同理，对最低点，a下

R i
习题4
极坐标系中方程r=A(1-cosθ)，对应一条心脏线，求心底P处曲 率半径ρ。 解：设质点以θ =ω t方式沿心脏线运动，则：
r A(1 cost), t
vr
dr dt
0, v
r d
dt
2 A(
)
a
dr d
d 2
2 dt
dt
r dt 2

g
vx v

g
v0 cos0
v0 cos0 2 v0 sin0 gt2
（4）轨道最高点的曲率半径ρ 为：
v2 v02 cos2 0
an
g
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习题2
一物体沿x轴作直线运动，其加速度a=-kv2，k是常数，t=0时，
v=v0，x=0.求：
（1）速率随坐标的变化规律
（2）坐标和速率随时间变化规律
解：
(1)因为：a dv dv dx v dv kv2 dt dx dt dx
所以：v
dv k
x
dx
v v0
0
得：ln
v v0
kx, v

v0ekx
(2.1)因为：a dv kv2
dt
所以：v v0
dv v2
k
t
dt
0
得：v v0 v0kt 1
(2.2)又因为：v dx dt
所以：x dx
t
t
vdt
v0
dt
0
0
0 v0k t 1
得：x

1 k
ln v0kt 1
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习题3
路灯离地面高度为H，一个身高h的人，在灯下水平路面上以匀 速v0步行。如图，求当人与灯的水平距离为x时，他头顶在地面 的影子移动速度的大小。
j
加速度在法向的分量为：a心=acosθ，其中
tan dy ex , cos 1
dx
1 e2x
则，a心 v2ex
1 1 e2x
又：v总

v
cos
v
1 e2x
所以


v总2 a心

1 e2x ex
3 2
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精品课件！
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解：在原长的绳子上建立从A到B的坐标，A端xA=0,B端XB=L。 设t时刻蚂蚁坐标为x，此时绳长为L+vt，即xB=L对应L+vt，绳中 x坐标对应于真实长度x'=(1+vt/L)x,dt时间内，蚂蚁相对真实长度
的位移量为dx'=udt,所以：
dx
L
dx'
L
udt
L vt L vt
积分 T dt L dx
0 1 vt/ L 0 u
得T L (ev u 1) v
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作业题选讲
书上1-13
以斜面和斜面法向两方向建 立坐标系，则： v0 2gh 2m / s
ax
3 2
g, ay

1 2
g
vox
3 2
v0 , voy

1 2
v0
碰撞时t=0
x
3 2
v0t

1 2
0
k
代入初值条件（t
0, x 0）, x
v0 k
1 ekt
,当t 时，xmax
v0 k
设t1时刻，v1

v0 n
,则 v1 v0
ekt
t1

ln n k
,所以
x1 xm ax
1
1 n
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习题9
长为L的均匀弹性绳AB自由伸直放在水平桌面上，绳的A端固 定。t=0时，一蚂蚁开始从A端出发以相对绳的匀速u在绳上朝 B端爬去，同时绳的B端以匀速度v沿绳伸长方向运动，试求蚂 蚁爬到B端的时间T。
解：
dv vx
vx0
x
t 0
axdt

A 2
t
costdt,
0
得，vx A sin t,
又,
x
dx
x0
t
0 vxdt A
t
sin tdt
0
得，x Acost
同理，可得： y=Bsinωt,
两式联立，消去t，得轨道方程：
x2 A2

关于习题课与作业成绩
习题课目的
通过典型习题巩固所学知识，讲解作业中存在的问题。
习题课内容
章节内容概述 习题练习与讲解 作业中错误分析
作业成绩（15分）
总分=作业+习题课表现 作业要求：按时交，书写规范，不允许抄袭。
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质点运动学
描述运动？
参考系
位移、速度、加速度、轨迹