死亡保险的精算现值

可编辑ppt
11
设 S(x)1 x , 0x100
100 i0.1
计算 （ 1） A1 30:10
(2)Var(zt)
解：
S(x t) 1
(1) fT (t)
S(x)
100 x
A1 30:10
10 0

vt
f30 (t )dt
101.1t
1
dt
1
1.1t
0 10
0 70 70 ln1.1
方差公式
V ( z ta ) E ( r z t 2 ) E ( z t) 2 0 n e 2 tf T ( t ) d E t ( z t) 2
记
2A1 x:n
ne2t
0
fT(t)dt
（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费） 所以方差等价为
Va(ztr)2Ax1:n(Ax1:n)2
厘定：
n1
A1 x:n
E(zk)
vk1kpxqxk
k0
计算基数引进的目的：简化计算
常用基数： Cx vx1dx
Dx vxlx
Mx Cxk k0
Nx Dxk k0
Mxk (k 1)Cxk
k0
k 0可编辑ppt
15
n1
A1 x:n
E(zk )
vk1 k px qxk
k 0
n1
假定：( x ) 岁的人，保额1元终身寿险 基本函数关系
vt vt , t0 bt 1, t0
zt btvt vt
,
t0
可编辑ppt
19
趸缴纯保费的厘定
符号： A x
厘定：
Ax E(zt) 0 zt fT(t)dt
vt
0
t
px
xtdt
et
0
t
px
xtdt
可编辑ppt
20
现值随机变量的方差
lx
A1 x:n
vk1 dxk
k 0
n1
n1
A1
vxk 1 dxk
k 0
Cxk
k 0
Mx Mxn
x:n
vxlx
Dx
Dx
递推公式（例 4.3.4）：
A 1x:nvqxvpxA 1x1:n1 lx(1i)A 1x:ndx 可(编1 辑p pt A 1x1:n1)lxA 1x1:n116
现值随机变量的方差
基本函数关系
vt vt , t0
vt , tn
1, tn bt 0, tn
zt
btvt
0 ,
tn
可编辑ppt
9
死亡后立即给付
1
符号： A x :n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt) 0 zt fT(t)dt
nvt 0
t
px
xtdt0nett px
xtdt
可编辑ppt
10
现值随机变量的方差
同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿 命是独立同分布的。
被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行 拟合。
保险公司可以预测将来的最低平稳收益（即预定 利率）。
可编辑ppt
3
净保费厘定原理
原则 保费净均衡原则
解释 所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好 等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实 质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合 下，收费期望现时值等于支出期望现时值
可编辑ppt
13
年末赔付场合
基本函数关系 记k为被保险人整值剩余寿命，则
vk vk1 , k 0,1, , n 1
1 , k 0,1, , n 1 bk 0 , k n
vk1 , k 0,1, , n 1 zk bkvk 0 , k n
可编辑ppt
14
趸缴净保费的厘定
符号：
A1 x :n
方差公式
V a r ( z t) E ( z t 2 ) E ( z t) 2 0 e 2 tfT ( t) d t E ( z t) 2
记
2Ax
e2t
0
fT(t)dt
所以方差等价为 Va (zt)r2Ax(Ax)2
公式
n 1
V a r (z k ) E (z k 2 ) E (z k )2v 2 k 2 kp xq x k E (z k )2
k 0
记
n1
2A1 x:n
v2k2 k px qxk
k0
等价方差为 Var(zk)2A1 x:n(A1 x:n)2
例 4.3.3： 例 4.3.5：
可编辑ppt
(Ax:n
)2
可编辑ppt
7
结论 4.2.1：
lx nEx vnlxn (1i)lx nEx lx1 E n1 x1
例题 4.2.2：
可编辑ppt
8
4.3、定期寿险(定期死亡保险）
定义
保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保 险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称 为n年死亡保险。
假定： ( x ) 岁的人，保额1元n年定期寿险
17
剩余寿命在分数时期均匀分布假定
剩余寿命=整值剩余寿命加死亡之年分数生存寿命：
则有
T(x)K(x)S(x) vT(x) vK(x)1vS(x)1
E(vT) E(vK1)E(vS1)
A1
A1
1
vs1ds
i
A1
x:n
x:n
0
x:n
例 4.3.7：
可编辑ppt
18
2、终身寿险
定义 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险 责任范围内的死亡均给付保险金的险种。
vt vn , t0
vn , tn
1, tn bt 0, tn
zt
btvt
0 ,
tn
可编辑ppt
6
趸缴纯保费的厘定
1
符号： A x : n
趸缴纯保费厘定
A x :1 n E (zt) v nnp x e nnp x
现值随机变量的方差：
Var(zt)v2nnpx (vnnpx)2
21
Ax:n
1
可编辑ppt
4
基本符号
(x)
—— 投保年龄。
——人的极限年龄
b t ——保险金给付函数。
v t ——贴现函数。
z ——保险给付金在保单生效时的现时值 t
z b v t t 可编辑ppt
t
5
4.2、生存保险
定义 被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第n 年末支付保险金的保险。
假定：( x ) 岁的人，保额1元，n年定期生存保险 基本函数关系
第4章 死亡保险的精算现值
可编辑ppt
1
4.1引言：人寿保险的分类
受益金额是否恒定 定额受益保险 变额受益保险
保障标的不同 人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险
保单签约日和保障期期始日 是否同时进行
非延期保险
延期保险
保障期是否有限 定期寿险 终身寿险
可编辑ppt
2
纯保费厘定的基本假定
三个基本假定条件:
0.092
（2）Var(
zt
)2A1 30:10
(A1 )2 30:10
101.12t 1 dt 0.0922
0
70
1
1.21t
0 10
0.0922
0.055
70 ln1.21
可编辑ppt
12
例题 4.3.1：
递推公式（例 4.3.2）：
A 1 x :nA 1 x :m m E xA 1 x m :n m